三角恒等变换专题复习(带答案)

三角恒等变换专题复习

教学目标：

1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ

±±,2

的正弦、余弦、正切的诱导公式；

2、理解同角三角函数的基本关系式：

；

3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。教学重难点：

可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题【基础知识】

一、同角的三大关系：

① 倒数关系 tan α?cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin α

= cot α ③ 平方关系 2

sin cos 1αα+=

温馨提示：

（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网]

（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。

二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限

用诱导公式化简，一般先把角化成

k z α+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判

断角2

k π

α+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间0

(0,360)的角，再变到区间

00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算。

三、和角与差角公式：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=m

变用 tan α±tan β=tan (α±β)(1μtan αtan β)

四、二倍角公式：

sin 2α= 2sin cos αα.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

2tan tan 21tan α

αα

五、注意这些公式的来弄去脉

这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m 推导出来。六、注意公式的顺用、逆用、变用。

如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1

sin cos sin 22

ααα=

变用22cos 1cos 2

αα+=

22cos 1sin 2αα-= 2

1cos 4cos 22

αα+= 七、合一变形（辅助角公式）

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。

()22sin cos ααα?A +B =A +B +，其中tan ?B

．八、万能公式

ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= α

α2tan 1tan 22tan -=

九、用αsin ，αcos 表示2

tan

αααα

sin cos 1cos 1sin 2

tan

十、积化和差与和差化积

积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；

)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.

和差化积 2

cos

2sin 2sin sin ?

θ?

θ?θ-+=+

sin

2cos

2sin sin ?

θ?θ?θ-+=-

2cos 2cos 2cos cos ?

θ?θ?θ-+=+ 2

sin 2sin 2cos cos ?

θ?θ?θ-+=-

十一、方法总结

1、三角恒等变换方法

观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）

（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，

如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·α+β2 , α+β2 = (α－β2)－(α

2 －β)等.

（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

），（3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和

合并等。

2、恒等式的证明方法灵活多样

①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.

②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.

③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 左

右

=1";

④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.

【例题精讲】

例1 已知α为第四象限角，化简：α

ααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-

解：（1）因为α为第四象限角

所以原式=α

ααααα2

22cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααα

ααααα

sin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=

例2 已知ο

360270<<α，化简

α2cos 2

212121++ 解：ο

Θ360270<<α，02

cos

,0cos <>∴α

所以原式2111cos211

cos 22222

αα++=+21cos cos cos 222ααα+=

==- 例3 tan20°+4sin20°

解：tan20°+4sin20°=0

020

cos 40sin 220sin +

0sin(6040)2sin 40cos 20-

+00

cos 40sin 4022cos 20+=== 例4 （05

天津）已知7sin()24

1025π

αα-

=，求sin α及tan()3

α+．解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5

cos sin =-αα ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

)sin (cos 5

)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，5

cos -=α

因此，4

tan -

=α，由两角和的正切公式

11325483

343344

33143

3tan 313tan )3tan(-=+-=+

=-+=+ααπα 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得

αα2sin 212cos 25

-==，解得 259sin 2

=α，即53sin ±=α 由1027)4sin(=-πα可得5

cos sin =-αα

由于0cos 57sin >+=

αα，且05

7sin cos <-=αα，故α在第二象限于是53

sin =α，

从而5

57sin cos -=-=αα 以下同解法一

小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系

（均含α）进行转换得到．

2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．

例 5 已知,,A B C 为锐角ABC ?的三个内角，两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+r

，

(sin cos ,q A A =-r

1sin )A +，若p r 与q r 是共线向量.

（1）求A 的大小；

（2）求函数232sin cos(

C B

y B -=+取最大值时，B 的大小. 解：（1）22

// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=u r r Q

22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+= 1

cos 2A 2

∴=-0<2A<πQ ，

002A 120 A=60∴=∴

（2）00A=60 B+C=120∴Q 2

13y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+

cos 2B sin 2B 2-=-+ 31 =

sin 2B cos 2B+1=sin(2B )126π

--+ ， 2B B 623

πππ-=当时，即=．小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意

例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β. (1)求α的取值范围; (2)求tan (α＋β)的值. 解: (1)∵sinx ＋3cosx ＝2(

21sinx ＋23cosx )＝2 sin (x ＋3π), ∴方程化为sin (x ＋3

π)＝－2a

∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π)内有相异二解, ∴sin (x ＋

3π)≠sin 3

＝23 .

