高二年级期末考试数学试卷汇总

高二年级期末考试数学试卷（理科）（选修2-1）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第Ⅰ卷 （100分）

一、选择题:（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在相应位置上）

1．命题"042,"2

>+-∈?x x R x 的否定是

A ．"042,"2

<+-∈?x x R x

B ．"042,"2>+-∈?x x R x

C ．"042,"2≥+-∈?x x R x

D ．"042,"2

≤+-∈?x x R x

2. 双曲线52

x +k 2y =5

0），那么实数k 的值为

A ．-25

B ．25

C ．-1

D ．1

3. 在空间直角坐标系中，点A （1,2,1）关于x 轴对称的点的坐标为

A.(-1,2,1）

B.（-1,-2,1）

C.（1,-2,-1）

D.（1,2,-1）

4. 下列命题是假命题的是 A.命题“若2

2

0,x y +=则,x y 全为0”的逆命题 B.命题“全等三角形是相似三角形”的否命题

C.命题“若0,m >则2

0x x m +-=有实数根”的逆否命题

D.命题“ABC ?中，如果0

90C ∠=，那么2

2

2

c a b =+” 的逆否命题 5. 已知(0,1,1)a =-, (1,2,1)b =-，则向量a ，b 的夹角为

A.30

B.

60

C.90

D.

150

6. “直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 A ．充要条件 B ．充分非必要条件

C ．必要非充分条件

D ．既非充分又非必要条件

7. 如图，四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则

1

()2

AB BD BC ++化简的结果是

A ．AM

B ．BM

C ． CM

D ．DM

8. 已知P 是双曲线22

219

x y a -

=上一点，双曲线的一条渐近线方程为043=-y x ，21,F F 分别是双曲线的左右焦点，若3||2=PF ，则||1PF 等于

A ．11

B ．5

C ．5或11

D ．7

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=

且0λ>，

C D

B

M

A

C

则λ= _______.

10. 若抛物线2

2(0)y px p =>上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是____.

11. 已知21F F 、为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB =_______．

12. 如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为_____米.

三、解答题（本大题共有3个小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）

13. (本小题满分13分)

已知命题p ：方程22

12x y m

+=表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：关于X

的方程

22230x mx m +++=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的

取值范围.

14.（本题满分14分）

已知四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=2，M 是棱PC 的中点．建立适当的空间直角坐标

系，利用空间向量方法解答以下问题：

(1)求证：PA //BMD 平面； (2) 求证：PC BMD ⊥平面；

(3)求直线PA 与直线MB 所成角的余弦值．

15.（本题满分13分）

已知顶点在坐标原点，焦点为(1,0)F 的抛物线C 与直线b x y +=2相交于B A ,两点，

53||=AB .

（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求b 的值；

（3）当抛物线上一动点P 从点A 到B 运动时，求?ABP 面积的最大值．

第Ⅱ卷（50分）

一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。每题有且只有一个选项是正确

的，请把答案填在答卷相应位置上）

1. 设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是

A ．a

B ．b

C ．c

D ．b a 或

2. 双曲线

152

2=-m

x y 的离心率6(,2)e ∈，则m 的取值范围是 A.5(,5)2

B.10(

,5)

C.5610(

,525)-- D.25(,15)2

3. 已知AB =3 , A,B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，12

33

OP OA OB =+,则动点P 的轨迹方程是

A ．2214x y +=

B ．2214y x +=

C ．2219x y +=

D ．22

19

y x += 二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

4. 设椭圆13

42

2=+y x 的长轴两端点为M 、N ，异于M 、N 的点P 在椭圆上，则,PM PN 的斜率之积为 .

5. 如图，在

60?的二面角AB αβ

--内，

,,AC BD AC AB βα??⊥于A ，BD AB ⊥ 于B ，且

1AC AB BD ===，则CD 的长为 。

三、解答题（本大题共有2个小题，共25分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）

6. (本小题满分12分)

如图，在平行四边形ABCD 中，

01,2,90AB BD ABD ==∠=，将它们沿

对角线BD 折起，折后的点C 变为1C ，且

12AC =．（1）求点B 到平面1AC D 的距离；（2）E 为线段1AC 上的一个动点，当线段1EC 的

长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的角为0

30？ 7. (本小题满分13分)

如图，已知椭圆C :12222=+b

y a x )0(>>b a

左焦点为(1,0)-F ，过点

(0,2)D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求k 的取值范围；

（Ⅲ）在y 轴上，是否存在定点E ，使AE BE ?恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

x

高二数学 选修2-1 试卷参考答案及评分标准

第I 卷

一．选择题1-8：DCCBD CAA 二．填空题9-12：3，4，8，62

14. 解：连结AC 、BD 交于点O ，连结OP 。 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∵PA=PC ，∴OP ⊥AC ，同理OP ⊥BD ，

