有理数培优讲义(完整资料)
课 题 有理数
教学目标 1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小； 借助 数 轴 理 解 相 反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值； 2、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简混合运算；
理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；
3、能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记数法表示较大的数，
并能按要求取近似数．
重点、难点
重点：加减乘除法运算法则。乘方法则
难点：1、会算。2、算对。3、快速准确。
教学内容
考点1：和绝对值有关的问题
例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）
A ．-3a
B ． 2c －a
C ．2a －2b
D ．b
练习
表示数a 、b 、c 、d 的点在数轴上的位置，如图所示：
化简│b-c │-│a-2c │-?│d+b │+│d │．
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++
的值（ ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号
练习
计算|12006-12005|+|12007-12006|-|12007-12005
|。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于
培优数学七年级上第一讲 有理数讲义及答案
第一讲有理数 知识导引 本讲的主要内容是从自然数到分数和有理数的概念，小学数学主要学习了自然数、分数（小数）及数的运算，并且这种“数”的概念是建立在一种意义上的，实际上，仅有自然数和分数是不够的，数还需作进一步的扩展，实际生活、生产中大量的量从其意义上来理解却具有相反的意义，为了准确地区分这些相反意义的量就有必要引入负数，用正数和负数来区分这些具有相反意义的量，这样就产生了有理数的概念，所以有理数其实是对数的进一步认识，是数的一次重要扩充。 建立了有理数的概念之后，又不要对有理数进行分类，有理数通常按两种不同的标准进行分类：一是以有理数的正负性为主要标准，将有理数分为正数、零和负数三大类；二是以有理数的整数和非整数为主要标准，将有理数分为整数和分数两大类。这里要注意的是零既不是正数也不是负数，具体的数的概念应从其意义上理解，例如“负整数”应理解为“负数中的整数”等等。 典例精析 例1：珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明高度的数（单位：米），如图所示，这些数通常称为海拔，它是相对于海平面来讲的，请说出图中所示的数8848和－155表示的实际意义，海平面的高度用什么数表示？ 例2：（1）如果把商店盈利100元记做＋100，那么亏损20元记做 （2）如果把仪表的指针逆时针转3圈记做＋3，那么－2圈表示把仪表的指针 （3）正常水位为0，水位高于正常水位0.2米时可记做＋0.2米，那么－0.5米表示什么意思？ 例2—1：（1）下列说法中，不具有相反意义的一对量是（） A、向东3.5米和向南2千米 B、上升5米和下降1.8米 C、收入5000元和亏损1500元 D、零上6℃和零下7℃ （2）若火箭发射点火前5秒记为－5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（） A、－10秒 B、－5秒 C、＋5秒 D、＋10秒
最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义
最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－错误!，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ； （2）按整数、分数分类，有理数?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝ 3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－错误!是分数，0.033 . 3是 无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】 01．在7，0，15，－错误!，－301，31.25，－错误!，100，1，－3 001 中，负分数为，整数 为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－错误!，错误!，－错误!，0.1，－5.32，123， 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，错误!，－错误!，错误!，－错误!，错误!，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是
初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方 等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______； 若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______； －32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数 是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a
（1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a ，则a ； （3）若|a|＝—a ，则a ； （4） ， 则______||=a a ；（5）0 有理数培优 能力提升1：有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到： 1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法分配律也成立。 3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7= （-3）+（-7）。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷7=（-5）7 1 。 能力提升2：有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． （一）括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 1 计算： 46.02562)158175.18(47)1(÷????? ? ?÷-- （2）4 1 1 )54()1()21(12)1()2(219983?-÷-? ????? --÷---?- 2. 