又sin (x ＋

π)≠±1 (∵当等于23和±1时仅有一解), ∴|－2a |<1 . 且－2a

≠23. 即|a |<2且a ≠－3.

∴ a 的取值范围是(－2, －3)∪(－3, 2).

(2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得(sin α－ sin β)＋3( cos α－ cos β)＝0. ∴ 2sin

α-cos

α+－23sin

α+

sin

α-＝0, 又sin

α+≠0, ∴tan

α+＝

.∴tan (α＋β)＝2tan 22

tan

αβα+-+＝3.

小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件. 例7 已知函数()x x m x f cos sin 2-=

在区间??

??2,0π上单调递减，试求实数m 的取值范围．

解：已知条件实际上给出了一个在区间??

0π上恒成立的不等式．任取∈21,x x ??

?2,

0π，且21x x <，则不等式()()21x f x f >恒成立，即

>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2

021π

221cos cos sin 2x x x x m --<

上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间???

??????

?--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于

()2

sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin

4cos cos sin 221

212121211

221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +??? ??+=2

tan

2tan 2tan 2tan 122121x x x x +?

? ??

且当2

021π

x x ，所以 12

tan ,2tan 021<

x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan

1212121>??

??-??? ??-=??? ??+-??? ??+x x x x x x , 有 22

tan 2tan 2tan 2tan 122

121>+?

?? ??

+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞.

【基础精练】

1．已知α是锐角，且sin ????π2＋α＝3

4，则sin ???

?α2＋π的值等于( ) A.24 B ．－24 C.144 D ．－144

2．若－2π＜α＜－3π

2，则 1－cos(α－π)2的值是( )

A ．sin α2

B ．cos α2

C ．－sin α2

D ．－cos α2

3.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α)

等于 ( )

A.－sinα

B.－cosα

C.sinα

D.cosα

4.已知角α在第一象限且cosα＝3

5，则1＋2cos(2α－π

sin(α＋π

)

等于 ( )

A.25

B.75

C.145

D.－25

5.定义运算????

a b c d ＝ad －bc.若cosα＝17，????sinα sinβcosα cosβ＝3314，0<β<α<π2

，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π

6.已知tanα和tan(π

－α)是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 ( )

A.b ＝a ＋c

B.2b ＝a ＋c

C.c ＝b ＋a

D.c ＝ab

7.设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝1

2(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 ( )

A.a ＞b ＞d ＞c

B.b ＞a ＞d ＞c

C.d ＞a ＞b ＞c

D.c ＞a ＞d ＞b

8．函数y ＝1

sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )

A.????－12，32

B.????－32，1

2 C.?

?－

22＋12，22＋12 D.?

－

22－12，22－12

9.若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝ .

10.设α是第二象限的角，tanα＝－43，且sin α2

2＝ .

11.已知sin(

-4πx)=135，0

，求)

cos(2cos x x +π

的值。

12.若),0(,πβα∈，31

tan ,50

cos -=-=βα，求α+2β。

【拓展提高】

1、设函数f(x)＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx

＋1

(1)求f(x)的最小正周期.

(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，4

3]时y ＝g(x)的最大值

2.已知向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，|a －b|＝

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sinβ＝－5

13，求sinα.

3、求证：

βαsin 2sin ）

（+－2cos （α+β）=αβsin sin .

【基础精练参考答案】

4．C 【解析】原式＝1＋2(cos2αco s π4＋sin2αsi n π

)

cosα

＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝2cos 2α＋2sinαcosαcosα＝2×(cosα＋sinα)＝2×(35＋45)＝145.

5.D 【解析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin (α－β)＝33

14.

∵0<β<α<π2，∴cos(α－β)＝1314. 又∵cosα＝17，∴sinα＝43

sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β) ＝

437×1314－17×3314＝32，∴β＝π

6.C 【解析】tan

tan()4,tan tan(),4b a c a πααπαα?+-=-??

??-=??

∴tan π4＝tan[(π4－α)＋α]＝－b a 1－c a

＝1，

∴－b a ＝1－c

，∴－b ＝a －c ，∴c ＝a ＋b.

7.B 【解析】a ＝sin(56°－45°)＝sin11°，b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′

＝cos81°＝sin9°，d ＝1

2(2cos 240°－2sin 240°)＝cos80°＝sin10° ∴b ＞a ＞d ＞c.

8.C 【解析】y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝2

2sin ????2x －π4＋12，故选择C. 9. π

3【解析】由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.

