专题03 相似三角形的存在性问题

专题三相似三角形的存在性问题

【考题研究】

相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．

【解题攻略】

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

【解题类型及其思路】

相似三角形存在性问题需要注意的问题：

1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定．

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF ， ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、

3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况．

【典例指引】

类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】

典例指引1．

已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x ＝1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE ＝12

．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12

PAC ACD S S ??=，求点P 的坐标；（4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．

【举一反三】

如图1，已知抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （﹣1，0），B 两点，（点A 在点B 的左侧），与直线AC 交于点C （2，3），直线AC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ，连接BD ．

（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D 的坐标；

（2）如图2，若点M 、N 同时从点D 出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA 、DB 运动，连接MN ，将△DMN 沿MN 翻折，得到△D′MN ，判断四边形DMD′N 的形状，并说明理由，当运动时间t 为何值时，点D′恰好落在x 轴上？

（3）在平面内，是否存在点P （异于A 点），使得以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABD 相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】

典例指引2．

如图，在矩形OABC 中，AO ＝10，AB ＝8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2

y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点．(1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

【举一反三】

如图，已知一次函数y ＝0．5x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数y ＝0．5x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝0．5x ＋1的图象交于点B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点，且D 点坐标为（1，0）．

（1）求二次函数的解析式；（2）在在x 轴上有一动点P ，从O 点出发以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动，是否存在动点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 运动时间t 的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P 在x 轴上，动点Q 在射线AC 上，同时从A 点出发，点P 沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q 以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动，是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．

类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】

典例指引3．

如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l 与y 轴相交于点A （0，m ）其中m ＜0，与x 轴相交于点B （4，0）．抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）的顶点为F ，它与直线l 相交于点C ，其对称轴分别与直线l 和x 轴相交于点D 和点E ．（1）设a ＝12

，m ＝﹣2时，①求出点C 、点D 的坐标；②抛物线y ＝ax 2＋bx 上是否存在点G ，使得以G 、C 、D 、F 四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F 、C 、D 为顶点的三角形与△BED 相似且满足三角形FAC 的面积与三角形FBC 面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．

【举一反三】

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．

【新题训练】

1．如图，抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，并且与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．

（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行与y 轴的抛物线过点()1,0A 、()3,0B 和()4,6C ．（1）求抛物线的表达式．（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使ACD AEC ∽（顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、

E 、C ）

，试求k 的值，并说明方向．

3．已知：关于x 的二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 经过点（﹣1，0）和（2，6）．（1）求b 和c 的值．（2）若点A （n ，y 1），B （n ＋1，y 2），C （n ＋2，y 3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n ，使123111310y y y

++=？若存在，请求出n ；若不存在，请说明理由．（3）若点P 是二次函数图象在y 轴左侧部分上的一个动点，将直线y ＝﹣2x 沿y 轴向下平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，请求出所有符合条件点P 的坐标．

4．如图，二次函数2

2y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ．（1）a = ； b = ；

（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ，①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ?相似，求点P 的坐标．

相似三角形的存在性(讲义及答案).

相似三角形的存在性（讲义）知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．

精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为．

3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．（1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．

相似三角形存在性探究精品

文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑,有帮助欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【关键字】条件、速度、方向相似三角形存在性探究如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ (2)要判断△ADB 与△(3)通过(1)(2)例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。变式如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ，点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得 △AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。例2如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1)请问在x 轴上是否存在点Q,使以P ,B,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。变式如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1) (1)求过A 、B 、C 三点的抛物线解析式 (2)请问在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作M N ⊥x 轴于点N,使以A,M,N 为顶点的三角形与△BCP 相似？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。做一做如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 B 42 3812+-=x x y O

相似三角形存在性探究

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相似三角形存在性探究如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是 (2)要判断△ADB 与△ABC 相似，AB =4、AD =2. 则AC = (3)通过(1)(2)的解答，你能说出相似三角形哪些知识例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似若存在，求出AF 的长。变式如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ，点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得△AEF 和△ABC 相似若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 C A D B C E F B E F

例2如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1)请问在x轴上是否存在点Q,使以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。变式如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1) (1)求过A、B、C三点的抛物线解析式 (2)请问在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作 MN⊥x轴于点N,使以 A,M,N为顶点的三角形与△BCP相似若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

做一做如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似若存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 42 3812+-=x x y

相似三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（2）相似三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例? 如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)．于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了．在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ．因此)BF t ==-．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF ==．解得43t =（如图1-2）．

2020年中考复习专题2相似三角形存在性问题

中考复习专题2----相似三角形存在性问题类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】例1．（2019·贵州）如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．练习1抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N． ①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】例2如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点. (1)求AD的长及抛物线的解析式； (2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？ (3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由. 练习2如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA 上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

