车位分配问题 数学建模

停车场车位分配问题研究

一． 摘要

某写字楼的停车位数目一定，主要提供写字楼办公人员办卡包年或包月使用，为了使停车场空置率减少，以及免于有卡却没有车位产生冲突的尴尬，我们必须对停车流量进行模拟分析，建立合理的最佳的车位分配管理方法，并得到最大的收益。

首先对附表中数据进行分析，因为我们得到的是四月份的停车流量，为了方便分析研究，我们应该把数据转化为停车量。我们从中引入了概率进行模拟。假设停在停车场中的车辆在各个时间段离开是按照泊松分布，即可分别求的到来的和离开的车辆数目，就可以方便得得到停车量这个关键的数据。分析结果如下表所示：

定义冲突概率1212

i

α=

-，i I 为第i 个时间段进入停车场的车辆数目。由于第四时间段为停车高峰期，因此原则这一时间段进行分析。样本服从正态分布，用3δ原则，即可求出当0.05α<时的最大售卡量为240张。

制定更好的车位分配方案时则将卡的种类分为年卡和月卡，通过设定年卡和月卡的价格来控制相应的销量，从而使收益最大。运用边际函数相关知识，设立目标函数和约束条件，用Lingo 软件即可计算出当0.05α<时年卡和月卡最佳销售价格以及张数如下表所示：

关键词：泊松分布，正态分布，边际函数

二．问题分析与重述

问题一：题目要求模拟附表中停车流量，分析停车量的统计规律。停车流量与停车量是两个不同的概念，要分析停车量的统计规律就必须弄清楚来到停车场的车辆数目以及离开停车场的车辆数目。而题目所给的条件中我们只知道停车流量，也就是车离开与来到的总的次数，因此我们假设车的离开服从泊松分布，运用概率来求出单位时间内车辆离开的数目，这样也就可以知道单位时间内车辆到来的数目，它们两者的差值也就是我们所要求的停车量。

α=情形下，计算最大售卡量。问题二：定义冲突概率，求若冲突概率低于0.05

根据附表中停车流量数据，以及上题对停车量的分析，我们可以知道在第四个时间段，即早上9:00—10:00停车量是最多的，也就是在这段时间产生冲突的概率是最大的，为了计算最大售卡量，我们就取这段时间进行分析。将四月份这段时间的这些数据就行整理，做高峰期停车量与次数的柱状图，近似服从正态分布，求出均值后再用3δ原则，即可求出最多可以停车的数量，也就是最大售卡量。

问题三：此问要求设计出最佳车位分配管理方式，使得收益最大。也就是在满足冲突概率低于一定值的条件下，找到它与收益的平衡点。我们从售卡种类，价格，数量出发，设计方案将利润最大化。首先将卡分为年卡和月卡，两者的价格和销量则按照经济学的编辑函数计算得出，列出目标函数和约束条件，用Lingo软件即可求出我们所需的数据。

三．建模过程

1）问题一

1.符号定义与说明

表1.1符号定义与说明

2. 模型假设

①假设在第i 个时间段初了最后一个时间段来到停车场停车的车辆不会在这个时间段离开，都是在第(1)i +之后的时间段离开。 ②假设在一天结束之后，所有车都离开停车场。 ③假设车辆在各个时间段离开的数量服从泊松分布。 ④假设售卡数量为212张。

3. 模型建立与求解

已知各时间段的停车流量i T ，目的是要求出各个时间段的停车量i n 。停车流量是单位时间内来到停车场的车辆数目与离开停车场的车辆数目的和，单位时间的停车量则是来到停车场的车辆数目与离开停车场的车辆数目的差值。 这两者的关系如下面两式所示：

i i i T I O =+ （1） i i i N I O =- （2）

由（1）式，（2）式可知：

2i i i N I O =-（3）

因此，问题的关键就是要求出i O 。

由假设第三条即：假设车辆在各个时间段离开的数量服从泊松分布:

()(0,1,2,...)!

k

P X k e k k λλ-==

=

再根据假设第一条即：假设在第i 个时间段初了最后一个时间段来到停车场停车的车辆不会在这个时间段离开，都是在第(1)i +之后的时间段离开，就可以列出以下式子： 第1个时间段：

111I T N ==； 10O =；

第2个时间段：

21(1)O I P X =⨯=； 222I T O =-； 2222N T O =-；

第3个时间段：

312(2)(1)O I P X I P X =⨯=+⨯=；

333I T O =-； 3332N T O =-；

第i 个时间段：

12(1)(2)...(1)i i O I P X i I P X i I P X =⨯=-+⨯=-++⨯=；

i i i I T O =-； 2i i i N T O =-；

用上述计算公式即可计算出单位时间内也就是每个时间段的进入停车场车辆的数目和离开停车场车辆的数目。用折线图来表示如下图所示：

图1.1各时间段停车场进出车辆数目

根据上图容易得到各时间段停车量如图表所示：

图1.2停车场各时间段停车量

综上所述，各时间段的进入停车场的车辆的数目，离开停车场的车辆的数目以及停车量如下表所示：

表1.2各时间段停车量与停车流量

i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 i T 22 42 131 161 148 160 143 134 138 135 132 114 72 46 35 i I

