一线三角模型及例题()

相似三角形判定的复习：

1.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 2.相似三角形的判定定理：

(1)两角对应相等两三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。 (3)三边对应成比例，两个三角形相似。 3.直角三角形相似的判定定理：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。 相似三角形的性质：

要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 要点2：相似三角形的性质定理：

相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方

要点3：知识架构图

1、如图，锐角ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中相似三角形有多少对？请分别写出.

2、如图，在锐角ABC 中，∠ADE=∠ACB ，图中相似三角形有多少对？请分别写出.

3、如图已知∠BAC=∠BDC=90°，8,16==??ADE EBC S S . 问：∠BEC 的大小确定吗？若确定，求期度数；若不确定，请说明理由.

A

B

C

D

E

4、如图，在ABC △中，90BAC ∠=o

，AD 是BC 边上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂

足分别为F G ，．求证： （1）

EG CG

AD CD

=

； （2）FD ⊥DG ．

5、如图，四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，AC ⊥AB,BD ⊥CD. S EBC =16，S AED =8.

(1)求

AD

BC

的值； （2）问：∠BEC 是不是定角？如果是，把它求出来；如果不是，请说明理由.

5、如图，在△ABC 中，角ACB 为直角，CD⊥AB 于点D ，又△ACE 与△BCF 都是等边三角形，连结DE 、DF ；

求证:DE⊥DF

中考热点：一线三等角型的相似三角形

一、问题引入

如图，ABC ?中，90B ∠=?，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。

求证：ABC CED ??:

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形

其他常见的一线三等角图形

（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）

（直角坐标系中一线三等角） （矩形中一线三等角）

等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。

（1）等腰三角形中一线三等角

例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作

DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．

（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．

讲解：1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；

2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习1就是这类题型；

3、第三问中间的三角形与左右两个形似时有两种情况，一种是DF 与底边平行，一种是E 为中点；

4、在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。

变式练习1 （浦东新区22题）

如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为

AC 中

点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值.

变式练习2（宝山22题） 如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证：2BF CE AB ?=；

变式练习3

如图，在三角形ABC 中，AB=4，AC=2，∠A =900

，点D 为腰AC 中点，点E 在底边BC 上，且DE ⊥BD ，求△CED 的面积。 变式练习4

已知∠ABC=90°，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD

PC AB

=

，当AD AB p ，且点Q 在线段AB 的延长线上时，求QPC ∠的大小．

（2）等腰梯形中一线三等角

例1、（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC =45B =?，直角三角

板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点

A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则

CF 的长等于 .

例2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ， ∠B =90°，E 为BC 上一点，且△ABE ∽△ECD 。

（1）若BC =8，AB=3，DC =4，求BE 的长 （2）若BC = ，AB=3，DC =4，求BE 的长. （3）若BC =6，AB=3，DC =4，求BE 的长.

例3、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC=900，AB=8，CD=6，在AB 上取动点P ，连结DP ，作PQ ⊥DP ，使得PQ 交射线BC 与点E ，设AP=x ，BE=y 。 （1）当BC=4时，试求y 关于x 的函数关系式；

（2）当BC 在什么范围时，存在点P ，使得PQ 经过点C （直接写出结果）。

例4、（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF

B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．

（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF

CD ⊥，求BE 的长．

例4、（杨浦区基础考）四边形

ABCD 中，AD ∥BC ，()090ABC αα∠=<

P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且APE α∠=．记1PAB ∠=∠，2EPC ∠=∠，BP x =，CE y =．

（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明1∠与2∠的数量关系；

（2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于1∠与2∠的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围； （3）若cos α=

1

3

，试用x 的代数式表示y ． （3）坐标系中一线三等角

例1、（金山区24）如图，住平面直角系中，直线

AB ：()4

40y x a a

=

+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，

当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时 (1)求证：ABO ?∽BCD ?；(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）；

(3)若直线AE 的方程是

13

16

y x b =-

+，求tan BAC ∠的值． 例２、如图，在直角坐标系中，直线1

22

y x =+与ｘ轴，ｙ轴分别交于Ａ，Ｂ两点，以ＡＢ为边在第二象限内作矩形

ＡＢＣＤ，使AD =，求点Ｄ的坐标．

变式练习1

在平面直角坐标系XOY 中，AOB ?的位置如图所示，已知0

060,90=∠=∠A AOB ,点A 的坐标为(

)

1,

3-

（1） 求点B 的坐标；

（2） 若抛物线c bx ax y ++=2

经过A 、O 、B 三点，求函数解析式。

变式练习2

如图所示：RT △AOB 中∠AO B =90°，OA=4，OB=2，点B 在反比例函数

2

y x

=

图像上，求过点A 的双曲线解析式。

变式练习3

如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式；

（4）矩形中一线三等角

如图，四边形ＯＡＢＣ是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点Ａ在ｘ轴上，点Ｃ在ｙ轴上，将边ＢＣ折叠，使点Ｂ落在边ＯＡ的点D 处．已知折叠线CE

且CE =

3

tan 4

EDA ∠=

,求直线ＣＥ与ｘ轴交点的坐标； 例6、（长宁区24题）．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ． （1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论； （2）设PD x =，AE y =，求

y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在， 请简要说明理由．

“一线三等角”专题练习

一、知识梳理：

1、如图1，AB ＝AC ，∠ B ＝∠ADE ，那么一定存在的相似三角形有 ；

2、如图2，AB ＝AC ，∠ B ＝∠EDF ，那么一定存在的相似三角形有 ；

B

图1 图2

3、在等腰△ABC 中，腰长10厘米，底边长16厘米，点P 在底边上以0.5厘米/秒的速度从点B 向点C 移动．当点P

运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 的运动时间为 秒． 二、经典例题解析

1、如图，在ΔABC 中， AB ＝AC=4，BC ＝6，∠ B ＝∠ADE ，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 与B 、C 不重合），设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围。

2、如图：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90°，DH ⊥BC 于H ，AB = 6，BC = 16，DC = 10，线段BC 上有一动点E （不与点C 重合），过点E 作EF ⊥DC 交线段DC 于点F. （1）求CH 的长；

（2）设BE = x ，EF = y ，求y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围； （3）当以E 、F 、C 为顶点的三角形与△ABE 相似时，求BE 的长.

