平行线的判定与性质培优经典题

（第1题）

（第2题）

（第3题）

（第4题）

平行线的判定与性质培优经典题（1）

知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质；

② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用；

③ 平行线的判定方法、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交.

基础训练：

1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE .

2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD .

3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ .

4. 如图，直线AB 、CD 交于点O .

（1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ; （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ .

（第5题）E D

（第7题）

A B

F E

（第6题）

（第8题）

5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE .

6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF .

7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ，垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .

8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 .

经典题型：

1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以

O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2）若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角.

（第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中与∠1相等的角有（）对. A ．4

B. 5

C. 6

D. 7

（西宁市中考题）

3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF .

(天津市竞赛题)

4. 平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角

不超过36°,说明理由.

（第11届“华罗庚杯”邀请赛试题）

5. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1+∠2=＿＿＿＿＿＿.

图e

图d

图c

图b

图a

E 1E 2

E n

F 1F 2F n -1

图f

图g

图h

图i

图j

（烟台市中考题）

6. 探究：

（1）如图a ，若AB ∥CD ,则∠B +∠D =∠E ,你能说明为什么吗？

（2）反之，如图a ，若∠B +∠D =∠E ，则直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明. （3）若将图a 中的点E 移至图b 所示位置，此时∠B 、∠D 、∠E 之间有什么关系？请证明. （4）若将图a 中的点E 移至图c 所示位置，情况又如何？

（5）在图d 中，若AB ∥CD , ∠E +∠G 与∠B +∠F +∠D 又有何关系？（6）在图e 中，若AB ∥CD ,又得到什么结论？

（7）探究图f ～图j .

平行线的判定

这个定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都能够作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，能够是已知条件，也能够是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内． ②证明：内错角相等,两直线平行．师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠ CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而 ∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，所以可知：CD∥A B．师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．所以可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥b 证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．因为学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格

定义） ∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3 互补（互补的定义） ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行． ③借助“同位角相等，两直线平行”这个公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．证明：∵a⊥c,b⊥c（已知） ∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义） ∴∠1=∠2（等量代换） ∴b∥a（同位角相等，两直线平行）生2：由此能够得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．第三环节：反馈练习活动内容：课本第231页的随堂练习第一题活动目的：教学效果：因为此题仅仅简单地使用到平行线的判定的三个定理（公理），所以，学生都能很快完成此题．第四环节：学生反思与课堂小结活动内容：式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的理解实行归纳，学生的理解更提升一步．巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况实行分析，以便调整前进．

平行线的判定与性质(培优提高).doc

望子成龙学校数学专用资料锲而不舍，方能水滴石穿！平行线的判定与性质（二）（拓展训练）一、【基础知识精讲】一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面： 1. 由角定角判定性质已知角的关系两直线平行确定其它角的关系 2. 由线定线性质判定已知两直线平行角的关系确定其它两直线平行二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析： 1. 由因导果（综合法）：即——从已知条件出发，推出相应的结论。 2. 执果溯因（分析法）：即——要得到结论需要具备什么条件。所以：解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已 1

望学校而不舍，方能水滴石穿！知与未化与沟通。单：的常用方法：① 和差法 ②法 ③ 变形法 2.的常用技找共高或共底的三角形。二、】例 1 已知平面上一O 个平面上引 2005 条不同的直线l 1、l 2 、l 3 、? l 2005 ，形以。） 1. 若平面上 4 两两相交，且共一同旁内角。（第 17 ） 2. 在同一平面内有 2002 条直线a 1、a 2 、? a 2002 ，如果 a 1 ⊥a 2 , a 2 ∥a 3 、 a 3 ⊥ a 4 、a 4 ∥a 5 ，? ，那么 a 1 与 a 2002 的位置关系 2

望子成龙学校数学专用资料锲而不舍，方能水滴石穿！是。例2 如图，某人从A点出发，每前进10 米，就向右转18°，再前进10 米，又向右转 1 8°，这样下去，他第一次回到 18o 出发地A 点时，一共走了________米． A A 18o 1 A 2 变式训练： 1. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠ A 是120°，第二次拐的角∠ B 是150°， A 第三次拐的角是∠C，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 C 平行，则∠C= ． B 2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）．（A ）第一次向左拐30°，第二次向右拐30° （B）第一次向右拐50°，第二次向左拐130° （C）第一次向右拐50°，第二次向右拐130° （D）第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 例3 如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点 A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，求∠A 的度数． A D E 1 2 A B C 变式训练： 1. 如图, 已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6. E D C 求证: AD ∥BC. 4 6 F 2 1 5 3 A B C 2．如图2—95，已知 C D⊥AB于D，EF⊥AB于F， G