10. －

55解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限，又sin α2

为第三象限的角， ∴cos α2<0.∵tanα＝－43，∴cosα＝－35，∴cos α

＝－

1＋cosα2＝－5

12.【解析】∵),0(,πβα∈，50

7cos -=α∴),0,33(71tan -∈-

=α),0,3

(31tan -∈-=β ∴),6

5(,ππβα∈，α+2β)3,25(ππ

∈,又

tan2β=

43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,[来源:https://www.360docs.net/doc/8113879933.html,]∴α+2β=4

11π

【拓展提高参考答案】

1、【解析】 (1)f(x)＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π

＝3sin(π4x －π

3)，故f(x)的最小正周期为T ＝2π

π4

＝8

(2)法一：在y ＝g (x)的图象上任取一点 (x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g(x)).

由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin[π4(2－x)－π

＝3sin[π2－π4x －π3]＝3cos(π4x ＋π

)，

当0≤x≤43时， π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g(x)在区间[0，43]上的最大值为g(x)max ＝3cos π3＝3

法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[2

3，2]，且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称，故

y ＝g(x)在[0，43]上的最大值为y ＝f(x)在[23，2]上的最大值，由(1)知f(x)＝3sin(π4x －π

3)，

当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6，因此y ＝g(x)在[0，43]上的最大值为g(x)max ＝3sin π

6＝32. 2、【解析】(1)∵a ＝(cos α，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)， ∴a －b ＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ). ∵|a －b|＝

255，∴(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝3

. (2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π，∵cos(α－β)＝35，∴sin (α－β)＝45 ∵sin β＝－513，∴cosβ＝12

13，

∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45·1213＋35·(－513)＝33

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-．三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。（5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.

1 三角恒等变换中角变换的技巧一、利用条件中的角表示目标中的角例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3 已知sin=, 0

五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值.

三角恒等变换(测试题及答案)

三角恒等变换测试题第I 卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（） A 0 B 12 C D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. 函数sin cos y x x =+的最小正周期为（） A. 2 π B. π C. 2π D. 4π 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（） A 47 - B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12 π 个单位

简单的三角恒等变换(基础)

第20讲：简单的三角恒等变换【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定，或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一

三角恒等变换知识点加练习汇总

三角恒等变换测试题＿____贺孝轩三角函数 1.画一个单位圆,则x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2.一些诱导公式 ααπααπααπtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=--=-=- ααπ ααπααπ cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( =-=-=-? (只要两角之和为/2就行）３.三角函数间的关系 1cos sin 22=+α ? αα22sec 1tan =+, α α αcos sin tan = ?αααcos tan sin ?= ４.和差化积 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± , βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?±= ± 5．二倍角 αααcos sin 22sin = ， ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α α α2tan 1tan 22tan -= 6.二倍角扩展 αα cos 12 cos 22 += ， αα cos 12 sin 22 -= , 2)2 cos 2(sin sin 1α α α±=± )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα +=± 7.)sin(cos sin 22θαβα++= +b a b a ,其中2 2 cos b a a += θ，2 2 sin b a b += θ a b = θtan 8.半角公式 θ θ θ θθ θ θθ sin cos 12 cos 2sin 22 sin 22 cos 2sin 2 tan 2 -= ==

(完整版)《三角恒等变换》单元测试题

普通高中课程标准实验教科书·数学·必修④第三章《三角恒等变换》单元测试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1、已知3cos 5α=-，,2παπ??∈ ???，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是（） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 2、已知α和β都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是（） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 3、已知32,244x k k ππππ? ?∈- + ???()k Z ∈，且3cos 45x π??-=- ???，则cos2x 的值是（） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、725 4、设()()12cos sin sin cos 13 x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则2 y tan 的值是（） A 、23± B 、32± C 、32- D 、23- 5、函数()sin cos 22f x x x π π =+的最小正周期是（） A 、π B 、2π C 、1 D 、2

6、已知12sin 41342x x πππ????+=<< ? ?????，则式子cos 2cos 4x x π??- ??? 的值为（） A 、1013- B 、2413 C 、513 D 、1213 - 7 、函数sin 22 x x y =+的图像的一条对称轴方程是（） A 、x =113 π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 8、已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则sin x 的值为（） A 、45 B 、45 - C 、35- D 、9、已知0,4πα? ? ∈ ???，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7 β=-，则2αβ-的值是（） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 10、已知不等式( )2cos 0444x x x f x m =+≤对于任意的566 x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（） A 、m ≥ 、m ≤ C 、m ≤ 、m ≤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上） 11 、函数sin 234y x x π??=+++ ??? 的最小值是 12、关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题：

