中考数学专题复习常见模型方法数与式的规律问题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分

一、单选题

1．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是( ) A ．2925

B ．2025

C ．3225

D ．2625

2．已知又一个有序数组(),,,a b c d ，按下列方式重新写成数组()1111,,,a b c d ，使得1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，接着按同样的方式重新写成数组

()2222,,,a b c d ，使得211a a b =+，

211b b c =+，211c c d =+，211d d a =+，按照这个规律

继续写下去，若有一个数组(),,,n n n n a b c d 满足10002000n n n n

a b c d a b c d

+++<<+++，则n 的值

为（） A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

3．观察下列算式：122=，224=，328=，

4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，用你所发现的规律得出2017201822+的末位数字是（）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．6

4．观察下列等式：=123456733,39,327,381,3243,3729,32187,======．解答

下列问题：234202033333+++++的末尾数字是（）

A ．0

B ．2

C ．3

D ．9

5．观察下面由正整数组成的数阵：

照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（） A ．2500 B ．2501

C ．2601

D ．2602

6．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（）（用含n 的代数式表示）

．21n - B ．22n - C ．23n - D ．24n -

7．如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第n 个图形中小黑点的个数应该是（）

A ．41n +

B ．32n +

C ．51n -

D ．62n -

8．用火柴棒按下图的方式搭图形，搭第n 个图形需要火柴棒根数为（）

A ．21n

B ．2n

C ．21n -

D ．2(1)n +

9．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（）

A ．28

B ．30

C ．36

D ．42

10．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，⋯依此规律，如果第n 个图案中正三角形和

正方形的个数共有2021个，则n =（）

．504B．505C．506D．507

11．下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第①个图形一共有6颗棋子，第①个图形一共有16颗棋子，…，则第①个图形中棋子的颗数为（）

A．141B．106C．169D．150

12．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第50个图形中有（）个小圆圈．

A．2454B．2605C．2504D．2554 13．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个知形的面积为（）

A．1

B．

4n-

C．

D．

4n+

评卷人得分

二、填空题14．观察给定的分式，探索规律：

（1）1

，

，…其中第6个分式是__________；

（2）

，

-，

，

-，…其中第6个分式是__________；

（3）

-，

，

-，

，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．

15．若x 是不等于1的实数，我们把

-称为x 的差倒数，如2的差倒数是11,112=---的差倒数为

()11112=--，现已知121,3

x x =-是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，···，依此类推，则2020x =________． 16．已知：11t a t =

-，21

a a

=-，3211a a =- ，……，111n n a a +=-；则2020a ＝

_______．（用含t 的代数式表示）

17．如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为______．

18．观察数表：根据数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为_________．

19．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是

______． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ……

20．如图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用x 个如图1所示的图形拼出来的总长度y 会随着x 的变化而变化，y 与x 的关系式为y =______．

21．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品

．．．．．．，将这些作品

排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉

．．．．．．．．．．．．．．，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品________张．

22．德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；．．，一直如此操作下去大在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．

如图是最初几个阶段，

（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为____________．

（2）当达到第n个阶段时(n为正整数)，去掉的线段的长度之和为___ (用含n的式子表示)

评卷人得分

三、解答题

23．观察下面一列数，探求其规律：

1-，1

，

-，

，

-，

，…

（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？

（2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？

24．观察下面三行有规律的数： -2，4，-8，16，- 32，64，……① -4，2，-10，14，- 34，62，……① 4，-8，16，- 32，64，-128，……① （1）第一行数的第10个数是__________ ；

（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n 个数是_____________；（3）取每行的第100个数，计算这三个数和．

25．观察下列等式：

1122=-⨯，1112323=-⨯，1113434

=-⨯．将以上三个等式的两边分别相加，得：

11111

1223344556

++++⨯⨯⨯⨯⨯．（1）直接写出计算结果：111111223344556

++++⨯⨯⨯⨯⨯＝________．（2）计算：1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+．（3）猜想并直接写出：111

