(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题

1．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2

π

ϕ<）的部分图像如图所示，则

()f x 的解析式为（ ）

A ．()2sin 26f x x π⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

B ．()2sin 26f x x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

C ．()3sin 26f x x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

D ．1

()3sin 2

6f x x π⎛⎫=-

⎪⎝⎭ 2．函数()2cos 3⎛

⎫

=+ ⎪⎝

⎭

πf x x 在[]0,π的单调递增区间是（ ） A ．20,

3π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

B ．2,33ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

C ．,3ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

D ．

2π

,π3

3．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为（ ）

A ．30sin 3012

2t π

π⎛⎫-+

⎪⎝⎭

B ．30sin 306

2t π

π⎛⎫-+

⎪⎝⎭

C ．30sin 326

2t π

π⎛⎫-+

⎪⎝⎭

D ．30sin 6

2t π

π⎛⎫-

⎪⎝⎭ 4．已知函数()sin 26f x x π⎛

⎫

=-

⎪⎝

⎭，若方程()3

5

f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）

A ．

3

5

B ．45

-

C ．

D ．5．将函数()sin 25f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象向右平移

10

π

个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A ．②③

B ．①②

C ．②④

D ．③④

6．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称，且其相邻对称轴间的距离为

23π

，将函数()f x 的图象向左平移3

π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）

A ．()f x 的最小正周期23

T π

= B ．58

πϕ=-

C ．()317cos 2

48πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

D ．()g x 在0,

2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运

动，0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度

H （单位；m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．下列结论正确的是（ ） A ．sin1cos1< B ．2317cos cos 5

4ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C ．()()tan 52

tan 47->-

D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫-

>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

9．使函数()3)cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,

4⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

π上是减函数的θ的

一个值是（ ） A ．

6

π B ．

3

π C ．

23

π D ．

56

π 10．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]

x 表示不超过实数x 的最大整数，则（ ）

A ．()f x 是奇函数

B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫

<

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C ．()f x 的一个周期是π

D ．()f x 的最小值小于0

11．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（ ）

A ．()55cos 65020102H t t π

π⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭

B ．()55sin 6502010

2H t t π

π⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭

C ．()55cos 6502010

2H t t π

π⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭

D ．()55sin 6502010

2H t t π

π⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭

12．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

上具有单调性，且满足

04g π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，()3g π=，则ω的取值共有（ ） A ．6个

B ．5个

C ．4个

D ．3个

二、填空题

13．已知3()tan 1f x a x x =+（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则

(lglg3)f =____________．

14．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，

()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是______. 15．如图，某公园要在一块圆心角为

3

π

，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .

16．若函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点,26π⎛⎫

⎪⎝⎭

，且相邻两条对称轴间的距

离为

2π

，则4f π⎛⎫

⎪⎝⎭

的值为________. 17．设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x ∈D ，总存在2x ∈D ，使得

()()121f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ．下列结论：

①函数3y x x =-具有性质M ； ②函数35x x y =+具有性质M ；

③若函数()[]8log 2,0,y x x t =+∈具有性质M ，则510t =； ④若3sin y x a =+具有性质M ，则5a =． 其中正确结论的序号是____________．

18．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫

=

--> ⎪⎝⎭

的最小值为_______. 19．关于函数()4sin(2)(),3

f x x x R π

=+

∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得

12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6

π

-

对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6

y x π

=-④()y f x =的图象关于直线6

x π

=-

对称.其中正确命题的序

号是_________.

20．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移

6

π

个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________．

三、解答题

21．已知函数()1

2sin 2

6x f x π⎛⎫=+

⎪⎝⎭，x ∈R .

（1）用“五点法”画出函数()f x 一个周期内的图象； （2）求函数()f x 在[],ππ-内的值域； （3）若将函数()f x 的图象向右平移

6

π

个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[],ππ-内的单调增区间.

22．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：

（1）求()f x 的解析式； （2）()f x 向左平移12

π

个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；

（3）若,2x ππ⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣⎦

且()32f x ≥，求x 的取值范围．

23．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2

cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

.