5.2平行线及其判定讲义【精】(可编辑修改word版)

1、平行线的概念：第五章相交线与平行线 5.2.1平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥ b 。 2、两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。（2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 a 如左图所示，∵ b ∥ a ，c ∥ a b ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这c 两条直线都平行。【典型例题】类型一、两条直线的位置关系 1.同一平面内的两条直线若相交，那么有交点，若平行则交点. 2.在内，两条直线的位置关系只有、两种. 3.下列叙述的图形是平行线的是（） A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线. B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线. C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线. D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 4.在同一平面内的两条直线的位置可能是( ) A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行类型二、平行线的画法：一落二靠三移四画 5.读下列语句,并画出图形. (1)直线AB、CD 是相交直线,点P 是直线AB、CD 外的一点,直线EF 经过点P 与直线AB 平行,与直线CD 相交于点E； (2)点P 是直线AB 外一点,直线CD 经过点P,且与直线AB 平行. 6.读下列语句，并作图：（1）如图(1)，过A 点画AF∥CE 交BC 于F；（2）如图(2)，过C 点画CE∥AD 交BA 的延长线于E. 类型三、平行公理及其推论 7.如图5.2.1-2,∵AB∥CD(已知),过点F 可画EF∥AB,∴EF∥DC, 理由是.

平行线的判定与性质培优经典题(1)

（第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1）知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;

（第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ，垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .

C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2）若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中与∠1相等的角有（）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西宁市中考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题)

相交线平行线培优-

初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定）一、考点讲解： 1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角． 3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质：① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠ 2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2=90○ ，∠1+∠ 3= 90○ ，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○ 则∠A 、∠B 互补，反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A+∠B ＝ 180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○ ，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C ． 6．对顶角的性质：对顶角相等．项目定义性质图形互余角两个角和等于?90（直角） ?=∠+∠9021 同角或等角的余角相等互补角两个角和等于?180（平角） ?=∠+∠18021 同角或等角的补角相等对顶角两直线相交而成的一个角两边分别是另一角两边反向延长线对顶角相等 21∠=∠ 三、经典例题题剖析：例1．已知一个角的余角比它的补角的13 5 还少?4，求这个角。例2．如图所示，AOB 是一条直线，?=∠?=∠90,90DOE AOC ，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？例3.如图l －2－1，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠ 1＝15○ 30’，则下列结论中不正确的是（） A ．∠2 =45○ B ．∠1=∠3 C ．∠AO D 与∠1互为补角 D ．∠1的余角等于75○ 30′ 解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．四、巩固练习： 1．_______的余角相等，_______的补角相等． 2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○ ，∠3=__ 3．下列说法中正确的是（）A ．两个互补的角中必有一个是钝角 B ．一个角的补角一定比这个角大 C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D ．相等的角一定互余 4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○ ，那么从A 处观测到C 处的方向为（） 1 2 1 2 1 2 A B E O C D 1 2 3 4

七下平行线的判定及其性质一对一讲义

博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年级：七年级日期：2013.3.2 辅导科目：数学学科教师：刘云风时间：课题七下第一章平行线的判定及其性质授课课时 2课时教学目标1、复习平行线的判定和性质，体会几何说理的过程。 2、灵活运用平行线的判定和性质，提高分析和解决问题的能力。 3、激发学生学习数学的兴趣，体会合作学习的快乐与成功。教学内容平行线的判定及其性质〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：平行线的判定和性质的灵活运用。掌握平行线的判定和性质之间的区别与联系。 ◆教学难点：平行线的判定和性质的灵活运用。〖教学过程〗复习回忆知识检索 1、填表平行线的平行线的，两直线平行。，两直线平行。，两直线平行。两直线平行，。两直线平行，。两直线平行，。平行公理：经过一点，一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与平行，那么这两条直线。

【知识要点】一.余角和补角: 1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ += 90o∴αβ 与互为角2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ += 180o∴αβ 与互为角二.余角和补角的性质:同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质:对角相等. 四.“三线八角”：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线行. 2、内错角相等, 两直线平行. 3、同旁内角互补, 两线平行. 4、同平行于一条直线的两条直线平行. 5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1.两直线平行,同位角相等； 2.两直线平行,内错角相等； 3.两直线平行,同旁内角互补. 【典型例题】一、余角和补角例1. 如图所示，互余的角有__________________________________；互补的角有__________________________________； 1 2 3 4