133557

(21)(21)

n n ++++

⨯⨯⨯-⨯+＝________．（n 为正

整数）

26．一列数123n a a a a 、、、、，其中11a =-，21

11a a =-，3

1a a =- ，……，1

1n n a a -=

-；求：（1）2020a 的值；（2）1232021a a a a ++++的值．

27．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：加数m 的个数

和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5

2+4+6+8+10＝30＝5×6

（1）按这个规律，当m ＝6时，和S 为；

（2）从2开始，m 个连续偶数相加，它们的和S 与m 之间的关系，用公式表示出来为：S ＝．（3）应用上述公式计算．．．．．．．．： ①2+4+6+…+100

①1002+1004+1006+…+1100 ①1+3+5+7+…+99

28．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a ，b ，c ，d ，x 表示．

（1）若17

x=，则a b c d

+++=______．

（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．

（3）设M a b c d x

=++++，判断M的值能否等于2010，请说明理由．

29．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，第3个图案中有16根小棒……

（1）第8个图案中有根小棒；

（2）如果第n个图案中有1011根小棒，那么n的值是多少？

30．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推．

（1）填写下表：

层数123456

该层对应的点数

所有层的总点数

（2）写出第n层所对应的点数．

（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗？

（4）有没有一层，它的点数为

100点？

（5）写出n层的六边形点阵的总点数．

答案第1页，共21页

参考答案：

1．A 【解析】【分析】

根据题意找到规律：()2

33333211234(1234)2n n n n ⎡⎤

+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦即可求解．

【详解】解：①13=12， 13+23=(1+2)2=32， 13+23+33=(1+2+3)2=62， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102， …，

①()2

33333211234(1234)2n n n n ⎡⎤

+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦，

53+63+73+83+93+103

=(33333123410++++⋯+)-(33331234+++)

(123410)(1234)=++++⋯+-+++

()()22

1011041422⎡⎤⎡⎤⨯+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

225510=-

2925=．

故选：A ．【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 2．B 【解析】【分析】

根据题意可得1111a b c d +++=2()a b c d +++，2222a b c d +++=22()a b c d +++，3333a b c d +++=23()a b c d +++，从而可得n n n n a b c d +++=2n ()a b c d +++，代入不等式

并化简可得100022000n <<，即可求出n 的值．

【详解】

解：①1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，

①1111a b c d +++=a b +＋b c +＋+c d ＋d a +=2()a b c d +++

①211a a b =+，211b b c =+，211c c d =+，211d d a =+

①2222a b c d +++=11a b +＋11b c +＋11c d +＋11d a +

=2()1111a b c d +++

=22()a b c d +++

同理可得：3333a b c d +++=23()a b c d +++

①n n n n a b c d +++=2n ()a b c d +++

①10002000n n n n a b c d a b c d

+++<<+++ ①()210002000n a b c d a b c d

+++<<+++ ①100022000n <<

①29=512，210=1024，211=2048

①10100022000<<

①n=10

故选B ．

【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．

3．D

【解析】

【分析】

因为122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，观察发

现：2n 的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据201745041÷=…

，201845042÷=…，得出20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，进一步求解即可．

【详解】

解：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，⋯． 201745041÷=…，

201845042÷=…，

①20172的个位数字与12的个位数字相同是2，

20182的个位数字与22的个位数字相同是4，

246+=．

故2017201822+的末位数字是6．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题． 4．A

【解析】

【分析】

通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得3+32+33+34+…+32020的末位数字是多少．

【详解】

解：①31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，

①3=3，

3+9=12，

12+27=39，

39+81=120，

120+243=363，

363+729=1092，

1092+2187=3279，

...

通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环

①2020÷4=505

①3+32+33+34+…+32020的末位数字是0

故选A．

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化规律是解题的关键．

5．B

【解析】

【分析】

观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．

【详解】

由题意可知，第n行的最后一个数是n2，

所以第50行的最后一个数是502=2500，

第51行的第1个数是2500+1=2501，

故选：B．

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n行的最后一个数是n2的规律．6．B

【解析】

【分析】

观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．

【详解】

解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），

所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，

所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是22

n ．

【点睛】

本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．

7．A

【解析】

【分析】

观察规律，逐个总结，从特殊到一般即可．

【详解】

第1个图形，1+1×4=5个；

第2个图形，1+2×4=9个；

第3个图形，1+3×4=13个；

第n个图形，1+4n个；

故选：A．

【点睛】

本题考查利用整式表示图形的规律，仔细观察规律并用整式准确表达是解题关键．

8．A

【解析】

【分析】

观察给出图形的根数，发现以此增加2，即可列出代数式．

【详解】

第一个图形有：1+2=3根，

第二个图形有：1+2×2=5根，

第三个图形有：1+2×3=7根，

第四个图形有：1+2×4=9根，

⋯⋯

①第n个图形有：2n+1根；

【点睛】

本题考查列代数式表示图形的变化规律，找准每个图形增加的数量关系是解题关键． 9．B

【解析】

【分析】

观察图形变化，得出n 张餐桌时，椅子数为4n +2把（n 为正整数），代入n ＝7即可得出结论．

【详解】

解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，

2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，

3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，

…，

n 张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n ，

令n ＝7，可得2+4×7＝30（把）．

故选：B ．

【点睛】

此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键．

10．B

【解析】

【分析】

根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值．

【详解】

解：①第①个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个；第①个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个；

