数学建模复习题

1、一房地产公司有50套公寓要出租。当租金为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？

解：

设月租金定为180+10x 元，那么有x 套公寓租不出去，则收入为 （180+10x ）（50-x ）-（50-x ）*20 =9000+320x-10x^2-1000+20x =8000+340x-10x^2 =-10（x^2-34x-800）

=-10（x^2-34x+289-1089） =-10（x-17）^2+10890

即x=17时，收入为最高为 10890元 180+10x=350 元

答：当月租定为350元时，收入最高，最高为10890元

2、设某种新产品要推向市场，t 时刻产品销售增长率与销售量x （t ）成正比，设市场容量为N ，试确定产品销售增长曲线。

设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率t

x

d d 与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明t

x

d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有

t

x

d d =kx(N=x)， (1043)

其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得

x(t)=

kNt

C N

-+e

1 (1044) 方程(1043)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10

4

4)也称为逻

辑斯谛曲线．

由

t x d d =()

221kNt kNt

C k CN --+e

e

以及

22t x d d =()

3231)

1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-e

e e ， 当x(t*)＜N 时，则有t

x

d d ＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)

2

N

时，2

2t x d d 0;

当x(t*)＞2N 时，22t x d d ＜0；当x(t*)＜2

N

时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求

量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．

国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10

4

4)

的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．

3、一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A 元，银行的年利率为r ，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？ 解：（1）设月利率为r ，按月按复利进行计算， 第一个月存款所得的复利终值为1F =60)1(100r +; 第二个月存款所得的复利终值为2F =59)1(100r +； 第三个月存款所得的复利终值为3F =58)1(100r +； ·

第五年的最后一个月存款所得的复利终值为60F =)1(100r +。 五年后，养老金为 F=1F +2F +·+60F =)]1(``````)1()

1[(1005960

r r r ++++++

=r

r r 6060)1](1)1[(100+-+

。

价格随时间的变化趋势时，价格上涨。试分析价格下跌，时，

系变化，即。已知价格根据供求关均为常数且、、、其中，

）（，）（和需求函数分别为、设某商品的供给函数D S D S b b a P P D bP a P S <>>β>βαβ-α=+=004,

5、一个银行的统计资料表明，存放在银行中的总存款量正比于银行付给存户利率的平方。现在假设银行可以用12%的利率再投资这笔钱。试问为得到最大利润，银行所支付给存户的利率应该定为多少？

解 假设银行支付给存户的年利率是r,(00, 为比例系数)

把这笔钱以12%的年利率贷出一年后可得款额为 (1+0.12)A, 而银行支付给存户的款额为(1+r)A, 银行获利为 L(r) = (1 + 0.12)A - (1+ r)A = (0.12 - r)A = (0.12 - r)k r 2

0)324.0(2=-=r r k dr dp

所以 r=0.08, r=0 (舍去)

当 r<0.08时，L ’ ( r ) >0, 当 r>0.08时，L ’ ( r)<0, 且 r = 0.08 是 (0,1) 中唯一的极值点

故取8% 的年利率付给存户银行可获得者大利润

6、设某航空公司发展新的航线，需要增加5架波音747客机。如果一次性购入，每架飞机的价格为5000万美金，飞机使用寿命为15年；如果采用租用飞机的方式，每年每架飞机需交纳600万美金的租金，租金以货币均匀流的方式支付。设银行的年利率为12%，试问该公司应该采用购买飞机还是租借飞机的方案。

解：购买一架飞机可以使用15年，但需要马上支付5000万美元．而同

样租一架飞机使用15年，则需要以均匀货币流方式支付15年租金，年流量为600万美元．两种方案所支付的价值无法直接比较，必须将它们都化为同一时刻的价值才能比较-我们以当前价值为准。购买一架飞机的当前价为5000万美元。 下面计算均匀货币流的当前价值：设t=0时向银行存入美元，按连续复

利计算，t 年后的A 美元在t=0时的价值为

美元，那么，对流量为a 的均

匀货币流，在[t , t+Δt]时所存入的美元，在t=0时的价格是t ae te a n n ∆=∆-- 由微元法可知，当t 从0变到T 时，[0,T]周期内均匀流在 t=0时的总价值可表示为

因此，15年的租金在当前的价值为

（万美元）

当r=12%时

（万美元）

比较可知，此时租用客机比购买客机合算。 当r=6%时

（万美元）

此时购买客机比租用客机合算

7、设层次分析法中某成对比较矩阵为⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛14/16/1412/1621

，试计算对应权向量并进行

一致性检验。（三阶矩阵随机一致性指标为0.58）

8、在某城市中有15万人具有本科以上学历，其中有1.5万人是教师，据调查，其中每年有10%的教师从教师职业转为其他职业，又有1%的其他职业者转入教师职业，试预测10年后这15万人中有多少人还在从事教师职业。

（0.8910=0.3118）

解：用()i X 表示第i 年后做教师职业和其他职业的人数，则()0 1.513.5X ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦。用矩阵⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=99..010.001.090.0A 表示教师职业和其他职业间的转移，90.011=a 表示每年有90%的人原来是教师现在还是教师；10.021=a 表示每年有10%的人从教师职业转为其他职业。120.01a =表示每年有1%其它职业的人转为教师；220.99a =表示其它职业的人每年有99%的人仍为其他职业。显然

()()100.900.01 1.5 1.4850.100.9913.513.515X AX ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即一年后从事教师职业和其他职业的人数人别为1.485万及13.515万.

