大学论文-电磁场与电磁波

.引言

电与磁的对偶性是指电场与磁场之间的一种对称关系，它们之间虽然用来描述这两种场的有关物理量概念不同，但是在一定条件下，可以用相同的数学模型来描述。我们在研究电磁场的过程中会发现，电与磁经常是成对出现的，电场与磁场的分析方法也有相当的一致性例如，在静电场中，为了简化电场的计算而引入标量电位，在恒定磁场中，也仿照静电场，可以在无源区引入标量磁位，并将静电场标量电位的解的形式直接套出来，因为它们均满足拉普拉斯方程，因此解的形式也必完全相同这样做的理论依据是二重性原理，所谓二重性原理就是如果描述两种不同物理现象的方程具有相同的数学形式它们的解答也必取相同的数学形式。在求解电磁场问题时，如果能将电场与磁场的方程完全对应起来，即电场和磁场所满足的方程在形式上完全一样，则在相同的条件下，解的数学形式也必然相同这时若电场或磁场的解式已知，则很方便地得到另一场量的解式

在早期的研究中，人们认识电与磁都是从单方面进行研究的，既是分立的。然而，随着电流磁效应的发现后，认识到电流与磁场之间存在着相互联系，再接着法拉第的电磁感应定律又揭示了变化的磁通与感应电动势之间的联系。综合上两种现象，存在着“磁生电，电生磁”这种初步的对称。直到后来在麦克斯韦综合前人的理论的自己的假设，对整个电磁现象做了系统的研究，建立了更为具有普适性的理论：借助于数学这个工具，推广了随时间变化的磁场产生涡旋电场（t B E ∂∂-=⨯∇）及提出位移电流假说，完善了随时间变化的电场产生的磁场（t D B J e ∂∂+=⨯∇v ）从而达到了电学与磁学、光学的统一。从麦氏方程组

我们可以看到电与磁之间的明确对称统一（但是对于静电磁场的描述除外）。

本文将对电与磁从统一的角度出发，揭示其彼此对偶的一面。一方面，对偶性是电磁场内在规律的反映，能建立在比静态更一般的基础上；另一方面，对偶性原理对于我们解决某些复杂的问题可以起到简化的作用，给予极大的帮助，由电的有关物理量知道磁的，反之亦然。

一. 电与磁的对偶性的概述

（一）.对偶场

我们知道在无源区域，麦克斯韦方程组为

,,

0,,

0t D H B t

B E D ∂∂=⨯∇=∙∇∂∂-

=⨯∇=∙∇

如果在上述方程组中对场量作如下变换：

H E '→εμ00

， E H '-→εμ0

0 （1—1.1）

B D '→ε

μ00， D B '-→εμ00 （1—1.2） 式中的1002)(-=εμc ，于是得

,,

0,,

0t B E D t D H B ∂'∂-='⨯∇='∙∇∂'∂=

'⨯∇='∙∇ （1-2） 即是说，麦克斯韦方程组（无源）在（1.1）式的变换下不变，只是方程的次序有了改变。我们称E '和H '是E 和H 的对偶场。同时我们也知道在有源的空间区域，麦克斯韦方程为下式

,,0,t D j H B t

B E D ∂∂+=⨯∇=∙∇∂∂-

=⨯∇=∙∇ρ

（1-3）

显然这时对偶性被破坏了；或者说在有源的区域不存在对偶场。这种对偶性的破缺根源在于方程中源的不对称性，即不存在磁荷。所以物理学家门都希望自然界存在着磁单极，以使麦克斯韦方程组具有更高度的对称性。对这种对称性的追求，或者说对磁单极存在的可能性的探索，物理学家们为之奋斗了半个多世纪。尽管迄今为止，实验上还没有确凿的证据肯定磁单极的存在，但人们还是相信它2应当是存在的。就好比人们相信宇宙中一切物质运动应该有高度的统一与对称一样。

