杆系结构自由振动精确求解的理论和算法
第十四届全国结构工程学术会议论文集 2005年
杆系结构自由振动精确求解的理论和算法
袁驷，叶康生
（清华大学土木工程系，北京，100084）
F. W. Williams, D. Kennedy
（Cardiff University, Cardiff, UK）
摘 要：杆系结构的自由振动特性对结构的抗震设计至关重要。与常规有限元方法采用近似形函数将原问题化为线性特征值问题不同，本文的精确方法从杆件精确的形函数出发获得精确的动力刚度，将原问题化为非线性特征值问题。已有的Wittrick-Willliams算法很好地解决了该问题的频率求解。在此基础上，作者进一步提出了求解该非线性问题的导护型Newton法格式，并优化了各个算法环节。该法能同时求出频率和振型，求解结果精确可靠且具有二阶收敛速度，是一种快速精确、可靠实用的工程计算方法。
关键词：动力刚度矩阵、频率、振型、牛顿法、Wittrick-Williams算法、杆系结构
THEORY AND ALGORITHM OF THE EXACT METHOD FOR FREE VIBRATION PROBLEMS OF SKELETAL STRUCTURES
YUAN Si, YE Kangsheng
(Tsinghua University, Beijing, 100084, China)
F. W. Williams, D. Kennedy
（Cardiff University, Cardiff, UK）
Abstract: The solution of free vibration problem of skeletal structures provides important data for engineering design. This paper surveys a new type of exact methods which uses exact dynamic stiffnesses and hence results in a nonlinear eigenvalue problem in contrast to the traditional finite element method which reduces this problem into a linear algebraic eigenvalue problem by using approximate shape functions. The well-established Wittrick-Williams algorithm can be used to calculate the frequencies of this nonlinear problem elegantly. Recently the authors presented a new type of Newton’s method for this nonlinear eigenvalue problem with many optimized techniques incorporated in. The recursive use of the proposed method employs the Wittrick-Williams algorithm to guide and guard each Newton correction and hence gives secure second order convergence on both natural frequencies and mode vectors. Numerical examples show that this method is not only exact and reliable but also very economical and efficient, and therefore is well applicable large-scaled engineering problems.
Keywords: dynamic stiffness matrix; natural frequencies; vibration modes; Newton’s method; Wittrick-Williams algorithm; skeletal structures.
1 引言
结构的自由振动分析给出结构的自振频率和振型，它们反映了结构的动力特性，在工程实践中是结构抗震设计的重要基础。杆系结构是无限自由度问题，即使是单根杆件，其自由振动分析也属于常微分
———————————————
基金项目：国家杰出青年科学基金(59525813)、教育部博士点基金(20020003045)和英国EPSRC(GR/G05437/01)资助项目
作者简介：袁驷(1953)，男，北京人。博士、教育部长江学者特聘教授、院长、中国土木工程学会副理事长、中国力学学会结构工程专业委员会主任。从事结构工程研究。(yuans@https://www.360docs.net/doc/9b11892766.html,)；
叶康生(1972)，男，江苏人，博士，讲师，从事结构工程研究。
方程特征值问题，作精确分析求解一般比较困难。在传统的分析求解方法中，最常用的是有限元法。常规的有限元法采用低阶多项式（如沿用静力分析中梁单元的三次多项式）作单元上的形函数，可方便地用于结构体系。与静力问题不同，多项式形函数对于自由振动问题只是近似的，而这种近似性也为该法带来了一些不便和局限，例如：
1． 对于两端固定的杆件，仅用一个单元的话，刚度矩阵退化为零行零列，只有零解；
2． 要提高解答精度，即便是单根杆件，也必须加密单元，且精度要求越高，单元网格就要越密，计算量也随之增加；
3． 要计算高阶振型，即便是单根杆件，也需要足够多的单元，且阶数越高，需要单元就越多，计算量也随之增长；
4． N 个结点位移的计算模型，最多能给出N 个频率和振型，且高阶的结果质量低劣；
5． 实际工程分析中，为了获得足够精度的解答，常常不得不为静力分析和自由振动分析建立不同的有限元计算模型。
然而，杆件结构自由振动的精确分析求解并非没有可能，近年来就逐步发展起来了一种精确单元方法 —— 动力刚度法[1][2][3][4][5]。该法将杆件看作无限自由度体系来导出精确的单元动力刚度矩阵，再进一步集成为整体动力刚度矩阵和方程，最后归结为求解一个非线性特征值问题，得到所需要的自振频率和振型。
动力刚度法是一种精确算法，其解答在杆件上逐点满足控制微分方程，在结点处满足所有的平衡条件、位移协调（或约束）条件。因此同静力问题刚度法一样，一个杆件只用一个单元即可，一般无需人为地在杆件内部再增设结点、加密单元。对于一种精确方法，在实施中有三个关键问题：
1． 建立精确的单元动力刚度矩阵；
2． 前n 阶自振频率的精确求解（不失根）；
3． 前n 阶振型的精确求解（包括重频率的振型）。
另外，尽管是精确算法，若要实用的话，求解的速度不宜过慢，否则优势就不明显。事实上，随着研究的进展，这一方法已经发展到了不但精确而且实用的水平，可以说是一种快速精确的工程方法。
本文对这一新型的精确单元方法（动力刚度法）的研究现状和进展作一综述性的介绍，以平面结构为例，重点讨论以上三个关键问题，特别着重展示其中的难点问题和动力特征。
2 单元动力刚度矩阵
平面杆件结构的自由振动分为轴向和横向振动。以常截面杆件轴向振动为例，其控制微分方程可表示为[1][8]
0)()(222=+ξνξξu d u d , 10<<ξ，x =ξ， EA m l ων= (1)
其中，为轴向振幅函数，u m 为均布质量，为截面抗拉刚度，EA ω为自振频率，为杆件长度，l ξ为局部坐标。这是一个以为特征值，以为特征函数的常微分方程特征值问题。对于常截面的情况，解析解不难得到，也很容易用解析解构造出动力单元刚度方程如下：
2νu ??????????????????=????????2121cos 11cos sin u u l EA F F x x νννν 或 e e e d k F )(ω= (2)
轴向振动虽然简单，但却不乏精确单元所固有的特性，例如：
1． 与静力问题不同，动力刚度矩阵e k 是频率ω（或频率参数ν）的超越函数；
2． 当0→ω（或0→ν）时，动力刚度矩阵趋向于静力刚度矩阵；
3． 单元刚度矩阵不是奇异的：2)(l EA e ν?=k ；
4． 单元刚度矩阵k 对应的是两端自由的杆件，如果用0=e k 的常规办法求两端自由杆件的自振频
率，则除了平凡解0=ω外一无所获。亦即，精确的频率值并不一定使相应的刚度矩阵奇异，表明常规的方法并不总是有效的；
5． 当频率参数...),2,1(==k k πν时，因0sin =ν，k 中的刚度系数为无穷大（∞=ij k ）
，此时单元刚度矩阵中的刚度系数没有定义；
6． 令刚度系数奇异的0sin =ν对应的是两端固定杆件的频率方程，亦即若频率为固端频率（记为和）时，单元刚度矩阵各系数成为奇异；
F
ωF ν7． 0sin =ν不仅为固端杆件的频率方程，同时也是两端自由杆件的频率方程，亦即固端频率和自由
杆频率相同；
8． 自由杆频率不应该也无法从0=e k 得出，而应该根据控制微分方程的解析解所满足的边界条件来
导出；
9． 上述表明，仅由刚度矩阵难以求出所有的频率。
