圆的内心与外心专题训练

序号72 设计者：设计时间：2015、11、17

1、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。

2、复习三角形的内心、外心的定义、性质。二、自主学习，合作交流

1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于

2、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE=

3、如图，△ABC 中，∠BOC=140°，I 是内心，O 是外心，则∠BIC= 。

4、如图．在△ABC 中，AC=b ，AB=c ，BC=a 它的内切圆与AB 、BC 、AC 分别相切与E 、D 、F ，则AE=AF= ，BE=BD=

，CD=CF= 三、疑难点拨，因势利导

例题：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心，

求证：①BD=CD=ID ；

②∠AIB

=90°+2

∠ACB ;

变式1：如图

2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC.

变式2：如图3，若∠BAC =90

°，AB=8，AC=6，求DI 、OI 的长。

A B

图2

图3

D C

图1

图4

D C

B 变式3、如图3，若∠BA

C =90°，DI=24，求⊙O 的半径。

变式4、如图4，若∠BAC =90°，IE ⊥AC 于E ，OB=R ，IE=r ，求证：AD r R 2

四、练习检测，自我反思

1、如图3，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC 、BC 分别交于点E 、F 。求证：EF=AE+BF

4、如图，AB 是⊙O 的直径，CB 、CD 是切线，切点是D 、B ，OC 交⊙O 于E 点，求证：E 点是△DBC 的内心。

图

D C

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ? =++0OC OB OA ?? ?=-+-+-=-+-+-0 )()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ??? ?++=++=?3 3321321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心（2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为A B C ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为A B C ?的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O OC c OB b OA a ?=++0为A B C ?的内心. 证明：b AC c AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b AC c AB + 平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a b c ++= λ O A B C D E O A B C D E

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心 1、内心 (1)定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 (2)三角形的内心的性质 ①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ③s= (r是内切圆半径) 2 ④在Rt△ ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2 . ⑤/BOC = 90 +Z A/2 / BOA = 90+/C/2 / AOC = 90+/B/2 2、外心 (1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。 (2)三角形的外心的性质 ①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

④OA=OB=OC=R ⑤/ B0C=2 BAC / AOB=Z ACB / C0A=2 CBA ⑥S A ABC二abc/4R 3、重心 (1)三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 (2)三角形的重心的性质 ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 ②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 ③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：( Z1+Z2+Z3) /3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 4、垂心 (1)定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 (2)三角形的垂心的性质 ①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 ③垂心0关于三边的对称点，均在△ ABC的外接圆上

三角形内心、外心专项训练

三角形内心、外心专项训练 -CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1

内心相关知识三角形内心、外心专项训练一、判断题在同一平面内，在同一平面内，三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心） 1 、 2 、 3> 4 、 5 、到三角形三边距离相等的点只有一个到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个等腰三角形底边中点到两腰的距离相等三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题 6、如图（1）,点P为△A8C三条角平分线交点，PD丄AB, PE丄BC, PF丄AC,则 PD __________ PE __________ PF. 7、如图（2） , P是ZAOB平分线上任意一点，II PD=2cm,若使P&2cm,则PE与 0B的关系是___________ . 8、如图（3） , CD为RtAAfiC斜边上的高，ZBAC的平分线分别交CD、CB于点￡, F, FG 丄AB,垂足为G,则CF _________________ F G, Z1+Z 3= ____________ 度，Z 2+Z 4= FG. Z 1+ Z 3= CF. 度，Z3Z4, CE 9.如右图，￡、D分别是&& BED、ZEDC的角平分线交于M 求证；A、M、W在一条直线上. 证明：过点W作WF丄AB, NH丄ED, NKLAC 过点M 作MJ丄BC, MPMQ丄AC V￡/V￥分Z8￡6 DN 平分ZEDC :.NF _________ NH, NH NK :.NF _________ NK 代W在ZA的平分线上乂TBM 半分ZABC, CM 半分ZACB AC匕的一点, ZffiC. /BCD的角平分线交于点Z AM在ZA的_____________ 上 AM. W都在ZA的 _____________ 上：4、W在一条直线上三、作图题 10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点 C

