江西省九江市修水县第一中学2021届高三上学期数学(文)滚动训练2(附答案)

2020年修水一中文科数学模拟试卷

一、单选题 1．已知集合{}|2

2x

A x =>，{}2|,R

B y y x x ==∈，则()R A B =( )

A ．[0,1)

B ．(0,2)

C ．(,1]-∞

D ．[0,1]

2．已知ABC ?中，45,2,2A a b =?==,那么B ∠为（ ）

A ．30?

B ．60?

C ．30?或150?

D ．60?或120?

3．已知0.73.7a =，0.7log 3.7b =， 3.70.7c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >>

D ．c a b >>

4．若曲线2y x ax =+在点(1,1)a +处的切线与直线7y x =平行，则a =（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352=S ，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ?=（ ） A ．16 B ．8

C ．4

D ．2

6．函数2cos 1x y x =

-，,33x ππ??

∈- ???

的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，

则数列{}n b 的前6项之和为（ ） A ．11

B ．16

C ．10

D ．15

8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-+，当01x <≤时，

()223x x x f =-+，则132f ??

???

=（ ）

A ．74

-

B ．

74

C ．94

-

D ．

94

9．已知函数()sin2f x x x =，给出下列四个结论： ①函数()f x 的最小正周期是π ②函数()f x 在区间,63ππ??

-

???

?上是减函数 ③函数()f x 的图像关于点,03π??

???

对称 ④函数()f x 的图像可由函数2sin2y x =的图像向左平移3

π

个单位得到 其中正确结论的个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．已知,0x y >，33122

x y +=++，则2x y +的最小值为（ ）

A ．9

B ．12

C ．15

D ．3

11．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为（ ）

A ．

B ．

C

D ．12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞-

C ．(,2]-∞-

D ．(,3]-∞-

二、填空题

13．已知向量()2,3a =-，()1,b m =，且//a b ，则m =______.

14．已知实数x ，y 满足不等式组2303210490x y x y x y --≤??

+-≥??-+≥?

，则z x y =-的最小值为________.

15．如图，为测量某信号塔PO 的高度，选择与塔底O 在同一水平面上的A ，B 两点为观测点(假设PO ⊥平面AOB ).在A 处测得塔顶P 的仰角为30°，在B 处测得塔顶P 的仰角为45°.若AB=40米，∠ABO=120°，则信号塔PO 的高为____米

.

16．已知函数()2ln 2,0

3,02x x x x f x x x x ->??

=?+≤??

，函数()()1g x f x kx =-+有四个零点，则实数k

的取值范围是______． 三、解答题

17．设命题p ：实数x 满足22

230(0)x ax a a --<>，命题q ：实数x 满足

204

x

x -≥-． （I ）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；

（II ）若p ?是q ?的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2514,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1

1

n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .

19．已知函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=(x-1)2-3x+a. （1）求a 的值，并求f (x )在(-∞，0)上的解析式；

（2）若函数g (x )=f (x )+kx 在[-3，-1]上单调递减，求k 的取值范围.

20．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a -=． （I ）求角B 的大小；

（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．

21．函数()sin()f x A x ω?=+（其中0,0,||2

A π

ω?>><）的部分图象如图所示，把函

数()f x 的图像向右平移

4

π

个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.

（1）当17,424x ππ??∈?

???

时，求()g x 的值域 （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2

()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的

最大值

22．已知函数()ln 2f x x kx =++. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若函数()2x e g x x ax

=-+，当1k =-且2

02e a <≤，求证：()()g x f x >.

参考答案

1．D 【解析】 【分析】

根据指数函数单调性，求出{|1}A x x =>，得出R

{|1}A x x =，求出集合B ，根据交集

的计算即可得出答案. 【详解】

解：由题可知，{

}

|22{|1}x

A x x x =>=>，

R {|1}A x x ∴=，

{}2|,{|0}B y y x x y y ==∈=R ，

所以

(

)R

{|01}B x A x ?=.

故选：D. 【点睛】

本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题. 2．A 【解析】

试题分析：在ABC ?中，45,2,A a b =?==

a b >， A B ∠>∠，那么B ∠为锐角，

由正弦定理可得

2,sin sin sin 45a b A B ==即解得0

1sin ,302B B =∴=. 考点：正弦定理的应用. 3．C 【解析】 【分析】

利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【详解】

∵0.703.7 3.71a =>=，0.70.7log 3.7log 10b =<=，

3.7000.70.71c <=<=，∴a c b >>.

