改进求解凸二次规划中的Lemke算法
改进求解凸二次规划中的Lemke 算法
张璐
辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000）
E-mail:zhanglu85517@https://www.360docs.net/doc/f15289965.html,
摘 要：通过对经典的Lemke 互补转轴算法求解凸二次规划问题的分析，找到了Lemke 算法的局限性。本文在Lemke 算法求解线性互补问题的基础上修正了经典的Lemke 算法的迭代过程，提出了一种改进的Lemke 算法，通过算例证明了算法能有效克服解的局限性，减少了凸二次规划问题的迭代过程，提高了算法的效率。
关键词：非线性规划；凸二次规划；线性互补问题；Lemke 算法
1．引言
二次规划问题是最简单而又最基本的非线性规划问题，其目标函数是二次函数，约束是线性等式或不等式。对于二次规划问题，可行域是凸集，所以当目标函数是凸函数时，任何K-T 点都是二次规划问题的极小点。研究二次规划问题的算法不仅仅是为了解决二次规划问题本身，同时也是为了更好的求解其他非线性规划问题。因为大多数最优化方法是从二次函数模型导出的，这种类型的方法在实际中常常是有效的，其主要是因为一般函数的极小点附近常可用二次函数很好地进行近似。由于二次规划是特殊的非线性规划，因此求解非线性规划问题的方法均可用于二次规划问题的求解。同时，由于二次规划本身的特殊性，对它的求解可以采用一些更有效的方法[1]。因此，不论从数学角度还是应用角度来看，二次规划问题的研究都具有重要意义。到目前为止，已经出现了很多求解二次规划问题的算法，并且现在仍有很多学者在从事这方面的研究工作。所以，需要我们对现存的有效的求解二次规划问题的算法进行改进，得到新的求解算法来克服某些算法的缺点，并且给出具体的实例显示该算法的有效性。本文主要研究凸二次规划的求解算法，以及线性互补问题的性质等相关问题。对Lemke 算法进行进一步研究，对它可能出现退化的原因和迭代过程以及局限性进一步分析。本文通过分析经典的Lemke 互补转轴算法求解含有等式约束的凸二次规划问题可能出现退化的原因，修正了Lemke 算法的迭代步骤，提出了一种改进的Lemke 算法。通过求解具体实例，说明了改进算法求解凸二次规划问题的有效性[2]。
2．Lemke 算法介绍
2.1 Lemke 算法的基本思想
Lemke 算法的基本思想是，由一个准互补基本可行解出发，通过转轴方法（即主元消去）求出一个新的准互补基本可行解[3]。这个过程可以不断地迭代，力争使变量0z 称为非基变量，或者得到一个判据，说明问题(3-3)和(3-4)可行域无界。转轴方法（主元消去）遵循以下规则：
（1）保持可行性 按照最小比值规则确定离基变量。
（2）保持准互补性 若i w (或i z )是离基变量，则i z (或i w )是进基变量。
2.2 Lemke 方法的计算步骤
（1）若0q ≥，则停止计算，(,)(,0)w z q =是互补基本可行解；否则，用表格形式表示成方程组，设
max{1,,}i i q q i m n ?=?=???+
取s 行为主行，0z 对应的列为主列，进行主元消去，令s s y z =。
（2）设在现行表中变量s y 下面的列为s d ．若0s d ≤，则停止计算；否则，按最小比值规则确定指标r ，使
min |0i i is rs is q q d d d ????=>??????
如果r 行的基变量是0z ，则转步骤（4）；否则，进行步骤（3）。
（3）设r 行的基变量为l w 或l z （对于某个l s ≠），变量s y 进基，以r 行为主行，s y 对应的列为主列，进行主元消去。如果离基变量是l w ，则令s l y z =；如果离基变量是l z ，则令s l y w =。转步骤（2）。
（4）变量s y 进基，0z 离基。以r 行为主行，s y 对应的列为主列，进行主元消去。得到互补基本可行解，停止计算[4]。
2.3 Lemke 互补转轴算法的局限性分析
首先，这一算法满足于一个互补基本可行解。所以用它不可能求得线性互补问题的多个解。
其次，这一算法的收敛条件很强，限制了它的使用范围。
此算法的收敛定理：
(1) 0z ?≥均有0T z Mz ≥．而且0(0)T z Mz z =≥蕴涵()0T
M M z +=。(M is said to be copositive-plus)；
(2) 每一个准互补基本可行解(almost complementary basic feasible solution)均非退化。 若式(2)与(1)相容，则Lemke 互补转轴算法终止于一个互补基本可行解；若不相容，则终止于射线，条件(1)很强，而且不易检查。但可以指出：若M 的主对角线上出现负元素，则条件(1)必不满足[5,6,7]。 3．改进算法研究
3.1改进的Lemke 算法的基本思想
本文研究的改进算法主要是求解线性互补问题，虽然向量q 都有负向量，然而不必引入人工向量0z ，可以通过一个简单公式算的一个互补基本可行解。
定理3.1 设矩阵M 的第k 列无负元素，即0k M >。若对应于q 的负分量(0i q <)，都有0ik m >，而且
max 0i k i ik kk q q q m m ????<=?
