2018山东潍坊中考数学解析

2018年山东省潍坊市初中毕业、升学考试

数 学

（满分120分，考试时间90分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018山东潍坊，1，3分）|21|-=（ ） A ．12- B ．21-

C ．1+2

D ．12--

【答案】B

【解析】∵21> ，∴12-＜0，∴|12|=21--，故选择B.

【知识点】绝对值的意义，二次根式大小比较 2．（2018山东潍坊，2，3分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（ ）

A ．3.6×10－5

B ．0.36×10－5

C ．3.6×10－6

D ．0.36×10－

6 【答案】C

【解析】用科学记数法的表示较小的数时，其形式为a ×10－

n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 表示第一个不为0的数

前面0的个数，0.0000036中，3的前面共有6个0，所以0.0000036=3.6×10－

6，故选择C. 【知识点】科学记数法——表示较小的数 3．（2018山东潍坊，3，3分）如图所示几何体的左视图是（ ）

【答案】D

【解析】左视图表示从左边看到的图形，要注意看不见得线用虚线画出，故选择D. 【知识点】几何体的三视图 4．（2018山东潍坊，4，3分）下列计算正确的是（ ） A ．236

a a a ?= B ．33

a a a ÷=

C ．()2a b a a b --=-

D ．3311

26

a a -

=-（） 【答案】C

【解析】∵2

3

5

a a a ?=，∴A 选项错误；∵3

2

a a a ÷=，∴B 选项错误；∵()2a

b a a b a a b --=-+=-，∴

C 选项正确；∵

3311

28

a a -=-（），∴D 选项错误；故选择C. 【知识点】整式的运算，同底数幂的乘除法，整式的加减，积的乘方

5．（2018山东潍坊，5，3分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．82.5°

【答案】C

【解析】如图所示，过点C 作CF ∥AB ，

∴∠ACF =∠A =45°， ∵AB ∥DE ， ∴CF ∥DE .

∴∠FCD =∠D =30°.

∴∠1=∠ACF +∠DCF =45°+30°=75°.故选择C. 【知识点】平行线的性质 6．（2018山东潍坊，6，3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： （1）作线段AB ，分别以A ，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧的交点为C ； （2）以C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ； （3）连接BD ，BC .

下列说法不正确的是（ ） A ．∠CBD =30° B ．S △BDC

=

23

4

AB C ．点C 是△ABD 的外心 D ．sin 2A +cos 2D =1

【答案】D

【解析】由（1）可知，AB =AC =BC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠A =∠ACB =∠ABC =60°，S △ABC =23

4

AB

又由（2）可知CD =AC =BC =AB ， ∴∠CBD =∠D =

1

2

∠ACB =30°，S △BDC = S △ABC =234AB ，点C 是△ABD 的外心. 故选项A 、B 、C 正确，故选择D .

【知识点】尺规作图，等边三角形，等腰三角形，直角三角形

A B

C

D E

F

7．（2018山东潍坊，7，3分）某篮球队10名队员的年龄结构如右表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众

数与方差分别为（ ）

A ．22，3

B ．22，4

C ．21，3

D ．21，4 【答案】D 【解析】根据中位数为21.5可知从小到大排序后，第5名队员年龄为21岁，第6名队员年龄为22岁，所以x =3，y =2. 因为21出现3次，次数最多，故众数为21. 又∵19+20+213+222+242+26

=2210

x ???=

，

∴222222

2

(1922)+(2022)+(2122)3+(2222)2+(2422)2+(2622)S =410

---?-?-?-=

. 故选择D

【知识点】平均数、中位数、众数、方差、加权平均数 8．（2018山东潍坊，8，3分）在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把

△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为（ ） A ．（2m ，2n ） B ．（2m ，2n ）或（－2m ，－2n ） C ．（

12m ，1

2

n ） D ．（

12m ，12n ）或（12m -，1

2

n -） 【答案】B

【解析】当放大后的△A ′OB ′与△AOB 在原点O 同侧时，点P 对应点坐标为（2m ，2n ），当放大后的△A ′OB ′与△AOB 在原点O 两侧时，点P 对应点坐标为（－2m ，－2n ），故选择B. 【知识点】图形的位似