以O 为原点，OA

OB OP 、、分别为,,x y z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系O xyz …………………2分

221(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(,0,)

22

22(2,0,2),(0,2,0),(,0,)

0,P A B M PA OB

OM BMD PA PA n

-∴=-==-∴∴=∴⊥?（）平面的法向量为n=(1,0,1)n 又P 平面BMD

//PA BMD ∴平面 …………………6分

2(,0,)0,0,OB OM PC OB PC OM OB OM O

∴===∴⊥⊥=（）C(-2,0,0) PC -2-2PC PC 又

PC BMD ∴⊥面…………………10分

333

22||||cos )22,2,22(

)3(=?=?=∴-=MB PA MB θ 3

3

PA MB 即直线与直线所成角的余弦值为

…………………14分 15. 解：（1）设所求的抛物线方程为2

2(0)y px p =>，根据题意12

p =，2p ∴=

∴所求的抛物线标准方程为2

4y x =. …………2分 （2）设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2), 由??

?=+=x

y b

x y 422

得4x 2+4(b -1)x +b 2

=0, …………3分

Δ=16(b -1)2

-16b 2

>0. ∴21

<

b . …………5分 又由韦达定理有x 1+x 2=1-b ,x 1x 2=4

2

b ,

∴AB =,2154)(21212

212

b x x x x -?=-+?+ …………7分 即53)21(5=-b . ∴4b =-. …………8分

第Ⅱ卷

一．选择题：1-3：CAB

二．填空题：4.4

3

-

5. 2

6. 解法一：（1）222

11112AC AC AB BC AB BC =?=+?⊥

又AB BD ⊥ 11AB BC D C D AB ∴⊥?⊥平面

11C D BD

C D AB

⊥⊥1C D ABD ?⊥平面1ABD AC D ?⊥平面平面过点B 做BF AD

⊥于F ，则BF 即为B 到平面1AC D 的距离，则1263

BF ?== …6分

（2）过E 作1EH BC ⊥于H ，则//EH AB ，故1EH BC D ⊥平面，连DH ， 则EDH ∠就是DE 与平面1BC D 所成的角．

设1||C E x =，∵1AB =，12AC =，故知0

130AC B ∠=，则1

2

EH x =， 同理可知，0

160DC E ∠=，

在1DC E ?中，由余弦定理得2202

12cos601DE x x x x =+-=-+． 若030EDH ∠=，则2DE EH x ==，故有22

1x x x =-+，解得1x =，

即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为0

30．………12分

解法二：222

11112AC AC AB BC AB BC =?=+?⊥

又AB BD ⊥ ∴AB ⊥平面BC 1D 依题意，建立空间直角坐标系B-xyz ……2分 则A(0,0,1),C 1 (1,2, 0),D(0, 2,0)

∴),1,2,0(),1,2,1(1-=-=AD AC )1,0,0(=BA

设 1(,,)n x y z =是平面1AC D 的一个法向量，

∴?????=-=?=-+=?0

202111z y AD n z y x AC n 解得???==y z x 20，令y=1，∴)2,1,0(1=n ……4分

∴B 到平面1AC D 的距离3

6

3

2|

|=

=

=

n n BA d …………6分 （2）设1AC AE λ=，则)1,2,(λλλ-E ∴)1,22,(λλλ--=DE 又)1,0,0(=BA 是平面BC 1D 的一个法向量 …………8分 依题意得2

1

60cos |)1(31||,cos |2

2=

=-+-=>

…………10分 有λ>0得，2

1=

λ，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为0

30．…12分

所以k 的取值范围是66(,(,)-∞+∞． ……6分

（Ⅲ）设1122(,),(,)A x y B x y ， 则121222

86

,1212k x x x x k k

+=-

=++． 又22

12121212224

(2)(2)2()421k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=-+，

1212122

4

(2)(2)()421

y y kx kx k x x k +=+++=++=+． ……7分 设存在点(0,)E m ，则11(,)AE x m y =--，22(,)BE x m y =--，

所以2121212()AE BE x x m m y y y y ?=+-++

124

2124

126

2222

2+--+?-++=k k k m m k

2222

(22)410

21

m k m m k -+-+=+， ……9分 要使得AE BE t ?=(t 为常数)，只要

2222(22)410

21

m k m m t k -+-+=+， 从而222

(222)4100m t k m m t --+-+-=，

即2

22220, (1)4100, (2)

m t m m t ?--=??-+-=?? ……11分 由（1）得2

1t m =-，

代入（2）解得114m =，从而105

16

t =，

故存在定点11

(0,)4

E ，使AE BE ?恒为定值10516．

……13分