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结讲解学习

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结 1.内心：（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。（2）性质：到三边距离相等。 2外心：（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。（2）性质：到三个顶点距离相等。 3 重心：（1）三条中线的交点。（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 4 垂心：三条高所在直线的交点。 5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好． 6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然． 8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆． “内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．保安员服装管理规定一、目的为加强保安队伍的职业化、正规化建设，规范公司保安制服的领用、发放和管理，特制定以下规定：

二、范围本规定明确了公司保安制服领用、发放范围，收费及折旧办法等。三、职责 1.财务部负责公司制服的采购。 2.管理部内勤负责公司制服的保管、发放及制服发放名单的统计核实工作。 3.管理部负责员工着装的检查工作。四、管理内容与要求 1.保安制服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶，腰带1条，领带1条；配饰有：硬肩章、软肩章、胸号、胸徽、帽徽及领带夹等。 1)夏装包括：短袖衬衣、夏裤。 2)春秋装包括：长袖衬衣、春秋套装。 3)冬装包括：棉衣。 2.特勤服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶；配饰有：肩章、背章、胸号、胸徽、腰带、帽徽等八件套。 1)夏装包括：短袖衬衣、夏裤。 2)春秋装包括：春秋套装。 3)冬装包括：棉衣。

圆的内心与外心专题训练

序号72 设计者：设计时间：2015、11、17 课题三角形内心与外心课型习题课教学目标知识目标掌握基本图形的常用辅助线做法，会运用相关知识解决问题能力目标会从已知条件下找到问题解决思路。一、目标导学，引入新课 1、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。 2、复习三角形的内心、外心的定义、性质。二、自主学习，合作交流 1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于 2、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE= 3、如图，△ABC 中，∠BOC=140°，I 是内心，O 是外心，则∠BIC= 。 4、如图．在△ABC 中，AC=b ，AB=c ，BC=a 它的内切圆与AB 、BC 、AC 分别相切与E 、D 、F ，则AE=AF= ，BE=BD= ，CD=CF= 三、疑难点拨，因势利导例题：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心，求证：①BD=CD=ID ； ②∠AIB =90°+2 1 ∠ACB ; I O B C F E D O A B C 图1E O I C B A

图4 E I D C O B A 变式1：如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC. 变式2：如图3，若∠BAC =90°，AB=8，AC=6，求DI 、OI 的长。变式3、如图3，若∠BAC =90°，DI=24，求⊙O 的半径。变式4、如图4，若∠BAC =90°，IE ⊥AC 于E ，OB=R ，IE=r ，求证：AD r R 2 2 =+ 四、练习检测，自我反思 1、如图3，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC 、BC 分别交于点E 、F 。求证：EF=AE+BF A B C D I O E 图2 图3I D C O B A 图3 I D C O B A

垂心、重心、内心、外心、旁心的定义和性质

垂心、重心、内心、外心、旁心的定义和性质 1.定义垂心：三角形三条高的交点重心：三角形三条中线的交点内心：三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心外心：三角形三条边的垂直平分线的交点即外接圆的圆心旁心：三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点注意：正三角形中重心、垂心、外心、内心重合，这个点叫中心。 2.性质垂心：1、锐角三角形垂心在三角形内部，直角三角形垂心在三角形直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部。 2、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 3、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 4、从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。（西姆松线）重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 4、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

5、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/ 3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 内心：1、到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。 2、内心都在三角形的内部。 3、设三角形的三个顶点坐标分别为 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)，其对边长分别为 a,b,c，则内心坐标 I((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+ b+c)) 外心：1、到三角形三顶点的距离相等，都等于外接圆半径R。 2、直角三角形外心在斜边的中点，锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部。旁心：1、旁心到三边的距离相等。 2、三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。 3、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半