??? （3-1） 则线性互补问题有一个互补基本可行解
/k k kk
i ik k i
z q m w m z q =?=+ ，1,,,i p i k =???≠ （3-2）
其余变量均为零。
证明：将线性互补问题列表(如表3-1)
表3-1 互补问题基本表格
Tab.3-1 Complementary problem basis table
基 w 1 … w k … w p z 1 … z k … z p q
w 1 1 … 0 … 0 -m 11 … -m 1k … -m 1p q 1 … … … … … … … … … … … … w k 0 … 1 … 0 -m k1 … -m kk … -m kp q k … … … … … … … … … … … …
w p 0 … 0 … 1 -m p1 … -m pk … -m pp
q p 以kk m ?为主元迭代一次后，基变量的值即为(3-2)。由(3-1)和(3-2)可以得到 0k z >，0i ik k i w m z q =+>，1,,,i p i k =???≠。因而由(3-2)给出线性互补问题的一个互补基本可行解（非基变量均为零）。
下面讨论离基变量的选取与进基变量的确定。
设初始解(0)(0)(0)(0)(0)11(,,,,,)n n Z
w w z z =??????其中(0)(0)0i i w z =(1,,)i n =???，不妨设其中的两个分量(0)t w 和(0)s
z ()t s ≠为负数（对一个或多个分量为负的情形可以类推）。显然，离基变量要在(0)t w 和(0)s z 中产生。同时，进基变量要在(0)s w 和(0)t z 中产生。由矩阵的初等行变
换知识可知，(0)t z 和(0)s w 进基后理论上的值应为(1).t t
t t q z M =或(1)s s ss q w M =（其中ij M 为系数矩阵M 中元素）。显然，进基后的(1)t z 或(1)s w 的值为非负时，解的结构才有所改善。若
(1)0t z ≥，(1)0s w <，则选取(0)t w 为离基变量；若(1)0t z <，(1)0s w ≥，则选取(0)s z 为离基变量。不妨记以上离基规则为最大正互补变量规则。
3.2改进的Lemke 算法的算法证明
（1）算法的可行性分析
定义3.1：如果基本可行解中只有一对分量都不是基变量，而其余各对分量都有一个，而且刚好有一个为基变量的，称为特互补基本可行解。其中，一对分量指i w ，i z ，即w ，z 有相同的足标的一对分量。
定义3.2：一个特互补基本可行解中如果大于0的分量个数少于原互补问题的阶数，则称为其退化的互补基本可行解。
定义3.3：取非基对的一个变量足标定为主元列号，经一个主元消去步骤便可得出另一个特互补基本可行解。用这种方法得到的新的特互补基本可行解称为相邻的特互补基本可行解。
定理3.2：一个线性互补问题，若它是非退化的，则任何一个特互补基本可行解最多有两个相邻的特互补基本可行解。
证明：我们只要证明对于非退化问题进行一个主元消去步时，主元行号唯一就可以了。事实上，
00min i ik
s i r q rk sk ik m q q q m m m <
如取r 为主元行号，则
0r s s sk rk
q q
q m m =?=% 与问题无退化特互补基本可行解矛盾。 我们把线性互补问题中矩阵M 的元素记为ij m ，而右端项各分量记为i q ，记主元消去
后的新值为i q
%。 由定理3.2我们知道，如果每次迭代我们把k w 或k z 定死，则所产生的邻点是唯一的。
（2）下面讨论这些关于离、进基变量的选取所采用的规则的合理性。
从几何上看，w Mz q ?=的每一个等式约束均为2p R 空间中的一个超平面。若
w Mz q ?=有解，它的解集为这些超平面形成的凸多面体的棱。而满足互补条件0T w z =的
解则为这些凸多面体的顶点，我们所考虑的迭代则是从它的一个顶点旋转到另一个顶点。由于它的顶点个数有限，因此有结论：若凸二次规划有解，则采用最大互补变量规则，经有限步迭代必能求得相应的线性互补问题的非负互补解，从而得到凸二次规划的解。
3.3改进的Lemke 算法的计算步骤
第一步 若0q ≥，则停止计算，(,)(,0)w z q =是互补基本可行解。
第二步 如果不满足0q ≥，但矩阵M 的第k 列都为正元素，即0ik M >。若对应于q 的负分量(0i q <)，都有0ik m >，而且
max 0i k i ik kk
q q q m m ????<=???? 则线性互补问题有一个互补基本可行解
/k k kk
i ik k i
z q m w m z q =?=+，1,,,i p i k =???≠ 其余变量均为零。若矩阵M 有多个列都为正元素，则可有多个互补基本可行解，选取最优
解。 第三步 若不满足0q ≥，且矩阵M 的每列不全为负元素，设
{}(0)(0)(0)min 0,1,,r i i q q q i p =<=???
取r 行为主行，则取(0)r z 作为入基变量，对应的(0)
r w 作为出基变量(1,,r p =???)，即取主元(0)rr d 。对系数矩阵作进行主元消去变换，令(0)(0)
r r w z =。对基向量中()k t z 或()k t w 有负分量，求出其负分量的互补变量()()
().k k t t k t t q w M =或()()().k k t t k t t
q z M =（其中()k ij m ，()k t q 分别为第k 次迭代时M 的系数矩阵和右端列中负元素，且t j ≠），置0k =。若()k t q 均为非负元素，则停止
计算取基向量的值为()
k t q 。设否则，转第三步。
第四步 在第三步中，在互补变量中挑选出最大的正分量()k t
w 或()k t z (t r ≠)作为入基变量，对应的()k t z 或()k t
w 作为出基变量，取()k tt d 为主元对系数矩阵作消元变换。置1k k =+，
转第三步。 4．改进算法在求解凸二次规划中的实例分析
例4.1 求解下面的凸二次规划
22112212
121212min ()2812810..210
242
,0
f x x x x x x x s t x x x x x x =++???+≤?+≤?≥
解：本题中已知数据如下 24412H ??=????
，810c ???=?????，1224A ???=?????，102b ??=?????， 化成线性互补问题得到
001200024122424412T A M A H ???????????==????????????，102810b q c ?????????==????????????
， y w v ??=????，u z x ??=????
解法一：根据经典的Lemke 互补转轴算法，在引入人工变量后，经过4次迭代过程，得到
互补基本可行解(14,6,0,6),(0,0,4,0)T T
w z ==。
解法二：根据改进的算法，矩阵M 的第三列无负元素，而且 33332810max 0max /,,,224i i i q q q m m ??????<==????????