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 3. 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 4. 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ （二）用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22． 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 于是我们得到了一个重要的计算公式：(a+b)(a-b)=a2-b2① 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．5 计算 3001×2999的值． 6 计算 103×97×10 009的值． 7 计算： 初一数学培优专题讲义一有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______；若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果 是_______；n 为正整数，则（－1）2n =___,(－1)2n +1=___。计算： （1） =；（2） =；（3） =；（4） =（5）= 6.a 的相反数是；a+b 的相反数是；a-b 的相反数是；-a+b-c 的相反数是； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣=，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0） （a ＜0） 9.绝对值的非负性： （1）若|a|＝0，则a ；（2）若|a|＝a ，则a ；（3）若|a|＝—a ，则a ； （4）， 则______||=a a ；（5）0 一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4. （1）直接写出A、B两点之间的距离； （2）若在数轴上存在一点P，使得AP＝ PB，求点P表示的数. （3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值. 【答案】（1）解：A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16 （2）解：设点P表示的数为x.分两种情况： ①当点P在线段AB上时， ∵AP＝ PB， ∴x+12＝（4﹣x）， 解得x＝﹣8； ②当点P在线段BA的延长线上时， ∵AP＝ PB， ∴﹣12﹣x＝（4﹣x）， 解得x＝﹣20. 综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣20 （3）解：分两种情况： ①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动， 此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t， ∵OP＝4OQ， ∴12﹣5t＝4（4﹣2t）， 解得t＝，符合题意； ②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动， 此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t， ∵OP＝4OQ， ∴|12﹣5t|＝4×3（t﹣2）， ∴12﹣5t＝12t﹣24，或5t﹣12＝12t﹣24， 解得t＝，符合题意；或t＝，不符合题意舍去. 综上所述，当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒 【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；（2）设点P表示的数为x.分两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上.根据 AP＝ PB列出关于x的方程，求解即可；（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可. 2．已知数轴上点A对应的数是，点B对应的数是一只小虫甲从点A出发，沿着数轴由A向B以每秒2个单位的速度爬行，到B点运动停止；另一只小虫乙从点B出发，沿着数轴由B向A以每秒4个单位的速度爬行，到A点运动停止，设运动时间为t. （1）若小虫乙到达A点后在数轴上继续作如下运动：第1次向左爬行2个单位，第2次向右爬行4个单位，第3次向左爬行6个单位，第4次向右爬行8个单位，，依此规律爬下去，求它第10次爬行后，所停点对应的数： （2）用含t的代数式表示甲、乙的距离S； （3）当甲、乙相距40个单位长度时，求运动时间t； （4）若点Q是线段BA延长线上一点，QB的中点为M，QA的三等分点为N，当点Q运动 时，探究是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）解：第10次爬行所对应的数为 （2）解：当甲、乙相遇时，秒时，甲、乙相遇； 当甲到达B点是，秒；当乙到达A点时，秒； ①当时，甲、乙距离； ②当时，甲、乙距离； ③当时，乙到达A点，此时甲、乙距离 . （3）解：①当时，，； 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 有理数培优训练 一．选择题： 1. 已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数,1,1a -，那么|1|a +表示（ ） A ． A 、B 两点的距离 B ．A 、 C 两点的距离 C ．A 、B 两点到原点的距离之和 D ．A 、C 两点到原点的距离之和 2. 定义运算符号“*”的意义为：ab b a b a +=*（其中a 、b 均不为0）。下面有两个结论（1） 运算“*”满足交换律；（2）运算“*”满足结合律。其中（ ） A ．只有（1）正确 B ．只有（2）正确 C ．（1）和（2）都正确 D ．（1）和（2）都不正确 3. 如果,,a b c 为非零有理数，则||||||a b c a b c ++的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 设0a b c ++=，0abc >，则|||||| b c a c a b a b c +++++的值是（ ） A ．-3 B ．1 C ． 3或－1 D ．－３或１ 5. 若||1m m =+，则()201041m +=（ ） A ．－１ B ．１ C ．12- D ．1 2 6．若19a+98b=0，则ab 是（ ） A ． 正数 B ． 非正数 C ． 负数 D ． 非负数 7．有理数a 、b 、c 在数轴上的表示如图，则在 中（ ） A ． 最小 B ． |ac|最大 C ． 最大 D ． 最大 8．一杯盐水重21千克，浓度是7%，当再加入千克的纯盐后，这杯盐水的浓度是（ ） A ． % B ． 10% C ． % D ． 11% 9．