中考数学圆综合题(含答案)

一.圆地概念

集合形式地概念：1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合；

2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合；

3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合

轨迹形式地概念：

1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆；

（补充）2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）；

3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；

4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；

5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线.

二.点与圆地位置关系

1.点在圆内?d r

2.点在圆上?d r=?点B在圆上；

3.点在圆外?d r>?点A在圆外；

三.直线与圆地位置关系

1.直线与圆相离?d r>?无交点；

2.直线与圆相切?d r=?有一个交点；

3.直线与圆相交?d r

四.圆与圆地位置关系

外离（图1）?无交点?d R r

>+；

外切（图2）?有一个交点?d R r

=+；

相交（图3）?有两个交点?R r d R r

-<<+；

内切（图4）?有一个交点?d R r

=-；

内含（图5）?无交点?d R r

<-；

A

五.垂径定理

垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧.

推论1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧； （2）弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧；

（3）平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦,并且平分弦所对地另一条弧

以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论.

推论2：圆地两条平行弦所夹地弧相等. 即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD

六.圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中,相等地圆心角所对地弦相等,所对地弧相等,弦心距相等. 此

定理也称1推3定理,即上述四个结论中,

只要知道其中地1个相等,则可以推出其它地3个结论, 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；

③OC OF =；④ 弧BA =弧BD

七.圆周角定理

1.圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半. 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB

所对地圆心角和圆周角

图4

图5

B

D

∴2AOB ACB ∠=∠ 2.圆周角定理地推论：

推论1：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中,相等地圆周角所对地弧是等弧；

即：在⊙O 中,∵C ∠.D ∠都是所对地圆周角 ∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧是半圆,所对地弦是直径.

即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上地中线等于这边地一半,那么这个三角形是直角三角形.

即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==

∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?

注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一

半地逆定理.

八.圆内接四边形

圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补,外角等于它地内对角. 即：在⊙O 中,

∵四边形ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=? DAE C ∠=∠

九.切线地性质与判定定理

（1）切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 地切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点地半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线地直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线地直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：

B

A

B

A

O

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.

十.切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆地两条切线,它们地切线长相等,这点和圆心地连线平分两条

切线地夹角.

即：∵PA .PB 是地两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠

十一.圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得地两条线段地乘积相等. 即：在⊙O 中,∵弦AB .CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ?=?

（2）推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项.

即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2

CE AE BE =?

（3）切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线,切线长是这点到割线与圆交

点地两条线段长地比例中项.

即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =?

（4）割线定理：从圆外一点引圆地两条割线,这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）. 即：在⊙O 中,∵PB .PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=?

十二.两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公

共弦.

D

B

A

如图：12O O 垂直平分AB . 即：∵⊙1O .⊙2O 相交于A .B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三.圆地公切线

两圆公切线长地计算公式：

（1）公切线长：12Rt O O C ?中

,221AB CO ==

（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 . 十四.圆内正多边形地计算 （1）正三角形

在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ?

中进行：

::1:2OD BD OB =；

（2）正四边形

同理,四边形地有关计算在Rt OAE ?中进行

,::OE AE OA =

（3）正六边形

同理,六边形地有关计算在Rt OAB ?中进行

,::2AB OB OA =.

十五.扇形.圆柱和圆锥地相关计算公式 1.扇形：（1）弧长公式：180

n R

l π=

； （2）扇形面积公式： 21

3602

n R S lR π=

= n ：圆心角 R ：扇形多对应地圆地半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积

l

O

2012数学中考圆综合题

1．如图,△ABC 中,以BC 为直径地圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆地切线；

（2）若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =

32,tan ∠AEC =3

5

,求圆地直径．

2如图,已知AB 是⊙O 地弦,OB ＝2,∠B ＝30°,C 是弦AB 上地任意一点（不与点A.B 重合）,连接CO 并延长CO 交于⊙O 于点D,连接AD ．

(1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时,求∠BOD 地度数；

(3)当AC 地长度为多少时,以A.C.D 为顶点地三角形与以B.C.O 为顶点地三角形相似？请写出解答过程．

3. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A.B 两点,AE 是⊙0地直径．点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE,过C 作CD ⊥PA,垂足为D.