利用算法的步骤二，线性互补问题有一个基本可行解
3333/4z q m =?=，1441014w =×+=，22426w =×?=
444106w =×?=，31240w z z z ====
即(14,6,0,6),(0,0,4,0)T T
w z ==为线性互补问题的一个基本可行解。所以最优解(4,0)x ?=。
例4.2 求解如下凸二次规划问题：
22112212
1212min ()221010..326
,0f x x x x x x x s t x x x x =?+????≥?≥
解：有本题得到如下数据
21110H ???=?????，110c ???=?????
，[]32A =??，6b =? 化成线性互补问题有：
21311020320T
H A M A ????????==?????????????，1106c q b ???????==???????????? 11223321311102103206w z w z w z ??????????????????=?+????????????????????
???????
0T w z =，0w ≥, 0z ≥, 3,w z R ∈
解法一：利用原始的Lemke 互补转轴算法求得
表4-1 经典的Lemke 算法的初始表
Tab.4-1 The initial table of classical Lemke algorithm
基向量 w 1 w 2 w 3 z 1 z 2 z 3 z 0 q w 1 1 0 0 -2 1 -3 -1 -1 w 2 0 1 0 1 -10 -2 -1 -10 w 3 0 0 1 3 2 0 -1 6
表4-2 经典的Lemke 算法的迭代表1
Tab.4-2The first iterated table of classical Lemke algorithm
基向量 w 1 w 2 w 3 z 1 z 2* z 3 z 0 q w 1 1 -1 0 -3 11* -1 0 9 z 0 0 -1 0 -1 10 2 1 10 w 3 0 -1 1 2 12 2 0 16
表4-3 经典的Lemke 算法的迭代表2
Tab.4-3 The second iterated table of classical Lemke algorithm 基向量
w 1 w 2 w 3 z 1* z 2 z 3 z 0 q z 2
1/11 -1/11 0 -3/11 1 -1/11 0 9/11 z 0 -10/11 -1/11 0 19/11* 0
32/11 1 20/11 w 3
-12/11 1/11 1 58/11 0 34/11 0 68/11
表4-4 经典的Lemke 算法的迭代表3
Tab.4-4The third iterated table of classical Lemke algorithm
基向量
w 1 w 2 w 3 z 1 z 2 z 3 z 0 q z 2 -1/19 -2/19 0 0 1 7/19 3/19 21/19 z 1 -10/19 -1/19 0 1 0 32/19 11/19 20/19
w 3 32/19 7/19 1 0 0 -110/19 -58/19 12/19
所以线性互补可行解T T (20/19,21/19,0),(0,0,12/19)z w ==。
即经过三次迭代过程，得到K-T 点12(,)(20/19,21/19)x x =。
解法二：利用改进的算法
表4-5 改进的Lemke 算法的初始表
Tab.4-5 The initial table of improved Lemke algorithm
基向量 w 1 w 2 w 3 z 1 z 2 z 3 q
w 1 1 0 0 -2 1 -3 -1
w 2 0 1 0 1 -10* -2 -10 w 3 0 0 1 3 2 0 6 因为{}
(0)(0)(0)1min 0i i q q q =<，取2z 为进基变量则2w 为出基变量，以(0)22d 为主元，经主元消去法得到
表4-6 改进的Lemke 算法的迭代表1
Tab.4-6 The first iterated table of improved Lemke algorithm
基向量 w 1 w 2 w 3 z 1 z 2 z 3 q
w 1 1 1/10 0 -19/10* 0 -6/5 -2
z 2 0 -1/10 0 -1/10 1 1/5 1
w 3 0 -2 1 16/5 0 -2/5 4
显然基向量为123(w ,,)(-2,1,4)z w =，只有1w 分量为负数，则1w 的互补变量进基，即1z 进基，则w 1出基，取(1)11d 为主元，进行主元消去得到
表4-7 改进的Lemke 算法的迭代表2
Tab.4-7The second iterated table of improved Lemke algorithm 基向量 w 1 w 2 w 3 z 1 z 2 z 3 q z 1 -10/19 -1/19 0 1 0 12/19 20/19 z 2 -1/19 -2/19 0 0 1 24/95 21/19 w 3 16/95 -174/95 1 0 0 -46/19 12/19
得到基向量123(z ,,)(20/19,21/19,12/19)z w =，各分量均非负则停止计算。所以线性互补可行解T T
(20/19,21/19,0),(0,0,12/19)z w ==。
所以仅经过两次迭代过程，得到K-T 点12(,)(20/19,21/19)x x =。
例4.3 求解如下凸二次规划：
221122121212min ()24426.2
22
f x x x x x x x st x x x x =?+??+≤?+≤
解：有本题得到如下数据 2224H ???=?????
，26c ???=?????，1112A ??=?????，22b ??=????
00110001211221224T A M A H ????????????==?????????????，2226b q c ????????==????????????
