高考数学总复习集合常用逻辑用语不等式
质量检测(一)
测试内容：集合、常用逻辑用语不等式
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2012年福州市高三第一学期期末质量检查)已知集合A＝{x|x>3}，B＝{x|2 C．{x|3 解析：A∩B＝{x|x>3}∩{x|2 答案：C 2．(2012年合肥第一次质检)集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是() A．{4} B．{4，－1} C．{4,5} D．{－1,0} 解析：本题主要考查集合的运算与韦恩图．由图可知阴影部分表示的集合为(?U B)∩A，因为B＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，因此(?U B)∩A＝{4，－1}，选B.本题为容易题． 3．(2012年河北省衡水中学期末检测)若集合A ＝{0，m 2}，B ＝{1,2}，则“m ＝1”是“A ∪B ＝{0,1,2}”的 ( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 解析：当m ＝1时，m 2＝1，A ＝{0,1}，A ∪B ＝{0,1,2}，若A ∪B ＝{0,1,2}，则m 2＝1或m 2＝2，m ＝±1或m ＝±2，故选B. 答案：B 4．若a ( ) A.1a >1 b B.1a －b >1b C.－a >－b D ．|a |>－b 解析：∵1a －1b ＝b －a ab >0， ∴A 一定成立；∵a －b >0， ∴ －a > －b ，即C 一定成立； |a |＝－a ； ∴|a |>－b ?－a >－b ，成立，∴D 成立； 当a ＝－2，b ＝－1时，1a －b ＝1－2＋1＝－1＝1 b ，所以B 不一定成立，故选 B. 答案：B 5．设A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ?(A ∩B )}．已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则A ×B 等于 ( ) A ．[0,1]∪(2，＋∞) B ．[0,1]∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．[0,2] 解析：∵A ＝[0,2]，B ＝(1，＋∞)，∴A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ?(A ∩B )}＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A. 6．(2012年厦门模拟)设命题p ：若a >b ，则1a <1b ，q ：若1 ab <0，则ab <0.给出以下3个复合命题，①p ∧q ；②p ∨q ；③綈p ∧綈q .其中真命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：p 为假命题，q 为真命题，所以只有②正确，故选B. 答案：B 7．在算式“4△＋1□＝30 □×△”的两个□、△中，分别填入两个正整数，使 它们的倒数之和最小．则这两个正整数构成的数对(□，△)应为 ( ) A ．(4,14) B ．(6,6) C ．(3,18) D ．(5,10) 解析：题中的算式可以变形为“4×□＋1×△＝30”．设x ＝□，y ＝△，则4x ＋y ＝30.30? ????1x ＋1y ＝(4x ＋y )? ????1x ＋1y ＝5＋? ?? ?? y x ＋4x y ≥5＋2 y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝ 4x y ，即x ＝5，y ＝10时取等号，所求的数对为(5,10)．故选D. 答案：D 8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是 ( ) A.1ab >12 B.1a ＋1 b ≤1 C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8 解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥1 4，故C 错，A 错． 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4 ab ≥1，故B 错． (a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 9．(2012年广东番禺模拟)已知命题p ：“?x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“?x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[e,4] B ．[1,4] C ．[4，＋∞) D ．(－∞，1] 解析：若p 真，则a ≥e ；若q 真，则16－4a ≥0?a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e,4]．故选A. 答案：A 10．(2012年辽宁)设变量x ，y 满足??? x －y ≤10， 0≤x ＋y ≤20， 0≤y ≤15， 则2x ＋3y 的最大值为 ( ) A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 解析：可行域如图所示： 由????? y ＝15，x ＋y ＝20得A (5,15)，A 点为最优解， ∴z max ＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D 11．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．[－2,2) 解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立；当a ≠2时， 由????? a －2<0Δ＝4(a －2)2＋4×4(a －2)<0，解得－2 ∴符合要求的a 的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C 12．设A ＝{x |x －1 x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b | 条件，则实数b 的取值范围是 ( ) A ．－2≤b ≤2 B ．－2≤b <2 C ．－2 D ．b ≤2 解析：A ＝{x |－1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题p ：?x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定綈p 是______． 答案：?x ∈R ，f (x ) 14．(2012年安徽)若x ，y 满足约束条件??? x ≥0， x ＋2y ≥3， 2x ＋y ≤3， 则x －y 的取值范围 是________． 解析： ①作出可行域，如图中阴影部分； ②作出零线x －y ＝0并平移，判断A ，B 点坐标； ③由????? x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3解得A (1,1)，由????? 2x ＋y ＝3，x ＝0解得B (0,3)，∴(x －y )max ＝1 －1＝0，(x －y )min ＝0－3＝－3，∴x －y ∈[－3,0]． 答案：[－3,0] 15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的________条件． 解析：∵p ：x <－3或x >1，∴綈p ：－3≤x ≤1. ∵q ：2 16．