圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）
4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理图形已知结论证法
相交弦定
理
⊙O中，AB、CD为弦，交
于P.
PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：
△APC∽△DPB.
相交弦定
理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥AB
于P.
PC2＝PA·PB.用相交弦定理.
切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，
割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB连结TA、TB，证：
△PTB∽△PAT
切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，
交⊙O于A、C
PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用
两次切割线定理
圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于
A，CD为弦P'C·P'D＝r2－
OP'2
PA·PB＝OP2－r2
r为⊙O的半径
延长P'O交⊙O于M，延
长OP'交⊙O于N，用相交
弦定理证；过P作切线用
切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直 线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相 等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆 外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆 外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5） 圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定 理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦 定理 ⊙O中，AB、CD为 弦，交于P. PA·PB＝ PC·PD. 连结AC、BD，证： △APC∽△DPB.
相交弦定理的推论⊙O中，AB为直 径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB.用相交弦定理. 切割线定理⊙O中，PT切⊙O于 T，割线PB交⊙O于 A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两 条割线，交⊙O于 A、C PA·PB＝ PC·PD 过P作PT切⊙O于 T，用两次切割线定 理 圆幂定理⊙O中，割线PB交 ⊙O于A，CD为弦 P'C·P'D＝r2－ OP'2 PA·PB＝OP2－ r2 r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于 M，延长OP'交⊙O 于N，用相交弦定理 证；过P作切线用 切割线定理勾股定 理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
弦切角定理及其推论
弦切角定理及其推论 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 证明：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 弦切角定理推论：两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。 应用举例：
第一个算出地球周长的人 ──埃拉托色尼 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼。 埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。 细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。 埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解 南江石 2018年4月7日星期六 圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。 圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。 圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。 弦是割线的部分线段。 公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。 公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。 几何原理 几何原理 共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线 4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点 3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点 共割线上任意一点到圆的 4个切线的长度相等，4切点共圆 共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆 圆幂定理 是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。 圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。 点对圆的幂 P 点对圆O 的幂定义为 2 2 R OP F B 性质
点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 PB PT PT PA = PB PA PT ?=2 222Am Pm PT -= 割线定理（切割线定理的推论） 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 PD PC PB PA ?=? 2222Cn Pn Am Pm -=- 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 PD PC PB PA ?=? 2222A Pn Cn Pm m -=- 垂径定理（相交弦定理推论） 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 PB PC PC PA = PB PA PC ?=2 222OP R PC -= P 点在圆外，切割线定理、割线定理 2222222Cn Pn Am Pm R OP PD PC PB PA PT -=-=-=?=?= P 点在圆内，相交弦定理、垂径定理 222222Pn Cn Pm Am OP R PD PC PB PA -=-=-=?=? 222OP R PB PA PC -=?=
切割线定理(一)(含解析)
切割线定理（一）? 2011 菁优网
一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分） 1、（10分）（2010?江汉区）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC 的外接圆的半径为r． （1）若∠E=30°，求证：BC?BD=r?ED； （2）若BD=3，DE=4，求AE的长． 2、（10分）（2009?淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD． （1）求BD的长； （2）求∠ABE+2∠D的度数； （3）求的值． 3、（10分）（2008?苏州）如图，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T． （1）求证：AK=MT； （2）求证：AD⊥BC； （3）当AK=BD时，求证：． 4、（10分）（2008?濮阳）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC； （2）当时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值．
5、（10分）（2007?厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP， （1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数； （2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点， ①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD； ②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由． 6、（10分）（2007?天津）如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于 C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5． （1）求PE的长； （2）求△COD的面积． 7、（10分）（2007?庆阳）如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B 作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长． 8、（10分）（2007?河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点 （P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E． （1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）； （2）求四边形CDPF的周长； （3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF?FG=CF?OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．
弦切角定理证明方法
弦切角定理证明方法 弦切角定理证明方法连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。得oc‖ad，知∠oca=∠cad。 而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。进而有∠oac=∠bac。 由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。 连接bc，且作ce⊥ab于点e。立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。 由射影定理有ac2=ae*ab。又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea ≌△cda，有ad=ae，所以，ac2=ab*ad。 第一题重新证明如下： 首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。
连接oa、oc、bc，则有 ∠acd+∠aco=90° = = =∠aco+∠aoc, 所以∠acd=∠aoc， 而∠cba=∠aoc， 得∠acd=∠cba。 另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab， 所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。 2 证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。 ∵∠tcb=90-∠ocb ∵∠boc=180-2∠ocb ∴,∠boc=2∠tcb ∵∠boc=2∠cab ∴∠tcb=∠cab 证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o 的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.