，y w v ??=????，u z x ??=???? 解法一：根据经典的Lemke 互补转轴算法，在引入人工变量后，经过4次迭代过程，得到互补基本可行解21446(0,,0,0),(
,0,,)5555T T w z ==，因此得到K-T 点1246(,)(,)55x x =。 解法二：利用改进的算法
表4-8 改进的Lemke 算法的初始表
Tab.4-8 The initial table of improved Lemke algorithm
基向量 w 1 w 2 w 3 w 4 z 1 z 2 z 3 z 4 q w 1 1 0 0 0 0 0 1 1 2 w 2 0 1 0 0 0 0 -1 2 2 w 3 0 0 1 0 -1 1 -2 2 -2 w 4 0 0 0 1 -1 -2 2 -4* -6 因为{}(0)(0)(0)4min 0i
i q q q =<，选取4z 为进基变量，则4w 为出基变量。以(0)44d 为主元，经主元消去法得到
表4-9 改进的Lemke 算法的迭代表1
Tab.4-9 The first iterated table of improved Lemke algorithm
基向量 w 1 w 2 w 3 w 4 z 1 z 2 z 3 z 4 q w 1 1 0 0 1/4 -1/4 -1/2 3/2 0 1/2 w 2 0 1 0 1/2 -1/2 -1 0 0 -1 w 3 0 0 1 1/2 -3/2 0 -1 0 -5 z 4 0 0 0 -1/4 1/4 1/2 -1/2 1 3/2
显然基向量为12341(,,w ,)(,-1,-5,3/2)2
w w z =，2w 和3w 分量为负数，得3w 的互补变量最大。根据最大互补规则，则3w 的互补变量进基，即3z 进基，3w 出基。取(1)33d 为主元，进行主元消去得到
表4-10 改进的Lemke 算法的迭代表2
Tab.4-10 The second iterated table of improved Lemke algorithm
基向量 w 1 w 2 w 3 w 4 z 1 z 2 z 3 z 4 q w 1 1 0 3/2 1 -5/2* -1/2 0 0 -7 w 2 0 1 0 1/2 -1/2 -1 0 0 -1 z 3 0 0 -1 -1/2 3/2 0 1 0 5 z 4 0 0 -1/2 -1/2 1 1/2 0 1 4
显然基向量为1234(,,z ,)(7,-1,5,4)w w z =?，1w 和2w 分量为负数，则1w 的互补变量最大，则1z 进基，1w 出基。取(2)11d 为主元，进行主元消去得到
表4-11 改进的Lemke算法的迭代表3
Tab.4-11The first iterated table of improved Lemke algorithm
基向量w1w2w3w4z1z2z3z4 q
z1-2/5
0 -3/5 -2/5 1 1/5 0 0 14/5 w2 -1/5
1 -3/10
3/10 0 -9/10
0 0 2/5 z33/5
0 -
1/10
1/10 0 -3/10
1 0 4/5 z42/5
0 1/10 -1/10
0 3/10 0 1 6/5
得到基向量
123414246
(z,,,)(,,,)
5555
w z z=，各分量均非负则停止计代过程。即经过三
次迭代过程，得到互补基本可行解
21446
(0,,0,0),(,0,,)
5555
T T
w z
==，因此得到K-T点
1246
(,)(,)
55
x x=。
5结论
本文通过对经典的Lemke互补转轴算法求解凸二次规划问题的分析，找到了Lemke算法的局限性。根据Lemke算法求解线性互补问题（LCP）问题，对经典的Lemke算法的迭代过程进行了修正，提出了一种改进的Lemke算法。这种算法能有效地克服了本身解的局限性，并能减少凸二次规划问题的迭代过程。根据凸二次规划的Lemke算法及线性互补问题的描述，证明了改进算法的可行性。通过利用改进的Lemke算法对凸二次规划问题进行求解，对改进算法与经典的Lemke算法进行比较和分析。数值结果表明：改进算法能有效地克服了本身解的局限性，并能减少凸二次规划问题的迭代过程。
本文给出了求解凸二次规划问题的一种Lemke算法的改进算法。该算法在迭代时不需要引入人工变量，把特殊的凸二次规划求解简单化，这使得求解过程灵活、方便。算例表明，所提算法在求解相应问题时是简便而有效的。
参考文献
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The improvement of Lemke algorithm for solving convex
quadratic programming
Zhang Lu
College of Science, Liaoning Technical University, Fuxin, Liaoning (123000)
Abstract
Based on the analysis of solving convex quadratic programming with the complementary rotating axis algorithm of classical Lemke, find the localization of the Lemke algorithm. This paper revises the iterative process of the classical Lemke algorithm based on the Lemke algorithm solving the Linear Complementary Problem, proposes a improved Lemke algorithm and demonstrates that the new algorithm could effectively overcome the localization of solution by The experimental results, decreasing iterative process of the convex quadratic programming, improving the algorithmic efficiency.
Keywords: nonlinear optimization；convex quadratic programming；Linear Complementary Problem；Lemke algorithm
二次规划问题
序列二次规划法 求解一般线性优化问题: 12min (x) h (x)0,i E {1,...,m }s.t.(x)0,i {1,...,m } i i f g I =∈=?? ≥∈=? (1.1) 基本思想：在每次迭代中通过求解一个二次规划子问题来确定一个下降方向，通过减少价值函数来获取当前迭代点的移动步长，重复这些步骤直到得到原问题的解。 1.1等式约束优化问题的Lagrange-Newton 法 考虑等式约束优化问题 min (x) s.t.h (x)0,E {1,...,m} j f j =∈= (1.2) 其中:,n f R R →:()n i h R R i E →∈都为二阶连续可微的实函数. 记1()((),...,())T m h x h x h x =. 则(1.3)的Lagrange 函数为： 1(,)()*()()*()m T i i i L x u f x u h x f x u h x ==-=-∑ （1.3） 其中12(,,...,)T m u u u u =为拉格朗日乘子向量。 约束函数()h x 的Jacobi 矩阵为：1()()((),...,())T T m A x h x h x h x =?=??. 对（1.3）求导数，可以得到下列方程组： (,)()A()*(,)0(,)()T x u L x u f x x u L x u L x u h x ??? ???-?===?????-???? （1.4） 现在考虑用牛顿法求解非线性方程（1.4）. (,)L x u ?的Jacobi 矩阵为： (,)()(,)() 0T W x u A x N x u A x ?? -= ?-??
