波动光学复习题及答案

第九章波动光学

9.1 在双缝干实验中，波长入=500nm的单色光入射在缝间距

d=2x 10-4m的双缝上，屏到双缝的距离为2m，求：

(1) 每条明纹宽度；(2)中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；(3)若用一厚度为e=6.6 x 10”m的云母片覆盖其中一缝后，零级明纹移到原来的第7级明纹处；则云母片的折射率是多少？

9

解：(I) Ax = —= 2 50010 m=5< 10-3m

d 2 10

(2) 中央明纹两侧的两条第10级明纹间距为

20 Ax =0.1m

(3) 由于e(n-1)=7入,所以有

n=1 + — =1.53

e

9.2 某单色光照在缝间距为d=2.2 x 10-4的杨氏双缝上，屏到双

缝的距离为D=1.8m,测出屏上20条明纹之间的距离为9.84 x 10-2m,则该单色光的波长是多少？

解：因为x Dy

d

2

x 20 x 9.84 10 m

2.2 10 4 9.84 10 2

所以601.3 nm

20 1.8

9.3 白光垂直照射到空气中一厚度e=380nm的肥皂膜(n=1.33) 上，在可见光的范围内400〜760nm),哪些波长的光在反射中增

强？

解：由于光垂直入射，光程上有半波损失，即206+ 2 =''时，

干涉加强。所以

入=如

2k 1

在可见光范围内，k=2时，入=673.9nm

k=3 时,入=404.3nm

9.4 如题图9.4所示，在双缝实验中入射光的波长为550nm 用一厚度为e=2.85 x 10-4cm的透明薄片盖住s缝，发现中央明纹

。试求：透明薄片的折射率。

解：当用透明薄片盖住S i缝，以单色光照射时，经S i缝的光程，

在相同的几何路程下增加了，于是原光程差的中央明纹位置从O 点向上移动，其他条纹随之平动，但条纹宽度不变。依题意，图

中O'为中央明纹的位置，加透明薄片后，①光路的光程为

r i e ne * (n 1)e :②光路的光程为D。因为点是中央明条纹的

位置，其光程差为零，所以有 a [r i (n 1)e] 0，即

r2 r i (n 1)e

⑴

在不加透明薄片时，出现中央明条纹的条件为

r2r-i k

⑵

由⑴式和式⑵可得 (n 1)e k

所以介质的折射率为

k 彳 n

1

e

依题意，代入已知条件和的数值得

此介质薄片是云母片

9.5如题图9.5所示，在杨氏双缝干涉实验中，已知入射光的波

长为

550nm ，缝距为d=0.33cm ，缝与屏间距为D=3m 试求:

⑴条纹间距；⑵若在缝S 2前盖住e=0.01mm 的平行平面玻璃， 试确定条纹的位移方向和计算位移的公式，又假设已知条纹

⑵设在S 2缝前盖住玻璃片前后，第k 级明条纹分别出现在离屏幕

3 550 10 2.85 10

1.58

折射率。

D

x d

3 550 10 9

0.33 10

2

m 3

0.5 10 m

0.5mm

中心0为x和x'处，则与前后两明纹相对应的光程差分别为

X k

D

' x k

k d - (n 1)e k

因此该级明纹位移为

D

X k X k （1 n）e

d

因n>1,故x k x k 0，即该级明纹向下移动。

若x'k X k 4.73mm，则玻璃折射率为

' 2 3

n 1 d X k X k 10.33 10 （ 4.73）10 1 52

n 1 ----------------- 1 3 ------- 1 .52

D e 3 0.01 10

讨论：因杨氏双缝干涉条纹宽度为x —，故上述条纹位移公式

d

又可写成X k X k X，由上式可见，附加光程差（n-1）e每增

加（或减少）一个波长，条纹就向下（或向上）移动一个条纹

的距离，换句话说，第k级条纹移到了原来第k-1级（或第k+1 级）的位置。就某一固定位置而言，光程差每增加一个波长，该处干涉条纹的级别就升了一级，或者说，原来第k级条纹的位置

将被原来第k+1级所取代。因此，上述结论具有普遍的意义。

9.6折射率为的两块标准平板玻璃之间形成一个劈尖（劈尖角很小）用波长

为的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹。假如在劈尖内充满的液体时，相邻明纹间距比空气劈尖时的间距缩小，试求：劈尖角。

