曲线和方程

例1如果命题“坐标满足方程f x, y 0的点都在曲线C上”不正确，那么以下正确的命题是

(A)曲线C上的点的坐标都满足方程f x, y 0 ?

(B)坐标满足方程f x, y 0的点有些在C上，有些不在C上.

(C)坐标满足方程f x, y 0的点都不在曲线C上.

(D)—定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程 f x, y 0 .

分析：原命题是错误的，即坐标满足方程f x, y 0的点不一定都在曲线C上，易知答案为D.

典型例题二

例2说明过点P(5, 1)且平行于x轴的直线|和方程| y 1所代表的曲线之间的关系.

分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可?其中“曲线上的点的坐标都是方程f(x, y) 0的解”，即纯粹性；“以方程的

解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性?这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则.

解：如下图所示，过点P且平行于x轴的直线|的方程为y 1，因而在直线I上的点的坐标都满足y 1，所以直线I上的点都在方程|y 1表示的曲线上?但是以|y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线I上，因此方程|y 1不是直线I的方程，直线I只是方程y 1所表示曲线的一部分.

说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不

都在曲线上，即不满足完备性.

例3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程

y x 所表示的直线之间的关系.

分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析.

解：方程y x 所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等?但是“到坐标轴距 离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程

y x ，例如点（3,3）到两坐标轴的距离均为 3,

但它不满足方程y x .因此不能说方程y x 就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程， 到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程

y x 所表示的轨迹.

说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ，即满足完备性，而“轨迹上的点的

坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性.只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才 能叫方程

的曲线.

典型例题四

一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方 也就是由两个方程整理出的关于 x 的一元二次方程的判

别式分别满足

0、

0、

0 .

y

k(x 2) 4, 解：由 2

x

(y 1)2 4.

得(1 k 2)x 2

2k(3

2k)x (3 2k)2

4 0

4k 2(3 2k)2 4(1 k 2)[(3 2k)2 4]

4(4k 2

12k 5) 4(2k 1)(2k 5)

.??当

0即

（2k

:1)(2k 5)

0，即 1 k 5 时，直线与曲线有两个不同的交点.

2 2

当

0即（2k 1)(2k 5)

0, 即卩 k 1 或k 5时，直线与曲线有一个交点.

2

2

当

0即（2k 1)(2k 5)

0, 即卩 k 1 或k -时，直线与曲线没有公共点.

2

2

说明: 在判断直线与曲线的交点个数时， 由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个

数 与由两方程联立所整理出的关于 x （或y ）的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程 是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，

但如果是两个二次曲线相遇，两

曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，

所

以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析.

例4曲线x 2 （y 1）2 4与直线y

k （x 2） 4有两个不同的交点，求

k 的取值范

围.有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、 程组分别有两个解、一个解和无解,

例5若曲线y ax与y x a(a 0)有两个公共点，求实数a的取值范围.

分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方

程的解的个数问题?若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发.

解法一：由yax得: y ay a

y x a

??? y 0，二y2 a2(y a)2,

即(a21)y2 2a3y a40.

要使上述方程有两个相异的非负实根.

4 a64a4(a21) 0

则有：

2a3-

20 a21

4

a 0 a21

又??? a 0

???解之得：a 1 .

???所求实数a的范围是(1, ).

解法二：y ax的曲线是关于y轴对称且顶点在原点的折线，而y x a表示斜率

为1且过点(0,a)的直线，由下图可知，当a 1时，折线的右支与直线不相交.所以两曲线只有一个交点，当a 1时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点.

说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求?若题设条件中a 0”改为a R呢，请自己探求.

典型例题六

例6已知AOB，其中A(6,0) , 0(0,0), B(0,3)，则角AOB平分线的方程是

y x(如下图)，对吗?

分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是

一条线段.

解：不对，因为AOB内角平分线是一条线段OC,而方程y x的图形是一条直线.如

点P(8,8)坐标适合方程y x，但点P不在AOB内角AOB的平分线上.