基于序列二次规划算法的再入轨迹优化研究
航 天 控 制Aer os pace Contr ol Dec 12009Vol 127,No .6 基于序列二次规划算法的再入轨迹优化研究 3 郑总准1 吴 浩2 王永骥 1 1.华中科技大学控制科学与工程系,武汉430074 2.北京航天自动控制研究所,北京100854 摘 要 介绍了序列二次规划算法在飞行器再入轨迹优化问题中的应用。首先 引入了能量替代变量对无量纲运动方程进行推导,使得运动方程和优化问题易于处理,考虑严格的过程约束和终端约束,以攻角和倾侧角为控制变量,总加热量最小为性能指标;然后通过直接配点法将最优控制问题转化为非线性规划问题,选取各节点的状态量和控制量作为优化参数;最后应用序列二次规划算法对非线性规划问题进行求解。针对多约束的再入飞行器的轨迹优化时对初值敏感的问题,提出一种参考轨迹快速规划算法,提高了优化速度。仿真结果表明提出的方法能够较快地搜索到最优轨迹,满足所有约束且落点精度高。关键词 轨迹优化;非线性规划;配点法;序列二次优化;参考轨迹中图分类号:V412 文献标识码:A 文章编号:100623242(2009)0620008206 3国家自然科学基金(60674105);教育部科研培育项目(20081383)和航天支撑基金(2008)资助 收稿日期:2008212212 作者简介:郑总准(1983-),男,福建福州人,博士研究生,研究方向为飞行器轨迹优化、制导与控制;吴 浩(1980-),男,湖北武汉人,博士,研究方向为飞行器制导与控制;王永骥(1955-),男,江西吉安人,教授,博士生导师,研究方向为网络控制、飞行器制导与控制。 Reen try Tra jectory O pti m i za ti on Usi n g Sequen ti a l Quadra ti c Programm i n g Z HE NG Z ongzhun 1 WU Hao 2 WANG Yongji 1 1.Huazhong University of Science and Technol ogy,W uhan 430074,China 2.Beijing Aer os pace Aut omati on Contr ol I nstitute,Beijing 100854,China Abstract Sequen tial quadratic programm ing for trajectory opti m iza tion of reentry vehicle is proposed . F irstly,Equations of m otion a re nor m a lized and an independen t variable is introduced to reduce the difficul 2ty of iterative co m putation .W ith the angle of a ttack and the bank ang le as control variables,the opti m al control proble m is set to m ini m ize hea t index,considering strict process and ter m inal constraints .A nd then,by choosing states and controls of discrete nodes as param eters,the opti m al control proble m is transfor m ed into a nonlinear programm ing proble m using direct colloca tion m ethod .F inally,sequential quadratic pro 2gramm ing is presented for solving the non linea r programm ing proble m.A ccord ing to the sensitivity to initial value in trajectory opti m ization for reen try vehicles w ith m ulti 2constraint,this paper develops a rapid refer 2ence trajectory prog ramm ing strategy .S i m ulation results sho w that the opti m al trajectory can consistently a 2chieve the desired target conditions w ithin allo w able tolerances and satisfy all the other constraints effectively . Key words Tra jectory opti m ization;N onlinear prog ramm ing;D irect colloca tion m ethod;Sequential ? 8?
求解二次规划问题
实验2 求解二次规划问题 LINDO 可以求解二次规划（QP ）问题。例如： ?? ? ??<=+>++-+=7.011.19.02.1..4.03min 22y y x y x t s y xy y x f 由LAGRANGE 乘子法，得 ()()()7.011.19.02.14.0322-+-++-+-+-+y C y x B y x A y xy y x ， 分别对x 、y 求偏导，得到两个约束条件： 4 .09.020 2.16->++-->+--C B A x y B A y x 在LINDO 中输入下列命令： MIN X+Y+A+B+C ST 6X-Y-1.2A+B>0 2Y-X-0.9A+B+C>-0.4 1.2X+0.9Y>1.1 X+Y=1 Y<0.7 END QCP 4 注释：MIN X+Y+A+B+C 一句只代表变量的出场顺序； QCP 4 一句代表前4行不是原问题真正的约束，原问题真正的约束从第5行开始。 LINDO 运行后输出以下结果：STATUS OPTIMAL QP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1) 1.355556 V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X 0.666667 0.000000 Y 0.333333 0.000000
A 10.888889 0.000000 B 9.400000 0.000000 C 0.000000 0.366667 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -0.666667 3) 0.000000 -0.333333 4) 0.000000 -10.888889 5) 0.000000 9.400000 6) 0.366667 0.000000 NO. ITERATIONS= 7 这个结果说明：LINDO求解此二次规划问题（QP）共用7步迭代得到最优解fmin = 1.355556，X = 0.666667，Y = 0.333333。第5个松弛变量取值0.366667，其它松弛变量都取0值，即，这个最优解使得前4个约束条件都取等号；其对偶问题的最优解（影子价格）DUAL PRICES为Y1 = -0.666667，Y2 = -0.333333，Y3 = -10.888889，Y4 = 9.4，Y5 = 0。 农户生产的优化模型 本文内容取自生产实践，豫东一个普通农户，该农户所在地区的农业生产条件、气候状况属于中等。下列各变量的假设均建立在农村一般农业生产条件、气候状况之上。 假设（面积单位：亩）： X1 = 用于完成上缴国家任务的小麦一年总种植面积 X2 = 用于生产、生活的小麦一年总种植面积 X3 =用于生产、生活的油菜一年总种植面积 X4 =用于生产、生活的红薯一年总种植面积 X5 =用于完成上缴国家任务的棉花一年总种植面积 X6 =用于生产、生活的棉花一年总种植面积 X7 =用于完成上缴国家任务的玉米一年总种植面积 X8 =用于生产、生活的玉米一年总种植面积 X9 =用于生产、生活的芝麻一年总种植面积 X10 =用于生产、生活的花生一年总种植面积 X11 =用于生产、生活的大豆一年总种植面积 X12 =用于生产、生活的西瓜一年总种植面积 X13 =用于生产、生活的番茄一年总种植面积 X14 =用于生产、生活的白菜一年总种植面积 X15 =用于生产、生活的辣椒一年总种植面积 X16 =用于生产、生活的茄子一年总种植面积
二次规划起作用集方法
《非线性规划》课程设计 题目：二次规划起作用集方法院系：数理学院应用数学系 专业：数学与应用数学 姓名学号：119084112 数112 指导教师： 日期：2014年6月19日