故选：C. 【点睛】

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】

对函数求导，由切线与直线7y x =平行，得出导数在1x =的导数值为7，于此可得出实数

a 的值．

【详解】

因为2y x a '=+，所以27a +=，解得5a =，故选C. 【点睛】

本题考查导数的几何意义，解题的关键就是要根据直线与切线的位置关系，得出斜率之间的关系，进而列方程求解，考查计算能力，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】

由等差数列的性质及前n 项和公式可得74a =，再由等比数列的性质可得2

1137b b b ?=，即

可得解. 【详解】

因为数列{}n a 为等差数列， 所以113

1371313522

a a S a +=

?==，所以74a =， 所以774b a ==，

又数列{}n b 为等比数列，所以2

113716b b b ?==.

故选：A. 【点睛】

本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

6．A 【解析】 【分析】

判断函数的奇偶性和对称性，以及函数在03

x π

<<上的符号，利用排除法进行判断即可．

【详解】

解：函数()()f x f x -=-，则函数()f x 是奇函数， 排除D ， 当03

x π

<<

时，2cos 10x ->，则()0f x >，排除B ，C ，

故选：A ． 【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及函数值的对应性，结合排除法是解决本题的关键．难度不大． 7．D 【解析】 【分析】

首先根据21n n S a =-得到12n n a ，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即

可. 【详解】

因为21n n S a =-，

当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.

当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列， 所以12n n

a ，1

2log 21n

n

b n ，

1

1(2)1n n

b b n n ，

所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，

数列{}n b 的前6项之和为165

6152

b d ?+= 故选：D 【点睛】

本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题. 8．C 【解析】 【分析】

由题设条件，求得()(4)f x f x =+，得到函数()f x 是周期为4的周期函数，进而得到

133312222f f f f ????????

=-=-=- ? ? ? ?????????

，代入即可求解. 【详解】

由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-+， 可得(1)(1)f x f x +=--，所以()(4)f x f x =+， 所以函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由当01x <≤时，()2

23x x x f =-+，

则133311192322224

24f f f f ??????????

=-=-=-=--?+=-

? ? ? ? ?

??????????. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9．B 【解析】 【分析】

先利用两角和与差的三角函数公式对函数()f x 化一，求解函数的周期判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用函数y ＝sin x 的对称中心判断③的正误；利用函数的图象的变换判断④的正误；

解：()sin22sin 23f x x x x π??

==+

??

?

①因为ω＝2，则f （x ）的最小正周期T ＝π，结论正确． ②当,63x ππ??

∈-

????

时，[]20,3x ππ+∈ ，y=sin x 在[]0,π上不是单调函数，结论错误．

③因为f （

3π）＝0，则函数f （x ）图象的一个对称中心为,03π??

???

结论正确． ④函数f （x ）的图象可由函数y ＝sin2x 的图象向左平移6

π

个单位得到．结论错误． 故正确结论有①③，故选B. 【点睛】

本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的周期性、对称性、单调性以及图象平移问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题． 10．D 【解析】 【分析】

首先可换元2a x =+，2b y =+，通过()332=2a b a b a b ??

+++ ??

?再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】

由题意，可令2a x =+，2b y =+，则=2x a -，2y b =-，于是

()33

12,2a b a b

+=>>，而2=26x y a b ++-， ()3363

2=2=9+9b a a b a b

a b a b ??

++++≥+ ???

，故2x y +的最小值为3，

故答案为D. 【点睛】

本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等. 11．A

【分析】

设AC 中点为D ，则利用向量的加法得到BO BD DO =+，而()

1

2

BD BC BA =

+，

AC BC BA =-，以此求出c =C 最大时b 值，利用

勾股定理确定直角三角形后得出面积． 【详解】

设AC 中点为D ，则()

BO AC BD DO AC ?=+? BD AC =?

()()

1

2

BC BA BC BA =

+?- 221122BC BA =-，2211

1522

a c ∴-=，即6c =， 由c a <知角C 为锐角，故222

cos 2a b c

C ab

+-=

2301301212b b b b +??==+ ???

1212b ?=

，

当且仅当30b b =

，即b =cos C 最小，又cos y x =在0,2π??

???