已知命题p ：“?x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“?x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是______________． 解析：若p 真，则?x ∈[1,2]，? ???? 12x 2－ln x min ≥a ，∴a ≤12；若q 真，则(2a )2 －4×(－8－6a )＝4(a ＋2)(a ＋4)≥0，∴a ≤－4或a ≥－2，∴实数a 的取值范围为 (－∞，－4]∪??? ? ??－2，12. 答案：(－∞，－4]∪??? ? ??－2，12 三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．设全集U ＝R ，函数y ＝log 2(6－x －x 2)的定义域为A ，函数y ＝ 1 x 2－x －12 的定义域为B . (1)求集合A 与B ； (2)求A ∩B ，(?U A )∪B . 解：(1)函数y ＝log 2(6－x －x 2)要有意义需满足6－x －x 2>0，解得－3 1x 2－x －12 要有意义需满足x 2 －x －12>0，解得x <－3或x >4， ∴B ＝{x |x <－3或x >4}． (2)A ∩B ＝?，?U A ＝{x |x ≤－3或x ≥2}， ∴(?U A )∪B ＝{x |x ≤－3或x ≥2}． 18．我们知道，如果集合A ?S ，那么S 的子集A 的补集为?S A ＝{x |x ∈S ，且x ?A }．类似地，对于集合A ，B ，我们把集合{x |x ∈A ，且x ?B }叫做集合A 与B 的差集，记作A －B . 据此回答下列问题： (1)若A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，求A －B ； (2)在下列各图中用阴影表示集合A －B ； (3)若集合A ＝{x |0 2 解：(1)根据题意知A －B ＝{1,2}． (2) (3)A ＝{x |0＜ax －1≤5}，则1＜ax ≤6， 当a ＝0时，A ＝?，此时A －B ＝?，符合题意； 当a >0时，A ＝? ???? 1a ，6a ，若A －B ＝?，则6a ≤2，即a ≥3； 当a <0时，A ＝???? ?? 6a ，1a ，若A －B ＝?，则6a >－12，即a <－12. 综上所述：实数a 的取值范围是a <－12或a ≥3或a ＝0. 19．(1)求函数y ＝ 2x x 2＋1 在x >0时的最大值； (2)已知x ＋y ＋xy ＝2，且x >0，y >0，求x ＋y 的最小值． 解：(1)因为x >0，所以y ＝ 2x x 2＋1＝2 x ＋ 1x ， 而x ＋1x ≥2，故0<1x ＋1x ≤12，则0<2 x ＋1x ≤1， 当且仅当x ＝1 x 即x ＝1时，y 的最大值为1. (2)由xy ＝2－(x ＋y )及xy ≤? ????x ＋y 22 得 2－(x ＋y )≤(x ＋y )2 4， 即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. 解得x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3. 因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥23－2， 当且仅当x ＝y 且x ＋y ＋xy ＝2， 即x ＝y ＝3－1时，x ＋y 的最小值为23－2. 20．(2013届湖北省黄冈中学高三11月月考)已知p ：f (x )＝1－x 3，且|f (a )|<2；q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，且A ≠?. 若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围． 解：若|f (a )|＝|1－a 3|<2成立，则－6<1－a <6， 即当－5 若A ≠?，则方程x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0有实数根， 由Δ＝(a ＋2)2－4≥0，解得a ≤－4，或a ≥0， 即当a ≤－4，若a ≥0时q 是真命题； 由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假， p 真q 假时，????? －5 －4 ，∴－4 p 假q 真时，????? a ≤－5或a ≥7 a ≤－4或a ≥0，∴a ≤－5或a ≥7.故知所求a 的取值范围是 (－∞，－5]∪(－4,0)∪[7，＋∞)． 21．某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示： 超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大？ 解：设甲、乙两种产品每天分别生产x 吨和y 吨，则每天所得的产值为z ＝7x ＋10y 万元． 依题意，得不等式组????? 2x ＋8y ≤160， 3x ＋5y ≤150， 5x ＋2y ≤200， x ≥0，y ≥0. (※) 由????? 2x ＋8y ＝160，3x ＋5y ＝150， 解得????? x ＝200 7，y ＝90 7. 由????? 5x ＋2y ＝200，3x ＋5y ＝150， 解得????? x ＝700 19，y ＝150 19. 设点A 的坐标为? ????2007，907，点B 的坐标为? ???? 70019，15019，则不等式组(※)所表 示的平面区域是五边形的边界及其内部(如图中阴影部分)． 令z ＝0，得7x ＋10y ＝0，即y ＝－710x .作直线l 0：y ＝－7 10x .由图可知把l 0平移至过点B ? ?? ?? 70019，15019时，即x ＝70019，y ＝15019时，z 取得最大值6 40019. 答：每天生产甲产品70019吨、乙产品15019吨时，能获得最大的产值6 400 19万元． 22．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即x 10 ，0 (1)设y ＝ax ，其中a 是满足1 3≤a <1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)若y ＝2 3x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围． 解：(1)由题意知某商店定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、 每月售货金额分别是 p ? ????1＋x 10元，n ? ? ???1－y 10元，npz 元， 因而npz ＝p ? ? ???1＋x 10·n ? ?? ??1－y 10， ∴z ＝1 100(10＋x )(10－y )，在y ＝ax 的条件下， z ＝1100??? ???－a ? ????x －5(1－a )a 2＋100＋ 25(1－a )2a ， 由于1 3≤a <1，则0<5(1－a )a ≤10， 要使售货金额最大，即使z 值最大， 此时x ＝5(1－a ) a . (2)由z ＝1100(10＋x )? ? ???10－23x >1，解得0 2020-2021学年高一数学晚练（一） 命题人：范修团 时间：45分钟 满分：80分 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列各项中，能组成集合的是（ ） A ．高一（3）班的好学生 B ．嘉兴市所有的老人 C ．不等于0的实数 D ．我国著名的数学家 2.已知集合P ={|14}< 第 1 页 共 9 页 常用逻辑用语与不等式训练题 一、选择题： 1．