如果我们用磁偶极子的磁荷模型来代替安培模型，即将磁偶极子视为一队相距很近的极性相反的磁荷，而将磁荷的运动定义为磁流，这样电荷与磁荷相对应，电流与磁流相对应，这样磁场各物理量一一对应起来，麦克斯韦方程组和许多场量方程式就都以对称的形式出现，可写成下式

,,,,

00t D H B t

B E D j j e m m e ∂∂+=

⨯∇=∙∇-∂∂-=⨯∇=∙∇ρμμρ （1-4）

式中下标m 表示磁量，e 表示电量；j m 是磁流密度，它的量纲是伏每平方米（m V 2）；是

Wb3）。式(1-4.4)表示产生磁场的磁荷密度，它的量纲是韦[伯]每立方米（m

旋度源是电流和位移电流（变化的电场），式(1-4.2)表示产生电场的旋度源是磁流和位移磁流（变化的磁场），式(1-2.3)表示产生磁场的散度源是磁荷，式(1-4.1)表示产生电场的散度源是电荷式(1-4.4)等号右边的正号表示电流与磁场之间有右手螺旋关系，而式(1-4.2)的等号右边的负号表示磁流与电场之间有左手螺旋关系

假使我们将电场（或磁场）写成是由电源产生的电场（或磁场）与由磁源

产生的电场（或磁场）二者之和，即

则有

（1-5）

（1-6）

从这些式子可以看出电场与磁场的对偶性（或称二重性）。与此相仿，对应矢量磁位A有矢量电位F；对应标量电位ϕ，有标量磁位ϕm即对应于

（1-7） 当电源量与磁源量同时存在是，总场量应为它们产生的场量和

（1-8）

式（1-2.4）与式（1-2.2）写成积分形式为

I t dl H e +∂∂=∙⎰φ

I m m t dl E -∂∂-=∙⎰φ

（1-9）

式中的φe 代表电通量，它的量纲是库（C ）；φm 代表磁通量，它的量纲是韦[伯]

（Wb ）；I m 是磁流，它的量纲是安（A ）。此外相应于电磁场的边界条件可写为

J H H es n =-∙)(21

J E E m s n =-∙)(21

ρms B B n =-∙)(21

ρes D D n =-∙)(21 （1-10）

根据电源量和磁源量之间的对偶关系，可以得到它们之间的互换规则，即如何由一电源量公式求出它的磁源量公式，互换的原则是将原式中的E 、H 、A 、ε、μ、ρe 用H 、（-E ）、

J sm 、μ、ε、ρm 来代替，反之亦然。具体的对应关系如下表所示

电磁场的对偶量表

二.磁荷研究的背景和现状

在历史上,人们对磁现象的研究一度处于停滞的状态，而对电的研究中，无论是它的深度和范围都较磁的研究要快。后来，由于电的巨大进步，人们又开始对磁进行反思。学者最初也坚信磁也是有象电一样由一个很小的基本单元所产生的，即磁荷。但是,长期以来,从没有人发现过单独的磁北极或磁南极。因此,传统上认为磁是一种固有的双极现象,即任何一块磁体无论怎样细分,最后每一小块磁体总是显示出两个相反磁性区———磁北极和磁南极,这就是两磁极的不可分性。

在安培提出分子电流是物质磁性的基本来源之后,这种不可分性得到了完满的解释。此后又断言,单独的磁荷或磁荷的基本单元———磁单极子是不存在的。这一论断构成了宏观电磁理论的基础,例如磁场的高斯定理就是自然界不存在磁单极子的数学表述。然而,这并不妨碍探索微观领域中是否存在磁单极子成为物理学家很感兴趣的一个课题。自1931年狄拉克在理论上预言存在磁单极子以来,试图证实磁单极子存在的实验研究工作,一直都在进行。

