等差数列高考真题及答案

等差数列真题

一、选择题

1．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝() A．14 B．21

C．28 D．35

解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.

答案：C

2．在等比数列{a n}中，a1＝1，公比|q|≠1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m＝() A．9 B．10

C．11 D．12

解析：在等比数列{a n}中，∵a1＝1，

∴a m＝a1a2a3a4a5＝a51q10＝q10.

又∵a m＝q m－1，∴m－1＝10，∴m＝11.

答案：C

3．(20XX年高考上海卷)设{}

a n是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{}

A n为等比数列的充要条件是()

A.{}

a n是等比数列

B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列

C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列

D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同

解析：∵A i＝a i a i＋1，若{A n}为等比数列，则A n＋1

A n＝

a n＋1a n＋2

a n a n＋1

＝

a n＋2

a n为常数，即

A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4

a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2

a n

＝q ，从而{A n }为等比数列．

答案：D

4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5

S 2

＝( )

A ．11

B ．5

C ．－8

D ．－11

解析：由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4

＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25

)a 1(1－22)

＝－

11.

答案： D

5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为5

4，则S 5＝( )

A ．35

B ．33

C ．31

D ．29

解析：设公比为q (q ≠0)，则由a 2·a 3＝2a 1知a 1q 3＝2， ∴a 4＝2.

又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∴a 1＝16，q ＝12. ∴S 5＝a 1(1－q 5

)1－q ＝16[1－(12)5

]1－12

＝31.

答案：C 二、填空题

6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.

解析：∵等比数列{a n }的前3项之和为21，公比q ＝4， 不妨设首项为a 1，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1＋4＋16) ＝21a 1＝21，

∴a 1＝1，∴a n ＝1×4n －1＝4n －1. 答案：4n －1

7．(20XX 年高考湖南卷)设S n 是等差数列{}a n (n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.

解析：设等差数列的公差为d .由a 1＝1，a 4＝7，得 3d ＝a 4－a 1＝6，故d ＝2，∴a 5＝9，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝25.

答案：25

8．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．

解析：由S 5S 6＋15＝0，得 ?

?

???5a 1＋5×42d

·? ????6a 1＋6×52d ＋15＝0. 整理可得2a 21＋9a 1d ＋10d 2

＋1＝0.

∵a 1，d 为实数，

∴Δ＝(9d )2－4×2×(10d 2＋1)≥0， 解得d ≤－22或d ≥2 2. 答案：d ≤－22或d ≥2 2

9．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4

a 4

＝________.

解析：∵S 4＝a 1(1－q 4)

1－q

，a 4＝a 1q 3，

∴S 4a 4＝a 1(1－q 4

)

a 1q 3(1－q )＝1－q 4

q 3(1－q )

＝1－124123×12

＝15. 答案：15 三、解答题

10．(20XX 年高考福建卷)已知等比数列{}a n 的公比q ＝3，前3项和S 3＝13

3. (1)求数列{}a n 的通项公式；

(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π

6处取得最大值，且最大值

为a 3，求函数f (x )的解析式．

解析：(1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33

)1－3

＝133，解得a 1＝1

3.

所以a n ＝1

3×3n －1＝3n －2.

(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3. 因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3； 因为当x ＝π

6时f (x )取得最大值， 所以sin ? ????

2×π6＋φ＝1.

又0＜φ＜π，故φ＝π

6.

所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ? ?

?

??2x ＋π6.

11．(20XX 年高考课标全国卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列????

??

1b n 的前n 项和．

解析：(1)设数列{a n }的公比为q .

由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2

＝1

9.

由条件可知q >0，故q ＝1

3.

由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝1

3. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝1

3n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)

2. 故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2? ????1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1

b n

＝－2??????? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1n

－1n ＋1 ＝－

2n n ＋1

.

所以数列????

??

1b n 的前

n 项和为－2n

n ＋1

.

12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n －n 2＋3n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；

(2)数列{a n ＋λn 2＋μn }是公比为2的等比数列，求λ，μ的值；

(3)在(2)的条件和结论下，设b n ＝1

a n ＋n －2n －1，S n ＝

b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，证

明：S n ＜5

3.

解析：(1)由题意得a 2＝2a 1－12＋3＝2－1＋3＝4，a 3＝2a 2－22＋6＝8－4＋6＝10.

(2)∵数列{a n ＋λn 2＋μn }是公比为2的等比数列，即a n ＋1＋λ(n ＋1)2＋μ(n ＋1)

＝2(a n ＋λn 2＋μn )，而a n ＋1＝2a n －n 2＋3n ，代入得

2a n －n 2＋3n ＋λ(n ＋1)2＋μ(n ＋1)＝2(a n ＋λn 2＋μn )， 即λn 2＋(μ－2λ)n －λ－μ＝－n 2＋3n ， 故????

?

λ＝－1μ－2λ＝3－λ－μ＝0

，解得?????

λ＝－1

μ＝1

.

(3)证明：由(2)得a n －n 2＋n ＝(a 1－12＋1)·2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －1＋n 2－n ，故b n ＝1a n ＋n －2n －1＝1

n 2

. ∵b n ＝1n 2＝44n 2＜

4

4n 2

－1＝22n －1－22n ＋1， ∴n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＜1＋(23－25)＋(25－27)＋…＋(22n －1－2

2n ＋1)

＝1＋23－22n ＋1＜53

.

又b 1＝1＜53，∴S n ＜5

3(n ∈N *)．