matlab5二次规划问题

二次规划的标准形式为：

min (1/2)X’HX+f’X

约束条件：Ax≤b Aeqx=beq，lb≤x≤ub，其中：f、b、beq、lb、ub、x是矢量，H、 A、Aeq为矩阵。

在MATLAB中可以使用quadprog函数来求最小值。

调用格式:

x=quadprog (H,f,A,b)

x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq)

x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x=quadprog

(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,P1,P2,…) [x,fval]= quadprog (…)

[x,fval,exitflag]= quadprog (…)

[x,fval,exitflag,output]= quadprog (…)

[x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog (…) fval为目标函数的最优值；其中：H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值；x0为初值；Aeq,beq 满足等式约束Aeq.x=beq；lb,ub满足lb lambda是Lagrange乘数，它体现有效约束的个数；output输出优化信息；exitflag为终止迭代的条件：若

exitflag>0，表示函数收敛于解x；若exitflag=0,表示超过函数估值或迭代的最大次数；exitflag<0表示函数不收敛于解x；output为优化信息：若参数output=iterations表示迭代次数，

output=funccount表示函数赋值次数，

output=algorithm表示所使用的算法。

例0-6 计算下面二次规划问题

minf（x）= (1/2)x1^2+x2^2- x1x2-2x1-6x2

约束条件： x1+x2≤2

-x1+x2≤2，

2x1+x2≤3；

x1≤0； x2≤0

解：把二次规划问题写成标准形式：(1/2)XTHX+fTX 这里：

H= 1 -1 f= -2 X= x1

-1 2 -6 x2

在命令窗口键入命令：

>>H=[1 –1;-1 2];

>>f=[-2;-6];

>>A=[1 1;-1 2;2 1];

>>b=[2;2;3];

>>lb=[zeros(2,1)];

>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)

运行以上命令得到的显示结果如下：

x= %最优值点 §3 二次规划模型 数学模型： ub x lb beq x Aeq

b

x A x f Hx x T T x ≤≤=?≤?+2

1min

其中H 为二次型矩阵，A 、Aeq 分别为不等式约束与等式约束系数矩阵，f,b,beq,lb,ub,x 为向量。

求解二次规划问题函数为quadprog( )

调用格式： X= quadprog(H,f,A,b)

X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)

X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

[x,fval]= quadprog(…)

[x,fval,exitflag]= quadprog(…)

[x,fval,exitflag,output]= quadprog(…) [x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog(…)

说明：输入参数中，x0为初始点；若无等式约束或无不等式约束，就将相应的矩阵和向量设置为空；options 为指定优化参数。输出参数中，x 是返回最优解；fval 是返回解所对应的目标函数值；exitflag 是描述搜索是否收敛；output 是返回包含优化信息的结构。Lambda 是返回解x 入包含拉格朗日乘子的参数。

例1：求解：二次规划问题

min f(x)= x 1-3x 2+3x 12+4x 22

-2x 1x 2

s.t 2x1+x2≤2

-x1+4x2≤3

程序：f=[1;-3]

H=[6 -2;-2 8]

A=[2 1;-1 4]

b=[2;3]

[X,fval,exitflag]=quadprog(H,f,A,b)

结果：X =

-0.0455

0.3636

fval =

-0.5682

exitflag =

1

例2：求解：二次规划问题

min +x12+2x22-2x1x2-4x1-12x2

s.t x1+x2≤2

-x1+2x2≤2

2x1+x2≤3

0≤x1, 0≤x2

程序：H=[2 -2;-2 4];

f=[-4;-12];

A=[1 1;-1 2;2 1];

b=[2;2;3];

lb=zeros(2,1);

[x,fval,exitflag]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)结果：x =

0.6667

1.3333

fval =

-16.4444

exitflag =

1