对于等截面横向振动，单元动力刚度矩阵也可以以显式给出，可参见相应的文献
[1][3][8]。将轴向和横
向振动综合考虑，即可建立一般平面杆系结构的单元刚度矩阵。 3 整体动力刚度方程
建立了精确的单元动力刚度矩阵，可以按照常规的方法集成为如下形式的整体动力刚度方程：
0D K =)(ω (3)
其中，K 是整体动力刚度矩阵（简称整体刚度矩阵）；是整体振型的结点位移向量，简称为振型向量，注意整体动力刚度矩阵D )(ωK 是频率的函数。式(3)是一个齐次方程组，为了求得非平凡解，自然要求：
0)(=ωK (4)
按照常规的概念，人们期望从上式可以求得所有各阶的频率，亦即结构的真实频率为k ωk ω)(ωK 的零点。然而，对于精确的动力刚度法，情况并不象常规概念那么单纯。
为了明确起见，考虑一个具体的例子。图1所示为一个轴向振动的杆件，特意按图示分为两个单元。简单地设1m EA l ===，则易得整体刚度矩阵如下：
图1 杆件轴向振动 Fig. 1 Bending vibration
????????????+=ωωωωωωωωωω2sin 2cos 2sin 12sin 12sin 2cos sin cos )(K (5)由此不难写出)(ωK 的表达式。这一问题的精确解为： K ,23,67,65,21,
61πππππω= (6)若将各个频率代入)(ωK 中，有： 0)6(=πK ，8)2(2ππ?=K ，0)65(=πK ， (7)
由此看出，精确频率并不一定是)(ωK 的零点。
一般来讲，动力整体刚度方程有如下的性质：
1. 2. 整体刚度方程是用位移表示的动力平衡方程；
用Gauss 消元法将K 消成上三角阵（记为?K ）后，对根的数目和数值无影响；
当0→ω时，动力问题的整体刚度矩阵趋于静力问题的整体刚度矩阵；
3. 特征方程0)(=ωK 为超越方程，有无穷多个根（频率）；
4. 对于精确的频率，k ω)(k ωK 可以等于，等于0∞，也可以等于非零的有限值，因此0)(=ωK 并不能给出所有的频率；
5. 当结构整体频率与某个单元的固端频率相同时，F ωK 中出现无穷大元素，即若，某些
；此时，由于固端频率的单元的刚度矩阵是无效的，因此集成后整体刚度矩阵也是无意义的；
F ωω=∞=ij K ωω=F 6. )(ωK 不仅在零点变号，还可能在∞点变号（见图2），因此根据正负号来判断零点和求零点的方法难以应用；
7. 8. =可能存在的振型，即该振型没有结点位移，只有单元内部的振动（如图3）；这一点表明，如果只求非平凡解的频率，则可能会丢根。
0D =0D
≠
图3 一种固端振型 Fig. 3 Fixed-end mode
由以上讨论可以看出，若要求得精确的频率和振型，需要一个可靠的算法，能够依序求出前n 个根而不失根，而且能够处理D 和00D ≠两种情况。
4 频率计算 — Wittrick-Williams 算法
Wittrick 和Williams 在20世纪70年代初便对动力刚度法计算频率问题提出了一个非常精致而深刻的算法定理，称为Wittrick-Williams 算法[1][2]，以下简称WW 算法。WW 算法并不直接计算频率，本质上它是一种计数方法。按照WW 算法，在结构的所有频率中，低于某个给定值*ω的频率的个数由下式给出：
J )}({)()(***0ωωωK s J J += (8)
其中是所有低于0J *ω的单元固端频率的数目总和，F ω}{?s 代表负号的计数, )}({*ωK s 代表用普通Gauss 消元法将)(*ωK 消成上三角阵后（或)(*ω?K T L D L 分解中的对角阵D ），主对角线上负元素的个数。记，则式(8)也可写成：
)}({*ωK s J K =K J J J +=0 (9)
注意，、和的取值都是J 0J K J *ω的整数函数。式(9)的计数由和两部分组成，其中是各个单元固端频率的贡献，则由整体结构刚度矩阵J 0J K J 0J K J K 来贡献。
从实施上来看，的计算（常规的Gauss 消元）并无任何新的困难，而的计算则要困难得多；因为计算单个杆件在固端条件下低于K J 0J *ω的频率个数本身就是一个富有挑战性的课题。但是，对于工程中常用的等截面杆件，无论是轴向还是横向振动，的计算公式已经获得，而且并不复杂，很实用0J [1][3]。
用WW 算法计算结构频率时，最简单的方法是二分法，步骤大致如下。设欲求结构的第阶频率
k
k ω，只需不断调整和，使得
l ωu ω1)(?≤k J l ω 和 )(u J k ω≤(10)
则找到了的一个上界和一个下界，即，其中称为的频率区间。然后采用二分法，直至频率区间满足
k ωu ωl ω),(u l k ωωω∈),(u l ωωk ω)1(u l u Tol ωωω+?≤?
(11)
则可停止计算。上式中，Tol 是用户事先给定的、希望解答满足的误差限。
基于WW 计数法的频率计算方法有以下一些特点：
1. 方法简单、方便；
2. 结果可以达到计算机允许的任意精度；
3. 不丢根，单根、重根均可处理；
4. 可以直接求第阶频率，或第阶至第k k n k +阶的频率；
5. 方法为精确方法，一个杆件一个单元即可；
6. 普通的T D L 分解或Gauss 消元法即可（不必选主元）；
7. 只须作分解或前消去，无须回代过程； 8. 保留K 的带状稀疏性；
9. 由于的计算只需要K J ?K 对角线上负号元素的个数，而不要数值，因此对数值误差不敏感；
万一K 奇异，只需稍调整一下频率值即可。
但是，二分法最大的不足是收敛速度慢，只有线性的收敛速率。这一点，在后面介绍的方法中将会得到很大的改进。
5 振型计算 — 导护型Newton 法
WW 算法可以方便地得到精确的结构自振频率，但是多年来，其振型的计算一直滞后，始终缺少一个和频率计算相称的高效、可靠、精确的计算方法，直到本文的四位作者开始紧密合作研究之后，提出了一个高效可靠的导护型Newton 法[4][5]，使得多年空缺的振型的精确计算问题得到了很好的解决。下面，对这一方法作一简介。
尽管整体刚度方程如式(3)给出，但是如前所述，满足式(3)的解并不完备，原因主要来自于单元固端频率的影响。只要存在某单元的固端频率，则u F l ωωω<<)(ωK 在频率区间内就会有无穷大元素出现，而),(u l ωωK 也会因此出现奇异。为了消除固端频率带来的种种困难，我们提出了一种内部结点法，即对于存在固端频率的单元，在单元内部插入一个结点，使得两个子单元的固端频率都在以外。这样，u F l ωωω<<),(u l ωω)(ωK 在上连续可微，不再具有奇异性了，也就可以直接从),(u l ωω0D K =)(ω计算内的频率所对应的振型向量了。
),(u l ωωD 为了高效、精确地计算振型向量，将Newton 法应用于非线性方程D 0D K =)(ω。记，首先将关于的近似值展开
2ωλ=0D K =)(k λk λ),(u l a λλλ∈))(()()(2a k a a k a k O λλλλλ?+′?+=D K D K D K (12)
其中，)(a a λK K =λλd d a a )(K K =′。注意到，忽略二阶及高阶微量，便得到
0D K =)(k λD K D K a a ′=μ 其中 k a λλμ?=(13)
这是一个典型的以),(D μ为解的广义矩阵特征值问题，求解此问题的一个自然合理的方法就是线性矩阵特
征值问题中常用的逆幂迭代法，该法确保收敛到绝对值最小的特征对),(D μ。得到),(D μ解后，利用式
(13)进一步实施外插法，获得精度更高的频率：
μλλμ?=a 或 μλωμ?=a (14)
由此得到的比更为接近精确解，对有大幅度的改进。取为新的，再用逆幂迭代法解式
(13)并得到新的μλa λk λa λμλa λ),(D μ以及新的，如此继续迭代下去。
μλ熟知，Newton 法是局部收敛的方法，要求足够接近才能保证收敛。利用WW 算法，可以对上述的Newton 法迭代过程进行引导和保护，确保迭代收敛。实施时，首先用基于WW 计数法的二分法粗略地找到一个频率区间，然后将的初值取为频率区间的中点；在随后的Newton 迭代中，对于的每一个新值，逆幂迭代都要对进行Gauss 消元（见式(13)），此时可以顺便计算，从而得知是一个新的上界还是下界，并用更新频率区间；若发生新的不在频率区间内的情况，则采取保护措施，将重置于当前的中点。可以看出，应用WW 计数法不断地更新频率区间（精确解的上下界），对Newton 迭代具有独特的引导和保护作用，所以称为导护型Newton 法（guided and guarded Newton’s method ）a λk λ),(u l ωωa λa λ)(a a λK K =)(a K J J λ=a λa λ),(u l ωωa λ),(u l ωωa λ),(u l ωω[4]；该法可以确保快速可靠地收敛到精确解。文[4]中给出了本法完整的算法步骤，文[5]则给出了该法用差商代替刚度矩阵导数时的算法格式。
6 算例比较