a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式 0a c b d >>和ad bc <都成立的一组值（a ，b ，c ，d ）是 ．（只要写出适合条件的一组值即可） 2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{} 2|0x ax bx c φ++<≠”的 逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ） A ．都真 B ．都假 C ．否命题真 D ．逆否命题真 3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是 b a 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．若命题“p q ∧”为假，且“p ?”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 假 C ．q 真 D ．不能判断q 的真假 5．若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．1a b +≥ B ．1a ≥ C ．0.5,0.5a b ≥≥且 D ．1b <- 6．在△ABC 中，“?>30A ”是“2 1sin >A ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．命题:p 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件； 命题:q 函数y =的定义域是(][),13,-∞-+∞，则（ ） A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 8．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72 1 高考文科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ） A ．对任意x R ∈,使得20x < B ．不存在x R ∈,使得20x < C ．存在0x R ∈,都有2 00x ≥ D ．存在0x R ∈,都有2 00x < 【答案】A 2 ．（2013年高考四川卷（文））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ?∈∈,则 （ ） A ．:,2p x A x B ??∈∈ B ．:,2p x A x B ???∈ C ．:,2p x A x B ??∈? D ．:,2p x A x B ???? 【答案】C 3 ．（2013年高考湖南（文））“1 高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<-> 第1练集合与常用逻辑用语 [考情分析] 1.集合作为高考必考内容，命题较稳定，难度较小，常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低，其中充分必要条件的判断需要关注，常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题． 考点一集合的概念与运算 要点重组 1．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2. 2．A∩B＝A?A?B?A∪B＝B. 3．若已知A∩B＝?，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?或B＝?； 若已知A?B，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?. 1．(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则?U(A∪B)等于() A．{－2,3} B．{－2,2,3} C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3} 答案 A 解析∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}， ∴A∪B＝{－1,0,1,2}． 又U＝{－2，－1,0,1,2,3}， ∴?U(A∪B)＝{－2,3}． 2．(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C 解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素． 3．(2020·聊城模拟)已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－x －6≥0}，则A ∩(?R B )等于( ) A ．{x |2≤x <3} B ．{x |2 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A 版 复习寄语： 鲁甸县文屏镇中学高三第一轮复习资料 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： 集合与常用逻辑用语 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知集合A={x|x=2n —l ，n∈Z}，B={x|x 2一4x<0}，则A ∩B=（ ） A ．}1{ B ．}41{< 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 集合及其表示方法 一、复习巩固 1．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1，根据元素的互异性知其解集中有1个元素． 答案：B 2．下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( ) A ．P 是由元素1， 3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－ 3|构成的集合 B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合 C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序实数对(2,3)构成的集合 D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集 解析：由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合．而B ，C ，D 中P ， Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A. 答案：A 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a ，b .若集合A 与集 合B 相等，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 解析：由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a ＝－1，∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝ 2. 答案：C 4．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ?A C ．a ∈A D ．a ＝A 解析：由于集合A 中只含有一个元素a ，由元素与集合的关系可知，a ∈A ，故选C. 答案：C 5．