第①个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个；第①个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；

①第n 个图案有()43131n n +-=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个

①第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个

①412021n +=

①505n =．

故选择：B

【点睛】

本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．

11．A

【解析】

【分析】

本题的图从①个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是5的整数倍关系．所以第①个图形中棋子的颗数也就容易计算了．

【详解】

解： ①第①个图形中棋子的个数为：1150=+⨯ ＝1＋5×0；

第①个图形中棋子的个数为：()15016+⨯+= ；

第①个图形中棋子的个数为：()1501216+⨯++=；

…

①第n 个图形中棋子的个数为：()()5n n 115012n 112

-+⨯+++

+-=+；则第①个图形中棋子的颗数为：58711412⨯⨯+

= 故应选A ．

【点睛】

本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．

12．D

【解析】

【分析】

设第n 个图形中有a n 个小圆圈(n 为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)”，再代入n ＝50即可求出结论．

【详解】

解：设第n 个图形中有a n 个小圆圈(n 为正整数)

观察图形，可知：a 1＝4+1×2，a 2＝4+2×3，a 3＝4+3×4，a 4＝4+4×5，…，

①a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)，

①a 50＝4+50×51＝2554

故选D ．

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)”是解题的关键．

13．B

【解析】

【分析】

易得第二个矩形的面积为(21)2，第三个矩形的面积为(41)2，依此类推，第n 个矩形的面积为(221

n -．【详解】

解：已知第一个矩形的面积为1；

第二个矩形的面积为原来的(22211)24⨯-=；

第三个矩形的面积是(23211)216⨯-=

； ⋯

故第n 个矩形的面积为：(2211

11)()244n n n ---==．故选：B ．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

14． 66x 1211x y - 31(1)n n n

b a -- 【解析】

【分析】

（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6

（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,

（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,

【详解】

解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是6

6x ，（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分

式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是12

11x y

-，（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个

符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31

(1)n n

n b a -- 【点睛】

本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键

15．13

- 【解析】

【分析】

根据差倒数的概念逐一计算，然后找到规律，利用规律即可解答．

【详解】

113

x =-， 21

3141()3x ∴==-- ，

同理，3414,3

x x ==- ， ①n x 是13,,434

-这三个数的循环． ①202036731÷= ，

202013

x ∴=-．故答案为：13

-．【点睛】

本题主要考查差倒数，理解差倒数的求法并找到规律是解题的关键．

16．1

t t - 【解析】

【分析】

观察数据可知，11t a t =-，2111a a =-=1-t ，3211a a =-=1t

，43111a a t t =--=，…，从第一项开始3个一循环，再用2020除以3得出余数即可求解．

【详解】

解：观察数据可知：11

t a t =-，2111a a =-=1-t ，3211a a =-=1t ，43111a a t t =--=，…，从第一项开始3个一循环，

①2020÷3＝673…1，

①2020a ＝11t a t =

-．故答案为：

t t -．【点睛】

考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．

17．370．

【解析】

【详解】

试题分析：观察可得左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，所以2n=20，m=2n﹣1，解得n=10，m=19，又因右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，由此可得第n个：2n（2n﹣1）﹣n，即可得x=19×20﹣10=370．

考点：数字规律探究题.

18．2n−1

【解析】

【分析】

由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，第n行与第n 列交叉点上的数构成一个等差数列．

【详解】

解：由给出排列规律可知，

第一行第一列交叉点上的数是1，

第2行第2列交叉点上的数是3，

…，

交叉点上的数构成一个等差数列．

第n 行与第n 列交叉点上的数是2n−1，

故答案为：2n−1．

【点睛】

本题考查归纳推理，解答关键是利用已有的数据进行归纳，解题时要认真审题，仔细解答．

19．640

【解析】

【分析】

观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．

【详解】

观察数字的变化可知：

第n行有n个偶数，

因为第1行的第1个数是：2＝1×0＋2；

第2行的第1个数是：4＝2×1＋2；

2021年中考数学专题复习专题49 中考数式图规律型试题解法(教师版含解析)