B

3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90o ，AB =10，AC =6，点E 、F 分别是边AC 、BC 上的动点，过点E 作ED ⊥AB 于点D ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，DG 的长始终为2． （1）当AD =3时，求DE 的长；

（2）当点E 、F 在边AC 、BC 上移动时，设x AD =

，y FG =，

求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）在点E 、F 移动过程中，△AED 与△CEF 能否相似，

若能，求AD 的长；若不能，请说明理由．

4、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图3，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；

（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直

线AD 于点M ，那么

①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当BEP DMF

S S ??=4

9

时，求BP 的长．

5、（2009闸北22题）（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）

如图七，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB∥OA， OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，但是点P 不 与点0、点A 重合．连结CP ， D 点是线段AB 上一点，连结PD. (1)求点B 的坐标； (2)当∠C PD=∠OAB，且

AB BD =8

5

，求这时点P 的坐标. E

D

C

B

A P

A

B

C E

D G

F

6、如图，已知在△ABC 中，AB=AC=8，cosB=5

8

，D 是边BC 的中点，点E 、F 分在边AB 、AC 上，且∠EDF=∠B ，连接EF ．

（1）如果BE=4，求CF 的长； （2）如果EF ∥BC ，求EF 的长．

7、（徐汇2009年 25题）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D

为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．

知识总结：

补 充：关于“一线三等角”图形的提炼及变式： 总结：

在教学中要突出重点、深化学生对于“一线三等角”模型的理解；把握难点：“一线三等角”模型变式； 通过问题建构，关注课堂再生资源的挖掘，引导学生对于几何综合习题的有效分解具体的

1．在教学中通过“回忆旧知”环节的师生互动过程让95%学生掌握解函数型综合题需要的必备知识储备． 2．在教学中通过一个“一线三等角”模型综合题的有效分析引导过程，让95%的学生树立几何型综合题的解决的信心，让75%的学生能够顺利解决前两小题，培养更多的学生具备解决最后压轴点一小题的能力．

3．在教学中通过有效分解策略的实施，打破他们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试着加强解后反思与培养他们欣赏试题的能力．

【课后作业】

A B

C D

E

F

A

B

C

D

1、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是射线CD 上一动点. 将一把三角尺的直角顶点与P 重合，一条直角边始

终经过点B ，另一条直角边所在直线与射线AD 相交于点E. 设CP=x ，DE=y. （1）当点P 在线段CD 上时，求证：△BPC ∽△PED ；

（2）当点P 在线段CD 的延长线上时，求y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围； （3）当DE=1时，求CP 的长.

2、如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于点F ，联结()FC AB AE >． （1）AEF △与EFC △是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； （2）设

AB

k BC

=，是否存在这样的k 值，使得AEF BFC △∽△？若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，请说明理由．

3、等腰△ABC ，AB=AC=８，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在

点P ，三角板绕P 点旋转．

（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ；

（2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ． ① 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论） ② 探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由； ③ 设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．

4、如图，在边长为1的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上(与端点不重合)，点F 在射线DC 上． （1）若AF =AE ，并设CE =x ，△AEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）当CE 的长度为何值时，△AEF 和△ECF 相似 （3）若4

1

=

CE

，延长FE 与直线AB 交于点G ，当CF 的长度为何值时，△EAG 是等腰三角形？

5、如图，在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =900

，点D 为腰BC 中点，点E 在底边AB 上，且DE ⊥AD ,则BE 的长为 . 6、如图，ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，CD ⊥AB ，垂足为D.任意作∠EDF=60°，点E 、F 分别在AC 、BC 上.设AE=x ，BF=y.

（1）求y 关于x 的函数关系式，并指出它的定义域；

E

B

B

Ａ

（2）当x 为何值时，BDF 是等腰三角形.

7、如图：AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，点M 在边AC 上，点N 在边BC 上，沿直线MN 将△MCN 翻折，使点C 落在AB 上，设其落点为P.

（1）当P 是边AB 中点时，求证：

PA CM

PB CN =

； （2）当P 不是边AB 中点时，PA CM

PB CN

=

是否仍然成立？请证明你的结论. 8、如图第13题图-1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点（与点A 、C 不重合），DF ⊥DE ，DF 与射线BC 相交于点F 。

（1）如图第13题图-2，如果点D 是边AB 的中点，求证：DE =DF ； （2）如果AD ∶DB =m ，求DE ∶DF 的值；

（3）如果AC =BC =6，AD ∶DB =1∶2，设AE =x ，BF =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.

9、已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足

PQ AD

PC AB

=

（如图14-1）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图14-2所示），求线段PC 的长；

（2）在图8中，联结AP ．当3

2AD =

，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBC

S y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图14-3所示），求QPC ∠的大小．

第13题图-1

第13题图-2

A

D P

C

B

Q 14-1

D

A

P

C

B

（Q ） 14-2

14-3

C

A

D

P

B Q