(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试(含答案解析)

一、选择题

1．设函数5()sin 26

f x x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．

6

π B ．

3

π C ．

23

π D ．

56

π 2．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移

2

π

个单位后，与函数sin 23y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象重合，则ϕ的值为（ ）

A ．

56

π

B ．56

π-

C ．

6

π D ．6

π-

3．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02

π

ϕ<≤

)个单位，得到函数()g x 的图象.在

同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）

A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 4．函数()()1

2cos 20211

f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（ ） A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

5．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]

32

ππ

上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()(

)2

3

f f π

π

=，则ω=（ ） A ．6 B ．3 C ．2

D ．1

6．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛

⎫=++>< ⎪⎝

⎭的最小正周期为π，其图象关于直线

3

x π

=

对称，则下列说法正确是（ ）

A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫

⎪⎝⎭

； D ．将()f x 的图象向左平移

1

2

ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 7．己知函数()sin()(0,||)2

f x x π

ωϕωϕ=+><

的最小正周期为π，且图象向右平移

12

π

个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12

π

对称 B ．()f x 关于直线6

x π

=对称

C ．()f x 在,]1212

π5π

[-

单调递增 D ．()f x 在7[

,

]1212

ππ

单调递减

8．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫

=+><

⎪⎝

⎭

的部分图象如图所示，则（ ）

A ．1ω=，6π=

ϕ B ．1ω=，6

π

ϕ=-

C ．2ω=，6

π=ϕ D ．2ω=，6

π

ϕ=-

9．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C

B ．把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23

π个单位长度，得到曲线2C

C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

12π个单位长度，得到曲线2C

D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

12π个单位长度，得到曲线2C

10．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫

-+-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（ ）

A ．1

B C ．

1916

D ．

34

11．已知函数2()[sin()])cos()f x x x x ωωω=+(0)>ω在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．5[,2]3

B ．5(,2)3

C ．5[,2)3

D ．5(,2]3

12．已知函数11()sin sin sin sin f x x x x x ⎛⎫⎛⎫

=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

，现有命题：

①()f x 的最大值为0； ②()f x 是偶函数； ③()f x 的周期为π； ④()f x 的图象关于直线2

x π=对称.

其中真命题的个数是（ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

二、填空题

13．下列判断正确的是___________(将你认为所有正确的情况的代号填入横线上). ①函数1tan 21tan 2x

y x

+=

-的最小正周期为π；

②若函数()lg f x x =，且()()f a f b =，则1ab =； ③若22tan 3tan 2αβ=+，则223sin sin 2αβ-=；

④若函数()2

2

21sin 41

x x

y x ++=

+的最大值为M ，最小值为N ，则2M N +=.

14．已知()tan 1f x a x =+（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则

(lglg3)f =____________．

15．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移

12

π

个单位长度得到函数()y g x =的图

象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上是单调递增函数，则实数ω的取值范围是__________.

16．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫

+

=- ⎪⎝

⎭

，则

6f π⎛⎫

⎪⎝⎭

的值是___________. 17．若函数π

()sin()cos()3

f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为

__________.

18．已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫

=-

∈ ⎪⎝

⎭

R ，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移

4

π

个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦

；

④5π8y f x ⎛

⎫

=+

⎪⎝⎭

为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）. 19．已知()()sin 03f x x πωϕω⎛⎫

=++> ⎪⎝

⎭

同时满足下列三个条件：①T π=；

②3y f x π⎛

⎫

=-

⎪⎝

⎭

是奇函数；③()06f f π⎛⎫

<

⎪⎝⎭

.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是___________.

20．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如下图所示，则ϕ=________.

三、解答题

21．已知函数27()sin cos 2sin 632x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫

=-+--

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

.

（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合.

22．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫

=+><<

⎪⎝

⎭

的部分图象如图所示．

（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移

12

π

个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程

()3()0f x g x m -=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上的实数解的个数．

23．已知()4

42sin cos cos

sin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．

（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心； （2）若将()y f x =的图像向左平移4

π

个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

1

2

，得到()g x 的图像，若y g x 在0,8π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递减，求ω的取值范围．

24．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，

()f x 的图象过点(3，且在区间10,12⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上为增函数.