(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫

⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上的取值范围 24．已知函数()()()f x g x h x =，其()22g x x =，()h x =_____. （1）写出函数()f x 的一个周期（不用说明理由）； （2）当,44

x ππ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

时，求函数()f x 的最大值和最小值. 从①cos 4x π⎛

⎫+

⎪⎝

⎭，②2sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭

这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答， 注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分. 25．已知sin(3)

(),cos x f x x R x

π-=

∈

（1）若α为第三象限角，且3

sin 5

α=-，求()f α的值． （2）若,34x ππ⎡⎤∈-

⎢⎥⎣⎦

，且2

1

()2()1cos g x f x x =++，求函数()g x 的最小值，并求出此时对应的x 的值．

26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.

（1）求()f x 的表达式； （2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；

（3）将()f x 的图像向右平移

1

12

个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 本题首先可根据33π44T 求出ω，然后根据当43

x π=时函数()f x 取最大值求出ϕ，最后代入30,2⎛

⎫

- ⎪⎝⎭

，即可求出A 的值. 【详解】

因为4π7π3π3124，所以33π

44T ，T π=，

因为2T π

ω

=，所以2ω=，()sin(2)f x A x ϕ=+，

因为当43

x π

=

时函数()sin(2)f x A x ϕ=+取最大值，

所以()42232

k k Z ππϕπ⨯

+=+∈，()26k k Z π

ϕπ=-+∈，

因为2

π

ϕ<，所以6π

ϕ=-

，()sin 26f x A x π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭，

代入30,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，3sin 26A π⎛⎫

-=- ⎪⎝⎭

，解得3A =，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于()sin()f x A x ωϕ=+，可通过周期求出ω，通过最值求出A ，通过代入点坐标求出ϕ，考查数形结合思想，是中档题.

2．C

解析：C 【分析】

先求出函数的单调增区间，再给k 取值即得解. 【详解】 令22223

+<+<+π

πk πx πk π(k ∈Z ) ∴

42233

+<<+ππk πx k π(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间为4[2,2]3

3

π

π

k πk π++(k ∈Z )， 当1k =-时，5233

ππx -<<- 当0k =时，

43

3

x π

π

<<

又∵[]0,x π∈， 故选：C 【点睛】

方法点睛：求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.

3．B

解析：B 【分析】

先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2. 【详解】

如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直

角坐标系.

因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6

π

每分钟， 经过t 分钟之后，转过的角度为6

BOA t π

∠=

，

所以，在转动的过程中，点B 的纵坐标满足：

3230sin 30sin 32266

2y t t πππ

π⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 30626

2h t t πππ

π⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B ． 【点睛】

建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.

4．B

解析：B 【分析】

求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223

x x π

+=

，这样12sin()x x -化为2222sin(

2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛

⎫-=+=- ⎪⎝

⎭，而已知条件为23sin(2)65

x π-=，再由正弦函数性质确定226x π

-的范围，从而由平方关系求得结论．

【详解】

函数()sin 26f x x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

的对称轴满足：()26

2

x k k Z π

π

π-

=+

∈，即

()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3

x π=，

结合三角函数的对称性可知1223

x x π+=

，则：122

3x x π=-，

()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭，由题意：0πx <<，则

1126

6

6x π

π

π-

<-

<

，23sin 265x π⎛

⎫-= ⎪⎝

⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同

角三角函数基本关系可知：24cos 265

x π⎛⎫

-=- ⎪⎝

⎭， 故选：B ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．

5．A

解析：A 【分析】

根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【详解】

解：由函数sin 25y x π⎛

⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭的图象向右平移10

π

个单位长度之后 解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤

⎛⎫=-

+

= ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦

，选项①错误； 令2x k =π，k Z ∈，求得2

k x =π

，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫

⎪⎝⎭

π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称，选项②正确； 则函数的单调递增区间满足：222()2

2

k x k k Z π

π

ππ-≤≤+

∈，

即()4

4

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈，

令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣

⎦，选项③正确，④错误.

