北师大版高中数学必修四课时提升作业.docx

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课时提升作业

正弦函数的图像与性质

基础巩固练习

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.(2014·哈尔滨高一检测)函数f(x)=cos的奇偶性为()

A.偶函数

B.奇函数

C.非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

【解析】选B.因为cos=cos=-sinx,所以函数f(x)为奇函数. 2.(2014·武汉高一检测)函数y=2-sinx,x∈的简图是()

【解题指南】按照五点法作图的依据,依次观察各图像,符合要求的即是. 【解析】选A.按五个关键点列表:

x 0 π2π

sinx 0 1 0 -1 0

2-sinx 2 1 2 3 2

观察各图像发现A项符合.

3.(2014·防城港高一检测)设函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)()

A.在上单调递减

B.在上单调递减

C.在上单调递增

D.在上单调递增

【解析】选A.因为函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,所以π=,ω=2.

所以f(x)=sin,

由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

可得kπ≤x≤kπ+,k∈Z,

当k=0时,函数f(x)=sin在上单调递减.

故选A.

4.(2014·日照高一检测)函数y=sinx-1的最大值与最小值的和是()

A. B.- C.- D.-2

【解析】选D.因为sinx∈[-1,1],所以sinx-1∈,所以-+=-2.

【变式训练】函数y=sin x-1,x∈[0,2π]的值域是.

【解析】因为x∈[0,2π],所以x∈,

所以sin x∈[0,1],所以sin x-1∈[-1,0].

答案:[-1,0]

5.(2014·成都高一检测)函数y=sin(πx-1)的最小正周期是()

A.2

B.2π

C.

D.-1

【解析】选A.T==2.

6.(2014·深圳高一检测)已知函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,1],则b-a的值不可能为()

A. B.π C. D.2π

【解题指南】函数y=sinx的最大值与最小值之间至少有半个周期,然后列不等式求解.

【解析】选A.由于函数y=sinx的最大值与最小值之间至少包含半个周期,故b-a≥=π,则选项A不正确.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.(2014·大连高一检测)在“五点作图法”中,函数y=sinx-1的第四点是.

【解析】当x=时,y=sin-1=-1-1=-2,

所以第四点为.

答案:

8.方程=-sinx在上的实根个数是.

【解题指南】作出函数的图像利用数形结合法求解.

【解析】y=与y=-sinx的图像如图所示.

由图像可以看出在上共有3个不同的交点.

答案:3

9.(2014·莆田高一检测)函数y=sinx在区间上是减少的,则a的取值范围是.

【解析】因为函数y=sinx在上是减少的,在上是增加的,所以只有-

三、解答题(每小题10分,共20分)

10.作出函数y=-sinx,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:

(1)观察函数图像,写出满足下列条件的x的区间:

①sinx>0;②sinx<0.

(2)直线y=与y=-sinx的图像有几个交点?

【解析】作图,列表如下

x -π-0 π

y 0 1 0 -1 0

图像如图所示:

(1)根据图像可知,图像在x轴上方的部分sinx>0,在x轴下方的部分sinx<0,所以当x∈(-π,0)时,sinx>0;当x∈(0,π)时,sinx<0.

(2)画出直线y=与y=-sinx的图像,得知有两个交点.

11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx.

(1)当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式.

(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图.

(3)当f(x)≥时,求x的取值范围.

【解析】(1)若x∈,则-x∈.

因为f(x)是偶函数,

所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.

若x∈,则π+x∈,

因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,

所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx,

所以x∈[-π,0]时,f(x)=-sinx.

(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图如图所示:

(3)x∈[0,π],sinx≥,可得≤x≤,函数周期为π,因此x的取值范围是kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.

能力提升训练

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.(2014·成都高一检测)函数y=sin的最小正周期是()

A.π

B.

C.4π

D.2π

【解析】选C.T==4π.

2.(2014·成都高一检测)函数y=sin的单调递减区间是()

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

【解题指南】先化简函数,再根据正弦函数的单调性求复合函数单调区间.

【解析】选B.因为y=sin=-sin,

所以所求函数的减区间是函数y=sin的增区间,所以-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,所以-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.

【举一反三】此题条件不变,求函数的单调增区间.

【解析】所求函数的增区间是函数y=sin的减区间,所以-+2kπ≤x+≤-+2kπ,k∈Z,所以-+4kπ≤x≤-+4kπ,k∈Z.

【误区警示】在解不等式时,容易忘记“2kπ”乘以2导致结果错误.

3.(2014·重庆高一检测)函数y=2sin在区间上的值域是()

A.[-2,2]

B.

C.[-1,2]

D.[-2,1]

【解析】选C.因为x∈,

所以x-∈,

所以sin∈,

所以2sin∈[-1,2].

4.(2014·潍坊高一检测)函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是()

【解析】选C.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]既不是奇函数,也不是偶函数,因此其图象既不关于原点对称,也不关于y轴对称.因此选C.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且f(2)=1,则T=,θ=.

【解析】由T==2,f(2)=sin(2π+θ)=1,所以θ=.

答案:2

6.f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=.

【解析】函数f(x)的周期T=,

因此f(x)=2sinωx在上是增加的,

因为0<ω<1,所以 ? ,

所以f(x)在上是增加的,所以f=,

即2sin=,所以ω=,所以ω=.

答案:

三、解答题(每小题12分,共24分)

7.已知ω是正数,函数f(x)=2sinωx在区间上是增加的,求ω的取值范围.

【解析】由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得-+≤x≤+(k∈Z).

所以f(x)在区间(k∈Z)上是增加的.

据题意, ? (k∈Z).

从而当k=0时有ω>0,

解得0<ω≤.

故ω的取值范围是.

8.(2014·鄂州高一检测)求y=2sin的单调递增区间和单调递减区间.

【解题指南】利用函数y=sinx的奇偶性先将函数y=2sin中x的系数转化为正数,再结合函数y=sinx 的单调区间利用整体代换的方法求解单调区间.

【解析】y=2sin=-2sin

增区间:原函数的增区间就是函数y=sin的减区间,

所以由+2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,

得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

所以原函数的单调递增区间为

,k∈Z.

减区间:原函数的递增区间就是函数y=sin的减区间,

所以由-+2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以原函数的单调递增区间为,k∈Z.