北师大版数学归纳法教案(罗红霞)

北师大版高二数学选修2-2第二章

§4数学归纳法

江西省南昌市第十中学罗红霞【教材分析】

1.教材背景

数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式.《数学归纳法》是北师大版数学选修2-2第二章继学习完归纳与类比，证明方法中的综合法与分析法、反证法的基础上，在学生已具备归纳的思想，进一步学习证明方法的过程中学习本节知识的。

2.数学归纳法的地位和作用

人类对问题的研究，结论的发现，到结论的认同，思维的流程通常是观察—归纳—猜想—证明.猜想的结论对不对,证明尤为关键,数学归纳法在这起着非常重大的作用.在运用数学归纳法解题时,学生通常用到等式的恒等变形、不等式的放缩、数式形的构造与转化等，加强了对知识的掌握及能力的训练.而对数学归纳法原理的理解,蕴含着归纳与推理、特殊到一般、有限到无限、递推等数学思想和方法，对思维的发展起到完善和推动的作用。

【教学目标】

1.知识目标

（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确．

（2）初步理解数学归纳法原理．

（3）理解和掌握用数学归纳法证明数学命题的两个步骤．

（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式．

2.能力目标

（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力．

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力．3.情感目标

（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神．

（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学．（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神．

【教学重点】

（1）初步理解数学归纳法的原理．

（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤．

（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式．

【教学难点】

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性．

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确．

【教学方法】类比启发探究式教学方法

【教学手段】多媒体辅助课堂教学

【教学过程】

一、创设情境，提出问题

情境一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字，当老师教他写字的时候，告诉他写一、二、三时，财主的儿子很高兴，告诉老师他会写字了…．

这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是我们已学过的“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．

在以前的学习过程中，我们有没有像财主儿子那样猜想过某些结论呢？

情境二：学生共同回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：

112131431,,2,3,,(1)n a a a a d a a d a a d a a n d

==+=+=+=+-

这个结论我们知道是正确的．其实，我们推导等差数列的通项公式的方法与财主儿子猜想数字写法的方法都是归纳法，那么什么是归纳法？归纳法有什么特点？

像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法．

教师问：完全归纳法得出的结论可靠吗?不完全归纳法得出的结论可靠吗?

情境三：已知数列{}n a 满足1n a +＝

12n a -（n ∈N ），10a =，你能尝试得出{}n a 通项公式吗？ 学生计算出212a =，323a =，434a =，…，由此猜想1(1,2,n n a n n

-==…）， 教师问：这个结论正确吗？

小结：这些用有限多个特殊事例得出的结论，有的正确，有的不正确．因此不能作为论证的方法．如何证明这类有关正整数n 的命题呢？对于这类问题的证明方法可能不只一种，但今天我们要学的数学归纳法是证明这类问题的一种好方法．

【设计意图】：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题，谈笑间进入正题.再通过情境二梳理我们熟悉的一些问题，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法．情境三通过学生探究尝试，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.

二、解决问题，得到新知

1、类比数学问题, 激起思维浪花

下面我们来领会数学归纳法的基本思想：

实例：播放多米诺骨牌录像

关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下．

于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．

搜索：再举生活事例：同学们自己放在车库的自行车，排列整齐的一列自行车全被推倒的场景． 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=(师生共同完成,教师强调步骤及注意点).

(1) 当n ＝1时等式成立；

(2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=,

则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立．

于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立．

【设计意图】：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里学生通过类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，建立数学模型，探究出证明有关正整数命题的方法，

让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．

2、探索新知，形成概念

数学归纳法概念:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法．

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；

(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.

由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确．

三、例题示范，形成技能

例1、用数学归纳法证明情境三的猜想结论成立．

证明：（1）当n ＝1时，左边01==a ，右边01

11=-=

，等式成立． （2）假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即k k a k 1-=成立． 那么，当n ＝k +1时，

11)1(1121211+-+=+=--=-=+k k k k k

k a a k k ． 这就是说，当n ＝k +1时等式成立．

根据（1）和（2），可知猜想n

n a n 1-=对任意正整数n 都成立． 例2、用数学归纳法证明：ααn n +≥+1)1(（其中1α>-，n 是正整数）．

证明：（1）当n ＝1时，左边=1α+，右边=1α+．所以，当n ＝1时，命题成立．

（2）假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即ααk k +≥+1)1(．

那么，当n ＝k +1时，因为1α>-，所以10α+>．

根据假设知，ααk k +≥+1)1(，所以

2

1)1(1)

1)(1()

1()1()1(αααααααk k k k k +++=++≥++=++

由于02≥αk ，所以 ααα)1(1)1(12++≥+++k k k ．

从而 αα)1(1)1(1++≥++k k ．

这表明，当n ＝k +1时命题成立。根据（1）和（2），该命题成立.

【设计意图】：通过典型例题使学生更好的掌握数学归纳法及其应用．例题一一方面从情境三由体验“观察—归纳—猜想”到完成证明这个过程，让学生领会归纳法和数学归纳法的应用．例题二是数学归纳法在不等式中的应用，进一步巩固数学归纳法，同时更好的体现了数学归纳法的应用价值．

四、反馈练习, 巩固提高

1、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ．

2、数列{}n a 中, 1a ＝1, n

n n a a a +=+11(n ∈*N ), 求出{}n a 的通项公式． 探讨一：观察数列{}n a 特点，变形解出.

探讨二：先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后用数学归纳法证明结论．

3、用数学归纳法证明下列各题时，下列推证是否正确，说出理由。若是不对，如何改正.

（1）用数学归纳法证明： 126422

++=++++n n n 。

证明：假设k n =时，等式成立，就是 126422++=++++k k k 成立 那么()122642++++++k k ()1212++++=k k k =()()1112

++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立，

所以*N n ∈时等式成立.

（2）用数学归纳法证明：231

11111()22222

n n =- ＋＋＋＋ 证明：①当n =1时，左边＝21 右边＝212111=??

? ??-，等式成立. ②设n =k 时，有k k

)21(12121212132-=＋＋＋＋

那么，当n=k +1时，有 1113221121

1211212

121212121+++??? ??-=-??????????

? ??-=+k k k k ＋＋＋＋ ，即n=k+1时，命题成立 根据①②可知，对n ∈N ＊，等式成立.

【设计意图】：练习题1、2、3的难度不大.题1套用数学归纳法的证明步骤不难解答，达到继续巩固的目的；题2培养学生独立研究数学问题的意识和能力，使他们体验不同的数学方法，同时也考察他们解决问题的灵活性；题3的易错辨析，进一步让学生体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论，缺一不可. 通过这三个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补

充．

五、小结全课，概括提升

1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；归纳法它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；

2、使用数学归纳法时需要注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

六、布置作业，巩固提高

P习题1-4：1、3

课本

19

教学设计说明：

1、数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

2、在教学过程中，运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可，这是本节课的重点，学生必须在课堂上很好的掌握．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件，这是本节课的难点，这些内容在下一课时能得到更好地体现，这种理解既能使我们正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．

3、在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．

4、在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得所学知识让学生更易于理解和接受。课堂教学与现代教育技术有机整合，大大提高课堂效率。