辅助角公式运用
辅助角公式运用
辅助角公式
()
cos sin
a b
θθθφ
+=+，其中φ称为辅助角
且
sinφ
=
，cosφ
=. （圆与椭圆的参数方程实际上
也是辅助角关系，而且它们的辅助角有着特别的几何意义）辅助角公式针对的实际上是同角的正弦与余弦之＂和＂结构，这个结构可以把它们集中为单一函数形式，从而方便求出相应的一些性质．
例：已
知sin cos
x y
θθ
-=，
22
2222
sin cos1
a b x y
θθ
+=
+
.证明
22
221
x y
a b
+=
解一
：sin cos1 x y
θθθθ
-=⇔=.
记cosα
=
，sinα
=. 则()
sin1
θα
-=，
2,
2
k k Z
π
θαπ
-=+∈，2,
2
k k Z
π
θαπ
=++∈.所以2222
2222
s i n c o s c o s s i n a b a b
θθαα
+=+，所以
22
2222
cos sin1
a b x y
αα
+=
+
，结合cosα
=
sinα
=得
22
22
1
x y
a b
+=.
解二：由sin cos
x y
θθ
-=()2
cos sin0
x y
θθ
+=. cos sin
x y
θθ
=-，所以2222
cos sin
x y
θθ
=
又
22
2222
sin cos1
a b x y
θθ
+=
+
，所以
()()
222222
22
sin cos
1
x y x y
a b
θθ
++
+=
故22
221x y a b
+= 例1 （2011浙江省）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则 2x y +的最大值是
解： 由2
2
41x y xy ++= 得 2
21521416y x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭
设 2cos 4y x θ+
=，sin 4
y θ=， 则
322cos
44y x y x y θθ+=++=+≤=
例2.锐角A ，B 满足sin cos
A B B +=求s i n
t a n A B 的
值.
解：根据辅助角公式，得 sin cos A B B ≤
又 sin cos
A B B =
所以
≤化简 ，得 24sin 4sin 10A A -+≤ .即()2
2sin 10A -≤. 所以 1sin 2A =
，因为A ，B 为锐角，所以6
A π=，
所以 cos 2sin B B +=，得tan 2B =，故sin tan A B =1
例3 已知⎪⎭⎫
⎝⎛∈20πβα，，，且()βαβα+=+sin sin sin 22。求证：
2πβα=+ 分析：表面上看，题目很难与辅助角公式存在什么关系, 但仔细分析条件关系式，涉及四个量值:sin α、sin β、cos α、cos β正是正弦余弦的同时
存在状态，使其可以联结到辅助角公式的结构特点. 证明：由 ()βαβα+=+sin sin sin 22 得：
()αβααcos sin sin sin ∙-∙+()βαββcos sin sin sin ∙-∙0=
(
)sin sin sin cos ααβααα∙-∙=
(
)sin sin sin cos ββαβββ∙-∙=∴βα22sin sin +()φα-
sin ()φβ+cos 0=
其中 φcos =
β
αα2
2
sin sin sin + ， =
φsin β
αβ2
2
sin sin sin +
()()sin cos 0αφβφ∴--+=
∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πβα，，， 不妨取0,2πφ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
而 ()φα-sin =()φβ+cos =⎪⎭
⎫
⎝⎛--φβπ2sin
∴φβπ
φα--=
-2
即 =
+βα2
π
. 例4 .扇形AOB 的半径为1，中心角为060，CDEF 是扇形的内接矩形，问点D 在什么位置时，矩形CDEF 的面积最大？并求这个最大值.
解：设α=∠DOA ，则在DOE Rt ∆中，ααsin sin =⋅=OD DE ，αcos =OE ； 在COF Rt ∆中，αsin 33
333360
tan 0
====
DE CF CF OF ，因为 OF OE FE -=，所以 ααsin 3
3
cos -
=FE . DE FE S CD EF ⋅==αααsin sin 33
cos ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛- =ααα2sin 33cos sin -
=2
2cos 1332sin 21α
α-⋅- =
6
32cos 212sin 2333-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αα，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πα =
6362sin 33-
⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，⎪⎭
⎫
⎝⎛
∈3,0πα.所以 63max =
S ，此时 6πα=，即D 为弧AB 的中点.
例5.水渠的横断面为等腰梯形，渠深为h ，梯形面积为S ，为使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长之和最小，此时腰与下底夹角应该是多少？
解：如图水渠的横断面为等腰梯形，设腰与下底夹角为α，梯形两腰及下底边长之和为l ，则
2cos sin S l h h αα-=
+⋅，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭ 令⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈-=
2,
0sin cos 2παα
α
y 2cos sin =+ααy ， 由辅助角公式可得
1122
≤+y
，
所以3≥y ，令y =得3
π
α=. 即当3
π
α=
时，梯形两腰及下底边
长之和最小. 练习. 1.求函数()sin 2cos x f
x x =
- 的值域为
,⎡⎢⎣⎦
2. 求函数()3cos 2sin x f x x
-=
+ 的值域为
2,2⎡-+⎢⎣
⎦
3.
