全等三角形各种类型证明培优(经典)

全等三角形

全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

A'

B'C'

D'

E'

E

D

C

B

A

全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．

全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

判定三角形全等的基本思路：

SAS HL

SSS →⎧⎪

→⎨⎪→⎩ 找夹角已知两边 找直角 找另一边

ASA AAS SAS AAS ⎧⎪

⎧⎪

⎨⎪

⎨⎪

⎪⎪

⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA

AAS →⎧⎨

→⎩ 找两角的夹边已知两角 找任意一边

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：

⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 三角形辅助线做法:

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 常见辅助线的作法有以下几种:

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、全等三角形的认识与性质

1、在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．

2

1E O

D

C

B

A

2、如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全

等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．

F

A

E P D

C

B

二、三角形全等的判定与应用

1、如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．

F

E

D

C

B

A

2、已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．

O

D

C

B

A

3、如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证：OA OD =．

A

B

C

D

O

4、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．

F E O

D

C

B A

5、已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．

F E C

B

A

6、E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．

P

F

E

D

C

B

A

7、E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求

证：BG CF BC +=．

G

A B

C

D

E

F

8、在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．

M E

D

C B A

三、截长补短类

1、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?

N

E

B M A D

2、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线

交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？

N

C

D

E

B M A

3、如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )

A . a

B . k

C .

2

k h

+ D . h M

D

C

B

A

4、已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .

F

E

D

C

B

A

5、如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．

N

M D

C

B

A

6、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE

C

E

D

B A

四、与角平分线有关的全等问题

1、如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．

2、在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．

A

D

O

C B

3、已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．

E

D C

B A

4、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

O

E

D C

B

A

D C B

A

5、如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．

E D

C B A

4

32

1

6、长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．

F

E

D

C

B

A

7、如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB

F

A

C

D E B

8、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．

F G

E D

C

B

A

9、在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．

C

D B P

A

10、如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．

D

C B A

11、如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，

若CF AD ⊥

且交AD 的延长线于F ，求证()1

2

MF AC AB =

-． M

F

D C

B A

12、如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，

求证DE AB ∥ 且1

()2

DE AB AC =+．

E D

C

B A

13、如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．

M

D C

B

A

14、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．

H

G D A

B C E

15、已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，

求证：⑴ DE AB ∥；⑵ ()1

2

DE AB BC CA =++．

E

B

A D C

16、在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，

AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()1

2

MN AB AC BC =++

F

E

N M C

B

A

17、在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，

AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()1

2

MN AB AC BC =+-

N M

C

B

A

18、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且

)(2

1

AD AB AE +=

，则ADC ABC ∠+∠等于多少？

E

D

C

B

A

19、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．

① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．

E

D

C

B A

四、倍长中线

1、已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1

()2

AM AB AC <+．

M

C

B A

2、在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？

3、如图，ABC ∆中，

D

C

B

A

4、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．

F

E

D

C B

A

5、已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．

G

E

D

C

B

A

6、已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．

M

F

E

C

B

A

7、在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

F E

D

C

B

A

8、如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果

2222BM CN DM DN +=+，求证()2221

4

AD AB AC =+．

N

M

D

C

B

A

9、在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．

F

E

D

C

B

A

五、中位线的应用

1、AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：1

3AE AC =

． F

A D

E

C

B

2、如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．

E

D

C

B A

3、已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中

线．求证CD =2CE

E D

B C

A

4、已知：ABCD 是凸四边形，且AC ∠GNM ．

N

M G

F

E

D

C

B

A

5、在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1

2

AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．

E

D

C

B

A

6、如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．

E

D

F

C

B

A

7、如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．

L

P

M

D C

B

A

8、如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过

E 、

F 分别作直线CA 、CB 的垂线，

相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：