2020年广州高二数学水平测试试题(附答案)

秘密★启用前

2020学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数 学

本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4. 本次考试不允许使用计算器.

5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题

1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3}A =，则=A C U （ ）

A.?

B. {1,3}

C. {2,4,5}

D. {1,2,3,4,5} 2. 已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则tan α=（ ）

A.43-

B. 34-

C. 34

D. 43

3. 若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直，则实数a 的值为（ ）

A.2-

B. 2

C. 12-

D. 12

4. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为（ ）

A.24

B. 12

C. 6

D. 3

5. 如图，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区域M 的概率为（ ）

A. 2π

B. 4π

C. 14π-

D. 12

π-

6. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.16

B. 13

C. 1

2 D. 1

7. 函数2

()f x x x

=的零点所在的区间为（ ）

A.10,2??

??? B. 1,12??

??? C. 31,2??

??? D. 3,22?? ???

8. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1n S ??

????的前n 项和为（ ）

A.

2(1)n n + B. 12(1)n n + C. 2(1)n n + D. 21

n

n +

9. 在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，则AC CD =u u u r u u u r

g

（ ） A.2-

10. 设函数则称(f ①()f x A. ①②

11. 12.

13. 已知?(2,2,C z

14. 设实数??

≥-+04y x 的取值范围是 .

三、解答题

15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1)A ，(1,0)C . （1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；

（2）若直线l 的方程为290x y -+=，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.

16. （13π?-??的值.

次数

17. 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

（1）求出表中N ，p 及图中a 的值；

（2

18. 如图，E 是

线段（1

19. 已知数列{}n a 满足11a =，*12(,)n n n a a n N λλ+=+∈g 为常数，且1a ，22a +，3a 成等差数列.

（1）求λ的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设数列{}n b 满足2

3

n n n b a =+，求证：169≤n b .

20. 设a 为常数，a R ∈，函数2()||1()f x x x a x R =+-+∈.

（1）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的最小值.

2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题

1-5 CADBC 6-10 BDADB 二、填空题

11. [)0+∞， 12. 2012 13. 4或﹣1 14.[8,34]

15.解：

因为圆所以圆（216.（1 所以T =

（2）∵又∵0,2πα??

∈ ???

，∴4cos 5α==

434822sin 22sin 222sin cos 223335525f πππααααα???

?∴-=-+==?=???= ? ?????

17.（1） 20.0540N =÷= 104240104224n N =---=---= 24400.60p n N =÷=÷= 组距=6﹣3=3 ∴30.20a p =÷=

在不低于9次的同学共有以上6人，任选2人的情况有：{A 1,A 2}；{A 1,A 3}；{A 1,A 4}；{A 1,B 1}；

{A 1,B 2}；{A 2,A 3}；{A 2,A 4}；{A 2,B 1}；{A 2,B 2}；{A 3,A 4}；{A 3,B 1}；{A 3,B 2}；{A 4,B 1}；{A 4,B 2}；{B 1,B 2}共15种情况，其中至少有一人在区间[12,15]的同学有：{A 1,B 1}；{A 1,B 2}；{A 2,A 3}；；{A 2,B 1}；{A 2,B 2}；{A 3,B 1}；{A 3,B 2}；{A 4,B 1}；{A 4,B 2}；{B 1,B 2}共9种情况， 故P=9÷15=0.6

18.（1）证明：∵PA ABC ⊥平面，BC ABC ?平面 ∴PA BC ⊥

∵AB 是圆O 的直径，且C 在圆周上， ∴=90ACB ∠o ，即AC BC ⊥

又∵=PA AC A I ，∴BC PAC ⊥平面

（2）∵点O 是圆心点，即是AB 线段的中点，且点E 是PB 线段的中点 ∴EO 是PAB ?的中位线，即 //EO PA 又∵EO PAC ?/平面，∴//EO PAC 平面

∵//MO AC ，且MO PAC ?/平面，∴//MO PAC 平面 又∵EO EOM ?平面，MO EOM ?平面，且=EO MO O I ∴//EOM PAC 平面平面

19.(1)∵1a ，2+2a ，3a 成等差数列，∴()2132+2=+a a a （1）

∵+1=+2n n n a a λ?n N ∈*，那么21=+2a a λ（2） 32=+4a a λ（3） 将（2），（3）代入（1），得

21221112+4=++4+4=+4 +2+4=+42+4=42=4=2

a a a a a a a λλ

λλλλλλ?????

∴将=2λ?代入+1=+2n n n a a λ?，得+1+1=+2n n n a a ，即+1+12n n n a a -=

22133244312 2 2 2n

n n a a a a a a a a -∴-=-=-=-=L L

以上列等式的右边叠加得()21234121222222412

n n n -+-++++=

=--L

即1124n n a a +-=-，又∵11a =，∴1112423n n n a a ++=-+=- 检验知111231a +=-=也成立，故通项公式为1112423n n n a a ++=-+=-

（2）∵222

11032332

n n n n n n n b a ++===>+-+

222

2

11n n n b b ++∴∵12?且当n 当n ≥∴n b ≤

20.（1即2x +222222x ax a x ax a -+=++，再次整理得40ax =

因为0x =不恒成立，故0a =

（2）本题关键在于如何去掉绝对值的影响，由题意知

2

21,()1,x x a x a f x x x a x a ?+-+≥?=?-++

2

13

,24()13,x a x a f x x a x a ???++-≥? ????=??

??-++< ?

（1）当1

2

a ≥

时，()f x 在区间[,)a +∞上单调递增，其最小值为2()1f a a =+ 在区间1,2?

?-∞ ??

?上单调递减，在1,2a ?? ???上单调递增， 其最小值为

13

24

f a ??=+ ??? 2

221311()102442f a f a a a a a ????

??-=+-+=-+=-≥ ? ? ?????

??

所以()f x 在R 上的最小值为13

24

f a ??=+ ???

（2）当 又因为（3）当a )+∞，

其中(f 13

24

a ?-=-??为最小值

（2）当（3）当a