已知,a b R
∈，且 1+，求证：221a b +=. 证明：运用三角代换（210b -≥，210a -≥ 想到1,1a b ≤≤想到三角代换引进辅助角）
因为 210b -≥，210a -≥，可设sin a α=，sin b β=，且,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
.
则
sin sin 1=，即 sin cos cos sin 1αβαβ+=
()sin 1αβ+= ， 所以 2
π
αβ+=
，
故 sin sin cos 2b πβαα⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
， 所以 2222sin cos 1a b αα+=+=.
辅助角公式运用
辅助角公式运用 辅助角公式 () cos sin a b θθθφ +=+，其中φ称为辅助角 且 sinφ = ，cosφ =. （圆与椭圆的参数方程实际上 也是辅助角关系，而且它们的辅助角有着特别的几何意义）辅助角公式针对的实际上是同角的正弦与余弦之＂和＂结构，这个结构可以把它们集中为单一函数形式，从而方便求出相应的一些性质． 例：已 知sin cos x y θθ -=， 22 2222 sin cos1 a b x y θθ += + .证明 22 221 x y a b += 解一 ：sin cos1 x y θθθθ -=⇔=. 记cosα = ，sinα =. 则() sin1 θα -=， 2, 2 k k Z π θαπ -=+∈，2, 2 k k Z π θαπ =++∈.所以2222 2222 s i n c o s c o s s i n a b a b θθαα +=+，所以 22 2222 cos sin1 a b x y αα += + ，结合cosα = sinα =得 22 22 1 x y a b +=. 解二：由sin cos x y θθ -=()2 cos sin0 x y θθ +=. cos sin x y θθ =-，所以2222 cos sin x y θθ = 又 22 2222 sin cos1 a b x y θθ += + ，所以 ()() 222222 22 sin cos 1 x y x y a b θθ ++ +=
故22 221x y a b += 例1 （2011浙江省）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则 2x y +的最大值是 解： 由2 2 41x y xy ++= 得 2 21521416y x y ⎛ ⎫++= ⎪⎝ ⎭ 设 2cos 4y x θ+ =，sin 4 y θ=， 则 322cos 44y x y x y θθ+=++=+≤= 例2.锐角A ，B 满足sin cos A B B +=求s i n t a n A B 的 值. 解：根据辅助角公式，得 sin cos A B B ≤ 又 sin cos A B B = 所以 ≤化简 ，得 24sin 4sin 10A A -+≤ .即()2 2sin 10A -≤. 所以 1sin 2A = ，因为A ，B 为锐角，所以6 A π=， 所以 cos 2sin B B +=，得tan 2B =，故sin tan A B =1 例3 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πβα，，，且()βαβα+=+sin sin sin 22。求证： 2πβα=+ 分析：表面上看，题目很难与辅助角公式存在什么关系, 但仔细分析条件关系式，涉及四个量值:sin α、sin β、cos α、cos β正是正弦余弦的同时
辅助角公式
推导 对于f(x)=asinx+bcosx(a＞0)型函数,我们可以如此变形 ,设点(ａ,ｂ)为某一角φ(-π/2＜φ〈π/2)终边上得点,则 ,因此 就就是所求辅助角公式。 又因为 ,且-π/２〈φ<π/２,所以 ,于就是上述公式还可以写成 该公式也可以用余弦来表示(针对b>０得情况) ,设点(b,a)为某一角θ(-π／2〈θ<π/2)终边上得点,则 ,因此 同理, ,上式化成 若正弦与余弦得系数都就是负数,不妨写成f(x)＝—asinx－ｂcosｘ,则 再根据诱导公式 得
记忆 很多人在利用辅助角公式时,经常忘记反正切到底就是ｂ/a还就是a/b,导致做题出错、其实有一个很方便得记忆技巧,就就是不管用正弦还就是余弦来表示asiｎx+bｃosx,分母得位置永远就是您用来表示函数名称得系数、 例如用正弦来表示ａｓiｎｘ＋ｂcosx,则反正切就就是b/a(即正弦得系数a在分母)。 如果用余弦来表示,那反正切就要变成ａ/b(余弦得系数ｂ在分母)。 疑问 为什么在推导辅助角公式得时候要令辅助角得取值范围为(-π／2,π/2)？其实就是在分类讨论ａ>0或ｂ>0得时候,已经把辅助角得终边限定在一、四象限内了,此时辅助角得范围就是(2kπ—π/２,２kπ+π/２)(k就是整数)。而根据三角函数得周期性可知加上2kπ后函数值不变,况且在(—π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示,使得公式更加简洁明了、 提出者 李善兰,原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔。出身于读书世家,其先祖可上溯至南宋末年京都汴梁(今河南开封)人李伯翼。