a 、b 都是有理数，现有4个判断：①如果a+b ＜a ，则b ＜0；②如果ab ＜a ，则b ＜0；③如果a ﹣b ＜a ，则b ＞0；④如果a ＞b ，则，其中正确的判断是（ ） A ． ①② B ． ②③ C ． ①④ D ． ①③ 10．若，则的最大值为（ ） A ． 21 B ． 2 C ． 12 D ． 126 （4），则a （ 初一数学培优专题讲义一有理数及其运算 一、有理数的基本概念： （一）常考点，易错点： 1.字母可以表示任意有理数，不能说a一定是正数，-a也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x|=|-1|，则x=______；若|x|=|－4|，则x=____；2 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果a2=16，那么a=____；若x2=(－2)2，则x=_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果 是_______；n为正整数，则（－1）2n=___,(－1)2n+1=___。计算： （1）=；（2）=；（3）=；（4）=（5）= 6.a的相反数是；a+b的相反数是；a-b的相反数是；-a+b-c的相反数是； 变式训练：若a＜b，则∣a-b∣=，-∣a-b∣= （二）绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则a≥0 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a＞0） |a|=（a＝0） （a＜0） 9.绝对值的非负性： （1）若|a|＝0，则a；（2）若|a|＝a，则a；（3）若|a|＝—a，则a； a =______；（5）a<0，则 |a||a|=______；6）若|a|+|b|=0，则a且b 小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。 例1．已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b）2003+a2003+b2003的值是多少？ 例2.若ab<0，求 a b ab ++的值．|a||b||ab| 例3.（1）如果x＜－2，那么|1－|1+x||=；若|m－1|=m－1,则m___1.；若|m－1|=1－m,则m___1. ★六、同分母加 ★五、分离相加 ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1：计算：3＋50÷22×(5 1 -)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2：计算：()[] 232315.011--??? ??? ????? ? ??-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行； 例3：计算：??? ? ??-+???? ??-÷???? ??--3887127874 3 1 ★★★★ 整体性原则：2、简明性原则3、口算原则4、分段同时性原则 ★★计算：-0.252÷(－1 2 )4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2 ★★-3216 25 ÷(-8×4)+2.52+(1 2 +2 3 －3 4 －11 12 )×24 ★★ (－3 2 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415 ) 1.平方得本身的数是 2.立方得本身的数是 3.平方与绝对值相等的数是 4、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ； 5、如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是 ； 6.当a ＝ 时，3+3（a+1）2 的值最小这个值是 7．当a ＝ 时，9－2（a －2）2 的值最大这个值是 8、下列各对数中，数值相等的是（ ） A 、 －32 与 －23 B 、－23 与 (－2)3 C 、－32 与 (－3)2 D 、(－3×2)2 与－3×22 9、如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于（ ） 10、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、 非负数 D 、任何有理数 11、两个有理数互为相反数，那么它们的n 次幂的值（ ） A 、相等 B 、不相等 C 、绝对值相等 D 、没有任何关系 12、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、正数或负数 D 、奇数 13、=??? ??-343 ，=?? ? ??-3 43 ， =-4 33 ； 14、如果4 4a a -=，那么a 是 ； 15、()()()()=----20022001433221 ； ★★★★能力培养 1、若a 与b 互为倒数，那么2 a 与2 b 是否互为倒数？3 a 与3 b 是否互为倒数？ 2、若a 与b 互为相反数，那么2 a 与2 b 是否互为相反数？3 a 与3 b 是否互为相反数？ 3、观察下列等式， 2 311=, 2 33321=+, 2 3336321=++, 23333104321=+++…想一想等式左边各项幂的底数与右边 幂的底数有什么关系?猜一猜可以引出什么规律,并把这种规律用等式写出来 4、199********+++++= s ，求s 的值（提示利用2S ） 5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如 图所示，求代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c| 的值 。 6. 若()0|32|2 =+++y x x ，则y x -= 7.若 3=a 、5=b ，且b a <，则=a ， =b 1.5有理数的乘方 知识要点： 1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的正整数次幂都是0. 2.有理数的混合运算顺序： （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 4.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ?的形式（其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数）. 5.一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些),这个数称之为近似数. 6.精确度：近似数与准确数的接近程度. 温馨提示： 1.分数、负数的底数要用小括号括起来. 2.n a 的底数是a ，指数是n ，读作a 的n 次幂. n a -的底数是a ，指数是n ，读作a 的n 次幂的相反数. ()n a -的底数是－a ，指数是n ，读作－a 的n 次幂. 3.个位的右边是十分位，不要说成十位；同样十分位的右边是百分位，不要说成百位. 4.