为了具体说明动力刚度法不仅精确而且实用，考虑一个39跨200层平面刚架的例子。设所有杆件具有相同的10==m EI ，以及。对于本例，共有8000个结点，整体刚度矩阵为24000阶。分别用本文方法和商业软件ANSYS 计算前五阶频率和振型，取误差限，在Pentium III 700MHz PC 机上计算。最初，这个例子只是想用ANSYS 校核本法的结果；但是用ANSYS 计算时，发现ANSYS 计算本例遇到了困难：用普通子空间迭代法未能收敛，用Block Lanczos 法耗时514秒，是本法时间的近6倍；只有采用了与第一阶频率极为接近的移位，子空间迭代法才以与本法大致相同量级的时间获得所需的解。对于本例来讲，常规有限元在精度上并不吃亏，与精确单元的结果是一致的，但是计算时间出入很大，表明本法计算工程上规模较大的问题也是具有优势的。
1=l 10000=EA 310?=Tol
表1 39跨200层平面刚架前五阶频率
Table 1 The first 5 frequencies of a rigid frame of 39 spans and 200 stories ANSYS
阶数 本文方法 Block
Lanczos 法 Subspace 法 (shift =0) Subspace 法 (shift =)
3102?×π1 0.0112770.011278 0.011278
2 0.0351610.035161 0.035161
3 0.0639310.063931 0.063931
4 0.0911000.091100 0.091100
5 0.1187930.11879
6 频率值较小， 未移位，未能收敛到所需的前5阶频率 0.118802
时间(秒) 86.00 514.29 200 73.14
7 结语
新近发展起来的杆系结构频率和振型求解的导护型Newton 法结合了WW 算法特性，优化了各个算法环节，是一种简单、快速、经济、精确和可靠的方法：
1.简单：犹如常规有限元特征值问题，简单地归结为用逆幂迭代法求解广义矩阵特征值问题(13)，每次迭代相当于求解一个线性方程组。
2.快速：几个因素都对求解速度有贡献，如：逆幂迭代只求解第一阶特征对；逆幂迭代求的特征值是移位值μ，相当于移位的逆幂迭代；无论是振型向量还是外插后的频率，均有二阶收敛速率和精度，收敛非常快，同时放松了对初始频率区间的要求。
3.经济：除了上述的快速产生经济效果外，算法可以充分利用整体刚度矩阵的对称、带状、稀疏性等特性，另外普通的Gauss消元也属于最经济的方法范畴。
4.精确：二阶收敛性质赋予了本法高精度的特色，这也是本法最突出的特色。二阶收敛还意味着用于线性特征值问题时，可以自动地获得精确解。
5.可靠：对所有类型的频率和振型都能可靠地求出，不丢根，不漏根，确保频率和振型的精度满足用户事先指定的误差限。
本文讨论的精确动力刚度法已经在《结构力学求解器》[7]中实现，其理论基础部分已经吸收到本科教材中[8]。
参考文献：
[1] Williams F W, Wittrick W H, An automatic computational procedure for calculating natural frequencies of skeletal structures,
Int. J. Mech. Sci., 1970; 12(9):781-791.
[2] Wittrick W H, Williams F W, A general algorithm for computing natural frequencies of elastic structures, Q. J. Mech. Appl.
Math., 1971; 24(3):263-284.
[3] Howson W P and Williams F W, Natural frequencies of frames with axially loaded Timoshenko members, J.Sound and
Vibration, 1973, 26(4):503–515.
[4] Yuan Si, Ye Kangsheng, Williams F W and Kennedy D, Recursive second order convergence method for natural frequencies
and modes when using dynamic stiffness matrices, Int. J. Num. Meth. Engng., 2003, 56(12): 1795-1814.
[5] Yuan Si, Ye Kangsheng and Williams F W, Second order mode-finding method in dynamic stiffness matrix methods, J. Sound
and Vibration, 269(3-5):689-708, 2004.
[6] Williams F W, Yuan Si, Ye Kangsheng, Kennedy D and Djoudi M, Towards deep and simple understanding of the
transcendental eigenproblem of structural vibrations, J. Sound and Vibration, 2002, 256(4): 681-693.
[7] 袁驷主编，结构力学求解器v1.0-v2.0，高等教育出版社，2001-2004年。
Yuan Si, Structural Mechanics Solver, v1.0-2.0, Higher Education Press, 2001-2004.
[8] 袁驷，程序结构力学，高等教育出版社，2001。
Yuan Si, Programming Structural Mechanics, Higher Education Press, 2001.
CASTEP计算理论总结+实例分析
CASTEP 计算理论总结 XBAPRS CASTEP 特点是适合于计算周期性结构，对于非周期性结构一般要将特定的部分作为周期性结构，建 立单位晶胞后方可进行计算。CASTEP 计算步骤可以概括为三步：首先建立周期性的目标物质的晶体；其 次对建立的结构进行优化，这包括体系电子能量的最小化和几何结构稳定化。最后是计算要求的性质， 如电子密度分布(Electron density distribution)，能带结构(Band structure)、状态密度分布(Density of states)、声子能谱(Phonon spectrum)、声子状态密度分布(DOS of phonon)，轨道群分布(Orbital populations)以及光学性质(Optical properties)等。本文主要将就各个步骤中的计算原理进行阐述， 并结合作者对计算实践经验，在文章最后给出了几个计算事例，以备参考。 CASTEP 计算总体上是基于DFT ，但实现运算具体理论有： 离子实与价电子之间相互作用采用赝势来表示； 超晶胞的周期性边界条件； 平面波基组描述体系电子波函数； 广泛采用快速fast Fourier transform (FFT) 对体系哈密顿量进行数值化计算； 体系电子自恰能量最小化采用迭带计算的方式； 采用最普遍使用的交换-相关泛函实现DFT 的计算，泛函含概了精确形式和屏蔽形式。 一， CASTEP 中周期性结构计算优点 与MS 中其他计算包不同，非周期性结构在CASTEP 中不能进行计算。将晶面或非周期性结构置于一个有 限长度空间方盒中，按照周期性结构来处理，周期性空间方盒形状没有限制。之所以采用周期性结构原 因在于：依据Bloch 定理，周期性结构中每个电子波函数可以表示为一个波函数与晶体周期部分乘积的形 式。他们可以用以晶体倒易点阵矢量为波矢一系列分离平面波函数来展开。这样每个电子波函数就是平 面波和，但最主要的是可以极大简化Kohn-Sham 方程。这样动能是对角化的，与各种势函数可以表示为 相应Fourier 形式。 ```2[()()()]``,,k G V G G V G G V G G C C ion H xc i i k G GG i k G δε∑++-+-+-=++ 采用周期性结构的另一个优点是可以方便计算出原子位移引起的整体能量的变化，在CASTEP 中引入外力 或压强进行计算是很方便的，可以有效实施几何结构优化和分子动力学的模拟。平面波基组可以直接达 到有效的收敛。 计算采用超晶胞结构的一个缺点是对于某些有单点限缺陷结构建立模型时，体系中的单个缺陷将以 无限缺陷阵列形式出现，因此在建立人为缺陷时，它们之间的相互距离应该足够的远，避免缺陷之间相 互作用影响计算结果。在计算表面结构时，切片模型应当足够的薄，减小切片间的人为相互作用。 CASTEP 中采用的交换-相关泛函有局域密度近似（LDA ）（LDA ）、广义梯度近似（GGA ）和非定域交换-相关 泛函。CASTEP 中提供的唯一定域泛函是CA-PZ ，Perdew and Zunger 将Ceperley and Alder 数值化结果进行 了参数拟和。交换-相关泛函的定域表示形式是目前较为准确的一种描述。 Name Description Reference PW91 Perdew-Wang generalized-gradient approximation, PW91 Perdew and Wang PBE Perdew-Burke-Ernzerhof functional, PBE Perdew et al. RPBE Revised Perdew-Burke-Ernzerhof functional, RPBE Hammer et al.