生于1811年 1月22日,逝世于1882年１２月９日,浙江海宁人,就是中国近代著名得数学家、天文学家、力学家与植物学家,创立了二次平方根得幂级数展开式、[1］ (就就是现在得自然数幂求与公式)她研究各种三角函数,反三角函数与对数函数得幂级数展开式,这就是李善兰也就是1９世纪中国数学界最重大得成就、 ［1］在19世纪把西方近代物理学知识翻译为中文得传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。 她得译书也为中国近代物理学得发展起了启蒙作用、同治七年,李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。李善兰为近代科学在中国得传播与发展作出了开创性得贡献。 继梅文鼎之后,李善兰成为清代数学史上得又一杰出代表。她一生翻译西方科技书籍甚多,将近代科学最主要得几门知识从天文学到植物细胞学得最新成果介绍传入中国,对促进近代科学得发展作出卓越贡献、[1] 公式应用
三角函数 辅助角公式
三角函数辅助角公式 三角函数是数学中的一类重要函数，它们与三角形的角度和边长之间存在密切的关系。辅助角公式是在三角函数中常用的一组公式，可以帮助我们简化计算和推导过程。本文将以辅助角公式为主题，介绍其定义、性质和应用。 一、辅助角的定义 辅助角是指与给定角度的终边相同的角度，但终边位于不同的象限。例如，对于一个角度为θ的角，它的辅助角可以表示为θ+2kπ或θ+(2k+1)π，其中k为整数。 在三角函数中，我们通常关注的是角度的正弦、余弦和正切值，它们与辅助角之间有着重要的关系。 二、辅助角公式的性质 1. 余弦的辅助角公式：cos(θ+π)=-cosθ，cos(θ+2π)=cosθ 余弦的辅助角公式告诉我们，将一个角度加上π或2π后，余弦值的符号会改变，但绝对值保持不变。 2. 正弦的辅助角公式：sin(θ+π)=-sinθ，sin(θ+2π)=sinθ 正弦的辅助角公式与余弦类似，加上π或2π后，正弦值的符号会改变，绝对值保持不变。 3. 正切的辅助角公式：tan(θ+π)=tanθ，tan(θ+2π)=tanθ
正切的辅助角公式告诉我们，加上π或2π后，正切值保持不变。 三、辅助角公式的应用 辅助角公式在解决三角函数的计算和证明中起着重要的作用。下面以几个具体例子来说明其应用。 1. 证明正弦的周期性 根据正弦的辅助角公式sin(θ+2π)=sinθ，我们可以证明正弦函数是周期性的。即正弦值在每增加2π的整数倍时，其值会重复。 2. 计算角度的正弦、余弦和正切值 对于给定的角度θ，我们可以使用辅助角公式将角度转化为辅助角，然后利用已知的三角函数值计算出θ的正弦、余弦和正切值。 3. 简化三角函数表达式 在计算复杂的三角函数表达式时，辅助角公式可以帮助我们简化计算过程。通过将角度转化为辅助角，我们可以利用已知的三角函数值来替代未知的三角函数值，从而简化计算。 四、总结 辅助角公式是三角函数中的重要工具，它们可以帮助我们简化计算和推导过程。通过利用辅助角公式，我们可以更好地理解三角函数的性质和应用。在解决三角函数相关问题时，我们可以运用辅助角公式，将复杂的计算和证明化繁为简。希望本文对辅助角公式的理
常用的辅助角公式6个
常用的辅助角公式6个 辅助角公式是在三角函数应用中经常用到的关键公式，它们能够帮助我们推导和证明各种三角函数的性质和恒等式。下面将介绍6个常用的辅助角公式。 1.和差公式： 三角函数的和差公式是我们在解三角函数方程和证明三角函数恒等式时经常使用的公式。 对于三角函数的和差公式，我们有以下公式： sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinB cos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinB tan(A±B) = (tanA±tanB)/(1∓tanAtanB) cot(A±B) = (cotAcotB∓1)/(cotA±cotB) 2.二倍角公式： 二倍角公式是辅助角的基本公式之一，它们可以将三角函数的一个角度表示为另一个角度的函数。 对于三角函数的二倍角公式，我们有以下公式： sin2A = 2sinAcosA cos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2A tan2A = (2tanA)/(1 - tan^2A) 3.半角公式：
半角公式可以将一个三角函数的两倍角表达式转化为它的半角的函数。 对于三角函数的半角公式，我们有以下公式： sin(A/2) = ±√[(1 - cosA)/2] cos(A/2) = ±√[(1 + cosA)/2] tan(A/2) = ±√[(1 - cosA)/(1 + cosA)] 4.1/2倍角公式： 1/2倍角公式也被称为倍角的1/2倍，它可以把一个三角函数的1/2 倍角表达式转化为它的原函数。 对于三角函数的1/2倍角公式，我们有以下公式： sin(A/2) = ± √[(1 - cosA)/2] cos(A/2) = ± √[(1 + cosA)/2] tan(A/2) = ± √[(1 - cosA)/(1 + cosA)] 5.和积公式： 和积公式是辅助角的常用公式之一，它可以将两个三角函数的和表示 为一个三角函数的积。 对于三角函数的和积公式，我们有以下公式： sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(B-A)/2] cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
