数学建模供应链网络物流配送与车辆路径问题

供应链网络物流配送与车辆路径问题

配送是指对局域范围内的客户进行多客户、多品种、按时联合送货活动。配送活动是指根据一定区域范围内各个客户所需要的各个品种要求，对配送中心的库存物品进行拣选、加工、包装、分割、组配、分装上车，并按一定路线循环依次送达各个用户的物流活动。物流配送是供应链网络中一个重要的直接与消费者相连的环节，是货物从物流节点送达收货人的过程。配送是在集货、配货基础上，按货物种类、品种搭配、数量、时间等要求所进行的运送，是“配”和“送”的有机结合。配送的实质是现代送货，是以低成本、优质服务为宗旨，是一种先进的物流形式。

供应链网络的物流配送过程主要包括：从生产工厂进货并集结的集货作业；根据各个用户的不同需求，在配送中心将所需要的货物挑选出来的配货作业；考虑配送货物的质量和体积，充分利用车辆的载重和容积的车载货物的配装及路线的确定。随着供应链管理系统的集约化、一体化的发展，常将配送的各环节综合起来，核心部分为配送车辆的集货、货物装配及送货过程。进行配送系统优化，主要是配送车辆优化调度，包括集货线路优化、货物配装及送货线路优化，以及集货、货物配装和送货一体化优化。物流配送车辆优化调度，是供应链系统优化中关键的一环，也是电子商务活动不可缺少的内容。对配送车辆进行优化调度，可以提高供应链管理的经济效益、实现供应链管理科学化。

配送车辆优化调度实际上也就是车辆路径问题（V ehicle Routing Problem ，简称VRP ），是Dantzig 和Ramse ]80[于1959年提出来的，该问题被提出来之后，很快就引起了运筹学、应用数学、组合数学、图论、网络分析、物流学、管理学、以及计算机科学等学科专家和运输计划制订者的极大重视，成为了运筹学和组合优化领域的前沿和研究热点问题。各学科专家对该问题进行了大量的理论研究及实验分析，取得了很大的进展。

车辆路径问题是径旅行商问题（Travel Salesman Problem ，简称TSP ）衍生而出的多路TSP 问题，即为K-TSP 。VRP 的一般定义为]81[：对一系列送货点和（或取货点），组织适当的行车路线，使车辆有序地通过它们，在满足一定的约束条件下（如货物需求量、发送量、交发货时间、车辆容量限制、行驶里程限制、时间限制等），达到一定的目标（如路程最短、费用最少、使用车辆数最少等）。见图1。

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图1 车辆路径问题示意图

物流配送车辆路径问题可以归纳为一般网络模型：设G＝(V,E,A)是一个连通的混合网络，V是顶点集（表示物流中心、客户、停车场等），E、A分别为无向的边集和有向的弧集，E中的边和A中的弧均被赋权（可以表示配送的距离、时间或费用），V1、E1、A1分别为V 、E、A的子集，求满足约束条件（包括客户的货物需求或供应数量约束、需求或供应时间约束、配送车辆一次配送的最大行驶距离约束、车辆的最大载重量约束等），并包含V1

、、E1、A1的一些巡回路线，使目标函数取得优化，目标函数可以取配送总里程最短、配送车辆总吨位公里数最少、配送总费用最低、配送时间最少、使用的配送车辆数最少、配送车辆的满载率最高等。

一、车辆路径问题的分类

1.车辆路径问题的目标函数和约束条件

(1) 目标函数

对配送车辆路径的问题，可以选用一个目标，也可以选用多个目标。经常选用的目标函数有：

·配送总里程最短

配送里程与配送车辆的耗油量、磨损程度以及司机疲劳程度直接相关，它直接决定运输成本，对配送业务的经济效益有很大影响。

·配送车辆的吨位公里数最小

该目标将配送距离与车辆的载重量结合起来考虑，即以所有配送车辆的吨位数（最大载重量）与行驶距离乘积的总和最少为目标。

·综合费用最低

降低综合费用是实现配送业务经济效益的基本要求。在配送中，与取送货物有关的费用包括：车辆维护和行驶费用、车队管理费用、货物装卸费用、相关工作人员工资费用等。

·准时性最高

由于客户对交货时间有较严格的要求，为提高配送服务质量，有时需要将准时性最高的作为确定配送路线的目标。

·运力利用最合理

该目标要求使用较少的车辆完成配送任务，并使车辆的满载率最高，以充分利用车辆的装载能力。

·劳动消耗最低

即以司机人数最少，司机工作时间最短为目标。

(2) 约束条件

配送车辆路径问题应满足的约束条件主要包括：

·满足所有客户对货物品种、规格、数量的要求；

·满足客户对货物发到时间范围的要求；

·在允许通行的时间进行配送（如有时规定白天不能通行货车等）；·车辆在配送过程中的实际载重量不得超过车辆的最大允许载重量；·在配送中心现有运力范围内。

2. 车辆路径问题的分类

现实中的物流配送车辆路径问题是一个非常复杂的问题，

根据车辆路径问题的构成要素将车辆路径问题分为以下几类]111[：

(1) 按配送中心的数目分

·单配送中心问题，即只有一个配送中心；

·多配送中心问题，既有两个或两个以上的配送中心。

(2) 按车辆载货状况分

·满载问题，即客户需求或供应的货物大于或等于车辆的载重量，完成一项配送任务需要一辆或一辆以上的配送车辆，且配送车辆需要满载运行；

·非满载问题，即客户需求或供应的货物小于车辆的载重量，多项配送任务可以用一辆配送车辆，且配送车辆常处于非满载状态；

·混载问题，即满载和非满载混合问题。

(3) 按配送任务分

·纯送货问题，即纯卸货问题，只考虑由配送中心向客户送货；

·纯取货问题，即纯装货问题，只考虑将客户供应的货物取到配送中心；

·取送混合问题，即装卸混合问题或集货和送货一体化问题。

(4) 按客户对货物取（送）时间的要求分

·无时限问题，即客户对货物的取（送）的时间无具体要求；

·有时限问题，又称有时间窗问题，即客户要求在规定的时间内完成交易。同时有时间窗问题又分为硬时间窗问题和软时间窗问题，硬时间窗问题即对客户的交易必须在规定的时间内完成；软时间窗问题即对客户的交易尽量在规定的时间内完成，否则对配送企业给予一定的惩罚。