求证： 证明：分三种情况： 圆心o在∠bac的一边ac上 ∵ac为直径，ab切⊙o于a， ∴弧cma=弧ca ∵为半圆, ∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部. 过a作直径ad交⊙o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab ∴∠cea=∠cab ∴ 圆心o在∠bac的外部, 过a作直径ad交⊙o于d 那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90 ∴∠cda=∠cab ∴ 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两
相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练
相交弦定理、切割线定理、割线定理 一、单选题 1．如图，与切于点，是的割线，如果， 那么的长为（） A． B． C． D． 2．是外一点，切于，割线交于点、，若， 则的长是（） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则 DE=_____． 4．如图⊙的半径为，弦，的长度分别为，，则弦，相交所 夹的锐角__________． 5．已知弦和弦相交于内一点，，，，则________． 6．如图，的直径与弦相交于点，若，，，则________． 7．如图，切于，是的割线，如果，，则的长为________．
8．如图，、是的割线，，，，则 ________． 9．如图，是的切线，为切点，是的割线，，， 则________． 三、解答题 10．如图，在半径为的中，直径与弦相交于点，，．求的大小； 求弦的长． 11．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦CD长． 12．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD=CB，求证：AB=CD．
13．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 14．如图，中，弦与弦相交于点，且．求证：． 15．如图，⊙O与割线AC交于点B，C，割线AD过圆心O，且∠DAC=30°．若⊙O的半径OB=5，AD=13，求弦BC 的长．
参考答案 1．B 2．C 3．． 4．75°． 5． 6． 7． 8．9 3 9．5 10．(1)；(2). CD 11．235 12．详见解析. 13．215 14．详见解析. 15．6．
椭圆中的“类切割线定理”
椭圆中的“类切割线定理” ——2016 年高考四川卷理科第20 题 江苏省东海县教师进修学校徐明 【原题呈现】 22 xy （2016年全国高考四川卷理科第20题）已知椭圆E: 2 2 1（a b 0）的两个焦点与短ab 轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y=－x+3与椭圆E有且只有一个公共点T. （I）求椭圆E的方程及点T的坐标； （II ）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P. 证明：存在常数，使得|PT |2 |PA| |PB |，并求的值. 【考情综述】 在高考中，解析几何综合题的地位是无人可以撼动的，无论是四川卷还是其它省市卷或全国卷，解答题中必有它的身影，并且往往还是以压轴题（倒数第二题）的身份出现．究其原 因，是其在中学数学中的地位决定的．解析几何倡导用代数方法研究几何问题，把代数的知识和方法系统地用于研究几何之中，数形结合的思想和方法使代数、几何获得统一．通过解析几何学习，可以使学生对已学知识融会贯通，把数和形的研究紧密地结合起来，提高综合应用数学知识的能力．同时，系统地掌握解析几何的基础知识，也会为今后学习高等数学奠定坚实的基础． 就全国高考四川卷中的解析几何综合题而言，近三年的理科试题都位于整卷第20 题的 位置，统一以直线与椭圆的位置关系为素材，主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法，并考查数学思维的严谨性、深刻性与灵活性． 从考查内容看，试题同样以两问的形式进行设置，第一问一般是“求椭圆的方程”，这一问都是送分题，往往是要求考生熟练掌握椭圆的标准方程和简单几何性质．如2013 年“已知椭圆的焦点坐标，椭圆过定点，求椭圆的离心率”；2014 年“已知椭圆的焦距，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，求椭圆的方程”；2015 年“已知椭圆的离心率，过特 殊点的特殊直线被椭圆截得的弦长（本质是椭圆过定点），求椭圆的方程”等．由此可见，今年的第一问设置较前几年难度有所增加，其难度在于：第一问中就要动用直线与椭圆联立方程组，使用“判别式”，无形中增加了运算量． 试题的第二问才是试题或者整卷中的“亮点”，也是难点，是考生发挥能力的“舞台”．这一问往往以定量或定性的方法研究直线与椭圆间形成的某指定几何元素或结构间的关系，要求考生灵活进行转化与化归、准确进行运算与求解、严密进行推理与论证．如2013 年“过定点的动直线与椭圆交于Ｍ，Ｎ两点，求线段MN 上满足221212的Q 点轨迹|AQ|2 |AM |2 |AN |2 方程”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式，正确处理参数关系，从定量运算中探索动点的定性特征；2014 年“F 为椭圆左焦点，T 为左准线上动点，过F 作TF 的垂线交椭圆于点P,Q，证明OT 平分线段PQ，求|TF |最小值”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式、|PQ| 斜率公式，除作定性分析外，还会用基本不等式对相关数据进行最值求解； 2015 年“是否存 在与定点P不同的定点Q，使得|QA| |PA |恒成立”，在要求考生熟练运用韦达定理的同时，|QB| |PB | 对考生转化与化归的能力提出较高要求．相比较而言，今年的第二问回到了对“韦达定理、弦长公式”的考查上，特别是动因的减少（定直线上已知斜率的动点），降低了试题的思维强度． 虽然今年是全国高考四川省自主命题的最后一年，解析几何综合题延续了自己的风格，但在今后的全国高考中，解析几何综合题的难度依然不会降低，考查的重点依然会聚焦在定点、定值问题，范围、最值问题等问题上，核心方法依然是“设而不求”，在进行弦长、斜率、距离等几何量的计算过程中巧妙运用韦达定理，只是考查内容有可能从椭圆的“一枝独秀”，发展到与抛物线“争奇斗艳”． 【考点解读】 在《2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理）考试说明》中，对圆锥曲线的考试
初三数学相交弦定理和切割线定理人教版