摘要 二次规划（QP）是指目标函数为决策变量x的二次函数，而约束函数是线性函数的非线性规划.二次规划规划问题是最简单的一类非线性约束优化问题，并且某些非线性规划可以转化为求解一系列二次规划问题，因此二次规划的求解方法也是求解非线性规划的基础之一. 关键词：二次规划；起作用集；乘子向量 Abstract Quadratic programming (QP) refers to the objective function for the quadratic function of the decision variables x, and the constraint function is a linear function of nonlinear programming, quadratic programming problem is the simplest nonlinear constraint optimization problems, and some nonlinear programming can be transformed into solving a series of quadratic programming problem, so the solving methods of quadratic programming is also one of the basis of solving nonlinear programming. Keywords: Quadratic programming; Work set; Multiplier vector
二次规划问题
9.2.4 二次规划问题 9.2.4.1 基本数学原理 如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。其数学模型为： 其中，H, A,和Aeq为矩阵,f, b, beq, lb, ub,和x为向量。 9.2.4.2 相关函数介绍 quadprog函数 功能：求解二次规划问题。 语法： x = quadprog(H,f,A,b) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval] = quadprog(...) [x,fval,exitflag] = quadprog(...) [x,fval,exitflag,output] = quadprog(...) [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...) 描述： x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函数1/2*x'*H*x + f'*x ， 其约束条件为A*x <= b。 x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件 Aeq*x = beq。 x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub)定义设计变量的下界lb和上界ub，使得lb <= x <= ub。 x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)同上，并设置初值x0。 x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小 化。 [x,fval] = quadprog(...)返回解x处的目标函数值fval = 0.5*x'*H*x + f'*x。 [x,fval,exitflag] = quadprog(...)返回exitflag参数，描述计算的退出条件。 [x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)返回包含优化信息的结构输出output。 [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...)返回解x处包含拉格朗日乘子的 lambda参数。 变量： 各变量的意义同前。
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法 ——最优化方法课程实验报告 学院：数学与统计学院 班级：硕2041班 姓名：王彭 学号：3112054028 指导教师：阮小娥 同组人：钱东东
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法 求解二次规划问题的拉格朗日 及有效集方法 摘要 二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。 关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。 - 1 -
《最优化方法》课程实验报告 - 2 - 【目录】 摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 - 1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 - 1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 - 1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 - 1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 - 2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 - 2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 - 2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 - 2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 - 2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 - 2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 - 3 总结与体会......................................................................................................... - 11 - 4 附录..................................................................................................................... - 11 - 4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 - 4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -
基于序列二次规划算法的发动机性能寻优控制
收稿日期:2004-10-24;修订日期:2005-03-07基金项目:航空科学基金资助(04C 52019) 作者简介:孙丰诚(1979-) 男 山东泰安人 南京航空航天大学能源与动力学院博士 主要从事发动机数字控制方面研究. 第20卷第5期2005年10月 航空动力学报 Journal of Aerospace Power Vol.20No.5 : :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Oct.2005 文章编号:1000-8055(2005)05-0862-06 基于序列二次规划算法的发动机 性能寻优控制 孙丰诚 孙健国 (南京航空航天大学能源与动力学院 江苏南京210016) 摘要:提出用非线性序列二次规划(SOP Seguential Ouadratic Programming )算法解决发动机性能寻优控制问题,分析了线性规划(LP Linear Programming )算法用于发动机性能寻优的固有缺陷以及SOP 算法的优点,给出了SOP 算法与LP 算法用于最大推力模式和最小油耗模式仿真结果对比曲线,数字仿真实验的结果表明 SOP 算法具有比LP 算法更好的优化效果 在工程实际中有很大的应用潜力,关 键 词:航空~航天推进系统;序列二次规划;线性规划;涡扇发动机;性能优化;最大推力模式; 最小油耗模式 中图分类号:V 231 文献标识码:A Aero -Engine Perf ormance Seeking control Based on Seguential Ouadratic Programming Algorithm SUN Feng -cheng SUN Jian -guo (College of energy and Power engineering Nanjing University of Aeronautics and Astronautics Beijing 210016 China )Abstract :A methodology based on the nonlinear algorithm of Seguential Ouadratic Programming (SOP )in aero -engine performance seeking control was presented .This article is aimed at analyzing the inherent