9．（2018山东潍坊，9，3分）已知二次函数2

()y x h =--(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为（ ） A ．3或6 B ．1或6 C ．1或3 D ．4或6 【答案】B

【解析】二次函数2

()y x h =--，当x =h 时，有最大值0，而当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，故h ＜2或h ＞5. 当h ＜2时，2≤x ≤5时，y 随x 的增大而减小，故当x =2时，y 有最大值，此时2

(2)1h --=-，解得：h 1=1，h 2=3（舍去），此时h =1；当h ＞5时，2≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大，故当x =5时，y 有最大值，此时2

(5)1h --=-，解得：h 1=6，h 2=4（舍去），此时h =6；综上可知h =1或6故选择B.

【知识点】二次函数的图象和性质 10．（2018山东潍坊，10，3分）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在平面上取定

一点O 为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径. 点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P （3，60°）或P （3，－300°）或P （3，420°）等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是（ ）

A ．Q （3，240°）

B ．Q （3，－120°）

C ．Q （3，600°）

D ．Q （3，－500°） 【答案】D

【思路分析】作出点P 关于点O 成中心对称的点Q ，分别求出顺时针和逆时针旋转的角度即可表示Q 点坐标. 【解题过程】延长PO 到点Q ，使OQ ＝OP ，则Q 点即为所求，此时OQ =OP =3，顺时针旋转角度为60°+180°=240°，从而逆时针方向旋转角度为360°－240°=120°，从而选项A 、B 正确，再顺时针旋转一周为240°+360°=600°，故选项C 正确，逆时针旋转一周为120°+360°=480°，故Q （3，－480）而不可能为（3，－500°），故选择D.

【知识点】图形与坐标，极坐标，初高中衔接

11．（2018山东潍坊，11，3分）已知关于x 的一元二次方程2

(2)04

m

mx m x -++=有两个不相等的实数根x 1

，x 2．若

12

114,m x x += 则m 的值是（ ） A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D ．不存在 【答案】A

【思路分析】根据方程有两个不相等的实数根可知△＞0，从而求出m 的取值范围，结合一元二次方程根与系数的关系代入

12

114,m x x +=求出m 的值，再根据取值范围进行取舍即可. 【解题过程】解：由题意得:2

[(2)]44404

m

m m m ?=-+-??=+>, 解得：m ＞－1.

12

1212

2

11414

m x x m m x x x x +++===.

解得：m 1=2，m 2=－1(舍去) 所以m 的值为2，故选择A.

【知识点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 12．（2018山东潍坊，12，3分）如图，菱形ABCD 的边长是4厘米，∠B =60°，动点P 以1厘米/秒的速度自A

点出发沿AB 方向运动至B 点停止，动点Q 以2厘米/秒的速度自B 点出发沿折线BCD 运动至D 点停止． 若点P 、Q 同时出发运动了t 秒，记△BPQ 的面积为S 厘米2，下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（ ）

【答案】D

【思路分析】分为点Q 在BC 段和CD 段上分别讨论函数的图象结合运动规律即可判断出函数关系的图象.

【解题过程】解：当0≤t ≤2时，点Q 在BC 上，此时BP =4－t ，BQ =2t ，2

13(4)2sin 602322

S t t t t =

-??=-+ 是一段开口向下的抛物线的一部分，可排除答案A 和C ，当2≤t ≤4时,△BPQ 的高不变，始终为4sin 60°=23 ，此时1

(4)233432

S t t =

-?=-+,面积随底边的减小而减小，最终变为0，故选择D. 【知识点】函数的图象，分段函数，菱形的性质

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 13．（2018山东潍坊，13，3分）因式分解：(x ＋2)x －x －2= . 【答案】（x ＋2）(x －1)

【解析】(x ＋2)x －x －2=(x ＋2)x －(x ＋2)=(x ＋2)(x －1). 【知识点】提公因式法分解因式

14．（2018山东潍坊，14，3分）当m = 时，解分式方程533x m

x x

-=

--会出现增根． 【答案】2

【解析】方程两边同乘以(x －3),得： x －5=－m x =5－m

若方程会产生增根，则增根为x =3, 所以5－m =3. 解得m =2.