初三数学相交弦定理和切割线定理 一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理 二. 重点、难点： 1. [例 BP [例 证明： 作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4 由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF 由切割线定理，CB CA CE ?=2 DA DB DF ?=2 ∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 2 2 DF CE = CE=DF ∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ???（AAS ） ∴ CM=MD [例3] 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。 解：
设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ?=? 即x x )8(43-=? 61=x ，22=x （舍） 由切割线定理，BP AP PT ?=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +?= ∴ )7(6)4(2 2 ++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解： 连AB ，∴ ∠1=∴ EF CE =由切割线定理得：1441692 =?=?=CF CB AC ∴ AC=12 [例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证： （1）PB PA PC ?=2 （2）若证明： （1）延长CP
解： （2）易知32 1 == OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ?=?，即27)63(3)3(=+?=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ?中有20462 2 2 =-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+ =x y 代②得，0203 162=-+x x ∴ 0601632 =-+x x ，3 61 28±-= x （舍负） ∴ AP 长为 3 61 28+- [例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE= 2 5 ，求AB 长。 解： 设⊙O 半径为r ，DE=a ，延长BO 交⊙O 于K 由相交弦定理，ED CE BE EK ?=?，故a r r 3)2 5)(25(=-+ ① 由AB 切⊙O 于B 知BE AB ⊥，故AD AC EB AE AB ?=-=2 2 2 ∴ )6(3)2 5(62 2 a r +=-- ② 由②—①得：018522 =--r r ，2 9 1= r ，22-=r （舍） ∴ 32)2 529(62 22=--=AB ，AB=24 [例7] 如图，⊙O 中直径AE ⊥BF ，M 为OE 中点，BM 延长交⊙O 于C ，连AC ，求ABC ?中三个内角的正切值。 解：易知?=∠= ∠452 1 BOA C ∴ 145tan tan =?=C 连CF 、CE ∵ BF 为直径 ∴ ?=∠90BCF 又 ∵ ?=∠90BOM ∴ BCF BOM ??~
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA 长） 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . （特殊情况） 用相交弦定理.
切割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 （记忆的方法方法） 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延 长OP'交⊙O 于N ，用相交 弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。 图1 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt△ADE 中，由勾股定理 ∴， ，
中考专题切线长定理及弦切角定理
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理 【知识要点】 1.切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论： （1）PA=PB （2）PO⊥AB,且PO平分AB （3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠ 2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 【典型例题】 【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______. 图1 图2 图3 举一反三： 1.如图2，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，C为AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 2.如图3，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 举一反三： 1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB C B O A D C B A D P O
P B A O 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC . 【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为 A ．1 个； B ．2个； C ．4个； D ． 5个． 【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 举一反三： 1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 2．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．
弦切角定理证明
弦切角定理证明 弦切角定理证明弦切角定理 编辑本段弦切角定义 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。 编辑本段弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） ∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍) ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况：
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴(弦切角定理) (3)圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴(弦切角定理) 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°, AB=a 求BC长.