平行线的判定和性质经典题

平行线的判定和性质经典题一．选择题（共18小题） 1．如图所示，同位角共有（） 3．下列说法中正确的个数为（） ①不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 4．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5… 6．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（）

8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（） 11．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（） 13．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（） 14．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（） 15．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角

16．把直线a 沿水平方向平移4cm ，平移后的像为直线b ，则直线a 与直线b 之间的距离为 17．（2009?宁德）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是 18．（2004?烟台） 4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字是（）二．填空题（共12小题） 19．已知∠α和∠β的两边互相平行，且∠α=60°，则∠β= _________ ． 20．（2004?西宁）如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有 _________ 个；若∠1=50°，则∠AHG= _________ 度．第20题第21题第22题 21．（2009?永州）如图，直线a 、b 分别被直线c 、b 所截，如果∠1=∠2，那么∠3+∠4= _________ 度．直线a 、b 分别被直线c 、b 所截． 22．（2010?抚顺）如图所示，已知a∥b，∠1=28°，∠2=25°，则∠3= _________ 度． 23．如图，已知BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，MN∥BC，且过点O ，若AB=12，AC=14，则△AMN 的周长是 _________ ．

平行线的判定教学设计

教学设计课题：人教版七年级下 5.2.2平行线的判定（1）授课教师：北京市前门外国语学校郝宏文

5.2.2平行线的判定（1）一、教学目标： 1．知识与技能：（1）从“用三角尺和直尺画平行线的活动过程中发现”同位角相等，两直线平行；培养学生动手操作，主动探究及合作交流的能力。（2）会用平行线的判定方法判定两直线平行，初步学会用几何语言进行简单推理和表述。 2．过程与方法：在探索图形的过程中，通过观察、操作、推理等手段，有条理地思考和表达自己地探索过程和结果，从而进一步加强学生分析，概括、表达能力。 3．情感态度价值观：让学生在活动中体验探索、交流、成功与提升的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于实践，大胆猜想、推理的科学态度。二、教学重点：同位角相等两直线平行三、教学难点：运用平行线的判定方法进行简单的推理四、教学教具：多媒体、三角板、直尺五、教学方法：启发式六、教学过程：（一）复习并导入新课：上一节课我们学习了平行线，平行公理及其推论，如何用平行线的定义及平行公理的推论来说明两直线平行（学生回答），根据学生的回答，教师总结，如果用平行线定义难以说明两条直线没有交点，平行公理的推论对条件要求较强，要有三条平行线，且其中的两条分别与第三条平行。你能否运用这两种方法来说明下面这两个问题的道理？如果只有a、b两条直线如何判断他们是否平行呢？说明这两个途径都有一定的局限性，那么有没有其他的途径判定两条直线是否平行的方法呢？今天我们一起来探讨平行线的判定方法。（二）新授

321 G H F E D C A B A B C D E 12 1、平行线的判定方法（1）让学生回忆并叙述上节用三角板和直尺过一点P 画已知直线AB 的平行线的过程，你能发现这种画法实际上是画一对什么角相等吗？（让学生观察图形后回答，这两个角是直线AB 、CD 被EF 截得的同位角）。判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单记为“同位角相等，两直线平行”。结合图形，引导学生用符号语言表述平行线判定公理： ∵∠1=∠2 (已知) ∴a ∥b (同位角相等，两直线平行) 练习： 1．已知∠1＝54°，当时， AB ∥CD ？（2）平行线的判定方法2的推导先采用探讨问题的方式，启发学生去思考，能不能从内错角之间的关系或同旁内角之间的关系来判定两条直线平行呢？让学生观察图形分析∠1与∠2在什么条件下满足判定方法1，引导学生分析角之间的关系，发现新结论：判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称为“内错角相等，两直线平行”。结合图形引导学生用符号语言表述上面的推理过程已知：直线AB 、CD 被EF 所截，∠1=∠2，求证：AB ∥CD 证明：∵∠1=∠2（已知） ∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=∠3（等量代换） ∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）练习：已知：∠1=∠A=∠C,