故选:A. 【点睛】

本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象向右平移

10

π

个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛

⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是

中档题. 6．D

解析：D 【分析】

首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】

相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是

43

π

，故A 不正确； 243

T π

πω

=

=

，解得：32ω=，

()f x 的图象关于点,08π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，

解得：5,16

k k Z π

ϕπ=

+∈ 0πϕ-<<, 1116

π

ϕ∴=-

，故B 不正确； ()3

11cos 2

16f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得

()3113

3cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎣⎦ 故C 不正确； 当02

x π

≤≤

时，

3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤

-∈⎢⎥⎣⎦

时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，故D 正确. 故选：D 【点睛】

关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是

关键，需根据整体代入的方法，先求

33216

x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 7．D

解析：D 【分析】

先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断. 【详解】

解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

0306

xOP π

∠==

，

OP ∴在()t s 内转过的角为：

26030

t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：

30

6

t π

π

-

，

P ∴点的纵坐标为：4sin 30

6t π

π⎛⎫-

⎪⎝⎭， H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 230

6H t π

π⎛⎫=-+

⎪⎝⎭， 当sin 130

6t π

π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 426H =+=， 当sin 130

6t π

π⎛⎫-=-

⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-， 对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-，故C 错误； 对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.

8．D

解析：D 【分析】

利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】

对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

上单调递增， 且0112

2

π

π

<

-<<

，则sin1sin 1cos12π⎛⎫

>-=

⎪⎝⎭

，A 选项错误； 对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，

23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫

-

== ⎪

⎝⎭

， 304

5π

ππ<

<

<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54

π

π

⎛⎫⎛⎫

-

<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，B 选项错误； 对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增， 因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52

tan 47-<-，C 选项错误；

对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上单调递增，

因为02

10

18π

π

π

-

<-

<-

<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫

->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】

思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.

9．B

解析：B 【解析】

1

())cos(2))cos(2))2sin(2)26

f x x x x x x π

θθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f π

θ=+

=±，sin()1,662

k πππ

θθπ+=±+=+，3

k π

θπ=+

，当0k =时，3

π

θ=

，

()2sin(2)2sin(2)362f x x x π

ππ=+

+=+2cos2x =，当[0,]4

x π∈时，2[0,]2x π

∈，

()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.

10．D

解析：D 【分析】

利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫

⎪⎝⎭和23

f π

⎛⎫

⎪⎝⎭

判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。 【详解】

A.()[][][][]0sin cos0cos sin0sin 1cos 0sin110f =+=+=+≠，所以函数()f x 不是奇函数；

B.sin cos cos sin sin 0cos 01333f πππ⎛⎫⎡⎤⎡⎤

=+=+=

⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣

⎦，

()222sin cos cos sin sin 1cos 01sin13

33f π

ππ⎛⎫⎡⎤⎡⎤

=+=-+=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣

⎦，所以233f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，故B 不正确； C. ()[][][][]sin cos cos sin sin 1cos 01sin1f

πππ=+=-+=-，()()0f f π≠，所以函数()f x 的一个周期不是π，故C 不正确；

D.()()()()2sin cos 2cos sin 2f x x x f x πππ+=+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以函数的周期2T π=, 当0x =时，[][]cos01,sin00==()0sin1cos01sin1f =+=+ 当0,2x π⎛

⎫

∈ ⎪⎝

⎭

时，[][]cos 0,sin 0x x ==，()sin0cos01f x =+=， 当2x π

=

时， cos 0,sin 122ππ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦，sin 0cos1cos12f π⎛⎫

=+= ⎪⎝⎭

， 当,2x ππ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

时，[][]cos 1,sin 0x x =-=，()()sin 1cos01sin1f x =-+=-， 当x π=时，[][]cos 1,sin 0ππ=-=，()()sin 1cos01sin1f π=-+=-，