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值. 25．已知函数()231cos 2

f x x x =

-+. （1）当π02x ⎡

⎤∈⎢⎥⎣

⎦

，时，求函数()f x 的取值范围；

（2）将()f x 的图象向左平移

π

6

个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间. 26．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如下图所示.

（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

4

(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移02m m π⎛⎫

<< ⎪⎝

⎭

个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于直线512x π=

对称，求函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的值域.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【分析】

根据题意有()5sin 226

g x x ϕπ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

-

，若()g x 为偶函数则52()62k k Z ππ

πϕ-

=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛

⎫⎛

⎫=+=+-=+ -⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-

=+∈，即2()32

k k Z ππ

ϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6

π

. 故选：A. 【点睛】

应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法

（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；

（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；

（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.

2．A

解析：A 【分析】

根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为

sin(2)2

y x π

ϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.

【详解】

函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2

π

个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x π

ϕ=+-，

依题意可得223k ππ

ϕπ-=+()k ∈Z ，

所以526

k π

ϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56

πϕ=. 故选：A. 【点睛】

关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题. 3．C

解析：C 【分析】

由图可知，1724

8g f ππ⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242

g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324

k ππ+，k Z ∈，再结合02π

ϕ<≤，解之即可得ϕ的值.

【详解】

由图可知，17sin 224

882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==⨯=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

，

因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以

()()sin 2x g x ϕ=-，

所以171717sin 2sin 22424122

g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-=-= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以

1722124

k ππϕπ-=+或17322124k ππ

ϕπ-=+，k Z ∈， 解得712

k πϕπ=

-或3k π

ϕπ=-，k Z ∈，

因为02

πϕ<≤，所以3π

ϕ=.

故选：C 【点睛】

本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.

4．D

解析：D 【分析】

由图可得函数的零点就是1

1

y x =

-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.

【详解】

()()11

2cos 20212cos 11

f x x x x x ππ=

++=-⎡⎤⎣⎦--， 令()0f x =，则

1

2cos 1

x x π=-， 则函数的零点就是1

1

y x =-和2cos y x π=交点的横坐标， 可得1

1

y x =

-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称， 画出两个函数的图象，

观察图象可知，1

1

y x =

-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点， 即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】

本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找1

1

y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.

5．B

解析：B 【分析】 由2()(

)2

3f f π

π=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32

ππ

上具有单调性，且()()23f f ππ

=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．

【详解】

解：由2()()23

f f π

π=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212

x ππ

π+==， 则2

x π=

离最近对称轴距离为

712212

πππ

-=． 又()()23

f f ππ

=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫

⎪⎝⎭

， 由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上具有单调性， 则

12

3

2T π

π

-

，所以3T π≥，从而7512124T ππ-=，所以23

T π=，因为2T πω=，所以3ω=．

故选：B

【点睛】

本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．

6．D

解析：D 【分析】

先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】

函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫

=++>< ⎪⎝

⎭

的最小正周期是π 所以22π

ωπ

=

=，则()()3sin 21f x x ϕ=++，

()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3

x π

=

对称,

对称轴为2,2

x k k Z π

ϕπ+=+∈,代入可得2,3

2

k k Z ππ

ϕπ⨯+=

+∈，

解得,6k k Z π

ϕπ=-

+∈，因为,22ππϕ⎛⎫

∈- ⎪⎝⎭

，所以当0k =时, 6πϕ=-， 则()3sin 216f x x π⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭，

对于A,当0x =时,()31

03sin 11622

f π

=-+=-+=- ，所以错误； 对于B,()3sin 216f x x π⎛

⎫

=-

+ ⎪⎝

⎭

的单调递减区间为3222,262

k x k k π

ππ

ππ+-+∈Z ≤≤， 解得

5,3

6k x k k Z π

πππ+≤≤

+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上不是减函数,所以错误； 对于C ，773sin 213sin 11012126f π

πππ⎛⎫⎛

⎫=⨯-+=+=≠

⎪ ⎪

⎝⎭⎝

⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误； 对于D ，

1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝

⎭的图象向左平移12π

个单位长度得到可

得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤

⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦

，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】

本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.