相似三角形存在性问题

因动点产生得相似三角形问题例1 ２015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第2４题如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠０)与直线y=x+２都经过点A(2, m). (1)求ｋ与ｍ得值; (2)此双曲线又经过点B(ｎ, ２),过点B得直线BＣ与直线y=x＋2平行交ｙ轴于点C,联结AB、AＣ,求△ＡBC得面积; (３)在(2)得条件下,设直线y=ｘ+２与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点Ａ、C、Ｅ所组成得三角形与△AＣＤ相似,且相似比不为1,求点E得坐标、图１动感体验请打开几何画板文件名“１5宝山嘉定２4”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到, △ACE与△ACD相似,存在两种情况。思路点拨１、直线AD/／BＣ,与坐标轴得夹角为45°. 2.求△AＢC得面积,一般用割补法. ３。讨论△ACＥ与△ＡCD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程. 满分解答 (1)将点Ａ(２, m)代入ｙ＝ｘ＋２,得m=４.所以点Ａ得坐标为(２,4). 将点A(2, 4)代入,得k＝8。 (２)将点B(n, 2),代入,得n=４。所以点Ｂ得坐标为(4, 2)、设直线ＢＣ为y=x＋ｂ,代入点B(4, 2),得b=—2. 所以点C得坐标为(0,—2). 由A(2, ４) 、Ｂ(4, 2) 、Ｃ(0,-2),可知A、B两点间得水平距离与竖直距离都就是２,B、C两点间得水平距离与竖直距离都就是4. 所以AＢ＝,BC＝,∠ＡBＣ＝９0°.

图２所以S△ＡBC＝＝=8、 (3)由Ａ(2, 4)、Ｄ(0, 2) 、C(0,—2),得AD＝,AC＝、由于∠ＤAＣ+∠ACＤ=4５°,∠ＡCE＋∠ACＤ＝4５°,所以∠DAC＝∠ACE。所以△ACE与△ＡCD相似,分两种情况: ①如图3,当时,CE＝AＤ=. 此时△ACD≌△CAE,相似比为1. ②如图４,当时,、解得CＥ＝.此时Ｃ、E两点间得水平距离与竖直距离都就是10,所以E(10, ８)、图3 图4 考点伸展第(2)题我们在计算△ＡBC得面积时,恰好△ＡBC就是直角三角形、一般情况下,在坐标平面内计算图形得面积,用割补法、如图5,作△AＢＣ得外接矩形ＨＣNＭ,MN/／y轴. 由S矩形HCNM=2４,S△AHC=6,S△ＡMB=2,S△BCN＝8,得S△ABC＝8. 图5 例２201４年武汉市中考第24题如图1,Rt△ABC中,∠ＡCB＝９0°,ＡC=6 cm,BC＝８cm,动点Ｐ从点Ｂ出发,在BA边上以每秒５cｍ得速度向点Ａ匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 ｃm得速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0

初中数学相似三角形的存在性问题(word版+详解答案)

相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．

初中数学专题03相似三角形的存在性问题(原卷版)

专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．

相似三角形存在性探究

相似三角形存在性探究如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是 (2)要判断△ADB 与△ABC 相似，AB =4、AD =2. 则AC = (3)通过(1)(2)的解答，你能说出相似三角形哪些知识？例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。变式如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ，点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 C A D B C E F B E F

例2如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1)请问在x轴上是否存在点Q,使以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。变式如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1) (1)求过A、B、C三点的抛物线解析式 (2)请问在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作 M N⊥x轴于点N,使以A,M,N为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

做一做如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 42 3812+-=x x y

相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题【真题典藏】 1.（2008年上海市第25题）（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD//BC（如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE＝x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．图1 备用图 2．（2009年闸北区第25题）如图2，△ABC中，AB＝5，AC＝3，c os A＝ 3 10 ．D为射线BA上的点（点 D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.． (1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度； (3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图2 备用图备用图【满分攻略】我们先来解读第1题（2008年上海市第25题）的第（3）题，学习相似三角形的存在性问题：