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件（3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等），

三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。例1求证：tan 23x - tan 21x =x x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2 1 x ，可作以下证明： 2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。例2 设A B A tan )tan(-+A C 22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。思路分析：欲证tan 2 C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。 3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4 α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：

将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如 1=sin 2 α+cos 2 α=sec 2 α-tan 2 α=csc 2 α-cot 2 α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450 =sin900 =cos00 等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。例4 求证 αααα2 2sin cos cos sin 21--=α α tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2 α+cos 2 α”代替，问题便迎刃而解。 5．化参数用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。例5 已知acos 2 α+bsin 2 α=mcos 2 β，asin 2 α+bcos 2 α=nsin 2 β，mtan 2 α=ntan 2 β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2 ( ≠0，1)。求证：tan 2 2α= -+11tan 22 β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将分离出来，以结论中 -+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。

三角恒等变换知识点总结

、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ）； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形把两个三角函数的和或差化为形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2

三角恒等变换知识点加练习汇总

三角恒等变换测试题 _____贺孝轩三角函数 1.画一个单位圆，则x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2.一些诱导公式 ααπααπααπtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=--=-=- ααπ ααπααπ cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( =-=-=-? （只要两角之和为错误！未找到引用源。/2就行） 3.三角函数间的关系 1cos sin 22=+α ? αα22sec 1tan =+， α α αcos sin tan = ?αααcos tan sin ?= 4．和差化积 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ， βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (?±= ± 5．二倍角 αααcos sin 22sin = ， ααααα2 222s i n 211c o s 2s i n c o s 2 c o s -=-=-= α α α2tan 1tan 22tan -= 6.二倍角扩展 αα cos 12 cos 22 += ， αα cos 12sin 22 -= ， 2)2 c o s 2(s i n s i n 1α αα±=± )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα +=± 7.)sin(cos sin 22θαβα++= +b a b a ，其中2 2 cos b a a +=θ，2 2 sin b a b += θ a b = θtan 8.半角公式 θ θ θ θθ θ θθ sin cos 12 cos 2sin 22 sin 22 cos 2sin 2 tan 2 -= ==

知识讲解-三角恒等变换-基础

三角恒等变换【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α；

ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。考点三、二倍角公式的推论降幂公式：ααα2sin 21 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)

三角恒等变换技巧

三角恒等变换技巧三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益 · 一、切割化弦 “切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想．【例1】证明：ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin 22 +=++ 证明：左边ααα αααααcos sin 2sin cos cos cos sin sin 22 +?+?= ααααααααααααc o s s i n 1 c o s s i n )c o s (s i n c o s s i n c o s c o s s i n 2s i n 2224224=+=++= 右边α αααααααααcos sin 1 cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+= ∴左边～右边．原等式得证．点评“切割化弦”是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法．当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类．【例2】已知θ同时满足b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22 =-=-θθθθ和，且b a ,均不为零，试求“b a ,”b 的关系．解：?????=-=-② ① b a b a b a 2sec cos 2cos sec 2 2 θθθθ 显然0cos ≠θ，由①×θ2 cos +②×θcos 得： 0cos 2cos 22=+θθb a ，即0cos =+b a θ 又0≠a ，∴a b -=θcos 代入①得a a b b a 2223=+ 0)(222=-?b a ∴22b a = 点评本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径．【例3】化简)10tan 31(50sin 00+ 解：原式=000000 010cos ) 10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +?=+ 110 cos 80sin 10cos 10cos 40sin 210cos )1030sin(250sin 0 000000 00===+?= 点评这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧．二、角的拆变在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为

三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结

三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与重合，角的始边与重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是． 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则L= ． S= 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???．口诀：奇变偶不变，符号看象限．重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

测试题高中数学必修三角恒等变换测试题

三角恒等变换测试题一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知)2,2 3(,1312cos ππαα∈= ，则=+)4(cos π α（） A. 1325 B.1327 C.26 217 D.262 7 2.若均βα,为锐角，==+= ββααcos ,5 3 )(sin ,552sin 则（） A. 552 B.2552 C.25 52552或 D.552- 3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos π πππ（） A.23- B.21- C.2 1D.23 4.=-+0000tan50tan703tan50tan70（) A.3B. 33C.3 3 - D.3- 5. =?+α αααcos2cos cos212sin22（） A.αtan B.αtan2 C.1D.2 1 6.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（） A.x sin 2 B.x sin 2- C.x cos 2 D.x cos 2- 7.已知等腰三角形顶角的余弦值等于5 4,则这个三角形底角的正弦值为（） A ． 1010B ．1010-C ．10103D ．10 103- 8.若).(),sin(32cos 3sin 3ππ??-∈-=-x x x ，则=?（）