递减，故C 最大.此时，

恰有222a b c =+，即ABC 为直角三角形，ABC

1

2

S bc ==，故选A . 【点睛】

本题考查了向量的加法减法运算，余弦定理，不等式，勾股定理，比较综合． 12．D 【解析】 【分析】

本题首先可以将“不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立”转化为

“31ln x x e x a x ---≤对()1,x ?∈+∞恒成立”，然后求出方程31ln x x e x y x

---=，()1,x ∈+∞的

最小值即可得出结果． 【详解】

题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ?∈+∞恒成立，

即31ln x x e x a x ---≤对()1,x ?∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x

---=，()1,x ∈+∞的最小

值，而3

3ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+ 故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-

即313ln 3ln ln x x e x x

x x

----≥=-

当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，

故3min

13ln x x e x x -??--=- ???，所以3a ≤-，故选D ．

【点睛】

本题主要考查不等式的相关性质，在利用不等式求参数的取值范围时，可以先将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，考查函数方程思想，考查计算能力，是难题． 13．32

-

【解析】 【分析】

根据两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得m 的值. 【详解】 由于//a b ，

所以230m --=，解得32

m =-. 故答案为：32

-. 【点睛】

本小题主要考查两个向量平行的坐标表示.属于容易题. 14．3- 【解析】 【分析】

画出不等式组对应的可行域，平移动直线0x y z --=后可得所求的最小值.

【详解】

不等式组对应的可行域如图所示，由3+210490x y x y -=??

-+=?可得1

2

x y =-??=?，故()1,2A -，

平移初始直线0x y -=至A 时，z 取 最小值且最小值为123--=-， 故答案为：3-.

【点睛】

本题考查线性规划求最小值，此类问题，一般是先画出可行域，再找到目标函数对应的几何意义，从而根据几何意义寻找最值，本题属于基础题. 15．40 【解析】 【分析】

设OP =h ，则OA 3，OB =h ，利用余弦定理即可求出. 【详解】

设OP =h ，则OA 3，OB =h.

在△AOB 中，由余弦定理可得3h 2=h 2+1600-2×40h cos120°， 所以h 2-20h-800=0，即(h-40)(h +20)=0， 解得h =40或h =-20(舍去). 故答案为：40 【点睛】

本题考查余弦定理的应用，属于基础题. 16．1(1,)2

-- 【解析】 【分析】

将问题转化为()y f x =与1y kx =-有四个不同的交点的问题；画出()y f x =图象后可知，当1y kx =-与()f x 在0x >和0x ≤上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求

k 的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范

围. 【详解】

()()1g x f x kx =-+有四个零点等价于()y f x =与1y kx =-有四个不同的交点

当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()ln 1f x x '=- 当()0,x e ∈时，()0f x '<；当(),x e ∈+∞时，()0f x '>

即()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 ()()min f x f e e ∴==- 当0x ≤时，()2

32f x x x =+

，此时()min 39416f x f ??

=-=- ???

由此可得()f x 图象如下图所示：

1y kx =-恒过()0,1-，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点

即临界状态为1y kx =-与()f x 两段图象分别相切 当1y kx =-与()()2

302

f x x x x =+

≤相切时，可得：1

2k =-

当1y kx =-与()()ln 20f x x x x x =->相切时 设切点坐标为(),ln 2a a a a -，则()ln 1k f a a '==- 又1y kx =-恒过()0,1-，则ln 21

a a a k a -+=

-

即ln 21

ln 1a a a a a

-+-=

，解得：1a = 1k ∴=-

由图象可知：11,2k ??∈-- ??

?

【点睛】

本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.

17．（I ）[

)23，

；（II ）4

3??+∞????

，． 【解析】

分析：（1）将问题转化为当1a =时求不等式组的解集的问题．（2）将p ?是q ?的充分不必要条件转化为两不等式解集间的包含关系处理，通过解不等式组解决． 详解：（1）当1a =时， 由2230x x --<得13x

，

由

204

x

x -≥-得24x ≤<， ∵p q ∧为真命题，

∴命题,p q 均为真命题， ∴13,

24,

x x -<

≤

∴实数x 的取值范围是[

)2,3．

（2）由条件得不等式22230x ax a --<的解集为(),3a a -， ∵p ?是q ?的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件，

∴[

)()2,4,3a a -， ∴2,34,

a a -

≥?解得4

3a ≥，

∴实数a 的取值范围是4,3

??+∞????

