【解】 )128(2 1 642122++=++= x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x 以 为中间值，取x 的一些值，列表如下： … …【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表 【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表； (3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时， 7min -=y 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b ，2029)5(4 31)5(44422=-?-?-?=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103( ，对称轴为2029=x 05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值20 29 =maz y
二次函数y=x2的图像的画法
26.1 二次函数（2） 教学目标： 1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 重点难点： 重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象) 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、范例 例1、画二次函数y=x2的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函
数对应值表： (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，
二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质 一、基本概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）
3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：
2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数 ()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数 2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，， ()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数 2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
二次函数图像的画法
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数y＝ax^2的图像的画法 用描点法画二次函数y＝ax^2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。 用描点法画出二次函数y＝x^2的图像，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线y＝x^2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x 2有最低点.所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a>0时，y＝ax^2的图像 当a<0时，y＝ax^2的图像
二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax^2; y=ax^2+K y=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (0，K) (h，0) (h，k) (-b/2a，4ac-b^2/4a) 对称轴 x=0
x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+ h)²+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x -h)²+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。 因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2; +k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方
一元二次函数图像
一元二次函数图像一、一元二次函数型式 y=ax2+ｂx＋c或ｆ(x)＝ax2＋bx＋c 二、一元二次函数图像画法 1、形状:抛物线 2、开口:ａ＞0,开口向上;a＜0,开口向下 3、对称轴:x＝- 4、与x轴得交点:方程得根 5、最大最小值: 三、例题 1、y＝x２—５ｘ＋6 解:a＝1,开口向上 对称轴:x=－＝ 方程根:x2-5x＋６=0 ｘ=２或x=3 最小值:=— 2、y=ｘ2＋5x+6 解:ａ=1,开口向上 对称轴:ｘ=-＝－ 方程根:x2＋5x+６=0 x=—２或ｘ=—3 最小值:=- 3、y＝－x2+5ｘ－6 解:ａ＝－１,开口向下 对称轴:ｘ=－= 方程根:－x2+5x-６＝0 x=2或x＝3 最大值:= 4、y=－ｘ２－５x-6 解:a＝－1,开口向下 对称轴:x＝—＝— 方程根:—x2－５x－6＝0 ｘ＝-2或x＝－3 最大值:＝ 5、ｙ＝ｘ2-２ｘ 解:a=1,开口向上 对称轴:ｘ＝－＝1 方程根:x2－2x=0 x=0或x=2 最小值:=－1 6、y＝－ｘ2—2x 解:ａ＝－1,开口向下 对称轴:x=—=—1 方程根:－x２—２x＝0
x=０或x＝－2 最大值:=1 7、y＝x2－2x+1 解:a＝1,开口向上 对称轴:x=—＝1 方程根:ｘ2—2x+1=０ x＝1 最小值:=0 8、y＝—ｘ2+2x－１ 解:a＝－1,开口向下 对称轴:x＝—=1 方程根:—x２＋２x－１=0 ｘ=1 最大值:=0 9、ｙ＝x2 解:ａ=１,开口向上 对称轴:x＝-＝0 方程根:x２=0 x＝0 最小值:=0 10、y＝—x2 解:a＝－１,开口向下 对称轴:x=-=0 方程根:—x２=0 ｘ=０ 最大值:＝0 11、y＝ｘ2+x+1 解:a＝1,开口向上 对称轴:x＝－＝－ 方程根:△〈0,方程无解 最小值:＝ 12、y＝－x2+x－1 解:a＝-1,开口向下 对称轴:x＝－= 方程根:△<0,方程无解 最大值:=— 一元二次函数图像题 1、y=x2－７x＋10 2、ｙ=x2＋3x+2 3、y=—x２+７ｘ-12 4、ｙ＝－x2—６x—8 5、y=x2+７x 6、y=－x2+7x 7、ｙ＝x2+4x＋4
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
中考2018数学知识点：二次函数的图像及画法
中考2018数学知识点：二次函数的图像 及画法 新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《中考2018数学知识点：二次函数的图像及画法》，仅供参考！ 二次函数的图像及画法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数y=ax^2的图像的画法 用描点法画二次函数y=ax^2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。
用描点法画出二次函数y=x^2的图像，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线y=x^2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y=x2有最低点.所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a>0时，y=ax^2的图像 当a 二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式
y=ax^2; y=ax^2+K y=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (0，K) (h，0) (h，k) (-b/2a，4ac-b^2/4a)
《二次函数的图像及画法》知识点整理
《二次函数的图像及画法》知识点整理在平面直角坐标系中作出二次函数=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数＝ax^2的图像的画法 用描点法画二次函数＝ax^2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。 用描点法画出二次函数＝x^2的图像，它是一条关于轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线＝x^2关于轴对称，所以轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线＝x2的顶点是图象的最低点因为抛物线＝x2有最低点所以函数＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a>0时，＝ax^2的图像 当a<0时，＝ax^2的图像 二次函数=ax^2;，=a^2;，=a^2+，=ax^2+bx+的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式 =ax^2;
=ax^2+ =a^2; =a^2+ =ax^2+bx+ 顶点坐标 对称轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，=a^2;的图象可由抛物线=ax^2;向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,>0时，将抛物线=ax^2;向右平行移动h 个单位，再向上移动个单位，就可以得到=a^2+的图象； 当h>0,<0时，将抛物线=ax^2;向右平行移动h 个单位，再向下移动||个单位可得到=a^2-的图象； 当h<0,>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动个单位可得到=a?+的图象； 当h<0,<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，