辅助角公式
推导 对于fx=asinx+bcosxa>0型函数;我们可以如此变形 ;设点a;b为某一角φ-π/2<φ<π/2终边上的点;则 ;因此 就是所求辅助角公式.. 又因为 ;且-π/2<φ<π/2;所以 ;于是上述公式还可以写成 该公式也可以用余弦来表示针对b>0的情况 ;设点b;a为某一角θ-π/2<θ<π/2终边上的点;则 ;因此 同理; ;上式化成 若正弦和余弦的系数都是负数;不妨写成fx=-asinx-bcosx;则 再根据 得 记忆 很多人在利用辅助角公式时;经常忘记反正切到底是b/a还是a/b;导致做题出错..其实有一个很方便的记忆技巧;就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx;的位置永远是你用来表示函数名称的系数.. 例如用正弦来表示asinx+bcosx;则反正切就是b/a即正弦的系数a 在分母..如果用余弦来表示;那反正切就要变成a/b余弦的系数b在分 母.. 疑问 为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为-π/2;π/2 其实是在分类讨论a>0或b>0的时候;已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了;此时辅助角的范围是2kπ-π/2;2kπ+π/2k是整数..而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变;况且在-π/2;π/2内辅助角可以利用反正切表示;使得公式更加简洁明了.. 提出者 ;原名李心兰;字竟芳;号秋纫;别号壬叔..出身于读书世家;其先祖可上溯至南宋末年汴梁今人李伯翼..生于1811年 1月22日;逝世于1882
年12月9日;人;是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和;创立了二次的幂级数展开式..1就是现在的他研究各种;和对数函数的幂级数展开式;这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就..1在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献..他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用..同治七年;李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献.. 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献.. 继之后;李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表..他一生翻译西方科技书籍甚多;将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国;对促进近代科学的发展作出卓越贡献..1 公式应用 例1 求sinθ/2cosθ+√5的最大值 解：设sinθ/2cosθ+√5=k 则sinθ-2kcosθ=√5k ∴√1+-2k2sinθ+α=√5k 平方得k2=sin2θ+α/5-4sin2θ+α 令t=sin2θ+α t∈0;1则k2=t/5-4t=1/5/t-4 当t=1时有kmax=1 辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化 例2 化简5sina-12cosa 解：5sina-12cosa =135/13sina-12/13cosa =13cosbsina-sinbcosa =13sina-b 其中;cosb=5/13;sinb=12/13 例3 π/6≤a≤π/4 ;求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值 解：令fa=sin2a+2sinacosa+3cos2a =1+sin2a+2cos2a =1+sin2a+1+cos2a公式 =2+sin2a+cos2a
三角函数辅助角公式总结
三角函数辅助角公式总结 三角函数是高中数学中一个很重要的模块，它有着多种用途。三角函数辅助角公式在计算三角函数有着重要作用，本文将总结三角函数辅助角公式的特点及使用方法。 首先，三角函数辅助角公式是一组用于计算三角函数的公式。它包括正弦定理、余弦定理、正割定理和余割定理四个主要公式。这四种定理各自有以下形式： 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC 余弦定理：a = b + c 2bc cos A 正割定理：tanA/a = tanB/b = tanC/c 余割定理：a = b + c 2bc tan A 其次，三角函数辅助角公式的使用方法也是本文的重点。 首先，要使用三角函数辅助角公式，必须把直角三角形变换成一般三角形，因为三角函数辅助角公式只适用于一般的三角形，而不适用于直角三角形。 然后，根据所给的条件，我们可以计算出相应的角度值。例如，假设给出等腰直角三角形ABC，已知a=6、b=6，我们可以使用余弦定理来计算出C角的度数。根据余弦定理：a = b + c 2bc cosA，可以求得：6 = 6 + c 12*cosA，因此，由于 cos A = 0.5，所以c=12/cosA，C角度数=cos1(0.5)=60°。 最后，要使用三角函数辅助角公式，必须要正确使用正弦、余弦、正割和余割的运算符号，以及在一般三角形中的a、b、c和A、B、C