对比较大的数近似时，常用科学记数法表示出这个数，然后再取近似值. 方法技巧： 1.用科学记数法表示一个数时，n =原数整数数位－1. 2.410是1万，8 10是1亿. 3.若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 4.阅读理解型题目的解题步骤： （1）仔细阅读材料； （2）根据问题迅速搜索“信息区”； （3）对信息进行仔细地分析辨别，去伪存真、去粗留精； （4）经过组合、抽象概括、提炼，得出相关结论． 专题一 利用乘方进行运算 1、计算2)32(-=______________；2)32(-=______________；2)3 2(--=______________；322-=______________；23 2-=______________； 2、计算： （1）32÷ 278×(－32)3； （2）－12－)32(712-?； （3）31)3(6)61(61)6(3?--?-÷?-. 3、你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），如图所示，这样的捏合，到第多少次后可拉出128根细面条？捏合了10次后可拉出多少根细面条？ 专题二 利用乘方解决规律问题 4、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 . 5、观察下面的几个算式：1+2+1=4；1+2+3+2+1=9；1+2+3+4+3+2+1=16；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25；…根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=________. 6、在数学活动中，小明为了求2341111122222 n ++++???+的值（结果用n 表示），设计如图所示的几何图形。 （1）请你利用这个几何图形求2341111122222 n ++++???+的值为__________. 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 有理数培优题 基础训练题 一、填空： 1、在数轴上表示－2的点到原点的距离等于（ ）。 2、若∣a ∣=－a,则a （ ）0. 3、任何有理数的绝对值都是（ ）。 4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是（ ）。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（ ）。 6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-，则a b +=（ ） 7、|2||3|x x -++的最小值是（ ）。 8、在数轴上，点A 、B 分别表示2 1 41，-，则线段AB 的中点所表示的数是 （ ）。 9、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，P 的绝对值为3，则 () 2010 2a b mn p p ++-=（ ） 。 10、若abc ≠0，则|||||| a b c a b c ++ 的值是（ ） . 11、下列有规律排列的一列数：1、43、32、85、5 3 、…，其中从左到右第 100个数是（ ）。 二、解答问题： 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z 对应的点到-2对应的点的距离是7，求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。 3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此时常数的值。 4、若,,a b c 为整数，且20102010||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 5、计算：－21 ＋65－127＋209－3011＋4213－5615＋72 17 6、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？ 能力培训题 知识点一：数轴 例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）（“祖冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、把满足52≤ 第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化． 注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念： （一）常考点，易错点： 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______；若|x|=|－4|，则x=____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果 是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： （1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a ，则a ； （3）若|a|＝—a ，则a ； （4） ， 则______||=a a ；（5）0 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 课 题 有理数 教学目标 1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小； 借助 数 轴 理 解 相 反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值； 2、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简混合运算； 理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算； 3、能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记数法表示较大的数， 并能按要求取近似数． 重点、难点 重点：加减乘除法运算法则。乘方法则 难点：1、会算。2、算对。3、快速准确。 教学内容 考点1：和绝对值有关的问题 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ．b 练习 表示数a 、b 、c 、d 的点在数轴上的位置，如图所示： 化简│b-c │-│a-2c │-?│d+b │+│d │． 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 练习 计算|12006-12005|+|12007-12006|-|12007-12005 |。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 练习 如果0abc ≠，求||||||a b c a b c ++的值。 