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ?B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：∵a ∈A ，a ?B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 答案：D 6．若1－a 1＋a 是集合A 中的元素，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为________． 解析：由题意，得1－a 1＋a ＝a ，所以a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，所以a ＝－1± 2. 答案：－1± 2 7．已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，且1?A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1?A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2 8．用符号“∈”和“?”填空：0________N *，3________Z,0________N ，3＋2________Q ，4 3 ________Q . 解析：只要熟记常见数集的记法所对应的含义就很容易判断，故填?，?，∈，?，∈. 答案：? ? ∈ ? ∈ 9．若a 2＝3，则a ________R ；若a 2＝－1，则a ________R . 集合与常用逻辑用语、不等式试题 一、选择 1．设集合{}{} 2|lg(3),|540A x y x B x x x ==-=-+<，则A B = （ B ） A ．? B ．()3,4 C ．()2,1- D ．()4.+∞ 2．集合{}0,2,A a =,{} 21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为 ( D ) A.0 B.1 C.2 D.4 3．已知集合{}6,5,4=P ，{ }3,2,1=Q ，定义{}Q q P p q p x x Q P ∈∈-==⊕,,|，则集合Q P ⊕的所有真子集的个数为 （ B ） A ．32 B ．31 C ．30 D ．以上都不对 4．已知)(,13)(R x x x f ∈+=，若a x f <-|4)(|的充分条件是b x <-|1|，)0,(>b a ，则b a ,之间的关 系是 （ B ） A ．3 b a ≤ B ． 3 a b ≤ C ．3 a b > D ．3 b a > 5．下列说法错误的是 （ C ） A ．命题“若x 2 — 3x +2＝0，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2—3x +2≠0” B ．“x ＞1”，是“|x |>1”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 D ．若命题p ：“?x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”,则?p ：“?x ∈R ，均有x 2+x +1≥0” 6．集合{1,0,1}A =-,A 的子集中,含有元素0的子集共有 ( B ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 7．设集合A={x|1≤x ≤2},B={x|x ≥a }.若A ?B 则a 的范围是( B ) A. a <1 B. a ≤1 C. a <2 D. a ≤2 8．已知集合{}{} 4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为(D) A ．1,3-==y x B ．)1,3(- C ．{}1,3- D ．{})1,3(- 9．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．． 是( D ) A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 10．设,x y ∈R ，那么“0x y <<”是“1x y >”的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 第1课 集合与常用逻辑用语 本节主要考察以下几个方面： 1、考察求几个集合的交、并、补集； 2、通过给定的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力； 3、“命题及其关系” 主要考查四种命题的意义及相互关系；4、“简单的逻辑联结词”主要考查逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容；5、“全称量词与存在量词”主要考查对含有一个量词的命题进行否定；6、考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解。7、会用集合语言、分类讨论、数形结合（数轴、韦恩图解），探究集合问题，把握充要条件，实现命题的等价转换。 〖基点问题1〗（集合的运算） 例1、 已知集合{}1 349,46,(0,)A x R x x B x R x t t t ? ? =∈++-≤=∈=+ -∈+∞???? ，则 集合A B = ＿＿＿＿＿＿＿＿。 〖基点问题2〗（充分必要条件） 例2、设0＜x ＜ 2 π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的 （ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 〖基点问题3〗（复合命题真假的判定） 例3、已知命题p 1：函数y=2x -2-x 在R 上为增函数，p 2：函数y=2x +2-x 在R 上为减函数，则 在命题112212312q :p p ,q :p p ,q (p )p ∨∧?∨： 和412:p (p )q ∧?中，真命题是（ ） A.q 1,q 3 B.q 2,q 3 C.q 1,q 4 D.q 2,q 4 〖基点问题4〗（命题的否定与否命题） 例4、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数 〖热点考向1〗 例5、已知函数12cos 32 )4 ( sin 4)(2 --+=x x x f π ，且给定条件p :“ 2 4 π π ≤ ≤x ”,（1）求)(x f 的最大值及最小值 （2）若又给条件"2|)(|:"<-m x f q 且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。 《常用逻辑用语》 一、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是 （ ） A ．221,sin cos 222 x x x R ?∈+= B ．(0,),sin cos x x x π?∈> C ．2,1x R x x ?∈+=- D ．(0,),1x x e x ?∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨?（”为假命题，则（ ） A. p,q 均为假命题 B. p,q 均为真命题 C. p,q 中至少有一个为真命题 D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题： 1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π,1cos 22 x -=sinx 4p : sinx=cosy ? x+y=2π 其中假命题的是（ ） （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 4、给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④ 5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2 ＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( ) A ．