的表示方法。 综上所述，三角函数辅助角公式是一组用于计算三角函数的公式，其包括正弦定理、余弦定理、正割定理和余割定理四个主要公式。为了正确使用三角函数辅助角公式，我们必须把直角三角形变换成一般三角形，并正确使用正弦、余弦、正割和余割的运算符号，以及在一般三角形中的a、b、c和A、B、C的表示方法。
常用的辅助角公式6个
常用的辅助角公式6个 在研究物体运动的动力学时，利用辅助角可以更容易地求解物体的运动问题，而常用的辅助角公式有六个，分别是：摩擦角公式、推力角公式、恒力角公式、摩擦力角公式、欧拉角公式和空间欧拉角公式。 首先，摩擦角公式可以用于求解物体在摩擦力作用下的角速度。它表示：物体在摩擦力作用下，它的角加速度等于摩擦力和物体转动惯量之间的比值，即： α=τ/I 其中，α表示物体角加速度，τ表示摩擦力，I表示物体的转动惯量。 接下来，推力角公式可以用于求解物体在推力作用下的滞后角。它表示：物体在推力作用下，它的滞后角等于推力和物体的质心距离之比，即： θ=Fd/I 其中，θ表示物体的滞后角，F表示推力，d表示物体的质心距离，I表示物体的转动惯量。 紧接着，恒力角公式可以用于求解物体在恒力作用下的角位移。它表示：物体在恒力作用下，它的角位移等于恒力和物体转动惯量之比，即： ΔΘ=F/I 其中，ΔΘ表示物体的角位移，F表示恒力，I表示物体的转动
惯量。 此外，摩擦力角公式可以用于求解物体在摩擦力作用下的角位移。它表示：物体在摩擦力作用下，它的角位移等于摩擦力和物体转动惯量之比，即： ΔΘ =/I 其中，ΔΘ表示物体的角位移，τ表示摩擦力，I表示物体的转动惯量。 另外，欧拉角公式可以用于求解物体在各种外力作用下的滞后角。它表示：物体在各种外力作用下，它的滞后角等于物体质量、外力和运动惯量之比，即： θ = M|F|/I 其中，θ表示物体的滞后角，M表示物体质量，F表示外力，I 表示物体的运动惯量。 最后，空间欧拉角公式可以用于求解物体在各种外力作用下的角加速度。它表示：物体在各种外力作用下，它的角加速度等于物体质量、外力和运动惯量之比，即： α = M|F|/I 其中，α表示物体的角加速度，M表示物体的质量，F表示外力，I表示物体的转动惯量。 综上所述，常用的辅助角公式有六个，分别是：摩擦角公式、推力角公式、恒力角公式、摩擦力角公式、欧拉角公式和空间欧拉角公式。它们都可以用来求解物体在各种外力作用下的滞后角、角位移和
三角函数中辅助角公式的应用
辅助角公式在高考三角题中得应用 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。 上式中的 a a b 2 2 +与 b a b 2 2 +的平方和为1，故可记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 2 2 +=sin θ，则 。 )x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2 2 22θ++=θ+θ+= 由此我们得到结论：asinx+bcosx= a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由 a a b b a b 2 2 2 2 +=+=cos , sin θθ来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角 式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。 一. 求周期 例1 求函数y x x x =+-+24 4 32cos()cos()sin ππ 的最小正周期。 解：) 6 x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x 2sin 3)2x 2sin(x 2sin 3)4 x sin()4 x cos(2y π +=+=+π +=+π+π+= 所以函数y 的最小正周期T=π。 评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 二. 求最值 例2. 已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x 。若x ∈[,]02 π ，求f(x)的最大值和最小值。
辅助角公式
推导 对于f(x)＝ａsinx+bcosx(a〉0)型函数，我们可以如此变形 ,设点（a,b)为某一角φ（—π/2〈φ<π／2)终边上得点,则 ，因此 就就是所求辅助角公式。 又因为 ，且－π/2＜φ<π/２,所以 ,于就是上述公式还可以写成 该公式也可以用余弦来表示(针对b＞0得情况） ,设点（b，a)为某一角θ（—π/２〈θ〈π/2)终边上得点,则 ，因此 同理， ,上式化成 若正弦与余弦得系数都就是负数,不妨写成f(x）=—ａsinx—bcosx,则 再根据诱导公式 得