习题课：内心与外心

1 D D B A B B 习题课：三角形的内心与外心【方法技巧】借助切线长定理及勾股定理是解决三角形的内心与外心问题的关键．一、直角三角形的内心与外心 1．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，I 为△ABC 的内心，AC ＝8，BC ＝6．（1）如图1，求IC 的长；（2）如图2，若? AD ＝?BD ，求ID 的长；（3）如图3，求OI 的长．图1 图2 图3 2．如图，△ABC 是圆的内接三角形，点E 为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，AE 的延长线交圆于点D ．（1）求证：?BD ＝?CD ；（2）判断B 、E 、C 三点是否在以D 为圆心，DE 长为半径的⊙D 上？并说明理由；（3）若∠BEC ＝110°，则∠BDC __________(直接写出结果)．二、等腰三角形的内心与外心 3．如图，△ABC 中， AB ＝AC ＝13，BC ＝10，⊙O 为△ABC 的外接圆，I 为△ABC 的内心．（1）求BO 的长；（2）求BI 的长．作业： 1已知点I 是△ABC 的内心，∠ BIC=130°，则∠BAC 的度数是__________. 2.在等边三角形ABC 中，AD= 1 2 E 是△ABC 的内心，以点C 为圆心，CE 长为半径作圆C ，点G 是圆C 上一动点，连接AG,若P 是AG 的中点，则DP 的最大值（） A. 2 B. 1 2 1 第2题第3题 3.O 是△ ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB,与AC,BC 分别交于点，E,F,则（） A. EF AE BF >+ B. EF AE BF <+ C. EF AE BF =+ D. EF AE BF ≤+ 4.如图，已知E 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线交BC 于点F ，且与△ABC 的外接圆相交于点D ．求证：∠DBE=∠DEB ； 6. 如图，△ABC 中，E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D ，求证：DE=DB ．

中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(八)三角形的内心与外心练习

滚动小专题(八) 三角形的外心与内心类型1三角形外心 1．已知在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，则△ABC的外心在(D) A．△ABC内B．△ABC外C．BC边中点D．AC边中点 2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是(B) A．D点B．E点C．F点D．G点 3．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，则下列说法错误的是(C) A．O是△CEF的外心B．O是△CFG的外心 C．O是△OAC的外心D．O是△CDE的外心 4．如图是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心(C) A．△ABD B．△BCD C．△ACD D．△ADE 5．某地有四个村庄E，F，G，H(其位置如图所示)，现拟建一个电视信号中转站，信号覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域．为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小(圆形区域半径越小，所需功率越小)，此中转站应建在(C) A．线段HF的中点处B．△GHE的外心处 C．△HEF的外心处D．△GEF的外心处 6．在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是5 cm，则△ABC的外接圆半径为(C) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．

8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝70°，AB ＝AC ，O 为△ABC 的外心，△OCP 为等边三角形，OP 与AC 相交于点D ，连接OA. (1)求∠OAC 的度数； (2)求∠AOP 的度数．解：(1)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO 垂直平分BC. ∵AB＝AC ， ∴AO 平分∠BAC. ∴∠OAC＝1 2 ∠BAC＝35°. (2)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO＝CO. ∴∠OAC＝∠OCA＝35°.∴∠AOC＝110°. ∵△OCP 为正三角形，∴∠POC＝60°. ∴∠AOP＝50°. 类型2 三角形内心 9．如图为5×5的网格图，点A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是(B ) A ．△ACD 的外心 B ．△AB C 的外心 C ．△AC D 的内心 D ．△ABC 的内心 10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，点D ，E 在BC 上，△ADE 是等边三角形．若点O 是△ABC 的内心，则下列说法正确的是(C ) A ．点O 是△ADE 的内心 B ．点O 是△ADE 的外心 C ．点O 不是△ABE 的内心 D ．点O 是△ABC 的外心

与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理

三角形外心、内心、重心相关的关系和定理。外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三个顶点距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的三个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）. 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、外心到三顶点的距离相等

内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和、减去斜边的差的二分之一。 3、O为三角形的内心， A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO: ON=AB: BN=AC: CN=(AB+AC): BC 4（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠ A、∠ B、∠C的内角平分线分别交 BC、A C、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 5、内心到三角形三边距离相等。

三角形的内心和外心

三角形的内心和外心一、提出问题问题1（2013元调，10）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB与∠AOB的关系为（） A．∠AIB=∠AOB B. ∠AIB≠∠AOB C. 2∠AIB?1 2 ∠AOB=180° D. 2∠AOB?1 2 ∠AIB=180° 二、分析与解决问题三、小结：四、拓展（同一三角形内心与外心→关联三角形内心与外心）问题2（2014元调，10）如图扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，P为 ⌒ AD上任意一点（不与A、D重合）.PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ内心，过O、I、D三点的圆的半径为r，则当P在 ⌒ AD上运动时，r的值满足（） A. 0