当3,

2

x ππ⎛⎫

∈ ⎪⎝

⎭

时，[][]cos 1,sin 1x x =-=-，()()()sin 1cos 1cos1sin1f x =-+-=-，

当32x π=

时，33cos 1,sin 122ππ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()3sin 1cos 1cos1sin12

f π⎛⎫

=-+-=- ⎪⎝⎭

，

当3,22x ππ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

时，[][]cos 0,sin 1x x ==-，()()sin0cos 1cos1f x =+-=， 综上可知，一个周期内的最小值是cos1sin1-，因为1,42ππ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，所以cos1sin1<， 即cos1sin10-<，所以()f x 的最小值小于0. 故选：D 【点睛】

关键点点睛：本题是三角函数新定义，难点是读懂题意，判断最后一个选项的关键是求出函数的周期，并利用三角函数的性质，在一个周期内分区间段讨论函数值.

11．B

解析：B 【分析】

先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ，结合摩天轮最高点距离地面高度为120m ，可得10t =时，120H =，再利用排除法可得答案. 【详解】

因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min ， 所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ， 所以10t =时，120H =，

对于A ，10t =时，55cos 106555cos 656510

22H π

ππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，不合题意；

对于B ，10t =时，55sin 106555sin 6512010

22H π

ππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，符合题意；

对于C ，10t =时，355cos 106555cos

65651022H π

ππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，不合题意； 对于D ，10t =时，355sin 106555sin

65101022H π

ππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭

，不合题意； 故选：B. 【点睛】

方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型： (1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.

12．B

解析：B 【分析】

根据函数在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，()3g π=，可得周期的范围，进而得到关于ω的方程与不等式，结合n *∈N 可求ω的值，从而可得答案. 【详解】

因为()g x 在7,6ππ⎛

⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，04g π⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，()3g π=， 所以()()

7,62,4422121

,442T T n n T n N π

ππωπππωπππω*⎧-≤=⎪⎪

⎪

-≥=⎨⎪⎪---=

=∈⎪⎩

得

263ω≤≤，423

n ω-=，n *∈N ， 所以

242

633

n -≤≤， 解得15n ≤≤.即1,2,3,4,5n =，

可得2

3ω=

，102,3

，143，6，经检验均符合题意，

所以ω的取值共有5个. 故选：B 【点睛】

关键点点睛：本题主要考查余弦函数的几何性质，解题的关键是利用单调区间以及对称点、最值点与周期的关系列出不等式.

二、填空题

13．【分析】令可知为奇函数根据与为相反数即可求解【详解】令定义域关于原点对称且所以为奇函数则所以由奇函数性质可得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：首先要观察出中的部分为奇函数其次要能利用换底公式对数的运 解析：3-

【分析】

令tan ()a x g x =+，可知()g x 为奇函数，根据3lg log 10与lg lg3为相反数即可求解. 【详解】

令tan ()a x g x =+，,2

x k k Z π

π≠+

∈，定义域关于原点对称，

且()tan ()g x a x g x -=--=-， 所以()g x 为奇函数，

则31

(lg log 10)(lg

)(lg lg 3)(lg lg 3)15lg 3

f f f

g ==-=-+=， 所以(lg lg3)514g -=-=， 由奇函数性质可得(lg lg3)4g =-， 所以(lglg3)(lglg3)1413f g =+=-+=-， 故答案为：3- 【点睛】

关键点点睛：首先要观察出()f x 中的部分3tan ()a x g x x b =+为奇函数，其次要能利用换底公式，对数的运算性质找到3lg log 10与lg lg3为相反数，借助奇函数的性质求解.

14．【分析】根据且当时类比周期函数的性质求出函数的解析式然后作出图象利用数形结合法求解【详解】当时；当时当时当时则函数的图象如图所示：当时解得若对任意的都有则故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数解析式

解析：13,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦ 【分析】

根据()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =，类比周期函数的性质，求出函数的解析式，然后作出图象，利用数形结合法求解. 【详解】

当[]0,x π∈时，()sin f x x =；

当(],2x ππ∈时，(]0,x ππ-∈，()()()2si 22n sin ππ--=-==f x x f x x ， 当(]2,3x ππ∈时，(],2x πππ-∈，()()()2sin 44sin ππ--===-f x x f x x ， 当(],0x π∈-时，(]0,x ππ+∈，()()()1sin 11

22

sin 2ππ=++==-f x x f x x ， 则函数()f x 的图象如图所示：

当(]2,3x ππ∈时，()si 24n ==f x x ，解得136

x π

=， 若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤， 则136

π

≤

m ， 故答案为：13,6π⎛⎤

-∞ ⎥⎝

⎦

. 【点睛】

本题主要考查三角函数解析式的求法，三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想好推理求解问题的能力，属于中档题.