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 练习 绝对值不小于3但小于5的所有整数的乘积为________； 例5．（非负性) 若x=-2 π，化简│x+1│-│x+2│+│x+3│-│x+4│+…-│x+10│得（ ） （A ）2x+7 （B ）2x-7 （C ）-2x-7 （D ）-2x+7 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数 ????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写 成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数0.033. 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以 都是有理数，故选C ． 【变式题组】 01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－1 8，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－1，2，－13 ，0.1．－5.32，123, 2.333 有理数培优 知识导引 本讲的主要内容是从自然数到分数和有理数的概念，小学数学主要学习了自然数、分数（小数）及数的运算，并且这种“数”的概念是建立在一种意义上的，实际上，仅有自然数和分数是不够的，数还需作进一步的扩展，实际生活、生产中大量的量从其意义上来理解却具有相反的意义，为了准确地区分这些相反意义的量就有必要引入负数，用正数和负数来区分这些具有相反意义的量，这样就产生了有理数的概念，所以有理数其实是对数的进一步认识，是数的一次重要扩充。 建立了有理数的概念之后，又不要对有理数进行分类，有理数通常按两种不同的标准进行分类：一是以有理数的正负性为主要标准，将有理数分为正数、零和负数三大类；二是以有理数的整数和非整数为主要标准，将有理数分为整数和分数两大类。这里要注意的是零既不是正数也不是负数，具体的数的概念应从其意义上理解，例如“负整数”应理解为“负数中的整数”等等。 典例精析 例1：珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明高度的数（单位：米），如图所示，这些数通常称为海拔，它是相对于海平面来讲的，请说出图中所示的数8848和－155表示的实际意义，海平面的高度用什么数表示？ 例2：（1）如果把商店盈利100元记做＋100，那么亏损20元记做 （2）如果把仪表的指针逆时针转3圈记做＋3，那么－2圈表示把仪表的指针 （3）正常水位为0，水位高于正常水位0.2米时可记做＋0.2米，那么－0.5米表示什么意思？ 例2—1：（1）下列说法中，不具有相反意义的一对量是（） A、向东3.5米和向南2千米 B、上升5米和下降1.8米 C、收入5000元和亏损1500元 D、零上6℃和零下7℃ （2）若火箭发射点火前5秒记为－5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（） A、－10秒 B、－5秒 C、＋5秒 D、＋10秒 第二章 有理数的运算 第4讲 有理数的加减乘除运算 【思维入门】 1．计算2×(－9)－18×） （2 1 -61的结果是 ( ) A ．24 B ．－12 C ．－9 D ．6 2．法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和7×8的两个示例．若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是 ( ) 8×9＝？ ∵两手伸出的手指数的和为7，未伸出的手指数的积为2 ∴8×9＝72 [8×9＝10×(3＋4)＋2×1＝72] 7×8＝？ ∵两手伸出的手指数的和为5，未伸出的手指数的积为6 ∴7×8＝56 [7×8＝10×(2＋3)＋3×2＝56] A.2，3 B ．3，3 C ．2，4 D ．3，4 3．计算：(1＋1)?? ? ??+?????? ??+??? ??+11001131121＝_______． 4．计算：12－256＋3112－41920－5130＋64142－7156＋87172－91 90＝_______． 5．计算： (1)1.9＋(－4.4)－(－8.1)－(＋5.6)； (2)312－|－12|－?? ? ??31-＋223； (3)(－18)÷214×49÷(－16)； (4)?? ? ??+4365-97×(－36)； (5)392324×(－12)． 【思维拓展】 6．实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，则a ，b ，c 中正数的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．若有理数a ，b ，c 两两不等，则a －b b －c ，b －c c －a ，c －a a － b 中负数的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 8．已知a ＝20 142 0132 013，b ＝20 132 0142 014，c ＝20 132 0142 013，d ＝20 142 013 2 014，则a ，b ，c ，d 大小的关系是 ( ) A ．a ＞b ＞c ＞d B ．c ＞a ＞d ＞b C ．a ＞d ＞c ＞b D ．a ＞c ＞d ＞b 9．从－4，－2，－1.5，0.5，0，2.5，3这七个数中任意选出几个做乘法，乘积的最大值是____，最小值是____． 10．计算??? ??++++??? ??615141312161-51-41-31-21-1－?? ? ??+++??? ??5141312161-51-41-31-21-1的结果 为____． 11．观察下列等式： 第一个等式：a 1＝31×2×22＝11×2－1 2×22 ； 第二个等式：a 2＝42×3×23＝12×22－1 3×23 ； 第三个等式：a 3＝53×4×24＝13×23－1 4×24 ； 第四个等式：a 4＝64×5×25＝14×24－1 5×25. 按上述规律，回答以下问题： (1)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝____； (2)式子a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝____．初一上数学-有理数-培优讲义
初一数学培优专题讲义一--有理数及其运算
毕节数学有理数(培优篇)(Word版 含解析)
学而思七年级数学培优讲义版全年级章节培优-绝对经典
有理数培优训练
培优专题讲义有理数及其运算.
初一有理数的运算培优精品讲义
七年级数学上册 第一章《有理数》1.5 有理数的乘方能力培优讲义 (新版)新人教版
有理数培优题(有答案)
初中七年级数学培优有理数的巧算含答案解析
培优专题讲义有理数及其运算教案.doc
有理数培优讲义(供参考)
学而思七年级数学培优讲义word版(全年级章节培优-绝对经典)
尖子生培优 有理数讲义及答案
苏科版七年级数学上册培优讲义第4讲：有理数的加减乘除运算