【知识点】分式方程

15．（2018山东潍坊，15，3分）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入右

侧的程序中，则输出的结果是 ．

【答案】7 【解析】

32=9，93232÷-=-＞1，故输出(3232-+)(）=7 .

【知识点】计算器的使用，二次根式的计算

16．（2018山东潍坊，16，3分）如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，

点D 在x 轴的负半轴上，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°至正方形AB ′C ′D ′的位置，B ′C ′与CD 相交于点M ，则点M 的坐标为 .

÷

【答案】（－1，

3

3

） 【思路分析】连接AM ，证明Rt △AB ′M ≌Rt △ADM ，求出∠ADM =30°，解直角三角形求得DM 的长，注意M 在第二象限，即可求出点M 的坐标. 【解题过程】连接AM ，

在Rt △AB ′M 和Rt △ADM 中， AB ′=AD ，AM =AM ,

∴Rt △AB ′M ≌Rt △ADM ∴∠DAM =∠B ′AM =9030302

?-?

=? 在Rt △ADM 中， tan 30°=

DM

AD

∴DM =ADtan 30°=1×

33=33

. ∴M （－1，

3

3

）. 【知识点】图形与坐标，正方形，全等三角形的判定和性质，解直角三角形

17．（2018山东潍坊，17，3分）如图，点A 1的坐标为（2，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线l ：3y x =

于点

B 1，以原点O 为圆心，OB 1的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，以OB 2的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 3；…．按此作法进行下去,则?20192018A B 的长是 .

【答案】2019

23

π 【思路分析】根据直线l 的解析式先求出圆心角的度数，结合OA 1，OA 2，OA 3的长度得出OA 2019的长度，即扇

形的半径，利用弧长公式进行计算即可. 【解题过程】把x =2代入

3y x =

可得23y =，1123

tan 32

A O

B ∠=

=，∴∠A 1OB 1=60°. 由OA 1=2，得OB 1=2OA 1=4，故OA 2=4，同理可得OA 3=8，以此类推，可得OA 2019=22019

∴ ?20192018A B 的长=

20192019

6022

1803

ππ?= 【知识点】弧长计算，规律探索，一次函数

18．（2018山东潍坊，18，3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A 处测得岛礁P

在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B 处，此时测得岛礁P 在北偏东30°方向，同时测得岛礁P 正东方向上的避风港M 在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达.（结果保留根号）

【答案】

1863

+ 【思路分析】过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为M . 设PQ =MN =x ，解Rt △APQ 和Rt △BPQ 求得x 的值，再解Rt △BMN 求出BM 的长度，利用路程÷速度=时间解答即可. 【解题过程】过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为M .

AB =60×1.5=90海里

设PQ =MN =x ，由点P 在点A 的东北方向可知，∠P AQ =45°，∴AQ =PQ =x ，BQ =x －90 在Rt △PBQ 中，∠PBQ =90°－30°=60°

tan 60390

x

x ?=

=- 解得：135453x =+.

在Rt △BMN 中，∠MBN =90°－60°=30°

∴BM =2MN =2x =2135453270903?

+=+（） ∴航行时间为:

2709031863

++=小时.

【知识点】解直角三角形的应用

三、解答题（本大题共7小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

Q N

19．（2018山东潍坊，19，7分）如图，直线y=3x－5与反比例函数

1

k

y

x

-

=的图象相交于A（2，m），B（n，

－6）两点，连接OA，OB．

（1）求k和n的值；

（2）求△AOB的面积．

【思路分析】（1）把B点坐标代入直线解析式可求出n的值，求出A或B点坐标代入反比例函数解析式可求出n的值.

（2）△AOB被y轴分成两部分，分别计算两部分的面积求和即可.

【解题过程】（1）把A（2，m）和B（n，－6）代入y=3x－5，得：

m=3×2－5=1，－6=3n－5，解得:

1

3 n=-.

所以A（2，1），B（

1

3

-，－6）.

将A（2，1）代入

1

k

y

x

-

=，得

1

1

2

k-

=，所以k=3.

即k的值为3，n的值为

1

3 -.