第一步，把两个三角形涂上颜色或者画上阴影(如图6)，寻找分类标准与分类方法．一般来讲，不论用相似三角形的判定定理1，还是判定定理2，至少有一组角是相等的．我们可以看到，∠ADN 的大小是确定不动的，∠AND 是钝角，∠ADN ＝∠DBE >∠MBE ，因此按照与∠AND 相等，分两种情况①∠ADN ＝∠BME ；②∠ADN ＝∠BEM ．第二步，拿起三角尺，按照分类情况反复比划，画两个比较准确的示意图（如图7，图8），把相等的角都标记出来．第三步，具体情况具体分析． ① 如图7，当∠ADN ＝∠BME 时，经过等量代换，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE 与△BME 就是我们熟悉的相似三角形的典型图“A 字形”，那么2 21 2 EB EM ED ED =?=，这样问题就转化为如何用含有x 的式子表示ED 的长．已知直角梯形的两底和直腰，你说怎样求斜腰ED 呢？ ②如图8，当∠ADN ＝∠BEM 时，经过等量代换，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8．图6 图7 图8 还需要提醒的是，备用图暗示要分类讨论，合理利用试卷和答题纸上的备用图，不要急于乱画，先分好类，再反复比划，后落笔．图7不可能画准确，但是要接近，这样好观察图形间的关系．示范一下书写，注意用标志性的语句引领书写的层次性和阅卷老师的眼球．（2）①当∠ADN ＝∠BME 时，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE ∽△BME ． ∴2 212EB EM ED ED =?= ． ∴222 12(4)2 x x ??=+-??． ∴122,10x x ==-（舍去负值）． ②当∠ADN ＝∠BEM 时，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8．综上所述，当△ADN 与△BME 相似时，BE 的长为2或8．我们再来解读第2题（2009年闸北区第25题）的第（3）题，求等腰三角形DEF 的存在性．由第（1）、（3）题知，在△BDG 中，645,,cos 55 BD x DG x BDG =-=∠=．第一步，寻找分类标准与分类方法．

相似三角形的存在性(习题及答案).

相似三角形的存在性（习题）复习巩固 1.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则 AP=________． 2.在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4， 3 )，且与x轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

3.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为 (1，0)，与y轴交于点C(0，1)．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5.如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6.如图，二次函数y =-x 2+4x +5图象的顶点为D ，对称轴是直线 l ，一次函数215 y x = +的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是_________；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D ，C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA ，DB 分别交于点P ，Q ，使得△DPQ 与△DAB 相似．①当275 n =时，求DP 的长；②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似，请直接写出n 的取值范围_________．

中考数学相似三角形的存在性问题解题策略

相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例1、如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)．于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了．在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ．因此)BF t ==-．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF ==43t =（如图1-2）． ②当 BA BF BC BP ==207t =（如图1-3）．

相似三角形存在性问题

因动点产生的相似三角形问题例1 2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24 题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2 都经过点A(2, m)．（1）求k 与m 的值；（2）此双曲线又经过点B( n, 2)，过点 B 的直线BC 与直线y＝x＋2 平行交y 轴于点C，联结AB、AC，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2 与y 轴交于点D，在射线CB 上有一点E，如果以点A、C、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点 E 的坐标．图1 动感体验请打开几何画板文件名“15 宝山嘉定24”，拖动点 E 在射线CB 上运动，可以体验到，△ACE 与△ACD 相似，存在两种情况．思路点拨 1．直线AD// B C，与坐标轴的夹角为45°． 2．求△ABC 的面积，一般用割补法． 3．讨论△ACE 与△ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点 A 的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入y k x ，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入y 8 x ，得n＝4．所以点 B 的坐标为(4, 2)．设直线BC 为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点 C 的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝2 2 ，BC＝4 2 ，∠ABC＝90°．图2

所以 S △ABC ＝ 1 2 BA BC ＝ 1 2 2 2 4 2 ＝8．（3）由 A(2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得 AD ＝ 2 2 ，AC ＝ 2 10 ．由于∠ DAC ＋∠ ACD ＝45°，∠ ACE ＋∠ ACD ＝ 45°，所以∠ DAC ＝∠ ACE ．所以△ ACE 与△ ACD 相似，分两种情况： ①如图 3，当 C E AD CA AC 时， CE ＝AD ＝ 2 2 ．此时 △ A C D ≌ △ C A E ，相1． ②如图 4，当 CE AC CA AD 时， CE 2 10 ．解得 CE ＝10 2 ．此时 C 、E 两点间的水 2 10 2 2 平距离和竖直距离都是 10，所以 E(10, 8)．图 3 图 4 考点伸展第（ 2）题我们在计算△ A B C 的面积时 △ ABC 是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面如图 5，作△ ABC 的外接矩形 HCNM ，MN //y 轴．由 S 矩形 HCNM ＝ 24，S △AHC ＝6，S △ AMB ＝2，S △BCN ＝8，得 S △ABC ＝8．图 5

