最新专题--数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法与技巧

一、利用常用求和公式求和：

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

3、)1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(61

1

2++==∑=n n n k S n

k n

5、21

3)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=

x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x

x x n

--1)1(＝2

11)

21

1(2

1--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *，求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

1

++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=

n n

S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当 8

8

-

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

二、错位相减法求和：

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列。

例 设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= ，（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，

111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+

21233(222)2n n --=++

++

2(1)12n +-=。 而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。

（Ⅱ）由212n n n b na n -==?知

35211222322n n S n -=?+?+?+

+? ①

从而

2357

2

21222322

n n S n +?=?+?+?++?

② ①-②得

2352121(12)22222n n n S n -+-?=+++

+-? 。

即 211

[(31)22]9

n n S n +=-+

[例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和。

解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2

226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减）

1122212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。

[例5] 求证：n n

n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明： 设n

n

n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得

113)12()12(n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序） 又由m

n n

m n C C -=可得 n n

n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=-

（反序相加） ∴ n n n S 2)1(?+=

[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

1s i n 2s i n 3s i n

88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。形如：

①{}n n b a +,其中{}{}???是等比数列；是等差数列；n n b a ②()()???∈=-==*

N

k k n n g k n n f a n ,2,,

12, 例 已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n n 求数列{}n a 的前n 项和. 解：()()()

132********-+++++=++=n a a a S n n n

=(

)

()[].135222221-++++++n n

=()

()[]2

13221212-++--n n n

=.22

1

23221-+++n n n

[例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++=-n a

a a S n n （分组）

当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和。

解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n

k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(231

k k k n

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝k k k n

k n

k n

k ∑∑∑===++1

2

1

3

1

32＝)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++ （分组）

＝2)

1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2

)

2()1(2++n n n