(5) 按车辆类型分

·单车型问题，即所有配送车辆的载重量、最大行驶里程及其他性能均相同；·多车型问题，即配送车辆的载重量、最大行驶里程及其他性能不相同。(6)按车辆对车场的所属关系分

·开放式车辆路径问题，即车辆完成任务后可以不返回其出发的车场；

·封闭式车辆路径问题，即车辆完成任务后必须返回其出发的车场。

(7) 按优化目标分

·单目标问题，即仅考虑一个配送目标；

·多目标问题，即同时考虑多个配送目标。

二、车辆路径问题的数学模型

1. 单车场车辆路径问题

设配送中心编号为0，客户编号为N ,,2,1 ，配送中心0有K 辆配送车辆，每辆的载重量为Q ，需要向N 个客户送货，客户i 的需求量为i q ),,2,1(N ，客 户i 到j 的距离为ij c ),,2,1,(N j i ，配送中心到各客户的距离为oj c ,2,1( j ， )N ，另外，令

1ki y 否则完成的任务由车辆客户k i (1) 01x ijk

否则行驶到客户从客户车辆j i k (2) 则车辆路径问题的数学模型为：

N i N j K

k ijk ij x c 111min Z ＝ (3)

s.t Q y q ki N

i i 1

(},,2,1{K k ) (4)

11

K

k ki y

(N i ,,2,1 ) (5) kj N

i ijk y x 1

(k N j ;,,2,1 ) (6) ki N

j ijk y x 1

(k N i ;,,2,1 ) (7) hk S i S

j ijk y x

( k S h V S ,,0\) (8) 1,0 ijk x

(k N j i ;,,2,1, ) (9) 1,0 ki y

(k N i ;,,2,1 ) (10)

式（1）、（2）表示变量约束；式（3）表示目标函数为车辆行驶的最短距离和；式(4)表示分配给每一辆车的客户需求量之和不大于车辆的最大装载量；式(5)表示每个客户只能由一辆车配送；式（6）、（7）表示两个变量之间的约束关系；式（8）表示为保证车辆k 的行驶路线的连通性，避免出现与配送中心分离的路线，它可以用支路消去约束代替，即

S x

S i S j ijk k N S N S ;12,,,2,1

多车场车辆路径问题（Multiply－Depot V ehicle Routing Problem，简称MDVRP）是基本车辆路径问题（V ehicle Routing Problem, 简称VRP）的推广，指的是有多个车场同时对多个客户送货，各客户有一定的货物需求，每个车场都可提供货物，并且由车队负责执行运输任务，要求对各客户的车辆和行驶路线进行适当的安排，在保证满足各客户需求的前提下，使总的运输成本最低。

多车场车辆路径问题比单车场车辆路径问题更具有一般性，更接近于现实生活，具有更广泛的应用背景。随着现代商业的发展，许多大型的企业均建立了多配送中心。因此，研究多车场车辆路径问题对促进现代商业的发展有重要的意义。

多车场车辆路径问题可描述为：有M 个车场，各自拥有容量为Q 的车),,2,1(M m K m 辆，负责对N 个客户进行货物分送工作；客户i 的货物需求量为i q ，Q q i ，客户i 和客户j 之间的运输成本为),,2,1,(N j i d ij ，每个客户

可以由任意一个车场的车辆服务，但只能由一辆车服务一次，每辆车完成任务后必须返回原车场，要求一合适的车辆调度方案，使各车场的车辆能满足所有客户的要求，并使车辆的总运输成本最低。

设客户的编码为N ,,2,1 ，车场编码为M N N N ,,2,1 ，定义变量

1mk

ij x 否则行驶到客户从客户的车辆车场j i k m (11) 则多车场车辆路径问题的数学模型为：

mk ij M N i M

N j M m K k ij x d Z m 1111min (12)

s.t m N j K k mk ij K x m

11

M N N N m i ,,2,1, (13) 11

1 N

j mk

ji N j mk ij x x

M N N N m i ,,2,1,

m K k ,,2,1 (14) 1111

M N j M m K k mk

ij m x

N i ,,2,1 (15) 1111 M N i M m K k mk

ij m x

N j ,,2,1 (16)

Q x q mk ij N i M N j i

11 M N N N m ,,2,1

m K k ,,2,1 (17)

011 M N N j mk ij M

N N j mk ji x x M N N N m i ,,2,1

m K k ,,2,1 (18)

{0,1}mk ij x (19) 模型中，式(12)表示目标函数，即最短路径长度；式(13)表示各车场派出的车辆数目不能超过该车场所拥有的车辆数；式(14)确保车辆都是从各自的车场出发，并返回原车场；式(15)、( 16)保证每个用户只能被一辆车服务一次；式（17）定义了车辆容量约束；（18）式表示车辆不能从车场直接到车场。