专题49 中考数式图规律型试题解法给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．这类问题成为探索规律性问题。主要采用归纳法解决。 1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题． 2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容． 3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合． 4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题． 5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．【例题1】(2019安徽合肥)观察下列各组式子： ① 26115 1 3133 ?- +== ? ； ②1262111 353515 ?- +== ? ；

③ 1263117 (575735) ?-+==? (1)请根据上面的规律写出第 4个式子； (2)请写出第n 个式子，并证明你发现的规律．【答案】(1)1264123797963 ?-+==?；(2)()()126121212121n n n n n ?-+=-+-?+，证明见解析．【解析】(1) 1264123 797963 ?-+==? (2)()() 126121212121n n n n n ?-+=-+-?+ 证明：等式左边12 2121 n n = +-+， ()()()()() 22121 21?2121?21n n n n n n -+= +-+-+ ()()()2122121?21n n n n ++-= -+ ()( )61 21?21n n n ?-= -+ ∵等式右边为 ()()61 2121n n n ?--?+，与等式左边计算出的结果相等， ∴()() 1261 21212121n n n n n ?-+=-+-?+成立. 【点拨】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.

中考数学专题复习—数与式[整理]

中考数学专题复习—数与式知识点拨 1．了解有理数、无理数、实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、立方根等概念，了解实数和数轴上的点的一一对应关系，会比较实数的大小，能运用上述知识解决相关问题． 2．理解科学记数法、近似数的精确度、有效数字的概念，会按要求用科学记数法表示数，会用四舍五入法按给定的精确度求数的近似值． 3．弄清多项式乘法与因式分解从运算上看是互逆的，它们都属于整式的恒等变形，能熟练地应用因式分解的方法进行数与式的运算． 4．掌握分式有意义和分式值为零时条件的联系与区别，二次根式及其被开方数都是非负数的条件，清楚分式及二次根式的性质是进行相关运算及化简的重要依据． 5．熟练掌握有关数与式的运算法则，运算律及公式，注意运算的规律和技巧，对于混合运算应做到运算步步有据，保证运算的合理与准确．考点导析实数与代数式是初中数学中重要的基础知识，是中考的必考内容．这部分知识散布于多个章节之中，知识点琐碎，但概念性强，在中考试卷中多以填空题、选择题、化简或求值的形式出现．所以在复习时一定要加强对各个概念、性质和公式的辨析和理解．典题释解例1 2003年10月15日9时10分，我国神舟五号载人飞船准确进入预定轨道．16日5时59分，返回舱与推进舱分离，返回地面．其间飞船绕地球共飞行了14圈，飞行的路程约60万千米，则神舟五号飞船绕地球平均每圈约飞行 (用科学记数法表示，结果保留三个有效数字) （） A ．4.28×104千米 B ．4.29×104千米 C ．4.28×105千米 D ．4.29×105千米分析：本题主要考查实数的运算、科学记数法和有效数字．因为1万＝104，60万＝60×104，所以把60×104÷14的近似值首先用科学记数法表示出来，然后再根据有效数字的定义从这个数的左边第一个数字起，确定三个有效数字后，再对第四个数字实施四舍五入即可得到正确的结果4.29×104．答：B ．反思：有效数字可以说明近似数的精确程度，科学记数法可以将较大或较小的数简明的表示出来，它们的应用十分广泛，是解决日常生活和社会科学中问题的必备知识之一，也是中考的重要知识点．例2 若2 )a 与1b -互为相反数，则2 a b -的值为．分析：本题难度不大，但所考查的知识点较多，主要考察了互为相反数的概念、非负数的概念与性质、二次根式的化简、代数式求值等多个知识点，理解并熟练掌握这些基础知识，是解决这类问题的关键．解：由互为相反数的定义，得2)a ＋1b -＝0．再根据非负数的性质，得2)a ＝0，1b -＝0．解得1a b =． ∴2a b -1==． 1．反思：实数的重要性质：互为相反数的两个数的和为零；互为倒数的两个数之积等于 1．以及非负数的重要性质：几个非负数的和为零，则这几个非负数同时为零．这些都是中考命题的热点知识．例3 设a a 在数轴上对应的点的大致位置是（）