五、巩固练习（线段关系运用） 1. BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点（不与B、C重合），I为△ABC的内心，BI、CI延长线分别交⊙O于E、F，IK⊥BC于K. 连EF交AB、AC于M、N，则下列结论： ①△AMN是等腰直角三角形；②E为△AIC外心； ③AB+AC=BC+√；④AB?AC=2BK?CK. 正确的是2．△ABC内接于⊙O，D为 ⌒ AB中点，AB=9，AC=6，且I为CD 上一点且DI=DA ①求证：I为△ABC内心. ②若IK⊥BC于K，求BK—CK的值. 3．⊙O中，AB是直径，D为半圆中点，C为 ⌒ BD上一点. ①求证：AC?BC=√2CD. ②若I为△ABC内心，IP⊥AC于P，当CD=√2，IP=1 时，求S△ABC. C B A 三角形的内心和外心第2页，共2页

圆的内心与外心专题训练

2、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°， ∠C=60°，则∠DOE= 3、如图，△ABC中，∠BOC=140°，I是内心，O是外心，则∠BIC= 。 4、如图．在△ABC中，AC=b，AB=c，BC=a它的内切圆与AB、BC、AC分别相切与E、D、F，则AE=AF= ，BE=BD= ， CD=CF= 三、疑难点拨，因势利导例题：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心，求证：①BD=CD=ID； ②∠AIB=90°+∠ACB;

变式1：如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC. 变式2：如图3，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，求DI、OI的长。变式3、如图3，若∠BAC=90°，DI=，求⊙O的半径。变式4、如图4，若∠BAC=90°，IE⊥AC于E，OB=R，IE=，求证：四、练习检测，自我反思 1、如图3，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点 E、F。

求证：EF=AE+BF 4、如图，AB是⊙O的直径，CB、CD是切线，切点是D、B，OC交⊙O于E 点，求证：E点是△DBC的内心。

九年数学三角形内心和外心练习题

C E B 三角形的内心和外心测试题姓名________________ 班级_____________ 成绩____________ 一、选择题： 1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（） A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有（） ○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆； ○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 4、下列说法错误的是（） A.三角形有且只有一个内切圆 B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BAC C.三角形的内心不一定都在三角形的内部 D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（） A.25 4 cm2 B.5πcm2 C. 25 4 πcm2 D.25cm2 6、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为（） A.1cm B. 2cm C.3cm D.2.5cm 第6题第8题第10题 7、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙ O的半径为5，则BC的长为（） 5 2 8、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（） A. 1 2 cm B.1cm C. 3 2 cm D.2cm 9、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为（） A.1：2：3 B.1 ：：2 C.2：1 ：3 D.1 10、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( ) A. 4 5 B. 5 4 C. 3 4 D. 5 6

外心内心

个结论 (1) 叫外心 (2)OA=( )=( ) (3) ∠BOC=( ) ∠BAC (4) BC=4，∠BAC=600，求OB (5) 叫内心 (6) )ID=( )=( ) (7) ∠BIC=900+ ( ) ∠BAC ， ∠BOC 与∠BIC 的数量关系为（） (8)S △ABC =( )r (9)BG=( )= ( )，G 为△BCI 的（）心 (10) AB+AC AG =( ) 2.△ABC 内接于⊙O ， ⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，∠A=700，（1）求∠BOC ，∠BIC （2）若P 为⊙I 上一点，（不与E 、F 重合）求∠EPF 3.△ABC 内接于⊙O ， ⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，（1）若AB=5，AC=4，BC=6，求AF ，BF ，CD （2）求证：BD-CD=AB-AC

于G ，（1）求证：GB=GI=GC （2）求证：AB+AC AG =BC BG 相似（3）利用（1）中的结论在右图中分别画出△ABI 、△ACI 、 △BCI 的外接圆 5.Rt △ABC 内接于⊙O ，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ， AB=5，（1）若AC=4，求⊙O 的半径和⊙I 的半径（2）求证：AB= 2 TI （3）当C 点在以AB 为直径的⊙O 上运动时，求⊙I 半径的最大值 6.Rt △ABC 中，O 为外心，⊙I 与△ABC 各边所在的直线都相切，切点分别为D 、E 、F ，若AC=3，BC=4 （1）求⊙I 的半径（2）求OI 的长 B