解：设空气劈尖时相邻明纹间距为，液体劈尖时相邻明纹间距为。

由明纹间距公式，和分别为

则两种劈尖相邻明纹间距之差为

所以劈尖角为

9.7 白光从空气垂直照射到肥皂膜上。在可见光的处有一个干涉极大，而在

处有一个干涉极小。设肥皂膜厚度是均匀的，其折射率。试求：肥皂膜的最小厚度。

解：根据薄膜干涉的条件，计算膜厚关键是确定干涉条纹级数，依题意，仅根据干涉极大极小的条件是不能确定它们的干涉级数和的，还应考虑干涉条纹级数和必须是整数这个条件。

依题意，根据干涉极大和干涉极小的条件分别有

由式和式可得

即

对上式两边同除以105 可得

于是有

因为和必须是整数，可设是整数

即

当时

时

将和的可能取值代入明纹或暗纹公式，即可求出相应的厚度。从干涉理论

分析，只要与此厚度相应的光程差不大于相干长度，则可取一系列数值，其中最小值与相对应，由式可得

9.8 若用波长不同的光观察牛顿环，，结果观察到用时，第个暗环与用时

第个暗环重合，已知透镜的曲率半径为，试求：用观察时，第级暗环的半径是多少如果用波长为的光做实验，发现它的第个明环与的第个明环重合，则波长是多少

解：依题意

故有

所以

根据暗环半径公式，已知，故有

即

其中

故有

即

9.9 如题9.9 图所示在一块玻璃基片上交替镀上不同材料的多层介质膜，组

成一个反射式滤波片，使他能对波长为的红光的

反射率达以上，已知高折射率介质为，折射率为，低折射率介质为，折射率为。

试求：每层

膜的最小厚

度

（设光线

垂直照

射）。

解：反射式滤色片是让反射光在膜的上表面干涉加强。第一层为膜，厚度为，第二层为膜，厚度为，第三层为膜，厚度为，第四层为膜，厚度为，膜的层数愈多，总反射率愈高，但由于光的吸收，实际上层数不能过多，一般最佳值为15层或17层。入射光

在第一层膜上下表面反射形成的两束相干光，考虑到存在半波损

失和垂直入射的条件，所以光程差为

根据干涉加强条件

依题意，要求镀的膜厚度最小，即

故有

所以

同理，入射光在第二层膜上下表面反射形成的两束相干光，其光程差为

所以

依此类推，各层膜的厚度，即为上面所求之值。

9.11波长为600nm平行光垂直照射到12cm长的两块玻璃上，两块玻璃片一端相互接触，

另一端加着一直径为d的金属丝，若测得这12cm内有141条明纹, 则金属丝的直径为多少?

9.12 一牛顿环，凸透镜曲率半径为3000mm用波长的平行光垂直照射, 求第20 个暗环的半径.

9.13 波长为的平单色光垂直的照射到缝宽为a=

m的单缝上，屏与缝相距D=1m求中央明纹的宽度.

9.14用波长为0.63um激光束垂直照射到单逢上，若测得两个第

五级暗纹之间的距离为6.3nm,屏与缝间的距离为5m,求单缝宽.

解: 有单缝衍射公式:

9.15 平行单色光照射到缝宽为a= 的单缝上,缝后放有

焦距为f=400mm凸透镜，其焦平面上放一屏幕，若在屏幕上测得第三级暗纹之间相距8mm则入射光的波长为多少？

解: 由单缝衍射得方程

9.16在夫琅单缝衍射实验中用单色光垂直照射缝面 ，已知入射光

的波长为500nm,第一级暗纹的衍射角为 30o ,试求:⑴ 逢宽是 多少？(2)逢面所能分成的半波带数.

解：由单缝衍射得方程:

9.17 已知单缝的宽度为0.6m m 会聚透镜的焦距等于 40cm,

让光线垂直射入单缝平面，在屏幕上 x=1.4mm 处看到明条纹极

大，如题9。17图所示。试求:

(2)缝面所能分成的半

波带数。

解：(1)根据单缝衍射明 纹公式，有

依题意，有题图9。17 可得

所以入射光线的波长为

在可见光范围内4 0 0 0 nm< <7600nm,把一系列k 的许可值代 入上式中，求出符合题意的解。

令 k=1, 求得 ，为红外光，不符合题意； 令 ，求得 ，为红外光，不符合题意； 令 ，求得 ，符合题意； 令 ，求得 ，符合题意；

，求得 ，为紫外光，符合题意

⑵根据题意，此时的 成的半波带数为2个

为半个波长的2倍，所以缝面分

(1)入射光的波长及衍射级数;

业比> I?