记忆 很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底就是ｂ/a还就是a/b，导致做题出错。其实有一个很方便得记忆技巧，就就是不管用正弦还就是余弦来表示aｓinx+ｂｃｏｓx，分母得位置永远就是您用来表示函数名称得系数。 例如用正弦来表示ａsinx＋bcosｘ，则反正切就就是b／a（即正弦得系数ａ在分母）。如果用余弦来表示，那反正切就要变成ａ／b(余弦得系数b在分母）。 疑问 为什么在推导辅助角公式得时候要令辅助角得取值范围为（-π/２，π／2）?其实就是在分类讨论ａ〉0或ｂ＞０得时候，已经把辅助角得终边限定在一、四象限内了,此时辅助角得范围就是（2ｋπ—π/2,２kπ+π/2)(k就是整数）。而根据三角函数得周期性可知加上2ｋπ后函数值不变,况且在（-π/２，π／2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。 提出者 李善兰，原名李心兰，字竟芳,号秋纫，别号壬叔。出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年京都汴梁(今河南开封）人李伯翼。生于1811年 1月22日，逝世于1882年１２月9日,浙江海宁人，就是中国近代著名得数学家、天文学家、力学家与植物学家，创立了二次平方根得幂级数展开式。[１] (就就是现在得自然数幂求与公式)她研究各种三角函数，反三角函数与对数函数得幂级数展开式,这就是李善兰也就是19 世纪中国数学界最重大得成就。［1]在1９世纪把西方近代物理学知识翻译为中文得传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献.她得译书也为中国近代物理学得发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达1３年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。李善兰为近代科学在中国得传播与发展作出了开创性得贡献. 继梅文鼎之后，李善兰成为清代数学史上得又一杰出代表.她一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要得几门知识从天文学到植物细胞学得最新成果介绍传入中国，对促进近代科学得发展作出卓越贡献。［1］
辅助角公式讲解
辅助角公式讲解 辅助角公式是在解决三角函数运算的过程中常用的一种方法，可以帮助我们简化一些复杂的三角函数式子，使其更易于计算。本文将对辅助角公式进行详细的讲解，包括其定义、性质、应用等方面的内容。 一、辅助角公式的定义 辅助角公式是指在三角函数运算过程中，通过引入一个新的角度来简化三角函数式子的方法。这个角度通常是由原来的角度加上或减去一个固定的值，使得三角函数式子变得更容易计算。 具体来说，辅助角公式有以下几种形式： ① sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) ② cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) ③ tan(a+b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b)) ④ cot(a+b) = (cot(a)cot(b) - 1) / (cot(a) + cot(b))
其中，a和b均为任意角度。 二、辅助角公式的性质 1. 余角公式：若a+b=90°，则sin(a+b)=cos(a)，cos(a+b)=sin(a)，tan(a+b)=cot(a)，cot(a+b)=tan(a)。 2. 差角公式：sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)， cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)， tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))， cot(a-b)=(cot(a)cot(b)+1)/(cot(b)-cot(a))。 3. 和差角公式：sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)， cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)， tan(a+b)-(tan(a-b))=2tan(a)tan(b)， cot(a+b)+cot(a-b)=2cot(a)cot(b)。 4. 二倍角公式：sin2a=2sinacos(a)，cos2a=cosa-sina， tan2a=(2tana)/(1-tana)，cot2a=(cota-1)/(2cot(a))。 5. 半角公式：sin(a/2)=±√[(1-cos(a))/2]，cos(a/2)=±√[(1+cos(a))/2]，tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)，
辅助角公式的解说
关于辅助角公式的解说 对于辅助角公式，大家都很熟悉。公式如下：)sin(cos sin 22ϕααα++= +b a b a 其中：a b =ϕtan 。 但是在实际运用中，最让大家感到头疼的是关于辅助角ϕ的大小确定。下面就此公式的实际运用作如下解说。 一、辅助角使用的准备 （1） 顺序：要使正弦在前，余弦在后； （2） 系数：分析好a 、b ，正弦系数为a 、余弦系数为b 。 二、象限的确定 （1） 当a 、b 都是正数时，ϕ在第一象限！ （2） 当a 、b 都是负数时，ϕ在第三象限！ （3） 当a 是正数，b 是负数时，ϕ在第四象限！ （4） 当a 是负数，b 是正数时，ϕ在第二象限！ （5） 规律：x y a b == ϕtan ，利用x 、y 的正负确定象限。 三、b a 2 2+的确定（系数，相当于辅助直角三角形中的斜边长） （1） b a 22+的大小不管a 、b 符号如何，b a 22+始终是正数。 （2） b a 22 +的大小与a 、b 顺序无关。 （3） 1||||==b a 时， 222=+b a （4） 2||||==b a 时，2222 =+b a （5） 2||1 ||==b a ，时，522=+b a （6） 2 3||21||==b a ，时，122=+b a （7） 36||33||==b a ，时，122=+b a （8） 3||1||==b a ，时， 222=+b a 三、ϕ角的大小确定 （1）1=a b ，4πϕ=或45πϕ=（4 ππ+k ）
