绝对值型不等式和三角不等式类型

绝对值型不等式和三角不等式

定理1 如果a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab ≥0时，等号成立）。

绝对值三角不等式.a b a b a b a b -≤-≤±≤+(a,b 为实数) 定理2 如果a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，

等号成立）。

证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。

绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。

题型一 解绝对值不等式

【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.

(1)解不等式f (x )＞3；

(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，数a 的取值围.

【解析】(1)所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).

(2)因为f (x )＝??

???-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.

因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值围是(－∞，1).

【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .

(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；

(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值围.

【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函

数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).

(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x

－2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.

题型二 绝对值三角不等式的应用

[例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．

(2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．

[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．

[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，

∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.

法二：把函数看作分段函数．

y ＝|x －3|－|x ＋1|＝??? 4，x <－1，

2－2x ，－1≤x ≤3，

－4，x >3.

∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.

(2)|x |≤1，|a |≤1， ∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |

＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |

＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1

＝－(|x |－12)2＋54≤54. ∴|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54

. 规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．

3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________．

解析：|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴1＝3－2≤|a ＋b |≤3＋2＝5.答案：5 1

4．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．

解：∵|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，

当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号．

∴当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1| 取得最小值2.

5．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值围．

解：a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，∴a <[|x ＋1|－|x －2|]min.

∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.

∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3.∴a <－3.即a 的取值围为(－∞，－3)．

题型三 解绝对值三角不等式

【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，数x 的围.

【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |

≥f (x ). 又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |

＝2，则有2≥f (x ). 解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52

. 【变式训练2】(2010)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a

对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.

题型四 利用绝对值不等式求参数围

【例3】(2009)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.

(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；

(2)如果?x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值围.

【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，

综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32

，＋∞). (2)综上可知a 的取值围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).

【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12

(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ?B 的a 的取值围.

【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2?－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12

(a －1)2， 解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.

由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0?(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，

①当3a ＋1≥2，即a ≥13

时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}， 因为A ?B ，所以必有???++1,

3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3； ②当3a ＋1＜2，即a ＜13

时， B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}， 因为A ?B ，所以?

??++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1. 综上使A ?B 的a 的取值围是a ＝－1或1≤a ≤3.

总结提高

1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.

2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1?1－x ≤3x ＋1≤x －1.

3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用围更广.

类型一：含一个绝对值符号的不等式的解法

含一个绝对值符号的不等式的一般形式为()()f x g x > 或 ()()f x g x <，解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法，有时也可用分类讨论法．

例1.解不等式2|55|1x x -+<．

［分析］利用｜f(x)｜0) ?-a

的一元二次不等式组.

解：原不等式等价于21551x x -<-+<，

即22551(1)551(2)x x x x ?-+-?? 由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >， 所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．

［注］本题也可用数形结合法来求解.在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集.

例2. 解不等式4321x x ->+.

［分析］利用｜f(x)｜g(x) ?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或用分类讨论法解之.

方法一：原不等式转化为4321x x ->+或43(21)x x -<-+，解之得原不等式的解集为123x x x ??>

?或. 方法二：原不等式等价于4304321x x x -≥??->+?或430(43)21x x x -+?.解之得342

x x ?≥???>? 或341

3x x ?

，即2x >或13x <.所以原不等式的解集为123x x x ??>型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，用同解变形法则更为简洁．

⑵.分类讨论法也可讨论()0()0g x g x ≤或而解之，这实际上是同解变形法的推导依据.

类型二：含两个绝对值符号的不等式的解法 含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为：1122a x b a x b c +±+> 或 1122a x b a x b c +±+<()0c ≥，我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数的方法，有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法．

例3.解不等式||||x x +<+123

［分析］两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：

|()f x |<|()g x |?22()()f x g x

解：原不等式

0)1()32()32()1(|32||1|222222>+-+?+<+?+<+?x x x x x x 解得x x <->-243或，故原不等式的解集为{|}x x x <->-243

或 例4.解不等式127x x ++-≥．

［分析］解法一 利用绝对值的几何意义（体现了数形结合的思想）． 不等式127x x ++-≥的几何意义是表示数轴上与()1A -、()2B 两点距离之

和大于等于7的点，而A 、B 的距离之和为3，因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离之和都等于3，A 左侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到A 点距离的2倍加3，B 右侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到B 点距离的2倍加3．

图1

由图1可知：原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．

解法二 利用1020x x +=-=，的零点，

把数轴分为三段，然后分段考虑．把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）．

（1）当1x <-时，原不等式同解于13127x x x x <-??≤-?---+≥?，，

； （2）当12x -≤≤时，原不等式同解于12127x x x -≤≤???+-+≥?，，

无解； （3）当2x >时，原不等式同解于24127x x x x >??≥?++-≥?

，，． 综上知，原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．

解法三 通过构造函数，利用函数图像（体现了函数与方程的思想）． 原不等式可化为1270x x ++--≥．令()127f x x x =++--，则

(1)(2)7(1)()(1)(2)7

(12)(1)(2)7(2)x x x f x x x x x x x -+---<-??=+----≤≤??++-->?

?26(1)()4

(12)28(2)x x f x x x x --<-??=--≤≤??->?，，， 可解得原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．

例5 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+

［分析］原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ，一般会分类讨论去绝对值号解题，即：通常分log log a a x x <--≤<1212

0，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错根据此题特点，不妨改变一下操作程序，即原不等式两边平方，再由定义去绝对值号，则分析将十分清晰，过程也简洁得多.

解：原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ，将两边平方可得：

4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++，则有：

（1）log ,(log )log a a a x x x ≥

012； （2）log ,log log log a a a a x x x x <+-

?-<<03830302. 综上知-<<31log a x ，故当a >1时，解为a x a -<<3；当01<>和()120ax b ax b c c +++<>的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦，可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式，所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解． 例6解不等式 2331x x --≤

［分析］解含有双层绝对值符号的不等式的基本思想就是一层一层的去掉绝对值，使不等式化为不含绝对值的一般不等式．常用的方法有等价转化法、零点分段法和平方法，当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比较简单的方法，但这种方法比较抽象，一般不容易想到．但本题不可以采用零点分段法，也不能采用平方法，因为平方后既含有x 的项，又含有x 的项，所以我们先把不等

式进行等价转化，然后把它看成有关x 的一元二次不等式组进行求解．

解： 2331x x --≤ ? 21331x x -≤--≤ ? 22320340x x x x ?--≥??--≤??，，

? 22320340x x x x ?--≥??--≤??，，?

324x x ?≥???≤?， ?

332244x x x ?+≤-≥???-≤≤?

或， ∴原不等式的解集为

31744???+--???????

，． 类型三：含参数的绝对值不等式的解法

解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进行分情况讨论，然后分别在各种情况下对不等式进行求解，最后把各种结果综合在一起就可以得到原不等式的解．另外，有一些题也可通过转化，不进行讨论就可以轻松的解答出来．

例7 解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x

［分析］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大.若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论.

解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x

当03>+m 即3->m 时，)3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴333-<+>m x m x 或

当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6

当03<+m 即3-

［注］形如|()f x |a (a R ∈)型不等式，简捷解法是等价命题法，即：