第13章 整式的乘除单元复习(含答案)

第十三章 整数的乘除

（1） 应知 一、基本概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。 二、基本法则

1. 同底冪的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。,(都是正整数n m a a a n m n m +=?m ，n 都是正整数)

2. 同底冪的除法：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数m ，n 都是正整数，a ≠0)

3. 冪的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

,(都是正整数）（n m a a m n

n m =(m ，n 都是正整数)

4. 积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

()(都是正整数n b a ab n n n =(n 是正整数)

5. 单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。

6. 单项式乘多项式：用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。

7. 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

8. 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

9. 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 【注意】

（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 （3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）,0(1);0(10为正整数p a a a a a p p

≠=≠=- ),0(1

);0(10为正整数p a a

a a a p

p ≠=

≠=- p 为正整数) （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 10. 乘法公式：

①两数和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。2

2

))((b a b a b a -=-+

②两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的两倍。2

2

2

2)(b ab a b a ++=+ ③两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的两倍。2

2

2

2)(b ab a b a +-=- 11. 因式分解常用方法：

（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+ 【注意】

①提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。

②当某一项全部提出时，括号内加1；

③当第一项系数为负数时，一般提取此负号。 （2）运用公式法：))((2

2

b a b a b a -+=-

222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-

（3）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++

（4）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++

【注意】因式分解实际上是整式乘法的逆向变换(恒等变换)，不是逆运算(逆运算，是在一个算式中，以两种形式不同实质不变的两种运算)。

12. 因式分解的一般步骤：“一提二套三分组，十字相乘要用熟。四种方法都不行，拆项添项去重组。还有求根与换元，多种方法要记住。” （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式。

（3）上述方法都不行时，可用添项、拆项来进行重组。 （4）重组也不行时，用求根公式求根。

（5）符合换元条件时，先换元，可简化运算过程。 （6）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

（2） 应会

1. 冪的乘、除、乘方。

2. 整式的乘除。

3. 因式分解。 （3） 例题

1. 一次课堂练习，小颖做了如下4道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一题是（ ）

A 、))((22y x y x y x -+=-

B 、2

22)(2y x y xy x -=+- C 、)(2

2

y x xy xy y x -=- D 、)1(2

3

-=-x x x x

2. 已知4,6==+xy y x ，则y x xy 2

2

+的值为 。 3. 下列何者为5x 2+17x -12的因式？ (A ) x +1 (B ) x -1 (C ) x +4 (D ) x -4 。

4. 下列多项式中能用完全平方公式分解的是（ ）

A .x 2-x +1

B .1-2xy +x 2y 2

C .a 2+a +

2

1

D .-a 2+b 2-2ab 5. 分解因式：9x 2－y 2－4y －4＝__________．

6. 分解因式：=-+-x x x 232 ．

7. 分解因式：ab (c 2+d 2)+cd (a 2+b 2)＝ .

8. 分解因式：x 2-y 2+4x +2y +3＝ .

9. 分解因式：x 4+4＝ .

10. 如果实数m ，n

m n ）=1，那么m +n 的值为_______． 11. 已知a

，b

2

，则 ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

12.（1

）化简并求值：211,1a a a a -=-其中； （2）已知y =2222111

x x x x x x -+-÷-+－1

x +1，试说明在右边代数式有意义的条件下，不

论x 为何值，y 的值不变．

（4） 参考答案 1. D 2. 24 3.

答案：C 4. B 5.

答案：()()2y x 32y x 3--++

6.

答案：()2

1x x -- 7.

答案：(bc +ad )(ac +bd ) 8.

答案：(x +y +1)(x -y +3) 9.

答案：(x 2

+2x +2)(x 2-2x +2) 10.

答案：0 11. 答案：B

12.（1）原式＝13312

3

12213

12a 21a a 1a 11a --++-++-+=--

+＝＝＝

（2）∵y =2222

211(1)1

111(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x -+--+÷-+=-+-+-－1x

+1=1