数列求和的方法专题

数列求和的方法

一、公式法[来源:

自然数方幂和公式：1

123(1)2

n n n +++???+=

+ 22221

123(1)(21)6n n n n +++???+=++

333321

123[(1)]2

n n n +++???+=+

【例题1】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1

{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000

n T -<成立的n 的最小值.

【变式训练】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =9

2

. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式，

(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .

二、分组法

类型一、等比数列+等差数列混合求和：

【例题2】已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22

－1,9＋23

－1,12＋24

－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .

【变式训练】已知数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N*)，数列{b n }是以函数

214sin 12y x π?

?=+- ??

?的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n - b n }的

前n 项和S n .

类型二、奇数项和偶数项分别求和：

【例题3】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n

(n ∈N *

)，则S 2 012= 。

【变式训练】【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，

已知121,2a a ==，且13n n a S +=*

13,()n S n N +-+∈，

（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S .

类型三、正数项和负数项分别求和后再求和：

【例题4】在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (Ⅰ)求d ，a n ；

（Ⅱ）若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.

【变式训练】在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100，又4是a 4与a 6的等比中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和S n .

【例题5】已知函数f (n )＝?

????

n 2

当n 为奇数时，

－n 2

当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋

a 3＋…＋a 100等于 A ．0

B ．100

C ．－100

D ．10 200

类型四、特定项的和结合后再求和、倒序相加法：

【例题6】设f (x )＝4x

4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 014

2 015

)，则S ＝________.[来

【变式训练】数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n

a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 三、裂项相消法 常用的裂项公式：

111(1)1n n n n =-++

1111

()(21)(21)22121

n n n n =--+-+ 11n a n n n n

=

=-++ ．121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+???+-

【例题7】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

1

n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【变式训练】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1

{n

a 的前10项和为 四、错位相减法

若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列{}n n a b ，当求数列的前n 项和时，常常采用将{}n n a b 各项乘以{}n b 的公比q ，并向

后错一项与原{}n n a b 的同次项对应相减的方法.错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 注意：○1 要考虑 当公比q 为1时为特殊情况 ， ○2错位相减时要注意末项.

【例题8】已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且

233445,,a a a a a a +++成等差数列.

(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221

log ,n

n n a b n N a -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.

【变式训练】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记n

n n

a c

b =，求数列{}n

c 的前n 项和n T ．

【课时作业】

1. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列}1

{1

+n n a a 的前100项和为( ) A .100

101

B .99101

C .99100

D .

101100

2.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1

a n a n ＋1，那么

数列{b n }的前n 项和S n 为 ( )

A .

n

n ＋1

B .

4n

n ＋1

C .

3n n ＋1 D .5n n ＋1

3.数列a n ＝

1n

n ＋1，其前n 项之和为9

10

，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n

＝0在y 轴上的截距为( ) A ．－10

B ．－9

C ．10

D ．9

4. 已知函数f (x )＝x 2

＋2bx 过(1,2)点，若数列})

(1

{

n f 的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为( ) A .

2 0122 011 B .2 0102 011 C .2 0142 01

3 D .2 014

2 015

5.设△A n B n C n 的三边长分别为a n 、b n 、c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…，若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝

c n ＋a n

2

，c n ＋1＝

b n ＋a n

2

，则

A ．{S n }为递减数列

B ．{S n }为递增数列

C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列

6. 已知数列}{n a 的前n 项和)34()1(139511

--+???+-+-=-n S n n ，则=2014S .

7．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n

a n －12n ，n ∈N ＋，则：

(Ⅰ)a 3＝________；（Ⅱ）S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.

8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设1

1

n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .

9. 直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2

＋y 2

＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N ＋.数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2.

(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）若b n ＝???

?

?

2n －1n 为奇数，a n n 为偶数，

求数列{b n }的前n 项和T n .

10.在数列{}n a )N (*

∈n 中，其前n 项和为n S ，满足22n n S n -=.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;

（Ⅱ）设???

??=+-=?=k n n

n k n n b n a n 2,2112,22

（k 为正整数）,求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.