中考数学复习数与式知识点总结

中考数学复习数与式知识点总结第一部分：教材知识梳理-系统复第一单元：数与式第1讲：实数知识点一：实数的概念及分类 1.实数是按照定义和正负性来分类的。其中，既不属于正数也不属于负数的数是零。无理数有几种常见形式：含π的式子是正有理数；无限不循环小数是无理数；开方开不尽的数是无理数；三角函数型的数是实数。有理数包括正有理数、负有理数和零。负无理数和正无理数的定义很明确。 2.在判断一个数是否为无理数时，需要注意开得尽方的含根号的数属于无理数，而开得尽的数属于有理数。

3.数轴有三个要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点一一对应，数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 4.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等。 5.绝对值是一个数到原点的距离。它有非负性，即绝对值大于等于0.若|a|+b2=0，则a=b=0.绝对值等于该数本身的数是非负数。知识点二：实数的相关概念 2.数轴是一个直线，用来表示实数。数轴上的每个点都对应着一个实数，反之亦然。 3.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0. 4.绝对值是一个数到原点的距离。它有非负性，即绝对值大于等于0.

5.倒数是乘积为1的两个数互为倒数。a的倒数是1/a(a≠0)。 6.科学记数法是一种表示实数的方法，其中1≤|a|＜10，n 为整数。确定n的方法是：对于数位较多的大数，n等于原数的整数位减去1；对于小数，写成a×10n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）。 7.近似数是一个与实际数值很接近的数。它的精确度由四舍五入到哪一位来决定。例：用科学记数法表示为2.1×104. 19万用科学记数法表示为1.9×10^5，0.0007用科学记数法表示为7×10^-4. 知识点三：科学记数法、近似数科学记数法是一种表示极大或极小数的方法，它的基本形式是a×10^n，其中1≤a<10，n为整数。近似数是指在一定精

中考数学重难点;规律探究之探究数与式的规律(含答案)

探究数与式的规律 1.观察算式，探究规律：当n=1时，S1=13=1=12；当n=2时，S2＝13+23＝9＝32；当n=3时，S3＝13+23+33＝36＝62；当n=4时，S4＝13+23+33+43＝100＝102； … 那么S n与n的关系为（） A. n4+n3 B. n4+n2 C. n2（n+1）2 D. n（n+1）2 2.观察下列各式： =1+﹣=1 =1+﹣=1 =1+﹣=1 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）=________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：________ （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）

3.请阅读下列材料： ∵；；； … ∴ = = = 解答下列问题：（1）在和式中，第5项为________，第n项为，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以________，从而达到求和目的．（2）利用上述结论计算： 4.观察下列算式： ①1×5+4=32， ②2×6+4=42， ③3×7+4=52， ④4×8+4=62， … 请你观察规律解决下列问题。（1）填空：________ ×________+4=20152．（2）写出第n个式子（用含n的式子表示），并证明．

5.观察下列各个等式的规律：第一个等式：=1，第二个等式：=2，第三个等式：=3…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的． 6.观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6=________=________；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n=________=________；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=________（得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．

中考数学专题复习常见模型方法数与式的规律问题

中考数学专题复习常见模型方法数与式的规律问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题 1．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是( ) A ．2925 B ．2025 C ．3225 D ．2625 2．已知又一个有序数组(),,,a b c d ，按下列方式重新写成数组()1111,,,a b c d ，使得1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，接着按同样的方式重新写成数组 ()2222,,,a b c d ，使得211a a b =+， 211b b c =+，211c c d =+，211d d a =+，按照这个规律继续写下去，若有一个数组(),,,n n n n a b c d 满足10002000n n n n a b c d a b c d +++<<+++，则n 的值为（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3．观察下列算式：122=，224=，328=， 4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，用你所发现的规律得出2017201822+的末位数字是（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．6 4．观察下列等式：=123456733,39,327,381,3243,3729,32187,======．解答下列问题：234202033333+++++的末尾数字是（） A ．0 B ．2 C ．3 D ．9 5．观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（） A ．2500 B ．2501 C ．2601 D ．2602

中考数学专题训练第2讲整式中的规律探究问题(解析版)