（2）1-=a b ，43πϕ=或4πϕ-=（4 ππ-k ） （3）3 3=a b ，6πϕ=或67πϕ=（6ππ+k ） （4） 33-=a b ，65πϕ=或6πϕ-=（6ππ-k ） （5） 3=a b ，3πϕ=或34πϕ=（3 ππ+k ） （6）3-=a b ，32πϕ=或3πϕ-=（3ππ-k ） 四、例说辅助角的运用 （一）︒+︒75sin 15sin （2015年四川高考题）来分析： 分析：先由诱导公式化为：︒+︒=︒+︒cos15sin1575sin 15sin ，然后直接利用辅助角公式得： 2 6232sin602)45sin(152cos15sin1575sin 15sin =⋅ =︒⋅=︒+︒=︒+︒=︒+︒ （二）公式的灵活运用 （1）直接运用辅助角公式 ︒=︒+︒=︒+︒sin502)45sin(52cos5sin5 （2）化系数，利用两角和的三角函数变换 ︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒+︒sin502)45sin(525cos 45sin sin5(cos452)cos52 2sin522(2cos5sin5）（3）化系数，利用两角和的三角函数变换 ︒=︒-︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒+︒cos402)5cos(4525sin 45sin cos5(cos452)sin52 2cos522(2cos5sin5）（三）拓展分析 ︒-︒5sin cos5的思考： （1）利用辅助角公式 ︒=︒--=︒-︒-=︒-︒-=︒-︒sin40240sin(2)455sin(2)5cos 5(sin 5sin cos5） （2）利用辅助角公式 ︒=︒=︒+︒=︒+︒-=︒-︒sin402140sin(2)1355sin(25cos 5sin 5sin cos5） （3）利用两角和计算 ︒=︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒-︒sin40250cos 2)5sin 45sin 5cos 45(cos 2)5sin 2 25cos 22( 25sin cos5（4）利用两角和计算 ︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒-︒40sin 2)5sin 45cos 5cos sin452)5sin 2 25cos 22(25sin cos5（
浅谈辅助角公式的应用
浅谈辅助角公式的应用 辅助角公式是在初中数学中常常用到的一个重要的角公式，也是解决 三角函数相关题目的一个重要方法。它主要用于将给定的三角函数值转化 为其他数值，或者将角度转化为其他角度。下面我将从几个方面来谈一谈 辅助角公式的应用。 首先，辅助角公式可以用来计算三角函数值。在解决一些三角函数相 关的问题时，通常会给出一些角的三角函数值，需要求出另一个角的三角 函数值。这时可以利用辅助角公式将这个已知角转化为其他角，再通过已 知公式计算出所需的三角函数值。例如，在直角三角形中，已知一个角的 正弦值为1/2，需要求出这个角的余弦值。我们知道，在一个直角三角形中，有一个角的正弦值等于另一个角的余弦值，即sinA=cosB。因此，可 以利用辅助角公式sin(A)=cos(90-A)，将已知角的正弦值转化为余弦值，即cos(90-A)=1/2，解方程可得A=60°，所以所求的角的余弦值为 cos(60°)=1/2 其次，辅助角公式可以用来求解三角方程。三角方程是指含有未知角 的三角函数的方程。解三角方程的关键是要将未知角转化为已知角，以便 求解。辅助角公式可以帮助我们将未知角转化为已知角，并进一步简化方 程的求解过程。例如，求解sinx=1/2的解。我们可以通过辅助角公式 sin(A)=sin(180-A)，将方程转化为sin(A)=1/2的解。然后再通过调整角度，将未知角A转化为已知角，例如，我们可以将A调整为30°或150°。这样，就可以通过已知三角函数值解方程，得到x=30°或x=150°。 此外，辅助角公式还可以用来计算复合角的三角函数值。复合角是指 两个或多个角度按照一定的方式相加或相减而形成的新角。当计算复合角 的三角函数值时，可以利用辅助角公式将复合角转化为简单角的和或差，
李善兰辅助角公式应用
李善兰辅助角公式应用 李善兰辅助角公式应用 什么是李善兰辅助角公式 李善兰辅助角公式是一种用于解决三角函数中的特殊角问题的数学公式。它由中国数学家李善兰于20世纪60年代提出，并被广泛应用于数学教育和科学研究中。 应用领域 1. 物理学 在物理学领域，李善兰辅助角公式经常用于解决物体运动的相关问题。特别是在分析斜抛运动和简谐振动等问题时，该公式能够提供简洁而有效的求解方法。 2. 工程学 工程学中经常涉及到三角函数的应用，而李善兰辅助角公式则为工程师提供了一个方便的工具。例如，在测量工程中，通过利用该公式可以快速解决三角形边角的测量问题。 3. 电子工程 在电子工程领域，李善兰辅助角公式被广泛应用于解决各种电路分析和信号处理相关的问题。通过利用该公式，工程师可以简化复杂电路的计算过程，并提高工作效率。