（一）、磁单极子可能存在的依据

汤姆孙的猜想——自1897年发现电子以后,特别是1909年密立根证实电子电量是电荷

的基本单位之后,汤姆孙等人从电与磁之间存在着某些对称性考虑,猜测可能存在磁单极子。既然有带正、负基元电荷的质子和电子,为什么不可能有带相反极性的基元磁荷———磁单极子呢?这是物质运动规律在很多方面表现出的高度对称性所要求的。反映电磁运动基本规律的麦克斯韦方程组就揭示了电与磁的某些对称性:变化的电场要激发磁场,变化的磁场也要激发电场。但是,它揭示出的电与磁的对称性却是不完全的,因为它说电荷激发电场,却没有说磁荷激发磁场;说运动电荷(电流)激发磁场,却没有说运动磁荷(磁流)激发电场。假若磁单极子存在,将麦克斯韦方程组写成如下形式:

·D=ρe、¤·B =ρm、

¤×E= -9B9t- jm、¤·H=9D9t- je。(1)

式中ρe和je为电荷密度和电流密度、ρm和jm为磁荷密度和磁流密度,那么麦克斯韦方程组所反映的电与磁的对称性就完全了: 电场可由电荷、变化磁场和运动磁荷激发;磁场可由磁荷、变化电场和运动电荷激发。所以,从电磁理论对称性考虑,可能存在磁单极子。

狄拉克的预言——存在磁单极子的一个有说服力的预言是狄拉克在1931年提出来的。他据量子力学研究一个磁单极子场中的单个电子时,发现角动量量子化要求基本电荷e和基本磁荷g之间有如下关系:eg = ｕ/2(其中ｕ= h/ 2π)。量子化条件自动的得出了一个重要的结论：若自然界存在着磁单极，则一切电荷都只能是某一最小数值的整数倍。此外,这个狄拉克条件还预言:从一个磁单极子发出的磁通量是g(4πr2)/ r2=4πg = h/ e =2<0。这正好精确等于超导的磁通量子<0的两倍。这个结果并不奇怪,因为两者的量子化条件都和角动量量子化有关。然而，迄今为止，实验上发现的一切微观粒子所带的电荷都是电子电荷的整数倍，这个整数的精度达10的负20次方。即电荷的量子化是成立的。

大统一理论的支持——1974 年特胡夫特和波利雅科夫分别证明,在带有自发破缺的规范理论中,存在磁单极子是必然的。这一结论立刻被引入大统一理论———试图将电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用统一起来的理论。因为在大统一理论中也有所谓的真空自发破缺机制,所以也应当存在磁单极子。而且对称自发破缺之后,可能存在许多不同的真空态,从而将空间分割成很多区域,这些区域交界处的场,可能就是磁单极子的场。这里,磁单极子的磁荷也遵从狄拉克量子化条件,其质量约为质子的1016倍。具有如此巨大质量的磁单极子,只可能在温度极高的宇宙大爆炸初期成对产生。至于它在宇宙早期和现在可能具有的密度,各家看法很不一致。有人认为,在宇宙早期,磁单极子数与质子数差不多,而宇宙膨胀至今,大约10000个重子对应一个磁单极子。这比地球上金元素的含量还高。还有人认为,磁单极子在宇宙早期就很少,至今已几乎没有了。

（二）、探测磁单极子的意义

如果上述猜想和预言能够得到证实,能在实验中发现或者俘获磁单极子,无论对于理论研究或者实际应用都具有极其重大的意义。

首先,如果确实探测到磁单极子,那么带相反极性的北单极子和南单极子就恰好与带正负电荷的质子和电子相对应。这时麦氏方程组将改写成(1)式的形式,这不仅进一步完善了电磁理论的对称性,而且必将使我们更深刻地理解电磁现象的本质。

其次,量子电动力学是目前解释和预测电磁现象较成熟的理论。但是,至今认为两磁极是不可分的,因此量子电动力学理论就规定磁粒子流的强度恒等于零。如果磁单极子确实存在,这样的规定就不能成立,必需对量子电动力学理论作较大的修正。