（2）设直线AB与y轴交于点C，则C（0，－5）. S△AOB=S△AOC＋S△BOC

=11135 525

2236??+??=

【知识点】一次函数与反比例函数

20．（2018山东潍坊，20，8分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM 于点F，连接BE．

（1）求证：AE=BF；

（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值.

【思路分析】（1）利用“AAS”证明△ADE≌△ABF即可；（2）设EF=x，S四边形ABED=S△BEF+S△ABF+S△ADE，分别表示出底和高，利用面积求出x的值，即可求出∠EBF的正弦值.

【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°.

∴∠BAE＋∠EAD=90°.

∵BF⊥AM，DE⊥AM，

∴∠DEA =∠AFB =90°， ∴∠EAD ＋∠EDA =90°. ∴∠BAE =∠EDA . ∴△ABE ≌ADE . ∴AE =BF .

（2）设EF =x ，则AE =x ＋2 ∴BF =AE =x ＋2， ∵△ABE ≌ADE ,

∴S 四边形ABED =S △BEF +S △ABF +S △ADE =S △BEF +2S △ABF =24 即

11

(2)2(2)22422

x x x ++?+?=. 解得：x 1=4，x 2=－10（舍去） ∴EF =4，BF =6

∴BE =2246213+=. ∴213

sin 13

213EF EBF BE ∠=

==

. 【知识点】正方形，全等三角形的判定和性质，锐角三角比

21．（2018山东潍坊，21，8分）为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动．小莹随机抽查了所住小区n 户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图．

（1）求n 并补全条形统计图； （2）求这n 户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数； （3）从月用水量为5 m 3和9 m 3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为5 m 3和9m 3恰好各有一户家庭的概率． 【思路分析】（1）根据用水9m 3和10m 3的用户数与所占比求出n 的值，根据用水6 m 3和8 m 3的用户百分比求出用水8 m 3的用户数，进一步求出用水5 m 3的用户数，补全统计图. （2）利用加权平均数公式求平均数，然后求出20户中低于平均数的用户所占比即可估算出420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数.

（3）设用水5m 3的两户分别为A 1，A 2，用水9m 3的3户分别为B 1，B 2，B 3，画出树状图或列表即可求出概率. 【解题过程】（1）由条形统计图可得，用水9m 3和10m 3的用户共有3+2=5户. n =5÷25%=20（户），20×55%=11（户），11－7=4（户），20－(2＋7＋4＋3＋2)=2, 故用水量8m 3的有4户,用水量5m 3的有2户,n 的值为20. 补全条形统计图如下：

（2）425267

8493102

6.9520

x ?+?+?+?+?+?=

=（m 3）

低于6.95的有2+2+7=11户，

11

42023120

?

= （户） ∴这n 户家庭的月平均用水量为6.95m 3；小莹所住小区家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数为231户. （3）设用水5m 3的两户分别为A 1，A 2，用水9m 3的3户分别为B 1，B 2，B 3， 画树状图：

或列表：

A 1 A 2

B 1 B 2 B 3 A 1 A 1 A 2 A 1 B 1 A 1 B 2 A 1 B 3 A 2 A 2A 1 A 2 B 1 A 2 B 2 A 2 B 3 B 1 B 1A 1 B 1A 2 B 1 B 2 B 1 B 3 B 2 B 2A 1 B 2A 2 B 2B 1 B 2 B 3 B 3

B 3A 1

B 3A 2

B 3B 1

B 3B 2

共有20种调查方式，其中用水量为5 m 和9m 恰好各有一户家庭的共有12种情况， ∴选出的两户中月用水量为5 m 3和9m 3恰好各有一户家庭的概率：P =

123205

=. 【知识点】统计与概率综合，条形统计图，扇形统计图，加权平均数，用样本估计总体，概率计算 22．（2018山东潍坊，22，8分）如图，BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，且∠BAE =∠C . （1）求证：AE 与⊙O 相切于点A ；

（2）若AE ∥BC ，BC =27，AC =22，求AD 的长.

