高考数学专题3第2讲

第2讲参数法在解题中的应用

[方法精要] 在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法．

应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某

些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果．

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已经比较普遍．参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题．

题型一参数法在函数问题中的应用

例1 定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求f(0)；

(2)求证：f(x)为奇函数；

(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

破题切入点(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决．

(2)将恒成立问题转化成函数最值问题． (1)解 令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)， 即f (0)＝0.

(2)证明 令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．

(3)解 方法一 因为f (x )在R 上是增函数， 又由(2)知f (x )是奇函数．

f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，

所以k ·3x <－3x ＋9x

＋2，

32x

－(1＋k )·3x

＋2>0对任意x ∈R 成立．

令t ＝3x

>0，问题等价于t 2

－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2

－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，

当

1＋k

2

<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k

2

≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立??????

1＋k 2

≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1

≤k <－1＋2 2.

综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x

－2)<0对任意x ∈R 恒成立． 方法二 由k ·3x <－3x ＋9x ＋2，得k <3x

＋23

x －1.

u ＝3x ＋23

x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1，

要使对x ∈R ，不等式k <3x

＋23x －1恒成立，

只要使k <22－1.

题型二 参数法在数列问题中的应用

例2 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 2

2＋a 2

3＝a 2

4＋a 2

5，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)试求所有的正整数m ，使得

a m a m ＋1

a m ＋2

为数列{a n }中的项． 破题切入点 求特定量的取值，往往需要引入参数，根据题中的条件找出参数与所求量之间

的数量关系，利用条件求参数的取值或取值范围，进而求出特定量． 解 (1)设公差为d ，则a 2

2－a 2

5＝a 2

4－a 2

3， 由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)， 因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0， 又由S 7＝7得7a 1＋7×6

2d ＝7，

解得a 1＝－5，d ＝2.

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －7， 前n 项和S n ＝n 2

－6n . (2)因为a n ＝2n －7， 所以

a m a m ＋1a m ＋2＝(2m －7)(2m －5)

(2m －3)

， 设2m －3＝t ，则

a m a m ＋1a m ＋2＝(t －4)(t －2)t ＝t ＋8

t

－6， 所以t 为8的约数．

又因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1，

当t ＝1时，m ＝2，t ＋8

t

－6＝3,2×5－7＝3＝a 5是数列{a n }中的项；

当t ＝－1时，m ＝1，t ＋8

t

－6＝－15，

数列{a n }中的最小项是－5，故不是数列中的项． 所以满足条件的正整数m 的值是m ＝2. 题型三 参数法在不等式中的应用

例3 已知2x ＝3y ＝5z

，试比较2x 、3y 、5z 的大小．

破题切入点 本题的解决需要引入中间变量t (参数)，必须使得x ，y ，z 都能用这个参数t 表示，而后通过作差即可进行大小的比较． 解 设2x ＝3y ＝5z

＝t (t >1)， 则x ＝log 2t ，y ＝log 3t ，z ＝log 5t ， 所以2x －3y ＝2log 2t －3log 3t ＝lg t 2

lg 2－lg t 3

lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2lg 3×lg 2) ＝lg t (lg 9－lg 8lg 3×lg 2)，

因为lg t >0，lg 9－lg 8

lg 3×lg 2

>0，

所以lg t (lg 9－lg 8

lg 3×lg 2)>0，

所以2x >3y ；

同理5z －2x ＝lg t (lg 32－lg 25

lg 2×lg 5)>0，

所以5z >2x >3y .

题型四 参数法在解析几何中的应用

例4 (2013·浙江)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)． (1)求抛物线C 的方程；

(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO 、BO 分别交直线

l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．

破题切入点 (1)已知抛物线焦点坐标为F (0,1)，可直接写出抛物线方程；(2)利用根与系数的关系和函数的单调性求最值． 解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2

＝2py (p >0)，则p

2＝1，

所以抛物线C 的方程为x 2

＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由???

??

y ＝kx ＋1，x 2

＝4y

消去y ，整理得x 2

－4kx －4＝0，

所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2

＋1.

由?????

y ＝y 1x 1

x ，y ＝x －2，

解得点M 的横坐标x M ＝

2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－

x 214＝8

4－x 1

. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2

. 所以|MN |＝2|x M －x N |

＝2????

?

?84－x 1－84－x 2 ＝82??