7．A

解析：ABD 【分析】

由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-

⎪⎝

⎭

，求出512f π⎛⎫

⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫

⎪⎝⎭可判断B ；令222,232

k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】

()f x 的最小正周期为π，22π

ωπ

∴=

=，

()sin(2)f x x ϕ=+，

向右平移

12

π

个单位后得到sin 26y x π

ϕ⎛⎫

=-

+ ⎪⎝

⎭

为偶函数， ,6

2

k k Z π

π

ϕπ∴-

=

+∈，即2,3

k k Z π

ϕπ=

+∈， ||2π

ϕ<

，3ϕπ

∴=-，()sin 23f x x π⎛

⎫∴=- ⎪⎝

⎭， 对于A ，

55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫

=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，

sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫

=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，故B 错误；

对于C ，令222,2

3

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤-

≤

+∈，解得

5,12

12

k x k k Z π

π

ππ-

+≤≤

+∈， 当0k =时，512

12x π

π-≤≤

，故()f x 在,]1212

π5π

[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212

ππ

单调递增，故D 错误.

故选：ABD.

本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.

8．D

解析：D 【分析】

根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】

由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫

=-⨯= ⎪⎝⎭

，22T πω∴==. 当3

x π

=

，函数取得最大值1，所以sin 213π

ϕ⎛

⎫

⨯

+= ⎪⎝

⎭

，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02

k π

ϕ<

∴=，6

π

ϕ∴=-，

故选：D. 【点睛】

本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.

9．C

解析：C 【分析】

由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫

==- ⎪⎝

⎭

，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】

已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭，

∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝

⎭的图象，

再把得到的曲线向左平移 12

π

个单位长度，得到曲线

2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛

⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭的图象，故选C ．

【点睛】

本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．

10．C

【分析】

由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭

，然后再由平方关系和诱导公式计算． 【详解】 由已知1cos cos sin 623

34x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=

⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2

2

2115

sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，

21sin sin cos 32664

x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2211519

sin sin 3641616

x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-

⎪⎝⎭

，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫

- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便．

11．C

解析：C 【分析】

先化简函数的解析式，然后利用x 的范围求出26x πω⎛⎫

-

⎪⎝

⎭

的范围，根据题意列不等式求解ω.

【详解】

2

2

1cos 21

()[sin()])cos()2sin(2)2262

ωπωωωωω-=+=+=-+

x f x x x x x x ，因为[0,]x π∈，得2,2666πππωωπ⎛

⎫⎡⎤-∈-- ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦x ，因为函数在[0,]π有且只有四个零

点，则

19232666πππωπ≤-<，解得5

23

ω≤<. 故选：C. 【点睛】

关于三角函数中求解ω的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即x ωϕ+的范

围，然后根据题意，分析x ωϕ+范围所在的区间，列不等式求解，即可求出ω.

12．A

【分析】

先求函数的定义域，再根据函数奇偶性定义，周期函数的定义可判断②③的正误，再根据函数解析的特征可判断④的正误，最后利用换元法可求判断①的正误. 【详解】

2

2111()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪⎪

⎝

⎭⎝⎭， 由sin 0x ≠可得,x k k Z π≠∈，故函数的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈， 所以函数的定义域关于原点对称.

又()()

()2

22211

()sin sin sin sin f x x x f x x x

-=--

=-

=-，故()f x 为偶函数， 故②正确.

又()()

()2

2

1

()sin sin f x x f x x πππ+=+-

=+， 故()f x 是周期函数且周期为π，故③正确.

又()()

()2

2

1()sin sin f x x f x x πππ-=--

=-，故()f x 的图象关于直线2

x π=对称，

故④正确.

令2sin t x =，则(]

0,1t ∈且()1f x t t

=-，

因为1y t t

=-为(]0,1上的增函数，故()max 0f x =，故①正确. 故选：A. 【点睛】

思路点睛：对于复杂函数的性质的研究，注意先研究函数的定义域，再研究函数的奇偶性或周期性，最后再研究函数的单调性，讨论函数图象的对称性，注意根据

()()f a x f x -=来讨论. 二、填空题

13．③④【分析】①化简可得即可求出；②由可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得利用奇函数的性质可得【详解】对①则最小正周期为故①错误；对②若则可能相等故②错误；对③若则即即即即故③

解析：③④ 【分析】

①，化简可得tan 24y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

，即可求出；②由,a b 可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得24sin 141

x x

y x +=++，利用奇函数的性质可得.