综合上述内角AOB平分线为：y x(0 x 2).

说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围.

典型例题七

例7判断方程y , x22x 1所表示的曲线. 分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状,

变形.

解: 由原方程y<'x22x 1 可得

y x 1，即y x 1 (x 1),

x 1 (x 1),

说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形. 如方程x 1 . y 2

因此必需先将方程进行等价???方程y x22x

等价于(x 1)2 y 2且x 1，即y (x 1)2 2(x 1)，原方程的曲线是抛物线一部分.

典型例题八

例8如图所示，已知A、B是两个定点，且|AB 2，动点M到定点A的距离是4，线段MB 的垂直平分线I交线段MA于点P，求动点P的轨迹方程.

分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P满足的条件(等量关系)题设中没有明显

给出，要从题意中分析找出等量关系.连结PB ,则PM PB ,由此

PA PB PA PM AM 4，即动点P到两定点A , B距离之和为常数.

解：过A , B两点的直线为x轴，A, B两点的中点0为坐标原点，建立直角坐标系

??? AB 2 ,??? A , B两点坐标分别为(1,0), (1,0).

连结PB ???T垂直平分线段BM ,

? PM PB ,

PA PB PA PM AM 4 ?

设点P(x, y)，由两点距离公式得

1厂y2.. (x 1厂y24 ,

化简方程，移项两边平方得(移项)

2 (x 1)2y2 4 x ?

两边再平方移项得：

2 2

—I 1，即为所求点P轨迹方程.

4 3

说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P点与两定点A , B距离之和为常数4，是解本题的关键.方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性.

图甲

设 A(a,0), B(a,0), P(x,y)，则：| PA 2 (x a)2 y 2, | PB 2 (x a)2 y 2.

典型例题九

例9过P 2,4点作两条互相垂直的直线l 1，12，若11交11轴于A ，l 2交y 轴于B ，求 线段AB 中点M 的轨迹方程.

解：连接PM ，设M x , y

B0,2y .

l 1 l

2

??? PAB 为直角三角形.

由直角三角形性质知

1

PM | 2AB

1 4x 2—4y 2

化简得M 的轨迹方程为

x 2y 5 0

说明：本题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法.用 斜率求解的过程要麻烦一些.

典型例题十

2

例10求与两定点A 、B 满足PA PB

k 2（ k 是常数）的动点P 的轨迹方程. 分析：按求曲线方程的方法步骤求解.

解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为 y 轴建立坐标系.

x 轴，过AB 的中点且与 AB 垂直的直线为

k 1

据题意，P

A |PB? k2，有(x a)2y2 (x a)2y2k2得4ax k2.

k

2

由于k是常数，且a 0，所以x 为动点的轨迹方程，即动点P的轨迹是一条平

4a

行于y轴的直线.

坐标系.

图乙

整理后得到点P的轨迹方程为:

说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，

同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、

解法二：如图乙，取A与B两点连线为x轴，过A点且与AB垂直的直线为y轴建立

设A(0,0) , B(a,0),P(x,y)，则：PA P B2(x a)2

2

据题意，PA |PB

2 2 2

k，有x y (x \2 2

a) y k2,

2 12

a k 卄一- ，即动

点

2a

P的轨迹方程为x

;

k

2

，它是平行于

2a

y轴的一条直线.

解法三: 如图丙建立坐标系，设A(x1 , y1), B(X2 , y2), P(x , y)，则

PA2(x X

i)2(y y i)2, |PB

圏丙

2 (x X

2)2(y ￥2)2.

据题意, PA2PB2k2，有

(x X i)2 (y y i)2(x X2)2(y y

2)2k2,

2

2(X2 X i)x 2(y2 y i)y X i 2

y i x22 y22k20，它是一条直线.

在不同的坐标系中，方程不

特性明显，一看便知是直线.而