??

?

?x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16

＝

82k 2

＋1

|4k －3|

.

令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋3

4

.

当t >0时，|MN |＝2225

t

2

＋6

t

＋1>2 2.

当t <0时，|MN |＝22

? ??

??5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－4

3时，

|MN |的最小值是8

5

2.

总结提高 数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍，而且在解题中，参数的选取多种多样，设参数而不求参数，只是利用其作为中间变量辅助计算，是常见的形式．其综合性强，知识面广，一般都需要根据问题的条件作出透彻分析，才能恰当的选取参数，然后利用参数提供的信息，顺利解答问题．

1．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B

解析 ∵x >0，y >0，

∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xy

x ＋y

，

而

x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )

x ＋y

＝2，

∴当且仅当x ＝2y 时，? ??

??

x ＋22xy x ＋y max ＝2.

∴λ的最小值为2.

2．在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组???

0≤x ≤2，

y ≤2，

x ≤2y

构成，若M (x ，y )为D

上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →

的最大值是( )

A ．42

B ．32

C ．4

D ．3

答案 C

解析 如图作出区域D ，目标函数z ＝2x ＋y 过点(2，2)时取最大值，故z 的最大值为2×2＋2＝4，故选C.

3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B

解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π

3＋m )，

它关于y 轴对称可得sin(π

3＋m )＝±1，

∴π3＋m ＝k π＋π

2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π

6，k ∈Z ，

∵m >0，∴m 的最小值为π

6

.

4．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2

＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(2，＋∞)

C ．(－1,2)

D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

答案 D

解析 ∵t ∈[2，8]，

∴f (t )∈????

??12，3. 原题转化为当m ∈????

??12，3时，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)＋(x －2)2

>0恒成

立．

令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2

，m ∈????

??12，3，

问题转化为g (m )在m ∈????

??12，3上恒大于0， 则?????

g ? ????12>0，g (3)>0，

即?????

12

(x －2)＋(x －2)2>0，

3(x －2)＋(x －2)2>0.

解得x >2或x <－1.

5．设函数f (x )＝e x

＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若曲线y ＝sin x 上存在(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．[e －1

－1,1] C ．[1，e ＋1] D ．[e －1－1，e ＋1]

答案 A

解析 曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则y 0∈[－1,1]，考查四个选项，B ，D 两个选项中参数值都可取0，C ，D 两个选项中参数都可取e ＋1，A ，B ，C ，D 四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e ＋1时是否符合题意，即可得出正确选项，当a ＝0时，

f (x )＝e x ＋x ，此时是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y 0∈[0,1]时f (f (y 0))＝y 0

是否成立，由于f (x )＝e x

＋x 是一个增函数，可得出f (y 0)≥f (0)＝1，而f (1)＝e ＋1>1，故a ＝0不合题意，由此知B ，D 两个选项不正确．当a ＝e ＋1时，f (x )＝e x

＋x －e －1此函数是一个增函数，f (1)＝e ＋1－e －1＝0，而f (0)没有意义，故a ＝e ＋1不合题意，故C ，D 两个选项不正确．综上讨论知，可确定B ，C ，D 三个选项不正确．

6．已知函数f (x )＝5|x |

，g (x )＝ax 2

－x (x ∈R )，若f [g (1)]＝1，则a ＝________. 答案 1

解析 因为f [g (1)]＝1＝50

，

所以g (1)＝0，即a －1＝0，所以a ＝1.

7．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2

＋(y －a )2

＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________. 答案 4±15

解析 根据题意，圆心到直线ax ＋y －2＝0的距离为3， 所以|a ＋a －2|

a 2

＋1

＝3，解得a ＝4±15. 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．

(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．

解 (1)由?

??

??

y ＝2x －4，

y ＝x －1得圆心C 为(3,2)，

∵圆C 的半径为1，

∴圆C 的方程为(x －3)2

＋(y －2)2

＝1，

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 即kx －y ＋3＝0， ∴

|3k －2＋3|k 2

＋1

＝1，∴|3k ＋1|＝k 2

＋1， ∴2k (4k ＋3)＝0，∴k ＝0或k ＝－3

4

，

∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－3

4x ＋3，

即y ＝3或者3x ＋4y －12＝0.