材料结构与性能模拟计算理论与方法简介
材料结构与性能模拟计算理论与方法简介 [使用电脑对材料模拟计算的优缺点] 优点：（一）不受实验条件的限制、（二）简化研究的原因 缺点：必须使用足够精确的物理定律 因此，目前电脑模拟的材料设计走向两个趋势： （一）采取微观尺度（因为物质由原子组成）、 （二）使用量子力学（才能正确描述电子行为以及由其所决定的机械、传输、光学、磁学等性质） 也就是说，原子之间的作用力以及材料所表现的物性，我们都希望能（不借助实验结果）透过第一原理方法来达到。 [密度泛函理论简介] 自从20世纪60年代密度泛函理论(DFT，Density Functional Theory)建立并在局域密度近似(LDA)下导出著名的Kohn-Sham(KS)方程以来，DFT一直是凝聚态物理领域计算电子结构及其特性最有力的工具。近几年来DFT同分子动力学方法相结合，在材料设计、合成、模拟计算和评价诸多方面有明显的进展，成为计算材料科学的重要基础和核心技术。特别在量子化学计算领域，根据INSPEC数据库的记录显示，1987年以前主要用Hartree-Fock(HF)方法，1990～1994年选择DFT方法的论文数已同HF方法并驾齐驱，而1995年以来，用DFT的工作继续以指数律增加，现在已经大大超过用HF方法研究的工作。W. Kohn因提出DFT获得1998年诺贝尔化学奖，表明DFT在计算量子化学领域的核心作用和应用的广泛性。 DFT适应于大量不同类型的应用，因为电子基态能量与原子核位置之间的关系可以用来确定分子或晶体的结构，而当原子不处在它的平衡位置时，DFT可以给出作用在原子核位置上的力。因此，DFT可以解决原子分子物理中的许多问题,如电离势的计算，振动谱研究，化学反应问题，生物分子的结构，催化活性位置的特性等等。在凝聚态物理中，如材料电子结构和几何结构，固体和液态金属中的相变等。现在，这些方法都可以发展成为用量子力学方法计算力的精确的分子动力学方法。DFT的另一个优点是，它提供了第一性原理或从头算的计算框架。在这个框架下可以发展各式各样的能带计算方法，如LDA，GGA，meta-GGA，hybrid等方法。
结构设计原理知识点
第一章 钢筋混凝土结构基本概念及材料的物理力学性能 1.混凝土立方体抗压强度cu f ：（基本强度指标）以边长150mm 立方体试件，按标准方法制作养护28d ，标准试验方法（不涂润滑剂，全截面受压，加载速度0.15~0.25MPa/s ）测得的抗压强度作为混凝土立方体抗压强度 cu f 。 影响立方体强度主要因素为试件尺寸和试验方法。尺寸效应关系： cu f （150）=0.95cu f （100） cu f （150）=1.05cu f （200） 2.混凝土弹性模量和变形模量。 ①原点弹性模量：在混凝土受压应力—应变曲线图的原点作切线，该切线曲率即为原点弹性模量。表示为：E '=σ/ε=tan α0 ②变形模量：连接混凝土应力应变—曲线的原点及曲线上某一点K 作割线，K 点混凝土应力为σc （=0.5c f ），该割线（OK ）的斜率即为变形模量，也称割线模量或弹塑性模量。 E c '''=tan α1=σc /εc 混凝土受拉弹性模量与受压弹性模量相等。 ③切线模量：混凝土应力应变—上某应力σc 处作一切线，该切线斜率即为相应于应力σc 时的切线模量''c E =d σ/d ε 3 . 徐变变形：在应力长期不变的作用下，混凝土的应变随时间增长的现象称为徐变。 影响徐变的因素：a. 内在因素，包括混凝土组成、龄期，龄期越早，徐变越大；b. 环境条件，指养护和使用时的温度、湿度，温度越高，湿度越低，徐变越大；c. 应力条件，压应力σ﹤0.5 c f ，徐变与应力呈线性关系；当压应力σ介于（0.5～0.8）c f 之间，徐变增长比应力快；当压应力σ﹥0.8 c f 时，混凝土的非线性徐变不收敛。 徐变对结构的影响：a.使结构变形增加；b.静定结构会使截面中产生应力重分布；c.超静定结构引起赘余力；d.在预应力混凝土结构中产生预 应力损失。 4.收缩变形：在混凝土中凝结和硬化的物理化学过程中体积随时间推移而减少的现象称为收缩。 混凝土收缩原因：a.硬化初期，化学性收缩，本身的体积收缩；b.后期，物理收缩，失水干燥。 影响混凝土收缩的主要因素：a.混凝土组成和配比；b.构件的养护条件、使用环境的温度和湿度，以及凡是影响混凝土中水分保持的因素；c.构件的体表比，比值越小收缩越大。 混凝土收缩对结构的影响：a.构件未受荷前可能产生裂缝；b.预应力构件中引起预应力损失；c.超静定结构产生次内力。 5.钢筋的基本概念 1.钢筋按化学成分分类，可分为碳素钢和普通低合金钢。 2钢筋按加工方法分类，可分为a.热轧钢筋；b.热处理钢筋；c.冷加工钢筋（冷拉钢筋、冷轧钢筋、冷轧带肋钢筋和冷轧扭钢筋。） 6.钢筋的力学性能 物理力学指标：（1）两个强度指标：屈服强度，结构设计计算中强度取值主要依据；极限抗拉强度，材料实际破坏强度，衡量钢筋屈服后的抗拉能力，不能作为计算依据。（2）两个塑性指标：伸长率和冷弯性能：钢材在冷加工过程和使用时不开裂、弯断或脆断的性能。 7.钢筋和混凝土共同工作的的原因：（1）混凝土和钢筋之间有着良好的黏结力；（2）二者具有相近的温度线膨胀系数；（3）在保护层足够的前提下，呈碱性的混凝土可以保护钢筋不易锈蚀，保证了钢筋与混凝土的共同作用。 第二章 结构按极限状态法设计计算的原则 1.结构概率设计的方法按发展进程划分为三个水准：a.水准Ⅰ，半概率设计法，只对影响结构可靠度的某些参数，用数理统计分析，并与经验结合，对结构的可靠度不能做出定量的估计；b.水准Ⅱ，近似概率设计法，用概率论和数理统计理论，对结构、构件、或截面设计的可靠概率做出近似估计，忽略了变量随时间的关系，非线性极限状态方程线性化；c.水准Ⅲ，全概略设计法，我国《公桥规》采用水准Ⅱ。 2.结构的可靠性：指结构在规定时间（设计基准期）、规定的条件下，完成预定功能的能力。 可靠性组成：安全性、适用性、耐久性。 可靠度：对结构的可靠性进行概率描述称为结构可靠度。 3.结构的极限状态：当整个结构或构件的一部分超过某一特定状态而不能满足设计规定的某一功能要求时，则此特定状态称为该功能的极限状态。 极限状态分为承载能力极限状态、正常使用极限状态和破坏—安全状态。 承载能力极限状态对应于结构或构件达到最大承载力或不适于继续承载的变形，具体表现：a.整个构件或结构的一部分作为刚体失去平衡；b.结构构件或连接处因超过材料强度而破坏；c.结构转变成机动体系；d.结构或构件丧失稳定；e.变形过大，不能继续承载和使用。 正常使用极限状态对应于结构或构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值，具体表现：a.由于外观变形影响正常使用；b.由于耐久性能的局部损坏影响正常使用；c.由于震动影响正常使用；d.由于其他特定状态影响正常使用。 破坏—安全状态是指偶然事件造成局部损坏后，其余部分不至于发生连续倒塌的状态。（破坏—安全极限状态归到承载能力极限状态中） 4.作用：使结构产生内力、变形、应力、应变的所有原因。 作用分为：永久作用、可变作用和偶然作用。 永久作用：在结构使用期内，其量值不随时间变化，或其变化与平均值相比可忽略不计的作用 可变作用：在结构试用期内，其量值随时间变化，且其变化值与平均值相比较不可忽略的作用。
多自由度系统的振动
第2章多自由度系统的振动 基本要点： ①建立系统微分方程的几种方法； ②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性； ③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。 引言 多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。 §2.1多自由度系统的振动方程 ●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力 §2.2建立系统微分方程的方法 ●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数 ●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法 §2.3无阻尼系统的自由振动 ●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。 ●二自由度系统的自由振动 ●二自由度系统的运动耦合与解耦 弹性耦合，惯性耦合； 振动系统的耦合取决于坐标系的选择； ●多自由度系统的固有振动 固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度； 固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性； 刚体模态； ●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。 ●多自由度系统的自由振动 §2.4无阻尼系统的受迫振动 ●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反 共振问题。 ●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速 度法。 §2.5比例阻尼系统的振动 ●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。 ●自由振动 ●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。 §2.6一般粘性阻尼系统的振动