limitation of Linear Programming used for aero -engine performance seeking control and to solve the problem of aero -engine performance optimization using nonlinear SOP method .The results of numerical simulations of maximum thrust mode and minimum fuel consumption mode using SOP and LP respectively show that SOP algorithm has better optimization result than LP algorithm .SOP algorithm has great application potential in engineering . Ke !words :aerospace propulsion system ; Seguential Ouadratic Programming (SOP )algorithm ;Linear Programming (LP )algorithm ;turbofan engine ;performance optimization ;maximum thrust mode ;minimum fuel consumption mode 推进系统性能优化是飞"推综合控制#1$ 研究 中非常重要的一个方面 系统性能优化可以在保 证发动机安全稳定工作的同时 最大限度地提高发动机的工作潜力,在不同飞行任务段 有不同的
二次规划解法
2、对于二次规划模型求解： 问题1： 先求出ij c ，结果如下表： 330.7 320.3 300.2 258.6 198 180.5 163.1 181.2 224.2 252 256 266 281.2 288 302 370.7 360.3 345.2 326.6 266 250.5 241 226.2 269.2 297 301 311 326.2 333 347 385.7 375.3 355.2 336.6 276 260.5 251 241.2 203.2 237 241 251 266.2 273 287 420.7 410.3 395.2 376.6 316 300.5 291 276.2 244.2 222 211 221 236.2 243 257 410.7 400.3 380.2 361.6 301 285.5 276 266.2 234.2 212 188 206 226.2 228 242 415.7 405.3 385.2 366.6 306 290.5 281 271.2 234.2 212 201 195 176.2 161 178 435.7 425.3 405.2 386.6 326 310.5 301 291.2 259.2 237 226 216 198.2 185 162 由于二次规划模型中约束条件151 {0}[500,],1,2,7,ij i j X s i =∈=∑的存 在，必须加以处理。引进0-1变量15,...2,1,=i n i ，则 151{0}[500,],1,2,7,ij i j X s i =∈=∑可以等价转换为下面的三个约束条件： i j ij s X ≤∑=151 i j ij Mn X ≤∑=151 i j ij n X *500151≥∑= 其中M 为一个很大数。 这样就可以得到下面的lingo 程序： sets : s/1..7/:sx; a/1..15/:z,y,n,t; links(s,a):c,x; endsets
0-1二次规划的全局最优性条件及算法
0-1二次规划的全局最优性条件及算法 全局优化问题广泛见于工程、国防、经济等诸多重要领域,是数学规划理论的一个重要研究领域。本文首先讨论一类特殊结构的全局优化问题:二次规划的全局优化问题。我们给出了0-1二次规划的全局最优性条件,并讨论了其相应的算法。 然后,对于一般结构的全局优化问题,我们给出了一个新的无参数的填充函数方法。本论文的第一章介绍全局优化理论的一些研究成果。第二章讨论无约束0-1二次规划的全局最优性条件。 在第二节得到一个充分条件和一个必要条件的基础上,我们希望能够得到一些充要条件。为此,我们首先在第三节中给出在线性约束条件下,(?)成为一个凸的二次函数的全局极大点的充分必要条件。从这个结论出发,在第四节,我们得到了无约束0-1二次问题全局最优的充分必要条件及其等价形式。 在第五节,我们将注意力放在全局最优的必要条件上。我们得到的必要条件都不含对偶变量,仅用到原问题的数据。这样,这些条件在实际中都是可以被检验的。 进一步,为了使必要条件在实际中易被检验、易操作,我们降低了必要条件中的维数,在比原问题维数更低的空间中,给出一些简洁的必要条件,以达到方便检验的目的。在第三章,我们进一步研究有约束的0-1二次规划的全局最优条件。对于带有线性不等式约束的0-1二次问题,我们在第一节中得到了它全局最优的充分条件和必要条件。 必要条件也不含对偶变量。当系数矩阵正定时,我们建立了原0-1问题的解与松弛问题的解之间的联系。对于带有线性等式约束的0-1二次问题,我们在第
二节证明了一个带有线性等式约束的0-1二次规划问题,它的全局最优解集和其相应的罚问题的全局最优解集是相等的。 这样,带有线性等式约束的0-1二次问题的解,可以通过无约束0-1二次规划问题的解得到。第三章的另一个内容是讨论0-1二次规划问题的实际应用。将我们得到的一些结论运用于极大团问题和二次分派问题,我们得出了一些相关的结论。 将全局最优条件发展成为可实现的算法,是全局优化研究中的重要的工作。本文的第四章讨论无约束0-1二次规划问题的算法。首先我们将原0-1问题化为一个等价的半正定的0-1二次问题。 在得到这个半正定二次问题的松弛解x之后,取与x“最接近的”0-1解y,在一定的条件之下,y就是原0-1问题的全局最优解。由于松弛后的问题是凸的二次规划问题,可以在多项式时间内求解,所以,我们的算法是可实现的。为了确定y是否是原问题的最优解,我们设计了三种算法。 在研究了第二章所给。
改进求解凸二次规划中的Lemke算法.
改进求解凸二次规划中的Lemke 算法 张璐 辽宁工程技术大学理学院,辽宁阜新(123000 E-mail:zhanglu85517@https://www.360docs.net/doc/f15289965.html, 摘要:通过对经典的Lemke 互补转轴算法求解凸二次规划问题的分析,找到了Lemke 算法的局限性。本文在Lemke 算法求解线性互补问题的基础上修正了经典的Lemke 算法的迭代过程,提出了一种改进的Lemke 算法,通过算例证明了算法能有效克服解的局限性,减少了凸二次规划问题的迭代过程,提高了算法的效率。 关键词:非线性规划;凸二次规划;线性互补问题;Lemke 算法 1.引言 二次规划问题是最简单而又最基本的非线性规划问题,其目标函数是二次函数,约束是线性等式或不等式。对于二次规划问题,可行域是凸集,所以当目标函数是凸函数时,任何K-T 点都是二次规划问题的极小点。研究二次规划问题的算法不仅仅是为了解决二次规划问题本身,同时也是为了更好的求解其他非线性规划问题。因为大多数最优化方法是从二次函数模型导出的,这种类型的方法在实际中常常是有效的,其主要是因为一般函数的极小点附近常可用二次函数很好地进行近似。由于二次规划是特殊的非线性规划,因此求解非线性规划问题的方法均可用于二次规划问题的求解。同时,由于二次规划本身的特殊性,对它的求解可以采用一些更有效的方法[1]。因此,不论从数学角度还是应用角度来看,二次规划问题的研究都具有重要意义。到目前为止,已经出现了很多求解二次规划问题的算法,并且现在仍有很多学者在从事这方面的研究工作。所以,需要我们对现存的有效的求解二次规划问题的算法进行改进,得到新的求解算法来克服某些算法的缺点,并且给出具体的实例显示该算法的有效性。本文主要研究凸二次规划的求解算法,以及线性互补问题的性质等相关问题。对Lemke 算法进行进一步研究,对它可能出现退化的原因和迭代过程以及局限性进一步分析。本文通过分析经典的Lemke 互补转轴算法求解含有等式
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法样本
求解二次规划问题的拉格朗 日及有效集方法——最优化方法课程实验报告 学院: 数学与统计学院 班级: 硕2041班 姓名: 王彭 学号: 指导教师: 阮小娥 同组人: 钱东东
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 求解二次规划问题的拉格朗日 及有效集方法 摘要 二次规划师非线性优化中的一种特殊情形, 它的目标函数是二次实函数, 约束函数都是线性函数。由于二次规划比较简单, 便于求解( 仅次于线性规划) , 而且一些非线性优化问题能够转化为求解一些列的二次规划问题, 因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视, 称为求解非线性优化的一个重要途径。二次规划的算法较多, 本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。 关键字: 二次规划, 拉格朗日方法, 有效集方法。