【详解】

对①，tan

tan 21tan 24tan 21tan 241tan tan 24

x

x y x x x π

ππ++⎛⎫=

==+ ⎪-⎝

⎭-⋅，则最小正周期为2π，故①错误；

对②，若()()f a f b =，则,a b 可能相等，故②错误；

对③，若2

2

tan 3tan 2αβ=+，则

2222sin 3sin 2cos cos αβ

αβ

=+，即222222sin cos 3cos sin 2cos cos αβαβαβ=+，即

22222222sin cos cos cos 3cos sin 3cos cos αβαβαβαβ+=+，即22cos 3cos βα=，即223sin sin 2αβ-=，故③正确；

对④，()2

2221sin 4sin 141

41

x x

x x y x x +++=

=+

++，令()24sin 41x x g x x =++，则

()()g x g x -=，故()g x 是奇函数，()()max min 0g x g x ∴+=，

()()max min 112M N g x g x ∴+=+++=，故④正确.

故答案为：③④. 【点睛】

本题考查正切型函数的周期，考查同角三角函数的关系，考查奇函数的应用，解题的关键是正确利用三角函数的关键进行化简.

14．【分析】令可知为奇函数根据与为相反数即可求解【详解】令定义域关于原点对称且所以为奇函数则所以由奇函数性质可得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：首先要观察出中的部分为奇函数其次要能利用换底公式对数的运 解析：3-

【分析】

令tan ()a x g x =+，可知()g x 为奇函数，根据3lg log 10与lg lg3为相反数即可求解. 【详解】

令tan ()a x g x =+，,2

x k k Z π

π≠+

∈，定义域关于原点对称，

且()tan ()g x a x g x -=--=-， 所以()g x 为奇函数，

则31

(lg log 10)(lg

)(lg lg 3)(lg lg 3)15lg 3

f f f

g ==-=-+=， 所以(lg lg3)514g -=-=， 由奇函数性质可得(lg lg3)4g =-， 所以(lglg3)(lglg3)1413f g =+=-+=-， 故答案为：3- 【点睛】

关键点点睛：首先要观察出()f x

中的部分tan ()a x g x =+为奇函数，其次要能利用换底公式，对数的运算性质找到3lg log 10与lg lg3为相反数，借助奇函数的性质求解.

15．【分析】先求出由可求出利用单调性可得结合即可求解【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数因为所以因为函数在区间上是单调递增函数所以解得：因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是

解析：60,5⎛⎤

⎥⎝⎦

【分析】

先求出()sin 12g x x πω⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

，由0,

2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

可求出5121212x πππωωω⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，利用单调性可得122

512

2π

πωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，结合0>ω即可求解.

【详解】

将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移

12

π

个单位长度得到

函数()sin 12g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝

⎭,

因为02

x π

≤≤

，所以512

1212

x π

ππ

ωωω⎛

⎫-

≤-

≤

⎪⎝

⎭， 因为函数()g x 在区间0,

2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上是单调递增函数， 所以122

512

2π

πωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：66

5ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，因为0>ω，所以605ω<≤， 故答案为：60,5

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是由x 的范围求出12x πω⎛⎫

-

⎪⎝

⎭

的范围，将12x πω⎛⎫

-

⎪⎝

⎭

看成一个整体让其满足正弦函数的单调递增区间，即可得其满足的条件.

16．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通

解析：4或-4. 【分析】 由题意可得()23

f x f x π⎛⎫+

= ⎪⎝

⎭

，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛

⎫+=- ⎪⎝

⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得

6f π⎛⎫

⎪⎝⎭

的值. 【详解】

∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫

+=- ⎪⎝

⎭

， ∴()23

f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝

⎭

，故函数()f x 的周期为23π， ∴

22=

3

π

π

ω

，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛⎫

+

=- ⎪⎝

⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

， 即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ. 则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫

+==±

⎪⎝⎭

. 故答案为： 4或-4. 【点睛】

求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；

()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.

