2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲 两角和与差及二倍角公式

第十八讲 两角和与差及二倍角公式

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．已知cos ??α－π6＋sin α＝4

53，则sin ????α＋7π

6的值是( )

A ．－23

5 B.23

5

C ．－4

5 D.4

5

解析：∵cos ????α－π

6＋sin α＝4

5 3

∴32cos α＋32sin α＝453，3????

12cos α＋32sin α＝453，

3????sin ????π

6＋α＝4

53，∴sin ????π

6＋α＝45，

∴sin ????α＋7

6π＝－sin ????π6＋α＝－4

5.

答案：C

2．已知cos ????π

6－α＝3

3，则cos ????56π＋α－sin 2????α－π

6的值是( ) A.2＋3

3 B ．－2＋3

3 C.2－3

3 D.－2＋3

3

解析：∵cos ????56π＋α＝cos ????π－????π

6－α

＝－cos ????π6－α＝－33.

而sin 2????α－π

6＝1－cos 2????α－π6＝1－13＝23， 所以原式＝－33－23＝－2＋3

3.

答案：B

3．若sin α＝5

5，sin β＝10

10，且α、β为锐角，则α＋β的值为(

) A ．－π4 B.π

4

C ．±π4 D.π3

解析：解法一：依题意有cos α＝

1－????552＝255

， cos β＝1－????10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22

＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4

. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝

55＜22

， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2

∴cos α＝

1－????552＝255， cos β＝1－????10102＝31010

， sin(α＋β)＝

55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4

. 答案：B

4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513

，则cos C 的值是( ) A.

1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665

解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝450，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2

，从而sin A ＝35，sin B ＝1213

， 所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )

＝sin A ·sin B －cos A ·cos B

＝35×1213－45×513＝1665

，故选A. 答案：A

5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )

A ．0

B ．±3

C ．0或 3

D ．0或±3

解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12

.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32

.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D

评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．

6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形

解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7.2cos10°－sin20°sin70°

的值是________． 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°

＝

2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案： 3

8．已知cos ????π4－α＝1213，α∈????0，π4则cos2αsin ????π4＋α(α∈????0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ????π4＋α＝cos 2α－sin 2

α22(sin α＋cos α)

＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)

22(sin α＋cos α)

＝2(cos α－sin α)＝2sin ????π4－α.

又α∈????0，π4，则π4

α∈????0，π4. 由cos ????π4－α＝1213，则sin ????π4－α＝513

. ∴原式＝

1013. 答案：1013

9．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.

解析：(1＋3tan10°)cos40°＝?

??

?1＋3sin10°cos10°cos40° ＝

3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝

2sin(10°＋30°)cos10°·cos40° ＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 答案：1

10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.

解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，

即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．

∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α

∴α＝π4

. 答案：π4

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相

交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255

.

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求α＋2β的值．

解：由已知得cos α＝

210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝

7210sin β＝1－cos 2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12

. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12

＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×

1

21－????122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1.

∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2

(1)求tan2α的值；

(2)求β的值．

分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β. 解：(1)由cos α＝17，0<α<π2

，

得sin α＝1－cos 2α＝ 1－????172＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71

＝4 3. 于是tan2α＝

2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2

. 又∵cos(α－β)＝1314

， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝

3314

由β＝α－(α－β)，得

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝17×1314＋437×3314＝12

. 所以β＝π3

. 13．已知0<β<π4<α<34

π，cos ????π4－α＝35，sin ????3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4<α<3π4， ∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0. 又∵cos ????π4－α＝35，∴sin ????π4－α＝－45

. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4

＋β<π. 又∵sin ????3π4＋β＝513，

∴cos ????3π4＋β＝－1213

， ∴sin(α＋β)＝－cos ???

?π2＋(α＋β) ＝－cos ????????3π4β－????π4

－α ＝－cos ????3π4＋βcos ????π4－α－sin ????3π4＋βsin ???

?π4－α

＝－????－

1213×35－513×????－45 ＝3665＋2065＝5665

. 评析：三角函数的给值求值问题

解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(3)常见的配角技巧

α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－????π4－α.