●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。 ●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。 思考题： ①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解 释？ ②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？ ③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。 ④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？ 参考书目 1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002 2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005 3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。（图书馆索引号：TH113.1/1010） 4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。（图书馆索引号： TH113.1/1003-A） 5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引 号：TH113.1/WR32)
结构设计原理习题-练习
《结构设计原理》复习题 一、填空 1．按加工方式不同，钢筋分为（）、（）、（）、（）四种。2．（）与（）通常称为圬工结构。 3．梁内钢筋主要有（）、（）、（）、（）等。 4．随着柱的长细比不同，其破坏型式有（）、（）两种。 5．根据张拉预应力筋与浇筑混凝土构件之间的先后顺序，预应力混凝土分为（）、（）两类。 6．钢筋与混凝土之间的粘结力主要有以下三项组成（）、（）、（）。7．按照配筋多少的不同，梁可分为（）、（）、（）三种。 8．钢筋混凝土受弯构件主要有（）和（）两种形式。 9．梁内钢筋主要有（）、（）、（）、（）等。 10．（）、（）、（）称为结构的可靠性。 11．钢筋的冷加工方法有（）、（）、（）三种。 12．结构的极限状态，根据结构的功能要求分为（）、（）两类。 13．T形截面梁的计算，按（）的不同分为两种类型。 14．在预应力混凝土中，对预应力有如下的要求（）、（）、（）。15．钢筋混凝土梁一般有（）、（）、（）三种不同的剪切破坏形式。16．预应力钢筋可分为（）、（）、（）三种。 二、判断题：（正确的打√,错误的打×。） 1．混凝土在长期荷载作用下，其变形随时间延长而增大的现象称为徐变。（）2．抗裂性计算的基础是第Ⅱ阶段。（）3．超筋梁的破坏属于脆性破坏，而少筋梁的破坏属于塑性破坏。（）4．增大粘结力、采用合理的构造和高质量的施工、采用预应力技术可以减小裂缝宽度。（）5．当剪跨比在[1, 3]时，截面发生斜压破坏。. （）6．预应力损失是可以避免的。（）7．整个结构或结构的一部分，超过某一特定状态时，就不能满足结构功能的要求，这种特殊状态称为结构的极限状态。（）8．箍筋的作用主要是与纵筋组成钢筋骨架，防止纵筋受力后压屈向外凸出。（） 9．采用预应力技术可杜绝裂缝的发生或有效减少裂缝开展宽度。（）10．为了保证正截面的抗弯刚度，纵筋的始弯点必须位于按正截面的抗弯计算该纵筋的强度全部被发挥的截面以内，并使抵抗弯矩位于设计弯矩图的里面。（）11．偏心距增大系数与偏心距及构件的长细比有关。（）12．钢筋混凝土梁的刚度是沿梁长变化的，无裂缝区段刚度小，有裂缝区段刚度大。（）13．钢筋按其应力应变曲线分为有明显流幅的钢筋和没有明显流幅的钢筋。（）14．因为钢筋的受拉性能好，所以我们只在受拉区配置一定数量的钢筋而在受压区不配置钢筋。（）15．当轴向力的偏心较小时，全截面受压，称为小偏心受压。（） 越大越好。（）16．有效预应力 pe
结构设计原理计算方法
结构设计原理案例计算步骤 一、单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算 计算公式： ——水平力平衡 （）——所有力对受拉钢筋合力作用点取矩（） （）——所有力对受压区砼合力作用点取矩（）使用条件： 注：/，&& 计算方法： ㈠截面设计yy 1、已知弯矩组合设计值，钢筋、混凝土强度等级及截面尺寸b、h，计算。 ①由已知查表得：、、、； ②假设； ③根据假设计算； ④计算（力矩平衡公式：）； ⑤判断适用条件：（若，则为超筋梁，应修改截面尺寸或提 高砼等级或改为双筋截面）； ⑥计算钢筋面积（力平衡公式：）； ⑦选择钢筋，并布置钢筋（若 ，则按一排布置）； 侧外 ⑧根据以上计算确定（若与假定值接近，则计算，否则以的确定值作 为假定值从③开始重新计算）； ⑨以的确定值计算； ⑩验证配筋率是否满足要求（，）。 2、已知弯矩组合设计值，材料规格，设计截面尺寸、和钢筋截面面积。 ①有已知条件查表得：、、、； ②假设，先确定； ③假设配筋率（矩形梁，板）； ④计算（，若，则取）； ⑤计算（令，代入）； ⑥计算（，&&取其整、模数化）； ⑦确定（依构造要求，调整）； ⑧之后按“1”的计算步骤计算。 ㈡承载力复核 已知截面尺寸b、，钢筋截面面积，材料规格，弯矩组合设计值，
所要求的是截面所能承受的最大弯矩，并判断是否安全。 ①由已知查表得：、、、； ②确定； ③计算； ④计算（应用力平衡公式：，若，则需调整。令， 计算出，再代回校核）； ⑤适用条件判断（，，）； ⑥计算最大弯矩（若，则按式计算最大弯矩） ⑦判断结构安全性（若，则结构安全，但若破坏则破坏受压区，所以应以受压区控制设计；若,则说明结构不安全，需进行调整——修改尺寸或提高砼等级或改为双筋截面）。 二、双筋矩形截面梁承载力计算 计算公式： ， ，（）+（） 适用条件： （1） （2） 注：对适用条件的讨论 ①当&&时，则应增大截面尺寸或提高砼等级或增加的用量（即 将当作未知数重新计算一个较大的）；当时，算得的即为安全要 求的最小值，且可以有效地发挥砼的抗压强度，比较经济； ②当&&时，表明受压区钢筋之布置靠近中性轴，梁破坏时应变较 小，抗压钢筋达不到其设计值，处理方法： a.《公桥规》规定：假定受压区混凝土压应力的合力作用点与受压区钢筋合力作用 点重合，并对其取矩，即 令2，并 （） 计算出； b.再按不考虑受压区钢筋的存在（即令），按单筋截面梁计算出。 将a、b中计算出的进行比较，若是截面设计计算则取其较小值，若是承载能力复核则取其较大值。 计算方法： ㈠截面设计 1.已知截面尺寸b、h，钢筋、混凝土的强度等级，桥梁结构重要性系数，弯矩组合 设计值，计算和。 步骤： ①根据已知查表得：、、、、； ②假设、（一般按双排布置取假设值）； ③计算；
结构工程师如何正确处理经验与理论计算