【思路分析】（1）连接OA ，利用同弧所对的圆周角相等，半径相等，结合已知条件证明∠OAD =∠BAE ，利用直径所对圆周角是直角可证明∠OAE =90°；（2）过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F .先证明△ABC 为等腰三角形，再证

A 1 A 2

B 1 B 2 B 3

A 2

A 1

B 1 B 2 B 3 B 1

A 1 A 2

B 2 B 3

B 2 A 1 A 2 B 1 B 3 B 3

A 1 A 2

B 1 B 2

明△AFC ∽△BAD 即可求出AD 的长. 【解题过程】（1）连接OA 交BC 于点F ∵OD =OA ， ∴∠D =∠OAD .

∵∠C =∠D ,∠C =∠BAE , ∴∠OAD =∠BAE . ∵BD 为⊙O 直径， ∴∠BAD =90°.

即∠OAD ＋∠OAB =90°. ∴∠BAE ＋∠OAB =90°. 即∠OAE =90°.

∴AE 与⊙O 相切于点A

.

（2）标准答案：∵AE ∥BC ，AE ⊥OA ， ∴OA ⊥BC ，

∴?

?AB AC =，1

2

FB BC = ， ∴AB =AC ，

∵BC =27，AC =22， ∴BF =7，AB =22，

在Rt △ABF 中，AF =871-= ， 在Rt △OFB 中，OB 2=BF 2＋(OB －AF )2， ∴OB =4， ∴BD =8，

∴在Rt △ABD 中，AD =2264856214BD AB -=-== .

方法2：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F .

∵BC ∥AE ，

∴∠ABC =∠BAE . ∵∠BAE =∠C , ∴∠C =∠ABC . ∴AB =AC =22.

F

∴CF =1

2

BC =12?=

∴AF 1==

∵∠AFC =∠BAD =90°,∠C =∠D ,

∴△AFC ∽△BAD . ∴

AF CF

AB AD

=

.

∴1

AB CF AD AF ?=

== . 【知识点】切线的判定，相似三角形的判定和性质

23．（2018山东潍坊，23，11分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务. 该工程队有A ，B 两种型号的挖掘机，已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A 型和7台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米. 每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180元. （1）分别求每台A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？

（2）若不同数量．．．．

的A 型和B 型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超

过12960元. 问施工时有哪几种调配方案，并指出那种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【思路分析】（1）根据两种挖掘机挖土的数量列二元一次方程组求解即可；（2）设A 型挖掘机有x 台，则B 型挖掘机有(12－x )台，根据挖土量和施工费用分别列不等式组取整数解，即可求出调配方案，设施工费用为y 元，可列出施工费用y 与x 的函数关系式，利用函数的增减性求最低费用. 【解题过程】解：（1）设每台A 型挖掘机一小时挖土a 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土b 立方米，根据题意，得：

35165

47225a b a b +=??

+=?

解得：30

15

a b =??

=?

所以，每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土15立方米. （2）设A 型挖掘机有x 台，则B 型挖掘机有(12－x )台.

304154(12)1080

30041804(12)12960x x x x ?+?-≥??

?+?-≤?

解得：6≤x ≤9

∵挖掘机数量不同，∴x ≠12－x ∴x ≠6

所以，x 取整数为7，8，9共三种方案，分别是①A 型7台，B 型5台；②A 型8台，B 型4台；③A 型9台，B 型3台.

设施工总费用为y 元，则y =300×4x ＋180×4(12－x )=480x ＋8640

∵480＞0,∴y 随x 的增大而增大，当x =7时，施工费用最少，此时y =480×7+8640=12000. ∴方案①A 型7台，B 型5台施工费用最低，最低费用为12000元.

【知识点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数应用 24．（2018山东潍坊，24，12分）如图1，在□ABCD 中，DH ⊥AB 于点H ，CD 的垂直平分线交CD 于点E ，交

AB 于点F ，AB =6，DH =4，BF ∶F A =1∶5.

（1）如图2，作FG ⊥AD 于点G ，交DH 于点M ，将△DGM 沿DC 方向平移，得到△CG ′M ′，连接M ′B . ①求四边形BHMM ＇的面积；

②直线EF 上有一动点N ，求△DNM 周长的最小值.