【目录】 摘要................................................ 错误!未定义书签。 1 等式约束凸二次规划的解法.......................... 错误!未定义书签。 1.1 问题描述.................................... 错误!未定义书签。 1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题........ 错误!未定义书签。 1.2.1 拉格朗日方法的推导.................... 错误!未定义书签。 1.2.2 拉格朗日方法的应用.................... 错误!未定义书签。 2 一般凸二次规划问题的解法.......................... 错误!未定义书签。 2.1 问题描述.................................... 错误!未定义书签。 2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题.............. 错误!未定义书签。 2.2.1 有效集方法的理论推导.................. 错误!未定义书签。 2.2.2 有效集方法的算法步骤.................. 错误!未定义书签。 2.2.3 有效集方法的应用...................... 错误!未定义书签。 3 总结与体会........................................ 错误!未定义书签。 4 附录.............................................. 错误!未定义书签。 4.1 拉格朗日方法的matlab程序................... 错误!未定义书签。 4.2 有效集方法的Matlab程序..................... 错误!未定义书签。
二次规划实验举例
最优化算法实验指导书 2.二次规划求解 例1 求解下面二次规划问题 21212221x 6x 2x x x x 2 1)x (f min ---+= sub.to 2x x 21≤+ 2x 2x 21≤+- 3x x 221≤+ 21x 0,x 0≤≤ 解：x f x H x 2 1)x (f '+'= 则??????--=2111H ，?? ????--=62f ，??????=21x x x 在MA TLAB 中实现如下： >> H = [1 -1; -1 2] ; >> f = [-2,-6]; >> A = [1 1; -1 2; 2 1]; >> b = [2; 2; 3]; >> lb = zeros(2,1); >> [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb) Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, switching to medium-scale method. > In C:\MATLAB6p5\toolbox\optim\quadprog.m at line 213 Optimization terminated successfully. x = 0.6667 1.3333 fval = -8.2222 exitflag = 1
output = iterations: 3 algorithm: 'medium-scale: active-set' firstorderopt: [] cgiterations: [] lambda = lower: [2x1 double] upper: [2x1 double] eqlin: [0x1 double] ineqlin: [3x1 double] 例 1123 2212123min 246y x x x x x =+--- ..s t 1232131232 3 4 ,,0x x x x x x x x x +≤+≤+≤≥ （1）标准形式： 由 2212123246y x x x x x =+--- 22121231(22)2462 x x x x x =+--- 知 200020000H ?? ?= ? ??? 为半正定矩阵，约束不必改动。 （2）在编辑窗口建立一个存放各种信息的M 文件， 在MA TLAB 中实现如下： >> H = [2 0 0;0 2 0;0 0 0]; >> f = [-2 -4 -6]; >> A = [1 1 0; 0 1 1; 1 0 1]; >> b = [2; 3; 4]; >> C =[]; >> d=[]; >> xm=[0; 0; 0];
Quadprog二次规划问题
Quadprog 什么是二次规划？ 如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这样规划为二次规划。其数学模型为： ?? ???≤≤=≤+ub x lb beq x Aeq b Ax t s x f Hx x T T x ·..21min ， 式中，Ｈ,Ａ，和Aeq 为矩阵 f,ｂ, beq, lb, ub , 和x 为向量。 利用quadprog 函数求解二次规划问题，其调用格式为： ● x=quadprog(H,f,A,b) 这个函数的功能是：用来解最简单，最常用的模型： x f Hx x T T +2 1 Subject to Ax ≤b ● x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) 仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x=beq 。 ● x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,) 定义设计变量的下届Ib 和上界ub,使得lb<=x<=ub 。 ● x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0) 同上，并设置初值x0。 ● x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options) 根据options 参数指定的优化参数进行最小化。 ● [x,fvaI]=quadprog(H,f,A,b) 这个函数的功能是，返回解x 处的目标函数值fval=x f Hx x T T +2 1 ● [x,fvaI,exitfIag]=quadprog(H,f,A,b) 返回exitfIag 参数，描述计算的退出条件。 ● [x,fvai,exitfIag,output]=quadprog(H,f,A,b) 返回包含优化信息的结构输出output,其中包括：迭代次数，使用的算法，共轭梯度迭代的使用次数等信息。 ● [x,fvaI,exitfIag,output,Iambda]=quadprog(H,f,A,b) 返回解x 处包含拉格朗日乘子的lambda 参数。其中，LAMBDA.ineqlin 对应于线性不等式，LAMBDA.eqlin 对应于线性等式约束。
matlab5二次规划问题
二次规划的标准形式为： min (1/2)X’HX+f’X 约束条件：Ax≤b Aeqx=beq，lb≤x≤ub，其中：f、b、beq、lb、ub、x是矢量，H、 A、Aeq为矩阵。 在MATLAB中可以使用quadprog函数来求最小值。 调用格式: x=quadprog (H,f,A,b) x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq) x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,P1,P2,…) [x,fval]= quadprog (…) [x,fval,exitflag]= quadprog (…) [x,fval,exitflag,output]= quadprog (…) [x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog (…) fval为目标函数的最优值；其中：H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值；x0为初值；Aeq,beq 满足等式约束Aeq.x=beq；lb,ub满足lb lambda是Lagrange乘数，它体现有效约束的个数；output输出优化信息；exitflag为终止迭代的条件：若
exitflag>0，表示函数收敛于解x；若exitflag=0,表示超过函数估值或迭代的最大次数；exitflag<0表示函数不收敛于解x；output为优化信息：若参数output=iterations表示迭代次数， output=funccount表示函数赋值次数， output=algorithm表示所使用的算法。 例0-6 计算下面二次规划问题 minf（x）= (1/2)x1^2+x2^2- x1x2-2x1-6x2 约束条件： x1+x2≤2 -x1+x2≤2， 2x1+x2≤3； x1≤0； x2≤0 解：把二次规划问题写成标准形式：(1/2)XTHX+fTX 这里： H= 1 -1 f= -2 X= x1 -1 2 -6 x2