结构工程师如何处理经验与理论计算 ——《结构设计笔记》周献详 本文由娄广龙整理 据说毛泽东曾跟赵朴初开玩笑说：“佛经里有些语言很奇怪，佛说第一波罗蜜，即非第一波罗蜜，是名第一波罗蜜。佛说赵朴初，即非赵朴初，是名赵朴初。看来你们佛教还真有些辩证法的味道。”“佛说”、“即非”、“是名”就是《全刚经》的主题，整部《金刚经》反复讲述的就是这一主题，在《金刚经》的最后，佛说了一首偈子：“一切有为法，如梦幻泡影，如露亦如电，应作如是观。”结构计算结果、规范给出的限值不至于是“如梦幻泡影，如露亦电”，然而，根据目前的技术水平，虽然计算手段已经很先进，可以精确到小数点后几十位，但结构计算结果只是名义上的结果，与实际情况在绝大多数情况下不一致，结构计算结果的名义效应是客观存在的。“如果事物的表现形式和事物的本质直接合而为一，一切科学就成为多余的了。”（《马克思恩格斯全集》，第38卷，第13页）。本章分析理论与实际之间的差异性，其目的不仅仅在于阐述差异性本身，而在于讨论对这类差异所持的态度。作者主张对这类差异应持以下态度： (1)我们要尊重计算结果，并学会千方百计地利用现有的理 论成果进行合理的计算。因为现今的计算理论是人类长期的工程建设经验、理论分析成果和试验结论的综合反映，是人类智慧的结晶。黑格尔说过：“当一种哲学被推翻的时候，其中的原则并没有失去，失去的只是这种原则的绝对性和至上性”。我们所反对的只是将理论
计算结果和规范条文视为一条不可逾越鸿沟的这种绝对性和至上性，而在大多数情况下，按照理论计算结果和规范条文的要求进行设计，至少在目前仍然是一种正确而明智的选择。 (2)我们要学会分析计算结果的可靠性和准确性，尤其要充分理解计算结果只是相对真理性。不要以为计算结果即是真理，不能有丝毫的放松和变通余地，如果是这样的话，结构的安全性隐患就是一个普遍的问题了，因为结构实际情况与计算假定之间或多或少总存在这样那样的差别。结构体系能够历经风、雨、地震等各种自然的作用，以及人为使用荷载的各种变化的考验，至少说明结构体系是具有一定抵抗意外作用能力的，绝不至于像宋玉东家之子那样“增之一分则太长，减之一分则太短；著粉则太白，施朱则太赤”（宋玉，《登徒子好色赋》）娇惯和精细。 (3)我们要重视概念设计。亚里士多德说：“一切皆混，唯有理性独净不混。”（[古希腊]亚里士多德，《形而上学》，商务印书馆，1991年版，第21员）既然理论计算目前还不完善，那么建立在人们理性基础上的概念分析和判断就不可或缺，尤其是在一体化计算程序非常普及的今天更应强调概念设计的重要性。概念设计不是凭空产生的，容柏生在一次讲座中指出，概念设计的主要依据和来源有：①深刻理解各种结构的工作原理和力学性质；②熟悉各类结构的设计原则；③掌握各种计算机程序的适用范围、力学模型、处理原则和开关使用等； ④丰富的工程经验，包括积累的直接经验和间接吸收的间接经验。通过概念设计可以做到：①保证正确的设计方向，即方向要对头；②符
《结构设计原理》述课
《结构设计原理》述课 一、前言 （一）课程基本信息 1.课程名称：结构设计原理 2.课程类别：专业平台课 3.学时：两学期总计84学时，2周课程设计 4.适用专业：交通工程 （二）课程性质 1.课程性质 结构是土木工程中最基本的元素，《结构设计原理》课程围绕着工程中常用的钢筋混凝土结构、预应力混凝土结构、圬工结构的设计计算进行理论和实践性的教学。 《结构设计原理》是土木工程专业的一门重要的专业必修课程，是学生运用已学的《工程制图》、《理论力学》、《材料力学》、《结构力学》、《工程材料》等知识，初步解决结构原理及结构设计问题的一门课程。其特点是：兼具理论性和实用性且承前启后，为学好专业课打好基础的课程，也是学生感到比较难学的一门课程。所以《结构设计原理》及其系列课程一直是土木工程专业的主干课，从开设的《结构设计原理》、《结构设计原理》课程设计，到毕业设计都渗透结构设计的理论，课程贯穿交通工程专业教学的所有环节。 本课程主要介绍钢筋混凝土结构、预应力混凝土结构和圬工结构的各种基本构件受力特性、设计原理、计算方法和构造设计。 2.本课程的作用 本课程主要培养学生掌握钢筋混凝土基本构件和结构的设计计算方法和与施工及工程质量有关的结构的基本知识，培养学生具有识读桥梁结构图纸的识读能力、基本构件的设计能力、使用和理解各种结构设计规范能力、解决工程结构实际问题的能力、综合分析问题的能力、学习能力和与人合作等能力，从而为继续学习后续专业课程奠定扎实的基础，以进一步培养学生树立独立思考、吃苦耐劳、勤奋工作的意识以及诚实、守信的优秀品质，为今后从事施工生产一线的工作奠定良好的基础。 本课程以“材料力学”、“理论力学”和“工程材料”的学习为基础共同打造学生的专业核心技能。
第三章结构设计原理
第三章 轴心受力构件 本章的意义和内容：在设计以承受恒荷载为主的多层房屋的内柱及桁架的腹杆等构件时，可近似地按轴心受力构件计算。轴心受力构件有轴心受压构件和轴心受拉构件。本章主要讲述轴心受压构件的正截面受压承载力计算、构造要求，以及轴心受拉构件的受拉承载力计算等问题。 本章习题内容主要涉及： 轴心受压构件——荷载作用下混凝土和钢筋的应力变化规律；稳定系数?的确定；配有纵筋及普通箍筋柱的强度计算；配有纵筋及螺旋形箍筋柱的强度计算；构造要求。 轴心受拉构件——荷载作用下构件的破坏形态；构件的强度计算。 一、概 念 题 （一）填空题 1. 钢筋混凝土轴心受压构件计算中，?是 系数，它是用来考虑 对柱的承载力的影响。 2. 配普通箍筋的轴心受压构件的承载力为u N = 。 3. 一普通箍筋柱，若提高混凝土强度等级、增加纵筋数量都不足以承受轴心压力时，可采用 或 方法来提高其承载力。 4. 矩形截面柱的截面尺寸不宜小于 mm 。为了避免矩形截面轴心受压构件长细比过大，承载力降低过多，常取≤l 0 ，≤h l 0 （0l 为柱的计算长度，b 为矩形截面短边边长，h 为长边边长）。 5.《混凝土结构设计规范》规定，受压构件的全部纵筋的配筋率不应小于 ，且不宜超过 ；一侧纵筋的配筋率不应小于 。 6.配螺旋箍筋的钢筋混凝土轴心受压构件的正截面受压承载力为 sso y s y cor c u 2(9.0A f A f A f N α+''+=），其中，α是 系数。 （二）选择题 1. 一钢筋混凝土轴心受压短柱，由混凝土徐变引起的塑性应力重分布现象与纵筋配筋率ρ'的关系是：[ ] a 、ρ'越大，塑性应力重分布越不明显 b 、ρ'越大，塑性应力重分布越明显 c 、ρ'与塑性应力重分布无关 d 、开始，ρ'越大，塑性应力重分布越明显，但ρ'超过一定值后，塑性应力重分布反
CASTEP计算理论总结实例分析
C A S T E P计算理论总 结实例分析 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
CASTEP计算理论总结 XBAPRS CASTEP特点是适合于计算周期性结构，对于非周期性结构一般要将特定的部分作为周期性结构，建立单位晶胞后方可进行计算。CASTEP计算步骤可以概括为三步：首先建立周期性的目标物质的晶体；其次对建立的结构进行优化，这包括体系电子能量的最小 化和几何结构稳定化。最后是计算要求的性质，如电子密度分布(Electron density distribution)，能带结构(Band structure)、状态密度分布(Density of states)、声 子能谱(Phonon spectrum)、声子状态密度分布(DOS of phonon)，轨道群分布(Orbital populations)以及光学性质(Optical properties)等。本文主要将就各个步骤中的计算 原理进行阐述，并结合作者对计算实践经验，在文章最后给出了几个计算事例，以备参考。 CASTEP计算总体上是基于DFT，但实现运算具体理论有： 离子实与价电子之间相互作用采用赝势来表示； 超晶胞的周期性边界条件； 平面波基组描述体系电子波函数； 广泛采用快速对体系哈密顿量进行数值化计算； 体系电子自恰能量最小化采用迭带计算的方式； 采用最普遍使用的交换-相关泛函实现DFT的计算，泛函含概了精确形式和屏蔽形式。 一，CASTEP中周期性结构计算优点 与MS中其他计算包不同，非周期性结构在CASTEP中不能进行计算。将晶面或非周期性 结构置于一个有限长度空间方盒中，按照周期性结构来处理，周期性空间方盒形状没有 限制。之所以采用周期性结构原因在于：依据Bloch定理，周期性结构中每个电子波函 数可以表示为一个波函数与晶体周期部分乘积的形式。他们可以用以晶体倒易点阵矢量 为波矢一系列分离平面波函数来展开。这样每个电子波函数就是平面波和，但最主要的 是可以极大简化Kohn-Sham方程。这样动能是对角化的，与各种势函数可以表示为相应Fourier形式。 采用周期性结构的另一个优点是可以方便计算出原子位移引起的整体能量的变化，在CASTEP中引入外力或压强进行计算是很方便的，可以有效实施几何结构优化和分子动力学的模拟。平面波基组可以直接达到有效的收敛。 计算采用超晶胞结构的一个缺点是对于某些有单点限缺陷结构建立模型时，体系中 的单个缺陷将以无限缺陷阵列形式出现，因此在建立人为缺陷时，它们之间的相互距离 应该足够的远，避免缺陷之间相互作用影响计算结果。在计算表面结构时，切片模型应 当足够的薄，减小切片间的人为相互作用。 CASTEP中采用的交换-相关泛函有局域密度近似（LDA）（LDA）、广义梯度近似（GGA）和非定域交换-相关泛函。CASTEP中提供的唯一定域泛函是CA-PZ，Perdew and Zunger 将Ceperley and Alder数值化结果进行了参数拟和。交换-相关泛函的定域表示形式是 目前较为准确的一种描述。 Name Description Reference PW91Perdew-Wang generalized-gradient approximation, PW91