（2）如图3，延长CB 交EF 于点Q ，过点Q 作QK ∥AB ，过CD 边上的动点P 作PK ∥EF ，并与QK 交于点K ，

将△PKQ 沿直线PQ 翻折，使点K 的对应点K ＇恰好落在直线AB 上，求线段CP 的长

.

【思路分析】（1）①由题意可知四边形BHMM ＇为梯形，上底BH ，下底MM ′易求，故只需求出高MH 即可，计算MH 可通过同角的余角相等证明∠FMH =∠A ，而∠A 的正切值易求，故高MH 可得（求高也可利用△FHM ∽△DHA 来计算），从而求出面积；②由EF 垂直平分CD 可得点D 和点C 关于直线EF 对称，故只需连接CM ，CM 与EF 的交点即为满足条件的点N ，分别求出CM 和DM 即可求出周长的最小值；（2）先通过∠A 的正切值不变求出FQ 的长度，从而求出PK ，由折叠可得PK ′=PK ，QK ′=QK ，利用勾股定理先求出G Ｋ′的长度，设PE =x ，在Rt △QFK ′中把FK ′和QK ′用x 表示出来，利用勾股定理求出x 的值，从而求出CP 的长度. 【解题过程】解：（1）①∵BF ∶F A =1∶5，AB =6， ∴BF =1，AF =5.

∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD =AB =6，

∵EF 垂直平分CD ， ∴DE =CE =3.

∴FH =3，HA =AF －FH ＝5－3＝2. 在Rt △ADH 中

4

tan 22

DH A AH =

== ∵∠A ＋∠AFM =90°，∠AFM ＋∠FMH =90°， ∴∠FMH =∠A ∴tan FMH tan 2FH

A MH

∠===. ∵FH =3，∴MH =

32

由平移可知MM ′=CD =6，BH =1+3=4 ∴S 四边形BHMM ′=

131546222

?+?=（）. ②由点C 与点D 关于直线EF 对称可知，连接CM 交EF 于点N ，连接DN ，此时△DMN 周长最小.

DM =DH －MH =35

422

-=. 在Rt △CDM 中，

22225136()22CM CD DM =+=+=，即DN ＋MN = 13

2

.

N

∴△DNM周长的最小值为135

9 22

+=.

（2）标准答案：∵BF∥CE,

∴

1

43 QF BF

QF CE

==

+

,

∴QF=2，

∴PK=PK′=6

过点K′作E′F′∥EF，分别交CD于点E′，交QK于点F′，

当点P在线段CE上时，

在Rt△PK′E′中，

PE′2=PK′2－E′K′2,

∴PE′=25,

∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q,

∴

''' ''' PE E K

K F QF

=,

∴254

'

QF

=.

∴QF′=45 5

,

∴PE=PE′－EE′=

4565 25

55

-=.

∴CP=1565

-

.

同理可得，当点P在线段ED上时，CP′=1565

+

.

综上可得，CP 的长为

1565-或1565

+. 方法2：当点P 在线段CE 上时，

如图所示，设直线AB 与PK 交于点G .

在Rt △BFQ 中，∠ABQ =∠A ∴tan ∠ABQ =

2BF

FQ

= ， ∵BF =1，∴FQ =2.

∴EQ =EF ＋FQ =4＋2=6 ∴PK =EQ =6.

由折叠可得：PK ′=PK =6，QK ′=QK 在Rt △PGK ′中，PG =DH =4

GK ′=2222'6425PK PG -=-=

设PE =x ，则GF =KQ =x ，QK ′=x ,FK ′=GK ′－GF =25x - 在Rt △QFK ′中，

222(25)2x x -+=

解得：6

55

x =

. ∴CP =CE －PE =6

355

-

. 同理可得，当点P 在线段ED 上时， CP ′=65

3+

. 综上可得，CP 的长为6

355

-

或653+. 【知识点】平行四边形，图形的平移，图形的轴对称，勾股定理，梯形，几何最值问题，分类讨论思想

25．（2018山东潍坊，25，12分）如图1，抛物线2

11

2

y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点B （1，0），于y 轴交于点C （0，

34

），抛物线y 1的顶点为G ，GM ⊥x 轴于点M . 将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的抛物线y 2.

（1）求抛物线y 2的解析式；

（2）如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由；

G

（3）点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R . 若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的解析式

.