所以本题有两个解：波长为的第3级衍射和波长为

的第4级衍射。

(2)单缝波面在波长为6 0 0 nm时，可以分割成个半波带；在波长为时，单缝波面可以分割成个半波带。

9.18—直径为2 nm的氦氖激光器的激光束投射于月球表面，已知激光波长

，月球和地面的距离为。试求：(1)在月球上得到的光斑的直径有多大；(2)如果这激光束经扩展成直径为和时，试问月球表面的光斑将各为多大。解：(1)激光经激光器出射孔时，将发生圆孔衍射，由于月球离地面足够远，可视为夫琅费圆孔衍射，月球上得到的光斑就是圆孔衍射的艾里斑。由圆孔夫琅费衍射艾里斑的半角公式：可得光斑直径d 为

式中L为月球到地球的距离

代入数据，得

(2)如果激光被扩成

直径，即光束直径扩展到原来

的倍，则光斑直径缩小到原来的倍，故此时的光斑直径为

同理，当激光束直径扩成时，光斑直径为

9.19 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距。试求：在离车多远处的人恰能分辨这两盏灯，设夜间人的瞳孔直径，入射光波长为，车与人眼的距离为s. 解：假设所求距离s 只取决于眼睛瞳孔的衍射效应。两灯对人眼的张角为

由于眼睛的最小分辨角为

故有

即

代入数据，得这就是恰能分辨两盏灯时，车与人眼的距离。

9．20 用一个每毫米500 条缝的衍射光栅观察钠光谱线，波长为

589。Onm,试求：（1）当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次；（2）当光线以30 度角斜入射时，能看到的光谱线的最高级次是多少。

解：（1 ）依题意，光栅常数为

入射光垂直入射时，设能看到的最高级次为，根据光栅公式，有

因为，即

代入数据，得

因为 应取整数，所以

9.21衍射光栅有

根刻线，它们均匀排列在

的宽度上，

此光栅为垂直入射的钠灯中的黄光所照射，此光系由波长为 与 的两根靠得很近的光谱线（钠双线）组成。试求： （1）

对于这两种波长中的第一种波长来说，其第一级极大出现在什么 角位置上；（2）这两种谱线的第一级极大之间的角距离为多大。 解：（1）依题意，光栅常数为 根据光栅公式 依题意，

，代入上式可得

（2）由于 ，故可用微分方法直接计算两谱线的第一级极大 之间的角距离。

由光栅公式，有 两边微分，得 由于

，故 可用实际波长差

代替，

就成为题目所

要求的角距离，即 代入数据，得

9.22波长为600nm 的单色光垂直入射在一光栅上，第二，三级 明文分别出

现在sin 0.20和0.30处，第四级缺级。试求：（1） 光栅上相邻两缝间距是多少；（2）光栅上狭缝的宽度有多大；（3） 按上述选定的a,b 值,在整个光屏上，实际呈现的全部级数为哪 些？

589.59 589.00

10 9

4

10

2.53 10

10

COS13.4

2.4 10

解:光栅衍射公式为(a+b)sin k

此即光栅上相邻两缝的间距

(2)当光栅衍射明条纹第四级缺级时，有 (a+b)=s in

4

由单缝暗纹公式 asin k ' (k=1,2,........... )

由此得 a b 4

a k '

因a b a 从而

1,故k '只能取1,2,3. a b , 4 4,2

a

3

但由缺级条件 (a b)sin k

I

asin k

可知,若(a+b)/a=2,则第二级明纹必定缺级,所以,(a+b)/a 只能 取4或4/3,即

a+b/a=4 或 a+b/a=4/3

由此得狭缝的宽度为

1

a= (a+b)=1.5

10 6m 4

A=3(a+b)=4.5

10 6m

4

⑶在0< <90.的范围内，因光栅公式为

(a+b)s in =k (k=0,1,2..…)

K<^-^ 10

因k 为整数，所以k=0,1,2,……,9. 由此可知，无论a 取何值, 在-90< <90的范围内，可能出现的明条纹级次为

k=0, a b)sin 凡是,

依题意,k 2时,sin 0.20,故(a b)