又 ()()()()()()210

102,

,n n n X AX A X X AX A X -====

所以()()10010X A X =.为计算10A 先需把A 对角化。即找出和A 相似的矩阵。

()()890

.089.1001.0891.089.1001.099.09.099

.01

.001

.09

.022+-=-+-=---=----=

-λλλλλλλλλA E 2121,89.0,1λλλλ≠==,故A 可对角化。

11=λ代入()0=-x A E λ.得其对应特征向量⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=1011p .

89.02=λ代入()0=-x A E λ.得其对应特征向量⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=112p .

令 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1101121p p P ，有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=Λ=-89.00011

AP P ,Λ为A 的相似矩阵. 1-Λ=P P A ,P P A 1010Λ=,而⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=

-11011111110111111P

A

()5

.0==A P p ()()10010110111

011 1.5 1.5425110100.8910113.513.457511X P P X -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=Λ=

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

所以10年后.有1.54万人当教师，13.46万人从事其他职业。

9、某人用分期付款的方式购买一套住宅，已知其贷款了M 元，还贷月利率为r ，共贷款N 年。此人采用每月还款金额固定减少的方式归还贷款（即前一月与后一月还款金额之差保持不变），

（1）试建立模型计算该人第一个月应归还多少贷款且今后每月应减少多少金额，可使其总支付费用最小。（不需求解） （2）试写出相应的MATLAB 求解程序

10、某人随身携带了两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n 根火柴。每次使用时，随机地从其中一盒中取出一根，试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。 我们不妨把使

用一次火柴看作一次试验，每次试验的结果只有两

个：取于甲盒（记为 A ）和取于乙盒（记为）由于使用时从任一盒中取，因此

假如甲盒已空而乙盒还剩r 根火柴，则在此之前一定已经取过 2n-r 次，其中恰好有 n 次取于甲盒，有n- r 次取于乙盒，而第2n-r+1次必然抓了甲盒，因此这种情况的概率为

r

n n n r n C p --⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛=21212121r

n n

n r n C p --⎪

⎭⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212122r

n n

r n r

n n n r n C C p p p ----⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛=+=22221212121

假如乙盒已空而甲盒还剩 r 根火柴，同样的道理可得概率为

因此一盒火柴已经用完另一盒中还剩根的概率为

11、一家石油公司的炼油厂提供两种无铅汽油燃料：无铅高级汽油和无铅普通汽油。炼油厂购买四种不同的石油原料，每种原料的化学成分分析、价格及购买上限见下表：

无铅高级汽油的售价是1.00美元/加仑，它应至少含有60%的A 成分，20%的B 成分，而不能超过10%的C 成分。无铅普通汽油的售价是每加仑0.90美元，它应至少含有50%的A 成分，15%的B 成分，而不能超过15%的C 成分。公司预测：无铅高级汽油的销售量为6000加仑，无铅普通汽油的销售量为9000加仑。

（1）试建立线性规划模型，确定每种汽油中各种原料的用量，使得公司获得最大的利润；

（2）写出相应的MATLAB求解程序。

设生产无铅高级汽油分别用到4种原料的量为x11,x12,x13,x14 生产无铅普通汽油分别用到4种原料的量为x21,x22,x23,x24

程序如下:

model:

max=0.3*x11+0.5*x12+0.35*x13+0.15*x14+0.2*x21+0.4*x22+0.25*x23+ 0.05*x24;

!4种原料的购买上限;

x11+x21<4000;

x12+x22<6000;

x13+x23<5000;

x14+x24<5000;

!A,B,C三种成分的含量的约束;

0.3*x11+0.1*x12-0.5*x13>0;

-0.13*x11+0.5*x13+0.1*x14>0;

-0.07*x11+0.1*x13<0;

0.4*x21+0.2*x22-0.4*x23+0.1*x24>0;

-0.08*x21+0.05*x22+0.55*x23+0.15*x24>0;

-0.12*x21-0.05*x22+0.05*x23-0.05*x24<0;

!销售的约束;

x11+x12+x13+x14<6000;

x21+x22+x23+x24<9000;

end

12 、假定雪球是半径为r的球，其融化时体积的变化率正比于雪球的表面积，比例常数为k>0。已知两小时内融化了其体积的四分之一。问期于部分在多长时间内全部融化完？

13某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒。瓶子的制造成本是2

0.8r π（分），其中r 是瓶子的半径，单位是厘米。假设每售出1立方厘米的酒，商人可获利0.2分，他能制作的瓶子最大半径为6厘米，问瓶子半径多大时，能使每瓶酒获利最大？.

•

分析：本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力. 解：由于瓶子的半径为r ,所以每瓶饮料的利润是

y =f (r )=0.2×πr 3-0.8πr 2

=0.8π(

-r 2

),0

令f ′(r )=0.8π(r 2

-2r )=0. 当r =2时,f ′(r )=0; 当r ∈(0,2)时,f ′(r )<0;

当r ∈(2,6)时,f ′(r )>0.

因此,当半径r >2时,f ′(r )>0,它表示f (r )单调递增,即半径越大,利润越高;半径r <2时,f ′(r )<0,它表示f (r )单调递减,即半径越大,利润越低.

半径为6 cm 时,利润最大.

14、已知世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数约为0.07。1970年初，消耗率大约为每年161亿桶。设)(t R 表示从1970年起第t 年的石油消耗率，则t

e t R 07.0161)( （亿桶）。试用此式估算从1970年到1990年间石油消耗的总量。

15一火山的形状可以用曲面)0(422>=+-z he z h y x 来表示。在一次喷发后，有体积为V 的熔岩黏附在山上，使它具有和原来一样的形状。求火山高度变化的百分比。

16均匀正方体骰子的六个面分别刻有1、2、3、4、5、6的字样，将一对骰子抛25次决定胜负，问 赌注押在“至少出现一次双六”或“完全不出现双六”的哪一种上有利？