第4章 多自由度系统的振动题解
习 题 4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。 解：由题3-10的结果 22121111)(l g m l g m m k k +++ =，2 221l g m k -=，2212l g m k - =，2 2222l g m k k += 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M ??? ???=m m M 00；?? ?? ??????- - =l mg l mg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ，得 0322 =????? ??? ? ?-- - -=mp l mg l mg l mg mp l mg B 0242 2 2224 2 =+-∴l g m p l g m p m l g p ) 22(1-=∴ ，l g p )22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ???? ? ? ? ???-=l mg mp l mg adjB 2 分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为 ??????-=112) 1(A ?? ????+=112)2(A 题4-1图
4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。 解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力 2111,k k ，由平衡条件得到， 222111a k b k k +=， a k k 221-= 设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为 ?? ? ???=??????????? ?--++????????????? ?00003122222 2122 1x a k a k a k a k b k x m a m θθ 由频率方程02=-M K p ，得 031 2 22222 212221=----+p m a k a k a k p a m a k b k 4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和 k 1=k 2=k 时系统的固有频率。 解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到， l l k l l k I 4 34343432 11111θθθ+-= 2 2434343432 2211122l l k l l k l l k I θθθθ--= 整理得到， 016 91692 2112111=-+θθθl k l k I 题4-3图 题4-2图
悬索桥结构计算理论
悬索桥结构计算理论
悬索桥结构计算理论 主要内容 ?概述 ?悬索桥的近似分析 ?悬索桥主塔的计算 ?悬索桥成桥状态和施工状态的精确计算
1.概述 1.1悬索桥的受力特征 悬索桥是由主缆、加劲梁、主塔、鞍座、锚碇、吊索等构件构成的柔性悬吊体系，其主要构成如下图所示。成桥时，主要由主缆和主塔承受结构自重，加劲梁受力由施工方法决定。成桥后，结构共同承受外荷作用，受力按刚度分配。
悬索桥各部分的作用 主缆是结构体系中的主要承重构件，受拉为主； 主塔是悬索桥抵抗竖向荷载的主要承重构件，受压为主； 加劲梁是悬索桥保证车辆行驶、提供结构刚度的二次结构，主要承受弯曲内力； 吊索是将加劲梁自重、外荷载传递到主缆的传力构件，是连系加劲梁和主缆的纽带，受拉。 锚碇是锚固主缆的结构，它将主缆中的拉力传递给地基。
1.概述(续) ?悬索桥计算理论的发展与悬索桥自身的发展有着密切联系 早期，结构分析采用线弹性理论(由于桥跨小，索自重较轻，结构刚度主要由加劲梁提供。 中期(1877), 随着跨度的增加，梁的刚度相对降低,采用考虑位移影响的挠度理论。 现代悬索桥分析采用有限位移理论的矩阵位移法。 ?跨度不断增大的同时，加劲梁相对刚度不断减小，线性挠度理论引起的误差已不容忽略。因此，基于矩阵位移理论的有限元方法应运而生。应用有限位移理论的矩阵位移法，可综合考虑体系节点位移影响、轴力效应，把悬索桥结构非线性分析方法统一到一般非线性有限元法中，是目前普遍采用的方法。
?弹性理论 （1）悬索为完全柔性，吊索沿跨密布； （2）悬索线性及座标受载后不变； （3）加劲梁悬挂于主缆，截面特点不变；仅有二期恒载、活载、温度、风力等引起的内力。 计算结果：悬索内力及加劲梁弯距随跨经的增大而增大。
电子结构计算方法概述
第二章电子结构计算方法概述 物体所表现的宏观特性都由物体内部的微观结构决定，块状材料在力学、热学、电学、磁学和光学等方面的许多基本性质，如振动谱、电导率、热导率、磁有序、光学介电函数、超导等都由电子结构决定1。因此，定量、精确地计算材料的电子结构在解释实验现象、预测材料性能、指导材料设计等方面都具有非常重要的意义和作用，也是一个富有挑战性的课题。 2.1 第一性原理计算方法概述 2.1.1 基本概念 与其它理论计算方法类似，电子结构的计算方法大体上也可划分为两类：半经验（或经验）计算方法与第一性原理(First-Principles)计算方法(也有“从头算（ab initio）”这个叫法)。前者是指在总结归纳某些实验现象与结果的基础上建立起相应的理论模型、计算公式与参数，然后推广应用到研究其它现象和性质的理论方法；后者则指 、电子电量e、普朗仅需采用5个基本物理常数，即电子的静止质量m 克(Plank)常数h、光速c和玻尔兹曼(Boltzmann)常数k B，而不需要其它任何或经验或拟合的可调参数,就可以应用量子力学原理（Schr?dinger方程）计算出体系的总能量、电子结构等的理论方法2。在计算过程中，它只需知道构成体系的各个元素与所需要模拟的环境（如几何结构），因此有着半经验方法不可比拟的优势。
量子力学是20世纪最伟大的发现之一，它构成了整个现代物理学（甚至现代化学）的基石，其矩阵力学形式最先由海森堡（W. K. Heisenberg）于1925年创立。但量子力学最流行的表述形式却是薛定谔（Schr?dinger）于次年建立的与矩阵力学形式等价的波动力学形式，它的核心是粒子的波函数及其运动方程——薛定谔方程。对一个给定的系统，我们可能得到的所有信息都包含在系统的波函数当中。因此，第一性原理计算方法的基本思路就是将多个原子构成的体系理解为由电子和原子核组成的多粒子系统，然后求解这个多粒子系统的薛定谔方程组，获得描述体系状态的波函数Φ以及对应的本征能量——有了这两项结果，从理论上讲就可以推导出系统的所有性质2。 原则上，任何材料的结构和性能都能依照上述基本思路、通过第一性原理计算得到；但实际上，除个别极简单的情况（如氢分子）外，物体中电子和核的数目通常达到1024 /cm3的数量级，再加上如此多的粒子之间难以描述的相互作用，使得需要求解的薛定谔方程不但数目众多，而且形式复杂，即使利用最发达的计算机也无法求解。这正如量子力学的奠基者之一——狄拉克(Dirac)在1929年所说：“量子力学的普遍理论业已完成……作为大部分物理学和全部化学之基础的物理定律业已完全知晓，而困难仅在于将这些定律确切应用时将导致方程式过于复杂而难于求解。”3因此Kohn认为，当系统的电子数目大于103时，薛定谔方程式的直接求解将是个不科学的课题，人们必须针对材料的特点作合理的简化和近似3。
第六章多自由度体系地微振动