4. 统计学 统计学中常用的一些分布函数，如正态分布和伽玛分布，与三角函数密切相关。通过使用李善兰辅助角公式，统计学家可以更方便地计算和分析这些分布函数的性质和参数。 具体案例 案例1：斜抛运动 假设有一个物体以一定的速度和角度斜向上抛出，求物体的飞行时间和最大高度。 根据李善兰辅助角公式，我们可以将抛体的运动轨迹分解成水平和竖直两个方向上的运动。因此，可以得到以下公式： x=v0⋅t⋅cos(θ) y=v0⋅t⋅sin(θ)−1 2 ⋅g⋅t2 其中，x和y分别表示物体在水平和竖直方向上的位移，v0表 示初速度，θ表示抛出角度，g表示重力加速度，t表示时间。 通过解这个方程组，我们可以求解出物体的飞行时间和最大高度。案例2：信号处理 假设有一段来自音频录音的信号，我们想要计算其中的频率成分。 首先，我们将信号处理为时域数据，然后使用离散傅里叶变换（DFT）将信号转化为频域数据。接下来，我们可以通过李善兰辅助角 公式计算出每个频率成分的幅度和相位。
辅助角公式应用
辅助角公式应用 在三角函数的学习过程中，有一个和差角公式的变形式：辅助角公式要引起重视。 . 为便于研究，下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式： f x a sin x b cosx a 2 b 2 sin xg a b 2 cosxg b a 2 b 2 sin x ， [ , ) a 2 a 2 b 2 其中 cos a ,sin b （ 几何意义： p a, b 所在终边对应的中心角） a 2 b 2 a 2 b 2 当定义域为 R 时， f x a 2 b 2 , a 2 b 2 . 当定义域有限定时， 要根据辅助角公式 的几何意义得到 的估计范围， 再根据 x 的区间范围及三角函数的单调性（或三角函数线）来作出判断，求出函数的最值或值域 . 1.求函数 f x sin x 2cos x, x 0, 的值域 . 2 【解析】由辅助角公式可得： f x5 1 sin x 2 cosx5sin x ， 5 5 （其中 sin 2 ,cos 1 ） . 5 5 sin0,cos0为第一象限角，可令 0, 2 x 0, x , ，又 + , , 0,， 2 2 2 2 2 而 sin 1 ,sin cos 2 ， f x 1 ,1 . 5 2 5 5 2.求函数 f x 2sin x 3cos x, x , 2 的值域 . 6 3
精选文库 【解析】解法一：辅助角公式: f x13sin x 23 13sin x. cosx 13 13 其中 sin3,cos2，为第四象限角 . 1313 又 sin sin 61 ，可令,，226 x,2x 6,2，而0, 2 . 633632 函数 y sin x, x 2,单调递增，f 6 2sin3cos1 3 3，2662 f 2 2sin 2 3cos 2 33 f x 333 3 1 2 , 33322 解法二：数形结合法:令f x t2v3u ，如右v l 2 图圆弧与直线v 31l1 u t 有交点，则直线如右图 22 l1,l 2位置过圆弧左右端点时是直线平移的界限. 1u -1 圆弧两个端点坐标为3,1,1, 3 ， 2222 代入直线方程的 t 333 3 12,2 f x1 3 3,33 22
辅助角公式常用的三个
辅助角公式常用的三个 辅助角公式是解决三角函数中角度和的问题的重要工具。常用的三个辅助角公式是正弦角的和差公式、余弦角的和差公式和正切角的和差公式。下面将逐个解释这三个辅助角公式。 1. 正弦角的和差公式： 正弦角的和差公式可以用来求解两个角的正弦值之和或差的正弦值。设角A和角B的正弦值分别为sin(A)和sin(B)，则有以下公式： sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B) 这两个公式可以帮助我们计算任意两个角的正弦值之和或差的正弦值。 2. 余弦角的和差公式： 余弦角的和差公式可以用来求解两个角的余弦值之和或差的余弦值。设角A和角B的余弦值分别为cos(A)和cos(B)，则有以下公式： cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B) cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B) 这两个公式可以帮助我们计算任意两个角的余弦值之和或差的余弦值。 3. 正切角的和差公式： 正切角的和差公式可以用来求解两个角的正切值之和或差的正切值。设角A和
角B的正切值分别为tan(A)和tan(B)，则有以下公式： tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B)) tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B)) 这两个公式可以帮助我们计算任意两个角的正切值之和或差的正切值。 以上就是常用的三个辅助角公式的解释。这些公式在解决三角函数中角度和的问题时非常有用，能够帮助我们简化计算，提高解题效率。需要注意的是，在应用这些公式时，要注意角度单位的一致性，确保正确使用公式进行计算。