圆幂定理及其证明
圆幂定理 圆幂的定义:一点P 对半径R 的圆O 的幂定义如下：22 OP R - 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。 （1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。所以△APD ∽△BPC 。所以 AP PD AP BP PC PD PC BP =??=? （2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点 的两条线段长的比例中项。 如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以 2PT PA PT PA PB PB PT =?=? （3） 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD 。 这个证明就比较简单了。可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。证相似。
存在：PA PB PC PD ?=? 进一步升华（推论）： 过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于 A 、 B （可重合，即切线），L2与圆交于 C 、 D 。则PA·PB=PC·PD 。若圆半径为r ，则 2222()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ?=-?+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P 到圆O 的幂。（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P 在圆内，类似可得定值为2222||R PO PO R -=- 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）
怎样证明弦切角
怎样证明弦切角 怎样证明弦切角设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d， 则∠tcb=∠cda ∵∠tcb=90-∠ocd ∵∠boc=180-2∠ocd ∴,∠boc=2∠tcb ∵∠boc=2∠cab ∴∠tcb=∠cab 2 接oboc过o做oe⊥bc 所以∠a=1/2 又因为∠oct=90° ∠oec=90° 所以∠eoc=∠tcb
所以∠tcb=∠a 3 温馨提示 设切点为a切线ab弦ac圆心为o 过a作直径ad连oc 角cab等于90度减角dac 因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac 即可证明角aoc等于二倍的角cab 参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半 4 线段ad与线段ef互相垂直平分。 证明:设ad交ef于点g. 因为ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pac=∠b， 又因为ad平分∠bac，所以∠dac=∠bad， 从而∠pac+∠dac=∠b+∠bad, 而∠pac+∠dac=∠pad， ∠b+∠bad=∠pda，所以 ∠pad=∠pda，则△pad为等腰三角
形， 因pm平分∠apd，所以pm垂直平分ad，则ef垂直平分ad， 从而ad垂直ef， 则∠age=∠agf=90°， 再由∠gaf=∠gae，得到 △eag≌△fag， 从而eg=fg，从而ad也垂直平分ef。 5 圆心o在∠bac的一边ac上 ∵ac为直径，ab切⊙o于a， ∴弧cma=弧ca ∵为半圆, ∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部. 过a作直径ad交⊙o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab ∴∠cea=∠cab ∴ 圆心o在∠bac的外部,
圆幂定理及其证明
圆幂的定义 假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂； 若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2； 综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。 圆幂恒大于或等于零。 圆幂的由来 过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。 圆幂定理 定理内容 过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有 。[1] 圆幂定理的所有情况 考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有
圆幂定理的证明 图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以 。所以有： ，即： 图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 ，同上证得 图Ⅲ：切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 易证
九年级数学相交弦定理和切割线定理知识精讲 人教四年制版
九年级数学相交弦定理和切割线定理知识精讲 一. 本周教学内容： 相交弦定理和切割线定理 二. 重点、难点： 1. 相交弦定理的使用特征。 2. [例 BP = [例 证明： 作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4 由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF 由切割线定理，CB CA CE ?=2 DA DB DF ?=2 ∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 2 2 DF CE = CE=DF ∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ???（AAS ） ∴ CM=MD [例3] 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。
解： 设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ?=? 即x x )8(43-=? 61=x ，22=x （舍） 由切割线定理，BP AP PT ?=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 2 2 TD BP AP PD +?= ∴ )7(6)4(22++=+y y y ∴ cm y 20= [例4] 若BC=9，AE=6解： 连AB ，∴ ∠1=∴ EF CE =由切割线定理得：1441692 =?=?=CF CB AC ∴ AC=12 [例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证： （1）PB PA PC ?=2 （2）若CM=MO=3，OP=4，求AP
由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ?中有20462 2 2 =-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+ =x y 代②得，0203 162 =-+ x x ∴ 0601632 =-+x x ，3 61 28±-= x （舍负） ∴ AP 长为 3 61 28+- [例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE= 2 5 ，求AB 长。 解： 设⊙O 半径为r ，DE=a ，延长BO 交⊙O 于K 由相交弦定理，ED CE BE EK ?=?，故a r r 3)2 5 )(25(=-+ ① 由AB 切⊙O 于B 知BE AB ⊥，故AD AC EB AE AB ?=-=2 22
4个圆幂定理及其证明
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王 * 相交弦定理 如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD 证明： 连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. A D C 切割线定理 如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC2=TA·TB 证明：连接AC、BC P
∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC ∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A 又∠ATC=∠BTC ∴△ACT∽△CBT ∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=A T·BT 弦切角定义： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明 证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D， 则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD ∴,∠BOC=2∠TCB 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 如图中，切线长AC=AB。
∵∠ABO=∠ACO=90° BO=CO=半径 AO=AO公共边 ∴RtΔABO≌RtΔACO（HL） ∴AB=AC ∠AOB=∠AOC ∠OAB=∠OAC 割线定理 如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* ∴由圆周角定理，得∠A=∠C 又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP∽△CBP ∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP 圆幂定理 圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
(完整版)弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理
弦切角定理及其应用 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 弦切角定义 图1 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。 弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 （2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧) 过A作直径AD交⊙O于D, E 若在优弧m所对的劣弧上有一点 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90° ∴∠CDA=∠CAB
∴（弦切角定理） 3弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与 点C，求证：∠CAB=∠CBA。 解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。 例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A 的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求 证：EF//BC. 证明：连接DF AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC 例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB 于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，
切割线定理
《正弦定理》说课稿 我说课的题目《正弦定理》，本节是人教版数学必修五第一章第一节第一课时，我把说课内容分成说教材、说教法与学法、说教学过程、说板书设计、说教学评价与反思五个部分。 一、说教材 1、教材分析 本节知识是高中数学必修五第一章《解三角形》第一节的内容，是同学们在学习了三角函数和向量知识的基础上引入的一节概念课，是学生学习解三角形、几何计算等后续知识的基础。是本章的重点内容。因此该节在教材中起着承上启下的作用。 我将本小节分为两个课时，这里我仅谈第一课时正弦定理的探究与推导。 2、学情分析 本节对学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制，根据以上特点，教师恰当引导，，带领学生直接参与分析问题、解决问题，让学生体会定理的形成过程，激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。 3、说教学目标 1.知识与技能：在创设的情境问题中，引导学生思考，根据直角三角 形边角关系发现正弦定理的内容。
2.过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的观察、猜想能力。 3.情感、态度与价值观：通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价， 调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣，让学生感觉数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。 4、说教学重点与难点 教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。 教学难点：正弦定理的探索与证明。 二、说教法与学法 1、教法：采发现式、探究式。 具体教学模式如下：创设问题情境—师生探究、合作、交流—得到结论、获得方法。 2、学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。 三、说教学过程 1、创设情境，激趣引入 2、探索新知，得出结论 3、回到情境，应用新知 4、归纳总结，提出思考 1·创设情景，激趣引入 2011年3月11日在日本发生地震，中国派遣救援队去日本支援，不久后菲
9年级数学--超经典圆的基本性质垂径定理弦切角定理切割线定理及相交弦定理
专题：圆的补充定理及基本性质 中考考点讲解及典型例题 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 1．圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1∶4，则另一弦长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm 2．⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=8，PB=9，①若PC=4，则PD=______，CD=______；②若PC=PD，则CD=______； ③若PC∶PD=2∶3，则PC=______，PD=______． 3．如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长是______． 4．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为（） A．x2+12x+28=0 B．x2－12x+28=0 C．x2－11x+12=0 D．x2+11x+12=0 5．如下图，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4， PB=2，则PC的长是（） A．2B．2 C．22D．3 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 6.弦切角分圆成两部分，其中一部分比另一部分大44°，求这个弦切角的度数 7.已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点 8.已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于 Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．
9．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数． 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项10. 如下右图，割线PAB、PCD分别交⊙O于AB和CD，若PC=2，CD=16，PA∶AB=1∶2，则AB=______．11．如下左图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC相交于D，连BD，若 BC=5－1，则AC=________． 综合题 12已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求BD的长． 圆的基本性质 垂径定理