(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以，设圆心C 为(a,2a －4)，

则圆C 的方程为(x －a )2

＋[y －(2a －4)]2

＝1， 又∵MA ＝2MO ，∴设M 为(x ，y )， 则x 2

＋(y －3)2

＝2x 2

＋y 2， 整理得：x 2

＋(y ＋1)2

＝4.

此圆设为圆D ，∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上， 即圆C 和圆D 有交点，

∴|2－1|≤a 2

＋[(2a －4)－(－1)]2

≤|2＋1|， 由5a 2

－12a ＋8≥0得a ∈R ； 由5a 2

－12a ≤0得0≤a ≤125.

综上所述，a 的取值范围为[0，12

5

]．

9．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1

a m

≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明

理由．

解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，

则由已知可得?

????

a 31

q 3

＝125，

|a 1q －a 1q 2

|＝10，

解得?????

a 1＝53，q ＝3

或?????

a 1＝－5，

q ＝－1.

故a n ＝53·3n －1或a n ＝(－5)·(－1)n －1

.

(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35? ??

??13n －1

，

故数列????

??1a n 是首项为35，公比为1

3的等比数列．

从而∑n ＝1

m

1a n ＝35?

?????1－? ????13m 1－13＝910·??????1－? ????13m <910<1.

若a n ＝(－5)·(－1)

n －1

，则1a n ＝－15

(－1)n －1

，

故数列????

??1a n 是首项为－1

5，公比为－1的等比数列，

从而∑n ＝1m

1

a n ＝?????

－15

，m ＝2k －1(k ∈N *)，

0，m ＝2k (k ∈N *).

故∑n ＝1

m

1

a n

<1.

综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1

m

1

a n

<1.

故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2

＋…＋1

a m

≥1成立．

10．已知函数f (x )＝x 4

－3x 2

＋6. (1)讨论f (x )的单调性；

(2)设点P 在曲线y ＝f (x )上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程． 解 (1)f ′(x )＝4x 3

－6x ＝4x (x ＋62)(x －6

2

)， 令f ′(x )>0得－

626

2

；

令f ′(x )<0得x <－

62或0

. 因此，f (x )在区间(－62，0)和(6

2

，＋∞)为增函数； 在区间(－∞，－

62)和(0，6

2

)为减函数． (2)设点P (x 0，f (x 0))，由l 过原点知，

l 的方程为y ＝f ′(x 0)x ，

因此f (x 0)＝f ′(x 0)x 0，

即x 4

0－3x 2

0＋6－x 0(4x 3

0－6x 0)＝0， 整理得(x 2

0＋1)(x 2

0－2)＝0， 解得x 0＝－2或x 0＝ 2.

所以所求的方程为y ＝－2x 或y ＝2x . 11．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8＋1.

(1)求f (x )的最小正周期．

(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，4

3]时y ＝g (x )的最大

值．

解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π

4x

＝

32sin π4x －32cos π

4

x ＝3sin(π4x －π3)

故f (x )的最小正周期为T ＝

2π

π4

＝8. (2)在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．

由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π

3]

＝3sin[π2－π4x －π

3

]

＝3cos(π4x ＋π

3

)，

当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π

3，

因此y ＝g (x )在区间[0，4

3

]上的最大值为

g (x )max ＝3cos π3＝

32

. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

3

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与

直线y ＝x ＋2相切． (1)求椭圆方程；

(2)设该椭圆的左，右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，

l 2与l 1交于点P ，求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．

解 (1)由于e ＝33，∴e 2

＝c 2

a 2＝a 2

－b 2

a 2＝13

，

∴b 2a 2＝2

3

， 又b ＝

2

1＋1

＝2， 所以a 2

＝3，b 2

＝2，

所以所求的椭圆方程为x 23＋y 2

2

＝1.

(2)由(1)知F 1和F 2两点的坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 由题意可设P (1，t )(t ≠0)． 那么线段PF 1中点为N (0，t

2)，

设M (x ，y )是所求轨迹上的任意点．

由于MN →＝(－x ，t 2－y )，PF 1→

＝(－2，－t )，

则???

??

MN →·PF 1→＝2x ＋t (y －t 2)＝0，y ＝t ，

消去参数t 得y 2

＝－4x (x ≠0)．

所以点M 的轨迹方程为y 2

＝－4x (x ≠0)，其轨迹为抛物线(除原点)．