导数微分不定积分公式

一、导数的概念及其计算

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x

y

??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即

x

y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。

如果当0→?x 时，

x

y

??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0

lim

→?x x

y

??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x

y

??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数

（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；

（2）求平均变化率

x

y ??=x x f x x f ?-?+)

()(00；

（3）取极限，得导数f’(x 0)=x

y x ??→?0lim 。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．常见函数的导出公式．

（１）0)(='C （C 为常数） （２）1

)(-?='n n

x

n x

（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -=' 4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (.)'

'

'

v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('

'

'

uv v u uv +=

若C 为常数,则'

'

'

'

'

0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

.)(''Cu Cu =

法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

??

? ??v u ‘=2

''v uv v u -（v ≠0）。 二、定积分的概念及其计算（牛顿—莱布尼茨公式）

1．定积分

（1）概念

设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

∑n

i f

1

＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0

时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：

?

b

a

dx x f )(，即?b

a

dx x f )(＝∑=∞

→n

i n f 1

lim (ξi )△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变

量，f (x )dx 叫做被积式

定理 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，则)(x f 在],[b a 上可积，且

?

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(

这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为?-==b

a

b

a a F

b F x F dx x f )()()()(。

基本的积分公式：?dx 0＝C ；?

dx x m

＝

11

1++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；?x 1dx ＝ln x ＋C ；?dx e x

＝x e ＋

C ；?dx a x

＝a

a x

ln ＋C ；?xdx cos ＝sin x ＋C ；?xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）

（2）定积分的性质 ①?

?=b

a b

a

dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②?

??±=±b

a b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③

???+=b

a

c a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x ＝a ，x ＝b （a

积?

=

b a

dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b

（a

形

DMNC

＝

?

?-b

a

b

a

dx x f dx x f )()(21。

一、基本导数公式：

()()()()()()()()()()()()(

)(

)()'

'1

'

'

'

'

'

'

'2

'

2

'

'

''

'

2

1.2.3.ln 4.1

5.log ln 1

6.ln

7.sin cos

8.cos sin

9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1

13.arcsin 114.arccos 115.arctan 11n n x x

x x

a kx k

x

nx a a a e e

x x a x x

x x x x x x

x

x x x x x x x x x x -=====

=

==-==-==-=

=-

=

+()'

2

16.a cot 1rc x =-

+

二、基本微分公式：

()()()()()()()()()()()()(

)()1221.2.3.ln 4.1

5.ln 1

6.log ln

7.sin cos

8.cos sin

9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1

13.arcsin 14.arccos n n x x x x a d kx k

d x nx dx d a a adx d

e e dx d x dx

x d x dx

x a

d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx

d x -========-==-==-=

()()2

2

1

1

15.arctan 11

16.cot 1dx

d x dx x

d arc x dx x

=-=+=-+

三、不定积分基本公式：

11.2.1

3.1

4.ln 1

5.ln ||

6.sin cos

7.cos sin

8.tan ln |cos |

9.cot ln |sin |10.csc ln |csc cot |11.sec ln |sec tan |n n x x x

x

kdx kx c

x

x dx c

n e dx e c a dx a c

a

dx x c x

xdx x c xdx x c xdx x c

xdx x c

xdx x x c

xdx x x c

+=+=++=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=++??????

?????

2

2

32121311xdx x c

x dx x c

dx c

x x =+=+=-+???

222

22

22

22

1

12.c cot sin 1

13.sec tan cos

114.arctan 11

15.arcsin

16.sec tan

sec 17.csc cot csc 118.arctan 119.ln ||220.dx cs xdx x c

x dx xdx x c x

dx x c x dx x c

x xdx x c x xdx x c

dx x c x a a a dx x a c x a a x a dx ==-+==+=++=+=+=-+=++-=+-+??????????arcsin 21.ln ||22.ln ||x c

a dx

x c

x c =+=++=++???

(

)2

21ln 112x dx x c x =+++? 21

arctan 1dx x c x =++?