17．2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式然后利用正弦函数的周期求解注意题中已知条件是函数的一个周期是并没有说是最小正周期因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数都可满足题意【详解】

解析：2（答案不唯一） 【分析】

把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条

件是函数的一个周期是π，并没有说π是最小正周期．因此只要函数的最小正周期是π除以一个正整数，都可满足题意． 【详解】

1

()sin cos cos

sin sin

(1cos 3

3

2

f x x x x x x π

π

ωωωωω=+-=-

+，

令cos

ϕ=

sin ϕ=，且ϕ为锐角，

则()sin()f x x ωϕ=+，

由2T π

πω

=

=，得2ω=，

实际上，由2T π

πω=

=得2ω=±，或者2k

ππω=（k Z ∈且0k ≠），2k ω=（k Z ∈且0k ≠），ω可为任意一个非零点的偶数． 故答案为：2．（填任一非0的偶数都可以）． 【点睛】

关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解．而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期．

18．②④【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案【详解】①要得到的图象应将的图象向左平移个单位长度所以①错误；②令解得所以直线是的一条对称轴故②正确；③令解得因为所以在定义域内的单

解析：②④ 【分析】

结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】

①要得到()5sin 2g x x =的图象，应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛

⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝

⎭⎣⎦的图象向左平移

π

8个单位长度，所以①错误；②令ππ2π42

x k -=+，k ∈Z ，解得3ππ82k x =

+，k ∈Z ，所以直线3π8

x =是()y f x =的一条对称轴，故②正确；③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+，k ∈Z ，解得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,8

8⎡⎤

--⎢⎥⎣⎦，所以③

错误；④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝

⎭⎣⎦是奇函数，所以该说法正确. 【点睛】

本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对

()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握，属于中档题.

19．【分析】由周期公式可得由三角函数的中心对称可得结合即可得为奇数即可得由可得进而可得即可得解【详解】由可得由是奇函数可得函数的图象关于中心对称所以即又所以所以为奇数由可得因为在上没有最小值所以即故答案

解析：511,612ππ⎛⎤

⎥⎝⎦

【分析】

由周期公式可得ω，由三角函数的中心对称可得,3k k Z π

ϕπ=+∈，结合()06f f π⎛⎫

< ⎪⎝⎭

即可得k 为奇数，即可得()sin 23πf x x ⎛

⎫

=-

⎪⎝

⎭

，由[)0,x t ∈可得2,2333x t π

π

π⎡⎫-

∈--⎪⎢⎣⎭，进而可得432332

t πππ<-≤，即可得解. 【详解】 由T π=可得22T π

ω=

=，()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝

⎭

由3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝

⎭是奇函数可得函数()f x 的图象关于,03π⎛-⎫

⎪⎝⎭中心对称， 所以2,33k k Z ππϕπ⎛⎫

⨯-

++=∈ ⎪

⎝⎭

，即,3k k Z πϕπ=+∈， 又()06f f π⎛⎫< ⎪

⎝⎭

，所以2sin sin 33ππϕϕ⎛⎫⎛⎫

+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 所以,3k k π

ϕπ=

+为奇数，()sin 2sin 2333f x x k x ππππ⎛⎫⎛

⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，

由[)0,x t ∈可得2,2333x t π

π

π⎡⎫-

∈--⎪⎢⎣⎭

， 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，所以

432332t πππ<-≤即511,612t ππ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

. 故答案为：511,612ππ⎛⎤

⎥⎝⎦

. 【点睛】

本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.

20．【分析】根据图象得出函数的最小正周期可得出的值再将点代入函数解析式结合的取值范围可求出的值【详解】由图象可知函数的最小正周期则将点代入函数解析式得即因为函数在附近单调递减则得故答案为：【点睛】本题考 解析：6

π

【分析】

根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，可得出ω的值，再将点5,012π⎛⎫

⎪⎝⎭

代入函数解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值. 【详解】

由图象可知，函数()y f x =的最小正周期11521212T πππ⎛⎫

=⨯-=

⎪⎝⎭

，222T ππωπ

∴=

==， 则()()sin 2f x A x ϕ=+， 将点5,012π⎛⎫

⎪⎝⎭代入函数解析式得55sin 201212f A ππϕ⎛⎫⎛⎫

=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，即5sin 06πϕ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

， 因为函数()y f x =在512

x π=附近单调递减，则()526k k Z π

ϕππ+=+∈， 得()26k k Z π

ϕπ=

+∈，πϕπ-<<，0k ∴=，6

π

=ϕ. 故答案为：6

π

. 【点睛】

本题考查利用图象求三角函数解析式中的参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

三、解答题

21．（1）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）422,3x k x k k Z πππ⎧⎫-+<<∈⎨⎬⎩⎭

∣.

【分析】

（1）化简()f x ，应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论； （2）应用整体思想，运用正弦函数图像，建立不等式，即可求解. 【详解】