15．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为 解析：()

40023-

【分析】

取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设

DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，

解出面积最大值． 【详解】

取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，

设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，

20cos 20cos 203tan 30PF

CF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒

，

∴文化景观区域面积：

()

4020203EFCD S sin cos sin ϕϕϕ=-矩形 400sin 24003(1cos 2)ϕϕ=--

800sin(2)40033

π

ϕ=+-

∴当23

2

π

π

ϕ+

=

，即12

π

ϕ=

时，文化景观区域面积取得最大值为2400(2)m -．

故答案为：400(2-． 【点睛】

本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

16．【分析】根据函数f （x ）的图象与性质求出Tω和φ的值写出f （x ）的解析式再求出的值即可【详解】函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）图象相邻两条对称轴间的距离为∴从而得ω=又f(x)=2sin(2x+φ

【分析】

根据函数f （x ）的图象与性质求出T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，再求出4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭

的值即可． 【详解】

函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）图象相邻两条对称轴间的距离为2π

，∴

22

T π=，从而得ω=

222T ππ

π

==， 又f (x )=2sin (2x +φ)的图象经过点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭

，∴2sin 26πϕ⎛⎫

⨯+ ⎪⎝⎭=2，即3π+φ＝2π+2k π，

k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以φ=6

π

，

故f (x )=2sin 26x π⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭

，∴2sin 2446f πππ⎛⎫⎛⎫

=⨯+=

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

【点睛】

本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．

17．②③【分析】根据函数性质的定义结合每个选项中具体函数的定义即可判断【详解】①当时显然不存在是的故①错误；②是单调增函数其值域为对任意的总存在使得故②正确；③函数在上是单调增函数其值域为要使得其具有性

解析：②③ 【分析】

根据函数性质M 的定义，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】

①当10x =时，显然不存在2x ，是的()()121f x f x =，故①错误；

②35x x y =+是单调增函数，其值域为()0,∞+，

对任意的1x ∈D ，总存在2x ∈D ，使得()()121f x f x ⋅=，故②正确； ③函数()8log 2y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为()88log 2,log 2t ⎡⎤+⎣⎦

要使得其具有M 性质，则88

8

81log 2log (2)1

log (2)log 2t t ⎧

≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩

，即()88log 2log 21t ⨯+=，

解得()3

28t +=，

故510t =.故③正确；

④若函数3y sinx a =+具有性质M ，

一方面函数值不可能为零，也即30sinx a +≠对任意的x 恒成立， 解得3a >或3a <-，在此条件下， 另一方面，1

3y sinx a

=

+的值域是3y sinx a =+值域的子集.

3y sinx a =+的值域为[]3,3a a -+,

13y sinx a =

+的值域为11,33a a ⎡⎤⎢⎥+-⎣⎦

要满足题意，只需

11

3,333

a a a a ≥-≤++-， 解得291a -=

，故a =.故④错误. 综上所述，正确的是②③. 故答案为：②③ 【点睛】

本题考查函数新定义问题，涉及正弦函数值域的求解，对数函数值域的求解，属综合中档题.

18．【分析】可拆分理解构造由对勾函数可得时取得最小值又当时也取到最小值即可求解【详解】令由对勾函数性质可知当时；因为当时所以当时取到最小值所以故答案为：【点睛】本题考查函数最值的求解拆分构造函数是解题关

解析：5

2

【分析】

可拆分理解，构造251616

()5x x g x x x x

-+==+-，由对勾函数可得4x =时取得最小

值，又当4x =时，12sin 23

6x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也取到最小值，即可求解 【详解】