与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理

，你与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理。外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三个顶点距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点相对边作垂线，垂线的交点即是垂心。

重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）. 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，

内心和外心 - 学案

内心和外心复习学案 1.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是() 2.如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°.边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧，I为△APC 的内心．当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接．．写出m，n的值． 3.如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使某顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（） A.4.5 B.4 C.3 D.2 4.如图13，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN ＝α. 若△BPN的外心在该三角形的内部，写出α的取值范围． 5.如图15，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B 重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD ︵于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP. 若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围． 6.如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（） A. △ACD的外心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ABC的内心

7. 如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是．．点O 的是（） A. △ABE B. △ACF C. △ABD D. △ADE 8.如图,在△ABC 中,点O 是△ABC 的内心,连接OB,OC ,过点O 作EF △BC 分别交AB,AC 于点E,F .已知△ABC 的周长为8,BC=x ,△AEF 的周长为y ,则表示y 与x 的函数图象大致是( ) A. B. C. . 9.如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,又是等边△DEF 的外接圆,则EFBC 等于()

圆的内心与外心专题训练

1 序号72 设计者：设计时间：2015、11、17 1、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。 2、复习三角形的内心、外心的定义、性质。二、自主学习，合作交流 1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于 2、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE= 3、如图，△ABC 中，∠BOC=140°，I 是内心，O 是外心，则∠BIC= 。 4、如图．在△ABC 中，AC=b ，AB=c ，BC=a 它的内切圆与AB 、BC 、AC 分别相切与E 、D 、F ，则AE=AF= ，BE=BD= ，CD=CF= 三、疑难点拨，因势利导例题：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心，求证：①BD=CD=ID ； ②∠AIB =90°+2 1 ∠ACB ; 变式1：如图 2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC. 变式2：如图3，若∠BAC =90 °，AB=8，AC=6，求DI 、OI 的长。 A B C D A B C 图2 图3 D C B 图1

2 图4 D C B A B 变式3、如图3，若∠BA C =90°，DI=24，求⊙O 的半径。变式4、如图4，若∠BAC =90°，IE ⊥AC 于E ，OB=R ，IE=r ，求证：AD r R 2 2 = + 四、练习检测，自我反思 1、如图3，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC 、BC 分别交于点E 、F 。求证：EF=AE+BF 4、如图，AB 是⊙O 的直径，CB 、CD 是切线，切点是D 、B ，OC 交⊙O 于E 点，求证：E 点是△DBC 的内心。图 3 D C B

内接圆,外接圆,内心,外心

1. 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 2. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆三个顶点都在圆内的三角形叫内接三角形与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三个顶点都在圆外的三角形叫外切三角形外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点。到三顶点的距离相等。内接圆的圆心是三角形三角的角平分线的交点。到三边的距离相等与多边形各角都相交的圆叫做多边型的外接圆。三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。三角形的外接圆圆心是三条中垂线的交点，直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上。三角形外接圆圆心叫外心有重心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的焦点，叫做重心） 1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； 2．相似三角形周长之比等于相似比； 3．相似三角形面积之比等于相似比的平方． 2．三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。 3．垂心：三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。 4．重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。 5．内心：三角形内切圆的圆心。外心：三角形外接圆的圆心。 6．旁心：与三角形的一边和其它两边的延长线相切的圆的圆心， 7．中线：是三角形顶点与其对边中点的连线。三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。《立体几何》点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。长方体：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：正棱锥：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

三角形内心和外心练习题

C E B 内心和外心一、选择题： 1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（） A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有（） ○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离是（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 3、下列说法错误的是（） A.三角形有且只有一个内切圆 B.若I 为△ABC 的内心，则AI 平分∠BAC C.三角形的内心不一定都在三角形的内部 D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则△ABC 的外接圆的面积为（） A.254cm 2 B.5πcm 2 C. 254 πcm 2 D.25cm 2 5、⊙O 与△ABC 分别相切于点D 、E 、F ，△ABC 的周长为20cm ，AF=5cm ，CF=3cm ，则BE 的长度为（） A.1cm B. 2cm C.3cm D.2.5cm 第5题第7题第9题 6、△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，⊙ O 的半径为5，则BC 的长为（） 52 7、已知，如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，则⊙O 的半径为（）

