辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2013届高三上学期10月第一次模拟考试数学理试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A ，B 都是非空集合，则“()x A B ∈ ”是“x A ∈且x B ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件

2. 在右程序框图中，当n N +∈(1)n >时，函数()n f x 表示函数1()n f x -的导函数.若输入函数

1sin cos =+()f x x x ，则输出的函数()n f x 可化为

A

-x π

)4

B

．-x π

)4

C

+x π

)4

D

．+x π

)4

3．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足

(21)(3)f x f -<-的x 取值范围是

A ．(1,2)-

B ．(,1)-∞-

C ．(,2)-∞

D ．(2,1)- 4．下列说法错误的是

A ．若命题2

:,10p x R x x ?∈-+=，则 2:,10p x R x x ??∈-+≠

B ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，

则

0ab ≠”

C ． “1

sin 2

θ=

”是“30θ= ”的充分不必要条件 D ．若命题“p ?”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题

5．设b a b

x g ax x f x

x x

+-=++=是奇函数，那么是偶函数，24)()110lg()(的值为

A ．1 B.－1 C ．－

21 D ．2

1 6．如果)(x f '是二次函数, 且 )(x f '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是

第2题图

A ．]3

,

0(π

B ．)2,

3[

π

π C ．]32,2(ππ D ．),3

[ππ

7．若第一象限内的点(,)A x y ，落在经过点(6,2)-且具有方向向量(3,2)a =-

的直线l 上，

则322

3

log log y x -有

A ．最大值

32 B ．最大值1 C ．最小值3

2

D ．最小值1 8．如图甲所示，三棱锥P ABC -的高8,3,30,PO AC BC ACB M N ===∠=?、分别在BC 和

PO 上，且,2((0,3])CM x PN x x ==∈，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥N AMC -的体

积V 与x 的变化关系，其中正确的是

9．函数)42(cos 2)

2

1()(1

≤≤-+=-x x x f x π的所有零点之和等于

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

10．已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为

A 2+

B 1+

C 2-

D 1- 11．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意,R αβ∈，总有[]()()()f f f αβαβ+-+= 2012，则下列说法正确的是

A ．()1f x -是奇函数

B ．()1f x +是奇函数

C ．()2012f x -是奇函数

D ．()2012f x + 是奇函数 12．已知R 上的不间断函数)(x g 满足：①当0>x

时，0)(>'x g 恒成立；②对任意的R

x ∈

都有)()(x g x g -=。又函数)(x f 满足：对任意的R x ∈，都有)f x +=

()f x -成立，当]3,0[∈x 时，x x x f 3)(3-=。若关于x 的不等式[()]g f x ≤

2(2)g a a -+对]3,3[-∈x 恒成立，则a 的取值范围

A ．10≥≤a a 或

B ．10≤≤a

C ．11≤≤-a

D ．R a ∈

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．设2(01)()2(12)

x x f x x x ?≤<=?-<≤? 则2

0()f x dx ?= ．

14．命题“(1,2)x ?∈时，满足不等式240x mx ++≥”是假命题，则m 的取值范围

__________．

15．在区间[0,1]上任意取两个实数a b 、，则函数3

1()2

f x x ax b =+-在区间[1,1]-上有且仅有一个零点的概率为_______________． 16．如图是函数2sin ()x f x x bx c π=

-+的图像的一部分，若图像的最高点的纵坐标为4

3

，则

b c += ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知命题p ：不等式a 2-5a -3≥3恒成立，命题q ：不等式x 2+ax +2＜0有解；若p 为真命题，q 为假命题，求a 的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知函数426cos 5sin 4()cos 2x x f x x

+-=

(Ⅰ)判断()f x 的奇偶性；(Ⅱ)求()f x 的值域．

19．（本小题满分12分）

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车

投入成本增加的比例为x (0

知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．

(Ⅰ)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？

(Ⅱ)年销售量关于x 的函数为y ＝3240(－x 2＋2x ＋5

3

)，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？

最大利润为多少？

20．（本小题满分12分）

已知函数)()14(log )(4R k kx x f x ∈++=为偶函数. (Ⅰ) 求k 的值;

(Ⅱ) 若方程)2(log )(4a a x f x -?=有且只有一个根, 求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分12分）

已知函数2(),()2ln (x f x g x a x e e

==为自然对数的底数）

． (Ⅰ)求F (x )=f (x )-g (x )的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值； (Ⅱ)是否存在正常数a ，使f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切

线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分12分）

已知函数()ln (0)f x x p =

->是增函数。

（I ）求实数p 的取值范围；

（II ）设数列{}n a 的通项公式为n a =前n 项和为S ，求证：2ln(1).n S n ≥+

高三年级第一次模拟试题数学答案 (理科)

一、选择题：

19．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)由题意得，上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )；本年度每辆车的出厂价为13(1＋0．7x )；本年度年销售量为5000(1＋0．4x )，因此本年度的利润为y ＝[13(1＋0．7x )－10(1＋x )]·5000(1＋0．4x )＝(3－0．9x )·5000(1＋0．4x )＝－1800x 2＋1500x ＋15000(015000，解得0

6，x 在此范围内，本年度的年利润比上年度有所增加．

(Ⅱ)本年度的利润为f (x )＝(3－0．9x )·3240(－x 2＋2x ＋5

3)＝3240×(0．9x 3－4．8x 2＋4．5x ＋5)．则f ′(x )＝3240(2．7x 2－9．6x ＋4．5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3，当x ∈(0，59)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(59，1)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．∴当x ＝59时，f (x )取极大值f (59)＝20000万元，∵f (x )在 (0,1)上只有一个极大值，∴它是最大值，∴当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． 20．（本小题满分12分） 解：（1）因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =- =-+-kx x

)14

(log 4kx x

x

x 2)14(log 4

14log 44=+-+ ?0)12(=+x k 2

1-=?k …4分

（2）依题意知：x x 21)14(log 4-+)2(log 4a a x

-= ?

?

?>-??-?=+?0)2(2)2(14a a a a x x x x *

令x t 2= 则*变为01)1(2=++-at t a 只需其有一正根。 …5分 （1）1,1-==t a 不合题意 …7分

（2）*式有一正一负根??

?

??<-=>--=?011

)1(4212a t t a a 经验证满足02>-?a a x 1>∴a …9分 （3）两相等2220-±=?=?a 经验证02>-?a a x 222--=∴a …11分 综上所述1>∴a

或222--=a …12分

21．（本小题满分12分）

(Ⅱ)方法一，若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，

则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数F(x)有且只有一个零点 …… 7分

由(Ⅰ)的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得 ………… 8分

此时，2

()()()2ln 0x F x f x g x x e

=-=-≥

，min ()0F x F ==

∴1,f g ==∴f(x)与g(x)

的图象的唯一公共点坐标为

又f g

''==

，∴f(x)与g(x)的图象在点处有共同的切线，

其方程为1y x

-=

-，即1y x =

- ………… 12分

综上所述，存在a 1=，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为 1.y x

=

- ………… 14分

22．（本小题满分12分）

⑴解：由题意，函数()f x 的定义域为[1,)+∞，由函数()f x 是增函数知

1

()0f x x

'=

-

≥对1x >恒成立， … 3分

令0t t =

>，max 22(

)1t t ≥+，注意到2

120t t +≥>，所以max 2

2()11

t t =+ ， 即

1≥，所以1p ≥为所求. ………6分

⑵证明：由⑴知，()ln f x x =

-是增函数，所以()(1)0f x f ≥=ln x ≥，

对1x ≥恒成立. ………… 8分

注意到n a ==2

2

(1)ln n n a n

+≥. ……10分