平行线与相交线培优训练

D B C A F E 平行线与相交线培优训练（已经修改，很好）平行线的判定：⑴___________________（2）（3）平行线的性质：⑴___________________（2）（3）例题精讲例1 ：如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90° 练习1．思考：两直线a，b被直线AB所截(如图1－18所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？” 练习2．如图所示，AA1∥BA2时，则图1-24 规律：同一方向的所有角的和等于另规律：所有角的和=（角的个数—1）× 练习3．如图已知，AB∥CD., AF CF分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F是两条角平分线的交点；求证： 1 2 F AEC ∠=∠. 例2：求证：三角形内角之和等于180°

A 练习1．求证：四边形内角和等于360° 2．证明：五边形内角和等于540° 例3：如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ．练习1．如图，已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。练习2．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 练习3.已知AB //DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD . 例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？练习1.甲驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（） A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130 C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° E D C B A

(完整版)5.2平行线及其判定讲义【精】

第五章相交线与平行线 5.2.1 平行线 1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。 2、两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。（2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。【典型例题】类型一、两条直线的位置关系 1.同一平面内的两条直线若相交，那么有_________交点，若平行则______交点. 2.在______内，两条直线的位置关系只有______、________两种. 3.下列叙述的图形是平行线的是（） A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线. B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线. C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线. D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 4. 在同一平面内的两条直线的位置可能是( ) A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行类型二、平行线的画法：一落二靠三移四画 5. 读下列语句,并画出图形. (1)直线AB 、CD 是相交直线,点P 是直线AB 、CD 外的一点,直线EF 经过点P 与直线AB 平行,与直线CD 相交于点E ； (2)点P 是直线AB 外一点,直线CD 经过点P ,且与直线AB 平行. 6.读下列语句，并作图：（1）如图 (1)，过A 点画AF ∥CE 交BC 于F ；（2）如图 (2)，过C 点画CE ∥AD 交BA 的延长线于E . 类型三、平行公理及其推论 7. 如图5.2.1-2,∵AB ∥CD (已知),过点F 可画EF ∥AB ,∴EF ∥DC , 理由是________________________. a b c

《函数的基本性质》培优训练题(教师版)

《函数的基本性质》培优训练题 1．（2016?义乌市模拟）已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（） A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8] 【解答】解：令函数g（x）=x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判别式△=a2+8＞0，故函数g（x）一定有两个零点，设为x1和x2，且 x1＜x2． ∵函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|=，故当x∈（﹣∞，x1）、（x2，+∞）时，函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，当x∈（x1，x2）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段连在一起．由于f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，∴a＞0且函数g（x）较小的零点x1=≥﹣1，即a+2≥，平方得a2+4a+4≥ａ2+8，得a≥1，同时由y=2x2﹣ax﹣2的对称轴为x=，若且﹣1≤≤2，可得﹣ 4≤a≤8．综上可得，1≤a≤8，故实a的取值范围为[1，8]，故选：A． 2．（2016?江西校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（） A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣，2）C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，2）【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数， ∴y=f（x+2）关于x=0对称，即函数f（x+2）在（0，+∞）上为减函数，由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），即f（2x﹣3+2）＞f（x﹣1+2），即|2x﹣3|＜|x﹣1|，平方整理得3x2﹣10x+8＜0，即＜x＜2，即不等式的解集为（，2），故选：D 3．（2016?四川模拟）设f（x）满足：①任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0；②当x≥１时，f（x）=|x﹣a|﹣1，（a ＞0），若x∈R，恒有f（x）＞f（x﹣m），则m的取值范围是（） A．（0，+∞）B．（4，+∞）C．（3，+∞）D．（5，+∞）【解答】解：∵任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0，∴f（2﹣x）=﹣f（x），则函数关于（1，0）点对称，当x=1时，f（1）+f（2﹣1）=0，即2f（1）=0，则f（1）=0，∵当x≥１时，f（x）=|x﹣a|﹣1，∴f（1）=|1﹣a|﹣1=0，则|a﹣1|=1，则a﹣1=1或a﹣1=﹣1，则a=2或a=0，∵a＞0，∴a=2，即当x≥１时，f（x）=|x﹣2|﹣1