三,我们知道,物质世界中存在电荷的最小单元,其意义是相当深刻的。如果证实了磁单极子存在,狄拉克条件就为电荷量子化的事实提供了很好的解释。

第四,大统一理论认为,如果宇宙按通常认为的速度膨胀,早期应产生大量的磁单极子,而正负磁单极子的湮灭率是有限的,现在仍应有足够多的磁单极子,但是大量实验都没有发

现磁单极子。这说明磁单极子即使有也不可能太多。这表明,或者大统一理论有缺陷,或者宇

宙膨胀速度应加快,或者某些重要因素没有考虑到。可见,探测磁单极子对宇宙起源理论

和大统一理论都有重大意义。如果磁单极子确实存在,并能被俘获和控制,目前对其实际用途还没有做出充分估计。但是已有人认为,由于磁单极子的磁性很强,可以用来建造比当前

能量高得多的粒子加速器。据估计一个约2米长的磁单极加速器,其性能可以超过周长900米的传统圆形加速器。此外,还可以利用磁单极子制造超小型、高效率的电动机和发电机,治疗癌症以及研究新能源。还有人大胆设想,把一些磁单极子放在船上,有可能利用地磁场使船行驶。

（三）、探测磁单极子实验的进展状况

由于探测磁单极子有重要意义,所以国外不少人员都在想方设法寻找它。各种探测方法都是根据目前在理论上预言的磁单极子的性质而提出的。其性质是:磁性强,容易被外磁场加速;电离能力比宇宙射线强得多;质量很大;正负磁单极子相遇而产生湮灭时会产生许多光子等等。最初,不少人企图用强磁场抽吸的办法,从岩石中寻找残存的磁单极子。岩样包括海底岩石、月球上的岩石和各种陨石,但都没有成功。也有人利用大型粒子加速器大量观察宇宙射线,试图从中寻找磁单极子留下的径迹。

例如1973年美国利用气球在约39千米的高空探测宇宙射线,气球上放置一台由33层塑料薄片、1层照像乳胶和1层照像底片组成的探测器,却并未发现磁单极子的径迹。美国研究人员还在人造卫星上装置探测器,同样也一无所获。这使很多物理学家对狄拉克的预言持怀疑态度,甚至狄拉克本人也说:“至今我是属于那些不相信磁单极子存在者之列。”但还是

有不少物理学家对探测磁单极子极感兴趣。

1975年,一个由美国加利福尼亚大学和休斯敦大学组成的联合小组,在高空气球上安装了一个探测宇宙射线的装置,记录各种宇宙粒子的径迹。他们在对各种径迹进行显微分析后

宣布,所观察的径迹中有一条电离性很强的粒子留下的径迹是磁单极子引起的。这个粒子的质量比质子约大200倍。这一事件在物理学界引起了极大轰动。但是,随后有不少人对他们的发现提出了不同看法,认为他们探测到的不是磁单极子,而是像铂这样的重原子核,或很重的反粒子。甚至还有一位参与该试验的研究人员出来证实,上述试验报告的部分论据引用

了错误的实验数据,这次事件引起的轰动效应也随之烟消云散。

1982年,美国斯坦福大学的一个研究小组宣布,他们观察到一起“候补磁单极子事件”。他们的探测器是用直径01005厘米的铌导线绕制成的一个环形线圈,线圈直径5厘米、共4匝,把它用作灵敏磁强计的传感探头。磁强计和线圈都放在一个直径20厘米、长1米的圆筒形超导铅屏蔽之内,然后将它们装在阿姆科铁桶中。这种组合在超导情况下可以屏蔽外界磁场的干扰,如果有一个磁单极子穿过铌线圈,必然引起线圈磁通量的显著变化,从而激发起超导电流。这台探测器运行了38天,在1982年2月14日记录到一些磁通量的突然改变,其改变量恰好与满足狄拉克条件的磁单极子穿过铌线圈时引起的改变相同。为了慎重起见,他们并没有宣称发现了磁单极子,而是报告他们观察到一起“候补磁单极子事件”。此后,他们又启用了一个更先进的新探测器,但是至今没有听到其重复观测到磁单极子事件的报告。虽然如此,由于那次事件得到的结果与理论预言相符,又不能用磁单极子以外的事件做出较好的解释,因而仍然受到各国科学家的重视一事件增强了人们发现磁单极子的信心,所以有关磁单极子的理论研究和实验探索还在不断进行。然而,最终能否真正探测到磁单极子,仍然是一个谜。