二次函数中的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

二次函数的存在性问题（相似三角形） 1、已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。 (1)求抛物线的解析式； (2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； (3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 A A B B O O x x y y

x y F - 2 -4 -6 A C E P D B 5 2 1 2 4 6 G 2、设抛物线2 2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,． ∴OA ·OB=OC 2；∴OB= 22 241 OC OA == ∴m=4． 3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出?OBC 的面积S 的值. （3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得?OCD 与?CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

第5讲-相似三角形存在性问题参考答案

【例1】（1）抛物线：223y x x =--；（2）思路：考虑到△ABC 和△BOE 有一组公共角，公共角必是对应角． ∠ABC 的两边BA 、BC 与∠OBE 的两边BO 、BE 成比例即可，故可得： BE BA BO BC =或BE BC BO BA = ．解得：BE = BE 故E 点坐标为()1,2-或39,44?? - ???．当E 点坐标为()1,2-时，直线OE 解析式为2y x =-，联立方程：2223x x x -=-- ，解得：1x 2x = 此时Q 点坐标为 - 或(；当E 点坐标为39,44?? - ??? 时，直线OE 解析式为3y x =-，联立方程：2323x x x -=-- ，解得：1x 2x = 此时Q 点坐标为?? 或?? ．综上所述，Q 点坐标为 - 或( 或?? 或?? ．说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果．

【例2】（1）21 213y x x =-+；（2）1tan 2 ABC ∠= ；（3）思路：平行得相等角，构造两边成比例若点D 为抛物线的顶点，则D 点坐标为（3，-2）， ∴直线CD 解析式为：y =x -5，又直线AB 解析式为：y =x +9，故CD ∥AB ，∴∠BAC =∠ACD ，故点E 在点C 左侧，考虑∠BAC 的两边AB 、AC 与CE 、CD 成比例： CD AC CE AB =或CD AB CE AC = 解得：CE =9或2，故E 点坐标为（-3，1）或（4，1）．

【例3】（1）解析式：234y x x =-++；D 点坐标为325,24?? ??? ．（2）由B 、C 两点坐标易求直线BC 解析式：4y x =-+，不难得出∠CPQ =∠BCO =∠OBC ，即在△CPQ 和△ABC 中，∠CPQ =∠ABC ．接下来求角两边对应成比例：表示点：设P 点坐标为(),4m m -+（0

中考数学压轴题专题03相似三角形的存在性问题(学生版+解析版)

专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC∽△DEF，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC与△DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF , ②△ABC∽△FDE、③△ABC∽△EFD、 3、若题目中为△ABC与△DEF并且有∠A、∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF，②、△ABC∽△DFE需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MB MC -的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ?相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

x y F - 2 -4 -6 A C E P D B 5 2 1 2 4 6 G (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,． ∴OA ·OB=OC 2 ；∴OB= 22 241 OC OA == ∴m=4． 3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y k x b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出?OBC 的面积S 的值. （3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得?OCD 与?CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=??++=??=? 解得1 50a b c =-??=??=?故抛物线的函数关系式为2 5y x x =-+ （2）C 在抛物线上，2 252,6m m ∴-+?=∴= C ∴点坐标为（2，6）， B 、 C 在直线y kx b '=+上

相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题基本思路 1、〖画一画〗：D 是等腰△ABC 边AB 上一点，AB=AC=6，BC=3，BD=4，过D 点画直线DE ，点E 在射线BC 上，使△ABC 和△BDE 相似，这样的三角形可以画几个？并在图中画出线段DE.（图中每一格的长度相同）【解题思路】 1、确定两个三角形中相等的角 2、以相等的角的两边，或者是抓住相等角除外的一个角的对应关系，分类讨论。 3、找到对应边的比例关系，建立方程。 4、解方程，检验。例题1、（2017黄浦）已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式；（2）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相似，求点P 的坐标. O x y

例题2、（2017长宁）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．备用图

例题3、（2017金山）如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，3 sin 5 B ，P是线段BC上一点，以P为圆心，P A为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设BP=x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长． A B C D 图9 备用图

中考数学专题9：相似三角形的存在性问题探究

专题九：相似三角形的存在性问题探究导例：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC=8cm ．如果点P 由B 出发沿BA 方向终点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向终点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．当一个点到达终点时，两点都停止移动，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）．当t= s 时，△APQ 与△ABC 相似？函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论. ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小. ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解. 导例答案：20 9或25 9. 典例精讲方法点睛专题导入

类型一：已知两定点来建构三角形与已知三角形相似例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．类型二：动点产生的三角形相似问题例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为每秒1厘米． (1)设点Q的运动速度为每秒1 厘米，运动时间为t秒，当△COP和△PAQ相似时，求点Q的 2 坐标；