专题练习平行线的判定

专题二平行线及其判断【要点归纳】 1．在同一平面内,不相交的两条直线叫做，用符号“∥”表示2．平行线的判定方法： (1），两直线平行; (2），两直线平行；（3），两直线平行 3 ．平行公理：（1)过已知直线外一点, 一条直线与已知直线平行； (2）两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 , 即平行于同一条直线的两条直线_____________. 如果a∥c，b∥c，那么a____c。 b a c a c b （3）在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线，即垂直于同一条直线的两条直线_____________ 如果b⊥a，c⊥a，那么b____c. 【例题讲解】【例1】如图5.2－4所示，根据下列条件，可推得哪两条直线平行,并说明根据．（1)∠ABD＝∠CDB; （2）∠CBA+∠BAD＝180°；（3）∠ABC＝∠DCE。【例2】如图5.2－5,∠A+∠B＝180°，∠EFC＝∠DCG，试说明：AD∥EF。【例3】如图5.2－7，若∠B＝102°,∠1＝78°，则AB与CD平行吗？请说明理由．

【例4】如图5。2－8，EC,FD与直线AB交于C,D两点，∠1＝∠2，则EC∥DF吗？为什么? 【例5】如图5.2－9已知FE⊥CD于E，∠1＝64°，∠2＝26°，试说明AB∥CD。【随堂练习】 1。已知：如图5.2－10,BE平分∠ABC，且∠1＝∠3，则DE与BC平行吗？为什么？ 2。（1）如图5.2－13，AF，CE，BD交于点B,BE平分∠DBF，添加条件∠EBF＝，可使DB∥AC，说明理由．（2）（贵州铜仁中考题）如图5.2－14，请填写一个你认为恰当的条件，使AB//CD. 3.如图5。2－18所示，由（1）∠1＝∠3,（2)∠BAD＝∠DCB可以判定哪两条直线平行?

(完整版)七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型

平行线四大模型平行线的判定与性质 l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补

本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.

高一下期教研组工作计划

2017——2018学年度第二学期高一数学组工作计划一、指导思想 “师者，传道授业解惑也。”教育的兴衰维系国家之兴衰，孩子的进步与徘徊事观家庭的喜怒和哀乐！数学这一科有着冰冻三尺非一日之寒的学科特点，在高考中的决定性作用亦举重非轻！是高考的晴雨表。夸张一点说数学是强校之本，升学之源。鉴于此，我们当举全组之力，充分发挥团队精神，既分工又合作，立足高考，保质保量地完成教育教学任务，在原来良好的基础上锦上添花。二．工作目标 1. 全组成员精诚团结，互相关心，互相支持，弘扬一种同志加兄弟的同仁关系，力争使我们高一数学组成为一个充满活力的优秀集体。 2.不拘形式、不拘时间地点的加强交流，互相之间取长补短，与时俱进，教学相长。 3 在日常工作当中，既保持优化个人特色，又实现资源共享，同类班级的相关工作做到基本统一。三、本组成员情况高一数学组共有7名教师，是高一年级人员最多的一个备课组。

除李润红之外，其余6个都是专业数学教师。7人中除宋民友、李润红两人外，其他教师均是年轻教师，本组所有老师都教过高三。四、本期工作措施 1、准确了解，客观分析学生数学知识水平高一年级共10个班，（1）、（2）班为理科英才班，知识水平、学习能力相对较高。（3）、（4）班为理科重点班，成绩较好。（5）、（6）班是理科平行班，大部分学生基础较差，（7）、（8）班是文科平行班大部分学生基础很差，（9）、（10）班是文科重点班，是情况最复杂的班，一部分学生知识水平、学生习能力相对较高，一部分学生成绩较好，一部分学生基础较差，教师应通过周清和平时教学尽快了解、分析学生数学知识水平和学习能力。 2、凝聚备课组集体智慧，形成个性化数学设计为将集体备课落到实处，将集体备课时间定为每周一下午第二、三节课，由备课组长主持，每次一位老师（按备课主讲人分工表安排）作教材分析，其它老师评价、补充。具体备课时一般流程如下：（1）备课组所有成员简述各自在上周对于教学任务的完成情况，多说自己课堂教学和课后巩固中出现的问题，然后备课组各成员根据所讲内容交流解决措施。（2）统一教学进度，同类型班级保持一致。（3）由主发言人带领大家共同学习下周教学任务中的有关教学大纲，明确教学目标，指出重、难点，列举一些典型例题、精选、练

相交线和平行线提高题与常考题型和培优题(含解析)

相交线与平行线培优题(2) 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2=（） A．56°B．66°C．24°D．34° 2．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100° D．102° 3．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（） A．35°B．45°C．50°D．55° 第2题第三题第4题第5题 4如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为：A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD 6．如图，与∠1是同旁内角的是（） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 7．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 8．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 9．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（）