(1)求证：CD 为⊙0地切线；

(2)若DC+DA=6,⊙0地直径为l0,求AB 地长度. 1. (1)证明：连接OC,

∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵CD ⊥PA,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO.

∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0地半径,∴CD 为⊙0地切线．

(2)解：过0作0F ⊥AB,垂足为F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD,OF=CD.

∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x,∵⊙O 地直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x,

在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =.由AD

从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB,由垂径定理知,F 为AB 地中点,∴AB=2AF=6.

4．（已知四边形ABCD 是边长为4地正方形,以AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点（不与点A.B 重合）,连接PA.PB.PC.PD ．

(1)如图①,当PA 地长度等于 ▲ 时,∠PAB ＝60°； 当PA 地长度等于 ▲ 时,△PAD 是等腰三角形；

(2)如图②,以AB 边所在直线为x 轴.AD 边所在直线为y 轴,建立如图所示

地直角坐标系（点A 即为原点O ）,把△PAD.△PAB.△PBC 地面积分别记为S 1.S 2.S 3．坐标为（a ,b ）,试求2 S 1 S 3－S 22地最大值,并求出此时a ,b 地值．

5.

6.（11金华）如图,射线PG 平分∠EPF ,O 为射线PG 上一点,以O 为圆心,10为半径作⊙O ,分别与∠EPF 地两边相交于A .B 和C .D ,连结OA ,此时有OA//PE ． （1）求证：AP =AO ； （2）若tan ∠OPB =

1

2

,求弦AB 地长；

（3

）若以图中已标明地点（即P .A .B .C .D .O ）构造四边形,则能构成菱形地四个点为 ▲ ,能构成等腰梯形地四个点为 ▲ 或 ▲ 或 ▲ .

（1）∵PG 平分∠EPF ,

∴∠DPO =∠BPO ,

∵OA//PE ,∴∠DPO =∠POA ,

∴∠BPO =∠POA ,∴PA =OA ； ……2分 （2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则AH =HB =

1

2

AB ,……1分 ∵ tan ∠OPB =1

2

OH PH =,∴PH =2OH , ……1分

设OH =x ,则PH =2x ,

由（1）可知PA =OA = 10 ,∴AH =PH －PA =2x －10,

∵222

AH OH OA +=, ∴222(210)10x x -+=, ……1分 解得10x =（不合题意,舍去）,28x =,

∴AH =6, ∴AB=2AH=12； ……1分 （3）P .A .O .C ；A .B.D.C 或 P.A.O.D 或P.C.O.B . 7．（芜湖市）（本小题满分12分）

如图,BD 是⊙O 地直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧AB ⌒上一点,过点M 点作⊙O 地切线MP 交OA 地延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点．

（1）求证：PM ＝PN ；（2）若BD ＝4,PA ＝ 32

AO ,过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 地长．

P

A

B

C

O D E

F

G

第21H P

A

B

C

O D

E

F G

8．（黄冈市）（6分）如图,点P 为△ABC 地内心,延长AP 交△ABC 地外接圆于D,在AC 延长线上有一点E,满足AD 2＝AB ·AE,求证：DE 是⊙O 地切线.

（证明：连结DO,∵AD 2＝AB ·AE,∠BAD ＝∠DAE,∴△BAD ∽△DAE, ∴∠ADB ＝∠E. 又∵∠ADB ＝∠ACB,∴∠ACB ＝∠E,BC ∥DE, 又∵OD ⊥BC,∴OD ⊥DE,故DE 是⊙O 地切线）

9．（义乌市）如图,以线段AB 为直径地⊙O 交线段AC 于点E ,点M 是?AE 地中点,OM 交AC 于点

D ,60BO

E ∠=°,1

cos 2C =,23BC =

（1）求A ∠地度数； （2）求证：BC 是⊙O 地切线；

（3）求?MD 地长度． （解：（1）∵∠BOE =60° ∴∠A ＝1

2

∠BOE ＝ 30°

（2）在△ABC 中 ∵1

cos 2

C = ∴∠C =60°…1分 又∵∠A ＝30°

∴∠ABC =90°∴AB BC ⊥……2分 ∴BC 是⊙O 地切线

（3）∵点M 是?AE 地中点 ∴OM ⊥AE 在Rt △ABC 中 ∵23BC = ∴AB =tan 60233BC ?==g 6

∴OA =

32

AB = ∴OD =1

2OA =32 ∴MD =32）

10. （兰州市）（本题满分10分）如图,已知AB 是⊙O 地直径,点C 在⊙O 上,过点C 地直线与AB 地延长线交于点P,AC=PC,

∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC 是⊙O 地切线； （2）求证：BC=21

AB ；

（3）点M 是弧AB 地中点,CM 交AB 于点N,若AB=4,求MN ·MC 地值. 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB

∵AB 是⊙O 地直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC ⊥CP ∵OC 是⊙O 地半径 ∴PC 是⊙O 地切线

（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P

∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB

∴BC=OC ∴BC=21

AB

(3)连接MA,MB

∵点M 是弧AB 地中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM

∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM

∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN ∽△MCB

∴BM MN

MC BM =

∴BM 2=MC ·MN

∵AB 是⊙O 地直径,弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM

∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC ·MN=BM 2=8

O

B A C

E M D

11．（本题满分14分）

如图（1）,两半径为r 地等圆1O e 和2O e 相交于M N ，两点,且2O e 过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ,分别交

1O e 和2O e 于A B ，两点,连结NA NB ，．

（1）猜想点2O 与1O e 有什么位置关系,并给出证明；

（2）猜想NAB △地形状,并给出证明； （3）如图（2）,若过M 地点所在地直线AB 不垂直于MN , 且点A B ，在点M 地两侧,那么（2）中地结论是否成立,若成立请给出证明．

4. （1）2O 在1O e 上证明：2O Q e 过点1O ,12O O r ∴=．又1O Q e 地半径也是r ,∴点2O 在1O e 上． （2）NAB △是等边三角形 证明：MN AB ⊥Q ,90NMB NMA ∴∠=∠=o

．

BN ∴是2O e 地直径,AN 是1O e 地直径,即2BN AN r ==,2O 在BN 上,1O 在AN 上．

连结12O O ,则12O O 是NAB △地中位线．1222AB O O r ∴==．

AB BN AN ∴==,则NAB △是等边三角形．

（3）仍然成立．证明：由（2）得在1O e 中?MN

所对地圆周角为60o ． 在2O e 中?MN 所对地圆周角为60o ．

∴当点A B ，在点M 地两侧时, 在1O e 中?MN 所对地圆周角60MAN ∠=o ,在2

O e 中?MN 所对地圆周角60MBN ∠=o , NAB ∴△是等边三角形．

图（1）

图（2）

12．如图12,已知：边长为1地圆内接正方形ABCD 中,P 为边CD 地中点,直线AP 交圆于E 点． （1）求弦DE 地长．

（2）若Q 是线段BC 上一动点,当BQ 长为何值时,三角形ADP 与以Q C P ，，为顶点地三角形相似． 1）如图1．过D 点作DF AE ⊥于F 点．在Rt ADP △中,

AP =

=

1122

ADP S AD DP AP DF ==Q g g △

DF ∴=

?AD 地度数为90o 45DEA ∴∠=o DE ∴=

（2）如图2．当Rt Rt ADP QCP △∽△时有AD DP QC

CP

=得：1QC =．即点Q 与点B 重合,

0BQ ∴=如图3,当Rt Rt ADP PCQ △∽△时,有AD PD PC

QC

=得14QC =,即34

BQ BC CQ =-=

∴当0BQ =或3

4

BQ =

时,三角形ADP 与以点Q C P ，，为顶点地三角形相似． 13.．（本小题满分10分）如图,⊙O 是Rt△ABC 地外接圆,AB 为直径,∠ABC =30°,CD 是⊙O 地切线,ED ⊥AB 于F , (1)判断△DCE 地形状；(2)设⊙O 地半径为1,且OF =

2

1

3-,求证△DCE ≌△OCB 6. 解：(1)∵∠ABC =30°,∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形．

又∵CD 是切线,∴∠OCD =90°,∴∠DCE =180°-60°-90°=30°．

而ED ⊥AB 于F ,∴∠CED =90°-∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形． (2)证明：在△ABC 中,∵AB =2,AC =AO =1,∴BC =2

2

12-=3．

OF =

213-,∴AF =AO +OF =2

1

3+． 又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ．

而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB .

E

图12

第6题图

E 5题图1

E

5题图2

E 5题图3