第六章多自由度体系的微振动 教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。 教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和简正坐标的物理意义。 教学难点：简正坐标的物理意义。 §6.1 振动的分类和线形振动的概念 振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等），在微观领域也是一种普遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等）。振动的种类根据所依据的标准不同可有几种分类方法，下面将简单介绍。 一：振动的分类 1.按能量的转换来划分. 自由振动——系统的能量E为常数，即能量守恒。 阻尼振动——系统的能量E逐渐转化为热能Q。 强迫振动——系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能Q。 2.按体系的自由度划分. 单自由度振动——体系的自由度S=1。 有限多自由度振动和无限多自由度振动——体系的自由度为大于1的有限值或无限大值。 3.按体系的动力学微分方程的种类划分. 线性振动——体系的运动微分方程为线性方程。 非线性振动——体系的运动微分方程为非线性方程。 4.本章研究的主要问题. 以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。如线性振动还可以进一步分为单自由度线性振动、有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。 表6.1给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。我们在本章研究的主
要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论。 表6.1 二：有限多自由度线性振动 1.定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。 例如：单摆的运动微分方程为0=+θθsin l g ，方程为非线性的。但当θ很小时有θθ≈sin ， 方程变为线性方程0=+θθl g 。如果同时还存在有阻尼θβ -及强迫力)t (f ，则方程可写成 )t (f l g =++θθβθ ，仍为线性方程。 2.应用：一般情况下当力学体系在其平衡位置做微振动时，只要考虑它的最低级近似即可。这样的振动无论是自由振动、阻尼振动还是强迫振动，也无论自由度的个数是多少，其振动的运动微分方程均可看成是线性的，也就是属于线性振动。 三：平衡位置及其分类. 1.平衡位置的定义及判定方法。 （1）定义：如果力学体系在t=0时静止地处于某一确定位置，当∞?→? t 时该体系仍能保持在此位置，那么该位置即为体系的平衡位置，我们说体系处于平衡态。 （2）判定方法：在§2.4节中我们已指出保守力学体系处于平衡位置时，其势能应取极值（见第二章4.2式），即 s ...,i ,q V i i 210==??，这可以做为保守体系平衡位置的判据。 2.平衡位置的分类及其判定方法. （1）平衡位置的分类：平衡位置按其性质不同可分为三类： ○1稳定平衡：力学体系受到扰动偏离平衡位置后将回到平衡位置或者在平衡位置的附近做微振动。
杆系结构自由振动精确求解的理论和算法
第十四届全国结构工程学术会议论文集 2005年 杆系结构自由振动精确求解的理论和算法 袁驷，叶康生 （清华大学土木工程系，北京，100084） F. W. Williams, D. Kennedy （Cardiff University, Cardiff, UK） 摘 要：杆系结构的自由振动特性对结构的抗震设计至关重要。与常规有限元方法采用近似形函数将原问题化为线性特征值问题不同，本文的精确方法从杆件精确的形函数出发获得精确的动力刚度，将原问题化为非线性特征值问题。已有的Wittrick-Willliams算法很好地解决了该问题的频率求解。在此基础上，作者进一步提出了求解该非线性问题的导护型Newton法格式，并优化了各个算法环节。该法能同时求出频率和振型，求解结果精确可靠且具有二阶收敛速度，是一种快速精确、可靠实用的工程计算方法。 关键词：动力刚度矩阵、频率、振型、牛顿法、Wittrick-Williams算法、杆系结构 THEORY AND ALGORITHM OF THE EXACT METHOD FOR FREE VIBRATION PROBLEMS OF SKELETAL STRUCTURES YUAN Si, YE Kangsheng (Tsinghua University, Beijing, 100084, China) F. W. Williams, D. Kennedy （Cardiff University, Cardiff, UK） Abstract: The solution of free vibration problem of skeletal structures provides important data for engineering design. This paper surveys a new type of exact methods which uses exact dynamic stiffnesses and hence results in a nonlinear eigenvalue problem in contrast to the traditional finite element method which reduces this problem into a linear algebraic eigenvalue problem by using approximate shape functions. The well-established Wittrick-Williams algorithm can be used to calculate the frequencies of this nonlinear problem elegantly. Recently the authors presented a new type of Newton’s method for this nonlinear eigenvalue problem with many optimized techniques incorporated in. The recursive use of the proposed method employs the Wittrick-Williams algorithm to guide and guard each Newton correction and hence gives secure second order convergence on both natural frequencies and mode vectors. Numerical examples show that this method is not only exact and reliable but also very economical and efficient, and therefore is well applicable large-scaled engineering problems. Keywords: dynamic stiffness matrix; natural frequencies; vibration modes; Newton’s method; Wittrick-Williams algorithm; skeletal structures. 1 引言 结构的自由振动分析给出结构的自振频率和振型，它们反映了结构的动力特性，在工程实践中是结构抗震设计的重要基础。杆系结构是无限自由度问题，即使是单根杆件，其自由振动分析也属于常微分 ——————————————— 基金项目：国家杰出青年科学基金(59525813)、教育部博士点基金(20020003045)和英国EPSRC(GR/G05437/01)资助项目 作者简介：袁驷(1953)，男，北京人。博士、教育部长江学者特聘教授、院长、中国土木工程学会副理事长、中国力学学会结构工程专业委员会主任。从事结构工程研究。(yuans@https://www.360docs.net/doc/9b11892766.html,)； 叶康生(1972)，男，江苏人，博士，讲师，从事结构工程研究。