22

37

112 107 71

80

59

60

65

70

60

34

20

5

5

代表每个时间段

进入停车场的车辆的数目

? 代表每个时间段离开停车场的车辆的数目

从图1.2和表1.2中可以看出，在9点以前停车量是不断上升的，在9点到10点之间有一个停车量最大值，然后就是稍稍下降和持平。到了11点，出现一次明显的下降，在15点时有一个较小的峰值，等到16点之后，停车量迅速减小直至所有车都离开停车场。

2）问题二

1.符号定义与说明

表2.1符号定义与说明

2.模型假设

①假设汽车来到停车场的时间服从均匀分布。

②假设忽略工作日和休息日的区别。

③假设停车场现售出212张卡。

3.模型建立与求解

a.定义冲突概率α：

停车场发生冲突也就是来到停车场的车的数量比停车场车位的数量多。定义可以

有两种可能：

①一天中有α的时间段出现车位不够的现象

②当来到停车场的车辆数目大于车位数的1α+时为冲突 我们选用第二种方式定义冲突概率α，也就是：

1212

i

I α=

- b.求最大售卡量：

由第一问可知，在第四时间段即9:00—10:00停车量是最多的，所以这个时间段发生冲突的概率最大，如果其他时间段发生了冲突，这个时间段必然也会发生冲突，因此，想要得到最大售卡量，只要考虑这个时间段即可。

以9:00—10:00这个时间段来到停车场的车辆数目为横坐标，以达到相同来车数目的次数为纵坐标作柱状图得到这个时间段即最高峰来车数分布直方图如下图所示：

图2.1最高峰来车数分布直方图

从上图可以看出，第四时间段来车分布近似服从正态分布。 整理第四个时间段数据得出：

第4个时间段来到停车场车辆数目的均值为：

199x =

的方差为：

4S =

第4个时间段来到停车场车辆数目的中位数：

181M =

正态分布检验：

Q 0.9 1.1M

x

<

< 3x δ>

∴可认为样本大致呈正态分布

根据正态分布的3δ原则，在3倍S 的区间内事情发生的概率为99%，也就是说有199+12=211辆车停在停车场的概率为99%。由于该停车场有212各车位，允许发生冲突的概率为0.05，所以该时间段的停车上限为212*1.05=223，所以，加上冲突后可以多让233-211=22个人来停车。

假设持卡人来停车的概率为J ，那么计算最大售卡量的公式为：

()2121182212L J

α⨯+-⎡⎤⎣

⎦=+

J 的得来：

根据可能来到停车场中的车和在停车场中的车与时间段作散点图，并连成折线图如下图所示：

实现代表可能到停车场的车，虚线代表已经在停车场中的车。

图2.2各时段停车场占用率折线图

从图中可以看出，还没到停车场中的车辆数目也就是有卡却遭遇冲突的车辆数目，因此：

10.20.8J =-=

综上所述：当0.05α<时，最大售卡量240L =。

3）问题三 1.符号定义与说明

表3.1符号定义与说明

2.模型建立与求解

将卡的种类分为年卡和月卡，它们价格和销量不同，我们通过设定年卡和月卡的价格来控制相应的销量，从而使收益最大。

运用经济学中边际函数的相关概念，我们可以得到以下关系式：

9023y y m Q P P =-+（1） 704m m y Q P P =-+（2）

偏边际：

2y y

Q P ∂=-∂；

交叉边际：

3y m

Q P ∂=∂；

偏边际表示当月卡的价格不变时，年卡的价格每增加1单位，年卡的销量就会降低2单位。而交叉边际表示当年卡的价格不变时，月卡的价格每增加一个单

位，年卡的销量就会增加3单位。 类似的我们有：

偏边际：

4m

m

Q P ∂=-∂ 交叉边际：

1m

y

Q P ∂=∂ 偏边际表示当年卡的价格不变时，年卡的价格每增加1单位，年卡的销量就会降低4单位。而交叉边际表示当月卡的价格不变时，月卡的价格每增加一个单位，年卡的销量就会增加1单位。 一年的收益：

12y y m m Y Q P Q P =⨯+⨯

22

2125190840y m y m y m P P P P P P =--+++

约束条件：

0y P >；

0m P ≥；

且当0.05α<时有：

240y m Q Q +≤

用Lingo 软件计算得：

170y P =；

23m P =；

将结果带入（1）、（2）两式得：

125y Q =；

115m Q =。

从该结果中可以得到，我们在售卡时在冲突概率小于0.05的条件下年卡卖125张，月卡卖112张，其中年卡单价为170，月卡单价为23。这样得到收益最高的分配方式。

四．附录

附录一：计算持卡人停车概率的程序：

>>st=1:15;

>>x0=[0.1,0.9];

>> [t,x]=ode45('ill',st,x0);

>> plot(t,x(:,1),'.',t,x(:,2),'-'),grid,pause

function y=ill(t,x)

if t>=1 & t<=4

ab=1.2;bc=0.01;

y=[ab*x(1)*x(2)-bc*x(1);-ab*x(1)*x(2)];

else if t<=11

ab=0.04;bc=0.035;

y=[ab*x(1)*x(2)-bc*x(1);-ab*x(1)*x(2)];

else

ab=0.07;bc=0.35;

y=[ab*x(1)*x(2)-bc*x(1);-ab*x(1)*x(2)];

end

end

五．参考文献

[]1姜启源，谢金星，叶俊编《数学模型（第三版）》，高等教育出版社