A．85°B．70°C．75°D．60° 10．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（） A．65°B．115°C．125° D．130° 11．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（） A．65°B．55°C．45°D．35° 12．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（） A．85°B．60°C．50°D．35° 二．填空题（共12小题） 13．如图，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，则∠2的大小是． 14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE=度．

平行线的判定(复习讲义)01(教师版)

平行线的判定（复习讲义）01 【知识点讲解】一、知识点：平行线的判定 1、判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行。如图：如果∠1＝∠2，那么AB∥CD。 2、判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行。如图：如果∠2＝∠3，那么AB∥CD。 3、判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行。如图：如果∠2＋∠4＝180°，那么AB∥CD。 4、在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，即：若a、b、c为同一平面内三条直线，且a⊥b，a⊥c，则b∥c。例：如图，直线AB、CD被直线EF所截。 1)若∠1＝80°，∠2＝100°，由此你可以判定AB和CD平行吗？说明理由； 2)若∠2＝100°，∠3＝100°，由此你可以判定AB和CD平行吗？说明理由。解： 1)可以； 2)可以。

【知识点复习】一、知识点：平行线的判定 1、如图，下列条件中能判定直线1l ∥2l 的是( C ) A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠5 C. ∠1＋∠3＝180° D. ∠3＝∠5 2、如图，已知直线c 与a 、b 分别交于点A 、B ，且∠1＝120°，则当∠2＝时，直线a ∥b( B ) A. 60° B. 120° C. 30° D. 150° 3、如图所示，直线a 与直线b 被直线c 所截，b ⊥c ，垂足为点A ，∠1＝70°。若使直线b 与直线a 平行，则可将直线b 绕着点A 顺时针旋转( D ) A. 70° B. 50° C. 30° D. 20° 4、如图，小明在两块含30°角的直角三角板的边缘画直线AB 和CD ，得到AB ∥CD ，这是根据内错角相等，两直线平行。三、题型分析题型一：平行线判定方法的综合运用例1：如图所示，点E 在BC 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是( A ) A. ∠3＝∠4 B. ∠1＝∠2 C. ∠B ＝∠DCE D. ∠D ＋∠DAB ＝180°

数学培优教材第一讲函数的性质

高一年段数学培优教材第一讲函数的基本性质1 一、基本性质： 1. 函数图像的对称性（1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有 ()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。（2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。若函数满足()(2)f x f a x =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足 f (x) + f (2a －x) = 2b ，则()f x 的图像就关于点(a ,b)对称。（3）互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。 2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)a y x a x =+ >的图像和单调区间。 3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1）若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。（2）若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为 T a 的周期函数。（3）若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。（4）若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。 4.几种特殊的抽象函数的周期：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()() 1 f x a f x +=± ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1() ()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1() ()1() f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

平行线的判定定理一

平行线的判定定理一、教学目标 1．了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法． 2．掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简单的推理论证． 3．通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理的能力． 4．使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育．二、学法引导 1．教师教法：启发式引导发现法． 2．学生学法：积极参与、主动发现、发展思维．三、重点·难点及解决办法（一）重点判定定理的推导和例题的解答．（二）难点使用符号语言进行推理．（三）解决办法 1．通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点． 2．通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点．四、课时安排 1课时五、教具学具准备三角板、投影仪、自制胶片．六、师生互动活动设计 1．通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课．

2．通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授． 3．通过学生自己总结完成小结．七、教学步骤（一）明确目标掌握平行线的第二个定理的推理，并能运用其进行简单的证明，培养学生的逻辑思维能力．（二）整体感知以情境创设，设计悬念，引出课题，以引导学生的思维，发现新知，以变式训练巩固新知．（三）教学过程创设情境，复习引入师：上节课我们学习了平行线的判定公理和一种判定方法，根据所学看下面的问题（出示投影）． 1．如图1所示，直线、被直线所截，如果，那么，为什么？ 2．如图2，如果，那么，为什么？图1图2 3．如图3，直线、被直线所截．（1）如果，那么，为什么？（2）如果，那么，为什么？ 4．如图4，一个弯形管道的拐角，，这时管道、平行吗？图3图4 学生活动：学生口答第1、2题．师：你能说出有什么条件，就可以判定两条直线平行呢？学生活动：由第l、2题，学生思考分析，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行．