整式中的规律探究问题一．选择题组 1．（2021·重庆市育才中学九年级月考）用同样大小的圆按下列方式组成图案.第1个图形有7个圆.第2个图形有19个圆.第3个图形有37个圆.第4个图形有61个圆.….则第7个图中有（）个圆． A ．126 B ．148 C ．169 D ．212 【答案】C 【解析】解：根据图形可知.第1个图形中有7个圆.第2个图形中有7+2×6个圆.第3个图形中有7+2× 6+3×6个圆.第4个图形中有7+2×6+3×6+4×6个圆.....∴第7个图形就有7+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6+7×6=7+(2+3+4+5+6+7)×6=169(个).故选：C ． 2．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级月考）如图.“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一.从图中取一列数1.3.6.10.….记11a =.2312a ==+.36123a ==++.….那么911i 83a a a +-=.则i 的值是（） A ．13 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】D 【解析】解：由a 1＝1.a 2＝3.a 3＝6.a 4＝10.….知a n ＝1+2+3+…+n ()12 n n +=.∴a 9910 2 ⨯= =45、a i ()12 i i += 、a 111112 2⨯= =66.则a 9+a 11﹣a i ＝83.可得：45+66()12 i i +-=83.解得：i ＝7.（负根舍去）故选：D ． 3．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统.图2是某个学生的识别图案.灰色小正方形表示1.白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a .b .c .d .那么可以转换为该生所在班级序号.其序号为

备考2023年中考数学一轮复习-数与式_代数式_探索图形规律-综合题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-数与式_代数式_探索图形规律-综合题专训及答案探索图形规律综合题专训 1、 (2018龙港.中考模拟) 如图1，图2…、图m是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．（1）图1中3条弧的弧长的和为，图2中4条弧的弧长的和为；（2）求图m中n条弧的弧长的和(用n表示)． 2、 (2019.中考模拟) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）＝1，N（2，3）＝3，N（2，4）＝4． ①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式； ②通过进一步的研究发现N（n，5）＝n2﹣n，N（n，6）＝2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．

3、 (2018安徽.中考模拟) 利用图形来表示数量或数量关系,也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系,这种思想方法称为数形结合.你能利用数形结合的思想解决下列问题吗? （1）如图①,一个边长为1的正方形,依次取正方形面积的, , ,…, ,根据图示我们可以知道: + + + +…+ =.(用含有n的式子表示) （2）如图②,一个边长为1的正方形,依次取剩余部分的,根据图示: 计算: + + +…+ =.(用含有n的式子表示) （3）如图③是一个边长为1的正方形,根据图示: 计算: + + + +…+ =.(用含有n的式子表示) 4、 (2017安徽.中考模拟) 在如图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）

中考数学专题复习数与式

中考数学专题复习专题一数与式基础训练 1.如果a 与2-的和为O,那么a 是 B . 12 C .1 2 - D .2- 2.23 4 ()m m 等于 A.9 m B ．10 m C ．12 m D ．14 m 3. 若4x =,则5x -的值是 A ．1 B ．－1 C ．9 D ．－9 4、5-的相反数是 ,9的算术平方根是 ,-3倒数是 . 4.已知a-b 2 =4,ab=2 1,则a+b 2 = 5.在函数1-=x y 中,自变量x 的取值范围是 . 6.若分式 1 2 --x x 的值为零,则=x . 7.因式分解：=+-2 2 3 2xy y x x __________________. 9.根据如图所示的程序计算,若输入x 的值为1, 则输出y 的值为 10.计算或化简： 10 3260tan 33 ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ -+︒+ 22422---m m m 11.已知12+=x ,求代数式x x x x x x x 112122÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+的值．第9题图

精选例题例题１１１：２的倒数是Ａ 21 Ｂ－21 Ｃ ±2 1 Ｄ２（２）写出一个比-1大的负有理数是________,写出一个比-1大的负无理数是_________. （３）若()的值为则n m n m 2,0)3(32+=++- A -4 B -1 C 0 D4 说明：本题考查对数与式基本概念的理解 1倒数的概念2有理数与无理数的概念和大小比较3绝对值和完全平方的非负性例题21如图,在数轴上表示15的点可能是 0 1 A 点P B 点Q C 点M D 点N 2当x=_____时,分式 3 3--x x 无意义. 3已知 a a a a -=-112 ,则a 的取值范围是 A a 0≤ B a<0 C 00 说明：本题考查对数与式有关性质的掌握（1）实数的大小和数轴上的表示2分式在什么时候无意义和绝对值的意义（3）平方根的意义和性质例题31下列运算正确的是 A 2 2 a a a =⋅ B 2 a a a =+ C 2 36a a a =÷ D () 62 3 a a = 2化简a+b+a-b 的最后结果正确的是 A 2a+2b B 2b C 2a D0 3下列计算错误的是 A --2=2 B 228= C 2 22532x x x =+ D () 53 2 a a = 4先化简4 1 )231(2 -+÷-+a a a , 然后请你给a 选取一个合适的值, 再求此时原式的值．