内心外心训练答案

【训练题】 1、如图，O 是△ABC 的，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交E 、F ，则（） A 、EF ＞AE+BF B 、EF ＜AE+BF C 、EF=AE+BF D 、EF≤AE+BF 解：连接AO 、BO ， ∵∠OAE=∠OAB （角平分），∠EOA=∠OAB （内错角） ∴∠OAE=∠EOA ，则EO=EA ，同理FO=FB 故选C 2、已知，如图，点E 是△ABC 的内心，延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD 、DC 、EC ，则图中与BD 相等的线段分别是____________________ 解：由题知，∠BAD=∠OAD ，则BD=CD ，∠DBC=∠DCB 易知：∠DBC=∠DAC ，则∠DCB=∠DAC ∵∠DCE=∠DCB+ 12C ∠，∠DEC=∠DAC+1 2 C ∠ ∴∠DCE=∠DEC 所以 CD=DE 故：与B D 相等的线段分别是CD 、DE 3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，延长AC 到D ，使CD=BC ，点P 是△ABD 的内心，则∠BPC=___________ 解：∵AB=AC ，P 是△ABD 的内心，∴AP 为BP 的中垂线则BP=PC ，△BPC 为等腰三角形，设∠PBC=a ，则∠BPC=180°－2a ∵∠A=40°，∴∠ABC=70° ∵ CD=BC ，∴∠CBD=35°，由题知：∠PBA=∠PBD 则有70°－a=35°+a ，所以2a=35°，故∠BPC=145° 4、如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于E ，作OF ⊥CD 于 F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为__________ 解：延长FO 交AB 于H ，延长EO 交BC 于I ，过O 作O G ⊥AC D E B C A F E O C A B P D C A B

中考数学圆内心外心

B 前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。第1个问题内心、外心知多少【2013元调第10题】如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（） A 、AI B AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠ C 、121802AIB AOB ∠- ∠=o D 、1 21802 AOB AIB ∠-∠=o 分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。 ∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+1 2 ∠C 外心和内心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD ②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题）内心的考查更灵活：常考角度、面积（1）111 90,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠o o o （2）1 ()2 S a b c r ABC =++V ，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径当90BAC ∠=o 时，四边形ADOF 为正方形，2 a b c r +-= A A B E

圆重难点突破内心外心

E F D O A B C 前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。第1个问题内心、外心知多少【2013元调第10题】如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（） A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠ C 、1 2180 2 AIB AOB ∠-∠= D 、1 2180 2 AOB AIB ∠-∠= 分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。 ∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180° -（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+1 2 ∠C 外心和内心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD ②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题）内心的考查更灵活：常考角度、面积（1）111 90,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠ （2）1 ()2 S a b c r ABC =++，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径当90BAC ∠=时，四边形ADOF 为正方形，2 a b c r +-= O I C A B O C A B I A B C D B O C A E

三角形内心和外心练习题.doc

内心和外心测试题姓名________ 一、选择题： 1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（） A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有（） ○1 过两点可以作无数个圆；○2 经过三点一定可以作圆；○3 任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4 任意一个圆有且只有一个内接三角形. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 4、下列说法错误的是（） A. 三角形有且只有一个内切圆 B. 若I 为△ABC的内心，则AI 平分∠BAC C. 三角形的内心不一定都在三角形的内部 D. 等腰三角形的内心一定在它底边的高上 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（） A. 25 4 2 B. 5 cm 2 C. 25 4 cm 2 D.25cm cm 2 6、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为（） A.1cm B. 2cm C.3cm D.2.5cm A A A D F D E B E C C B F B D C 第6 题第8题第10 题 7、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙O的半径为5，则BC的长为（） A.5 B.5 3 C. 5 2 3 D. 5 2 8、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（） A. 1 2 cm B.1cm C. 3 2 cm D.2cm 9、等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R，高为h，则r ：R：h 的值为（）A.1 ：2：3 B.1 ： 3：2 C.2 ：1：3 D.1 ： 2 ： 3 10、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( )