“p∨q”为假 B ．“p∨q”为真 C ．“p∧q”为真 D ．以上都不对 6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是( ) 7、下列命题中的假命题．．． 是 ( ) A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 8、下列命题中的假命题是 （ ） A ．?x R ∈,120x -> B. ?*x N ∈,2(1)0x -> C ．? x R ∈,lg 1x < D. ?x R ∈,tan 2x = 9、有以下四个命题： ①ABC ?中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ②若命题:,sin 1,P x R x ?∈≤则:,sin 1p x R x ??∈>； ③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立； ④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。 其中真命题的序号 二、判断充分、必要条件 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课时作业1 集合的概念 知识点一 集合的概念 1.下列对象能组成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C 解析 对于A ，“著名”无明确标准；对于B ，“快”的标准不确定；对于D ，“高”的标准不确定，因而A ，B ，D 均不能组成集合．而对于C ，上海市的中学生是确定的，能组成集合． 2．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2＝|a |＝? ?? a (a >0)，－a (a ＜0)，所以组成的集合中有两个元素，故选B. 知识点二 元素与集合的关系 3.给出下列关系： ①1 2∈R ；②2?Q ；③|－3|?N ；④|－3|∈Q ；⑤0?N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 ①②正确；③④⑤不正确． 4．集合A 中的元素x 满足6 3－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 答案 0,1,2 解析∵ 6 3－x∈N，x∈N，∴当x＝0时， 6 3－x＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时， 6 3－x＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时， 6 3－x＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x＞3时， 6 3－x＜0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2. 知识点三集合中元素特性的应用 5.已知集合A由a，a＋b，a＋2b三个元素组成，B由a，ac，ac2三个元素组成，若集合A与集合B相等，求实数c的值． 解分两种情况进行讨论． ①若a＋b＝ac，a＋2b＝ac2，消去b，得a＋ac2－2ac＝0. 当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0.所以c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，不符合题意． ②若a＋b＝ac2，a＋2b＝ac，消去b，得2ac2－ac－a＝0. 由①知a≠0，所以2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0. 解得c＝－1 2或c＝1(舍去)，当c＝－ 1 2时， 经验证，符合题意． 综上所述，c＝－1 2. 易错点忽视集合中元素的互异性致误 6.方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集中含有几个元素？ 易错分析本题产生错误的原因是没有注意到字母a的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性． 正解x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x1＝1，x2＝a. 若a＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a≠1，则方程的解集中含有两个元素1，a. 专题1.2常用逻辑用语 【三年高考】 1. 【2017天津，理4】设，则“”是“”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】，但，不满足，所以是充分不必要条件，选A. 2．【2017山东，理3】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是 （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】试题分析：由时有意义，知p是真命题，由 可知q是假命题，即均是真命题，故选B. 3．【2017北京，理13】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一） 【解析】相矛盾，所以验证是假命题. 4．【2016高考浙江理数】命题“，使得”的否定形式是（） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】D 【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D． 5．【2016高考山东理数】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 【答案】A 6．【2016高考上海理数】设，则“”是“”的（） （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】，所以是充分非必要条件，选A. 7．【2015高考新课标1，理3】设命题：，则为( ) （A）（B）（C）（D） 【答案】C 【解析】:，故选C. 8.【2015高考湖北，理5】设，.若p：成等比数列； q：，则（） A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A 9.【2015高考重庆，理4】“”是“”的（） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，因此选B.第1章 集合与常用逻辑用语(一)
高三第一轮复习10----常用逻辑用语与不等式训练题
高考文科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语
高考数学不等式知识点总结及解题思路方法
第1练 集合与常用逻辑用语
《专题一常用逻辑用语》知识点归纳
高考数学易错题集锦 集合与常用逻辑用语
【高中数学】公式总结(均值不等式)
高中数学不等式知识点总结
2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法课时
集合与常用逻辑用语不等式试题一含答案
第1课 集合与常用逻辑用语
高中数学常用逻辑用语题型归纳
高中数学讲义 均值不等式
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念
2018高考数学专题12常用逻辑用语理!