【思路分析】（1）将B 、C 两点坐标代入抛物线y 1求出a 的值，根据平移后函数的顶点坐标求出y 2的解析式；（2）设T （1，t ），分别用勾股定理表示出AC 2、AT 2、CT 2，根据等腰三角形两边相等，分三种情况进行讨论求解即可；（3）若两三角形全等，则两组直角边对应相等，利用Q 和R 关于直线l 对称的条件分类讨论解答. 【解题过程】

（1）将B （1，0）和C （0，

34

）代入抛物线2

112y ax x c =-+，得：

10234a c c ?-+=???

?=?? ，解得：1=4

34

a c ?

-????=?? 所以抛物线21113

424

y x x =-

-+ 由题意可知平移后抛物线y 2顶点为B （1，0），故抛物线y 2的解析式为221

(1)4

y x =--. 即21111

424

y x x =-

+- （2）令y 1=0，得x 1=－3，x 2=1

由题意B （1，0），故A （－3，0），设T （1，t ），又C （0，3

4

） 所以2

2

2

315334

16

AC =+=

（），22

221316AT t t =

++=+（） 22223325

1)4216

CT t t t =+-=-+（

①若AC =AT ，则2

1531616

t += ，方程无解，故此时不存在；

②若AC =CT ，则2

325153

21616

t t -+=

，解得3137t ±=，此时T 点坐标为（1，3137+或（1，3137-）;③若AT =CT ，则2

232516216t t t -

+=+，解得778t =-，此时T 点坐标为（1，77

8

-） 故存在T 点坐标为（13137+13137-）或（1，77

8

-）.

（3）标准答案：设P （m ，2113424m m --+）

，则Q （m ，2111

424

m m -+-）， ∵

Q ，R 关于x =1对称，所以R （2－m ，2111

424

m m -+-），

情况一：当点P 在直线l 的左侧时， PQ =2113424m m -

-+2111

()1424

m m m --+-=-，QR =2－2m ， 又因为以P ，Q ，R 构成的三角形与△AMG 全等， 当PQ =GM 且QR =AM 时，m =0，可求得P （0，3

4

），即点P 与点C 重合. 所以R （2,1

4

-

） ， 设PR 的解析式为y =kx ＋b ，则有3,4

1

24

b k b ?=????+=-?? ，解得:12k =- .

即PR 的解析式为1324

y x =-

+， 当PQ =AM 且QR =GM 时，无解.

情况二：当点P 在直线l 右侧时， P ′Q ′=2111424m m -

+--2113

()1424

m m m --+=-， Q ′R ′=2m －2,

同理可得P ′（2，54-

），R ′（0，1

4-）， P ′R ′的解析式为11

24

y x =--.

综上所述，PR 的解析式为1324y x =-+或11

24

y x =--.

方法2：由题意G （－1，－1），故AM =2，CM =1，若△PQR 与△AMG 全等，则PQ =1，QR =2或PQ =2，QR =1 （1）若QR =2，由对称轴为x =1，得Q 点横坐标为0或2，

①当x=0时，

13 4

y=，

21 4

y=-，此时PQ=31

1

44

--=

（），满足题意，此时P（0，

3

4

），R（2，

1

4

-），直

线PR解析式为

13

24

y x

=-+.

②当x=2时，

15 4

y=-，

21 4

y=-，此时PQ=

15

1

44

---=

（），满足题意，此时P（2，

5

4

-），R（0，

1

4

-），

直线PR解析式为

11

24

y x

=--.

（2）若QR=1，由对称轴为x=1，得Q点横坐标为1

2

或

3

2

，

①当x=1

2

时，

1

7

16

y=，

2

1

16

y=-，此时PQ=

711

2

16162

--=≠

（），故此时不满足题意；

②当x=3

2

时，

1

9

16

y=-，

2

1

16

y=-，此时PQ=

191

2

16162

---=≠

（），故此时也不满足题意.

综上所述，满足题意的直线PR的解析式为

13

24

y x

=-+或

11

24

y x

=--.

【知识点】二次函数综合，二次函数的解析式，二次函数的平移，一次函数，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想