A.6π - B.6 πC. 65πD.65π- 9.已知1 sin cos 3 αα+=，则sin 2α=（） A ．89 -B ．21-C ．21 D ．89 10. 已知cos 23 θ=，则44cos sin θθ-的值为（） A ．3- B ．3C ．4 9 D ．1 11.求=11 5cos 114cos 113cos 112cos 11cos πππππ （） A.521 B.42 1C.1D.0 12. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是（） A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=- D ．3 x π =- 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+= = ,5 1cos ,10 1cos ． 14．在ABC ?中，已知tanA,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C =． 15.若5 4 2cos ,532sin -==αα ，则角α的终边在象限． 16.代数式sin15cos75cos15sin105o o o o += ．三．解答题（共6个小题，共74分） 17．（12分）△ABC 中，已知的值求sinC ,13 5 B c ,53cosA ==os ． 18．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,5 3 )(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<． 19．（12分）已知α为第二象限角，且sinα=,415求1 2cos 2sin ) 4sin(+++ ααπ α的值． 20.（12分）已知71 tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2． 21．（12 分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈.

必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类的总结

三角函数知识点总结 1、任意角：正角：；负角：；零角：； 2、角α的顶点与重合，角的始边与重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在x 轴上的角的集合为终边在y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是() 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

人教版必修高一数学《三角恒等变换》测试题A卷及答案

高中数学必修4??第三章《?三角恒等变换》测试题A卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．计算1－2sin222.5°的结果等于() A. B.C. D. 2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于() A.B.C．－D．－ 3．已知cos＝，则sin2α的值为() A.B．－C. D．－ 4．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于() A．－3B．－C．3 D. 5．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是() A.B.C. D．1＋ 6．y＝cos2x－sin2x＋2sin x cos x的最小值是() A.B．－C．2 D．－2 7．已知sin＝，则cos的值为() A.B．－C. D．－ 8.等于() A.B.C．2 D. 9．把[sin2θ＋cos(－2θ)]－sincos(＋2θ)化简，可得() A．sin2θB．－sin2θC．cos2θD．－cos2θ 10．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，则tan(α＋β)·tanα的值为() A．±4B．4C．－4 D．1 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. 12．化简的结果为________． 13．若α、β为锐角，且cosα＝，sinβ＝，则α＋β＝______. 14．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．三、解答题（共76分）. 15.（本题满分12分）已知cosα－sinα＝，且π<α<π，求的值．

三角恒等变换知识点总结详解

第三章三角恒等变换一、知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．2 2 2 )cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2 222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-=． ⑶2 2tan tan 21tan α αα = -． 3、 ? （后两个不用判断符号，更加好用） 4、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]cos α·sin β=21 [sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)]sin α·sin β= -2 1 [cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式 sin α+sin β= 2 cos 2 sin 2β αβ α-+sin α-sin β=2 sin 2 cos 2β αβ α-+ αααα ααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos : +-±=-± =+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin : 2 2 2α α αααα万能公式+-=+=

高三数学9种常用三角恒等变换技巧总结

高中数学：9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益。 “切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想．在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为（α+β）-β；2α可变为（α+β）+（α-β）；2α-β可变为（α-β）+α；α可视为α/2的倍角等等．

遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略．本题中首先化异角为同角，消除角的差异，然后化简求值．关于积化和差、和差化积公式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视．跟代数恒等变换一样．在三角变换时，有时适当地应用”‘加一项再减去这一项”. “乘一项再除以同一项”的方法常能使某些问题巧妙简捷地得以解决．

根据题目的特点，总体设元，然后构造与其相应的对偶式，运用方程的思想来解决三角恒等变换，也是常用的方法，本题也可以采用降次、和积互化等方法。．目前高考中，纯三角函数式的化简与证明已不多见，取而代之的题目经常是化简某一三角函数，并综合考查这一函数的其他性质．但。凡是与三角函数有关的问题，都以恒等变形、条件变形为解题的基石，因此本专题内容的重要性不言而喻．至于在三角条件恒等证明中如何用三内角和的性质、正余弦定理进行边角关系转换等，我们就不另加赘述了．