2 sin

2 600 10

m 6 10 3mm

0.20

由缺级条件可知，在单缝衍射第k级暗纹处缺级时，有

a b k

a k'

若取a 1（a b）,则

4

a b '

k k 4k （k 1, 2,……） a

因此，当k 4, 8时出现缺级.故在屏幕上呈现的全部级次只能是

3

0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9.若取 a -(a b),则

4

4k'

a 3

因k和k'均为整数，故k 4, 8时缺级.故在屏幕上呈现的全部级

次与a扣b）时相同，但两者的光强分布不相同-

9.23用可见光（400 --760nm）照射光栅,一级光谱和二级光谱是

否重叠？二级和三级又如何？解:（1）两级相邻光栅光谱要发生重叠现象，则要求第k级光谱的红光端（760nm）所对应的衍射角大于第（k+1）级光谱的紫光端

（400nm）所对应的衍射角。

由光栅公式dsin =k可得

K=1 时，sin 产』= 760nm

d d

K=2 时，sin 2=◎ 800nm

d d

对于同一个光栅，d相同，故有1

谱不发生重叠。

（2）同理，由光栅公式dsin 2，因此，一级光谱和二级光

2 红152Onm

2

K=2 时，sin

3 紫1200nm

~ d d

故有 2 3

因此，二级和三级光谱发生部分重叠。

9.24 一衍射光栅在1cm有200条缝，每条缝宽a=2 io3cm,

在光栅后放有焦距为f=1m的凸镜，现以600cm的平行单色光垂

直照射在光栅上，求：

（1）透光缝a的单缝衍射中央明纹的宽度；

（2）在中央明纹宽度内，有几个光栅衍射主极大？

解：（1）因为中央明纹的宽度等于两个一级暗纹间的距离，所以由单缝衍射asin =k，其中sin f,k 1.所以有

2f

x — a

(2)由光栅公式 a sin k ,其中sin y

所以x'「丄 6 102m k' 2

a

即k' 0, 1, 2,共5个主极大

9.25 白光垂直照射到一个1cm有4000条缝的衍射光栅上，

可以产生多少完整的可见光谱（可见光波长为400到760nm）?

解：光栅常数为a b丄cm

4000

由光栅衍射公式，有 a b sin k

10 2

令sin 1 1,当400nm时，K ^40°°^

10

2

7601m

时，k 2 塔F 3

已在sin 2之内。

所以，不重叠的只有k 1, 2,共4条

9.26 一衍射光栅，缝宽为 a ,其光栅常数d=4a 。当单色光

垂直照射在光栅上时，在单缝衍射中央明纹范围内共出现几条明 纹；在单缝衍射的正或负一级明纹范围内共出现几条明纹？ 解：（1）由已知条件可知a+b=4a

4as in

k asi n

k'

其中k' 1,k 4,所以，在中央明纹中只有 0， 1, 2, 3可见，4缺级，

共可见7条。

（2）k' 2,k 8,第8级缺级。在第一级明纹中，5, 6, 7可见, 所以，每一

级明纹范围内可见 3条。

9.27 如题图9.27所示，入射X 射线束不是单色的而是含 有从

0.095到0.130nm 这一范围内的各种波长，晶体的晶面间距 d=0.275nm,

试问：对图中的晶面簇能否发生强反射？

2

0.32

a b

2 3 10 1 0.6

3

0.48,

a b

a b

cm

4000 k 1 2,sin 2 k 2 2,sin 2 k 1 3,sin 3

k i 1 ,

sin 1

a b 400nm

cm 4000

0.16

k 2 1, sin i

760nm 0.30

解：此题实际上是求与晶面法线成 45的反射方向的反射光

线加强产生亮点的入射波长，可利用布拉格公式在

X 射线波长

0.095到0.130nm 范围内寻找。根据布拉格公式：

2d sin k

将Z 侮呵代入’可得

min

max

0.389

0.095 --------- 0.130

在0.095至U 0.130nm 波长范围内， k

0.389 | 0.389

k

0.130 0.095

3.0 k

4.1

因为级次k 只能取整数，故k=3, 4.即

所以，入射X 射线束的波长为0.097nm 和0.130nm 时，晶体 可产生强反射。

K=3 时，

3

型 nm 0.130nm

3

k 4时,

0.389 nm 0.097 nm

4