．

点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

18．（1）21n a n =-（2）21

n

n + 【解析】 【分析】

（1）由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求； （2）把数列{}n a 的通项公式代入1

(21)(21)

n b n n =-+，再由裂项相消法求数列{}n b 的前n

项和n S . 【详解】 解：（1）

611a =，1511a d ∴+=①

2514,,a a a 成等比数列，2

5214a a a ∴=，

()()()2

111413a d a d a d ∴+=++

化简得2163a d d =，

0d ≠，12a d ∴=②

由①②可得，1

a 1,d 2,

所以数列的通项公式是21n a n =-; （2）由（1）得1111(21)(21)22121n b n n n n ??

=

=- ?-+-+??

12111111123352121n n S b b b n n ??∴=++?+=

-+-+?+- ?-+??

11122121

n n n ??=-=

?++?? 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．

19．（1）a=-1；f (x )=-x 2-5x ；（2）(-∞，-1]. 【解析】 【分析】

（1）利用奇函数f (0)=0可得a 的值，设x ∈(-∞，0)，利用f (x )=-f (-x )可得解析式； （2）二次函数g (x )在[-3，-1] 上单调递减，得g (x )的对称轴在-3的左侧，计算即可得出答案. 【详解】

（1）因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)=1+a=0， 解得a=-1，

当x ∈(-∞，0)时，-x ∈(0，+∞)， 则f (x )=-f (-x )=-[(-x-1)2+3x-1]=-x 2-5x ， 故f (x )在(-∞，0)上的解析式为f (x )=-x 2-5x ， （2）当x ∈[-3，-1]时，g (x )=-x 2+(k-5)x ， 依题意可得

-5

2

k ≤-3， 解得k ≤-1，故k 的取值范围为(-∞，-1]. 【点晴】

（1）f (0)=0是奇函数求参数值的一个非常好用的技巧，同学们要注意应用； （2）讨论二次函数的单调性，一看对称轴，二看开口方向.

20．（I ）3B π

=；（II ）32?

??? 【解析】 【分析】

（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小； （II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得

cos cos cos A B C ++的取值范围.

【详解】

（I

）由2sin b A =

结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2

B A A B =∴= △AB

C 为锐角三角形，故3

B π

=.

（II ）结合(1)的结论有：

12cos cos cos cos cos 23A B C A A π??++=+

+- ???

11cos cos 222A A A =-+

+11

cos 222

A A =++

1sin 62A π?

?=++ ??

?.

由203202

A A πππ?<-

??可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，

则sin 3A π???+∈? ?????

，13sin 232A π??

?++∈? ????

?. 即cos cos cos A B C ++

的取值范围是13,22??

? ??

.

【点睛】

解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 21．（1

）1,02??-

-????

（2）26

5- 【解析】 【分析】

（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π??

-

???

求

得?的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ??∈?

???

时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值. 【详解】

（1）根据图象可知1

71,4123

A T ππ==

- 2,2,()sin(2)T f x x T

π

πω?∴=∴=

==+ 代入7,112π??- ???得，7sin 1,2,63k k Z ππ??π??

+=-=+∈ ?

??

， ||,0,2

3

k π

π

??<

∴==

()sin 23f x x π?

?∴=+ ??

?

把函数()f x 的图像向右平移

4

π

个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ?????

?∴=-+-=-- ? ? ??

?????，

设26t x π

=-

，则5,34t ππ??∈????

，

此时sin t 2??∈-????，

所以值域为1,02??--????

. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π?

?

=+

∈- ??

?

()()3[4,2]F x f x =-∈--

对任意x 都有2

()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立

令()[4,2]t F x =∈--，

2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上

则max ()0h t ≤恒成立

而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值

则(2)0(4)0h h -≤??-≤?，4(2)(2)2016(2)(4)20

m m m m -+-++≤??-+-++≤?， 解得103

265m m ?≤-???

?≤-

??

所以265m ≤-，则m 的最大值为26

5

-

. 【点睛】

本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

22．（1）当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增；当k 0<时()f x 增区间为10,k ?

?

-

???

；减区间为1,k ??

-

+∞ ???

.（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据函数解析式，求得定义域及导函数，讨论k 的取值情况，即可判断导函数符号，进而可得函数()f x 的单调区间；

（2）将1k =-代入解析式，并将两个解析式代入不等式化简可得2

1ln 2

x

e e x >

.当01x <<易证不等式成立，当1x >时，结合202e a <≤可将不等式化为21ln 2

x

e e x >，构造函数

()22ln x e h x x x

-=-，并求得()h x '，再构造函数()()2

21x x e x x -Φ=--，并求得()x Φ'.

根据零点存在定理可证明存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即()x Φ在()01,x 上单调递减，