高考文科数学向量专题讲解及高考真题含答案

向量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；

坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O .

单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）??

?==?2

1y y x x

(6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.

2..向量的运算运算类型

几何方法

坐标方法

运算性质

向量的加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则

向量的减法

三角形法则

AB BA =-,AB OA OB =-

数乘向量

1.a λ是一个向量,满

足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向;

λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=.

向量的数量积

a b ?是一个数

1.00a b ==或时，

0a b ?=.

00||||cos(,)

a b a b a b a b ≠≠=且时，

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 4.向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 5.向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

6.向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．

设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线． 7.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）

8.分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++??

?++??

．（当时，就为中点公式。）1=λ 9.平面向量的数量积：

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2

a a a a ?==或a a a =?．③a

b a b ?≤．

⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()()

a b a b a b λλλ?=?=?；③()

a b c a c b c +?=?+?． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+．若(),a x y =，则2

a x y

=+，或2a x y =

+．设()11,a x y =，()22,b x y =，则

12120a b x x y y ⊥?+=．

设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，

θ是a 与b 的夹角，则

121

cos a b a b

x θ?=

+．

⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）

设 P 1P =λPP 2 （或P 2P λ1P 1P ），且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则1212

11y y y x x x λλλλ+?=??+?

+?=?+?

推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：121222

y y y x x x +?

=???

+?=?? 推广2λ=则λ

λ++=1PM （λ对应终点向量）．

三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：12312333x x x x y y y y ++?

=???

++?=??

注意：在△ABC 中，若0为重心，则=++，这是充要条件．

⑥平移公式：若点P ()y x ,按向量a =()k h ,平移到P ‘()

,y x ，则?????+=+=k

y y h x x ''

4．（1）正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则

R C

B b A a 2sin sin sin ===．（2）余弦定理：???

????-+=-+=-+=C ab a b c B ac c a b A

bc c b a cos 2cos 2cos 2222

22222 （3）正切定理：2tan 2tan B A B A b a b a -+=

-+ （4）三角形面积计算公式：

设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r

．

①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c

②S △=Pr

③S △=abc/4R

④S △=1/2sin C·ab=1/2ac·sin B=1/2cb·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]

⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．

如图：图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr ，图2中的I 为S △ABC 的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）

r a

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点．

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．内心：三角形三内角的平分线相交于一点．垂心：三角形三边上的高相交于一点．

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．

（5）已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即2

b a ++]，则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ）

②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）．特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =

b a ab

c b a ++=

-+2（如图3）．（6）在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++．

证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以

C B

A B

A tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！

（7）在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DC BD BC

AB BD AC AD ?-+=222

．

证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 B BD AB BD AB AD cos 2222??-+=① 在△ABC 中，由余弦定理有 BC

AB AC BC AB B ?-+=2cos 2

22②，

②代入①，化简可得，DC BD BC

AB BD AC AD ?-+=222

（斯德瓦定理）

①若AD 是BC 上的中线，222222

a c

b m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线，()a p p b

c c

b t a -?+=

，其中p 为半周长；

图5

③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p a

h a ---=2，其中p 为半周长．

（8）△ABC 的判定：

?+=222b a c △ABC 为直角△?∠A + ∠B =2

2c ＜?+22b a △ABC 为钝角△?∠A + ∠B ＜2

π 2c ＞?+22b a △ABC 为锐角△

?∠A + ∠B ＞2

附：证明：ab

c b a C 2cos 2

22-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C +?-+?

（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．

09-13高考真题

09.7. 函数2)6

2cos(-+=π

x y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，

向量a 可以等于 A.(

,2)6π

- B.(,2)6π C.(,2)6π-- D.(,2)6

- 【答案】D

09.1. 若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=

A. 3a+b

B. 3a-b

C.-a+3b

D. a+3b 【答案】B

10.8. 已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实m 使得AM AC mAM +=成立，则m =B A.2

B.3

C.4

D.5

11.2．若向量)2,1(=a ，)1,1(-=b ，则b a +2与b a -的夹角等于

A ．4

B ．

6π C ．4

π D ．43π

【详细解析】分别求出2+a b 与-a b 的坐标，再求出a ，b ，带入公式求夹角。

【考点定位】考查向量的夹角公式cos θ=

a b

??,属于简单题. 12.13 .已知向量()()1,0,1,1==a b ,则

(1)与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为___；

(2)向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____

高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选含答案

向量 1.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?? ?==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 2..向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则向量的减法三角形法则 AB BA =-u u u r u u u r ,AB OA OB =- 数乘向量 1.a λr 是一个向量,满足:||||||a a λλ=r r 2.λ>0时, a a λr r 与同向; λ<0时, a a λr r 与异向; λ=0时, 0a λ=r r . 向量的数量积 a b ?r r 是一个数 1.00a b ==r r r r 或时， 0a b ?=r r . 2.00||||cos(,) a b a b a b a b ≠≠=r r r r r r r r g 且时， ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++r r r r r r ；③00a a a +=+=r r r r r ． ⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r r ． 4.向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r r ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ． 5.向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr ． ① a a λλ=r r ； ②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r ；③() a b a b λλλ+=+r r r r ． ⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r ． 6.向量共线定理：向量() 0a a ≠r r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、() 0b b ≠r r r 共线． 7.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底） 8.分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12 λP P =PP u u u r u u u r 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++?? ?++?? ．（当时，就为中点公式。）1=λ 9.平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤o o r r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=r r r r ．②当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或a =r ．③a b a b ?≤r r r r ．

高中文科数学平面向量知识点整理

高中文科数学平面向量知识点整理 1、概念向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：a =-b ?b =-a ?a+b =0 向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. 向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r 的长度或模，记作：||a r . （ 222 22 2||,||a x y a a x y =+==+r r r 。）零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =r r ，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2.已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么|3|a b +u u r r ＝_____ （答：13）； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()() a b c a b c ++=++r r r r r r ； ③00a a a +=+=r r r r r ． ⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r r ． b r a r C B A a b C C -=A -AB =B u u u r u u u r u u u r r r

高考文科数学真题汇编平面向量高考题老师版

【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+u u u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u v g 22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=. 23.（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，AB= ，BC=2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若=，则的值是． 24.（2014江苏）如图，在□ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的值是．【简解】AP AC -u u u r u u u r =3(AD AP -u u u r u u u r ),14AP AD AB =+u u u r u u u r u u u r ;34 BP AD AB =-u u u r u u u r u u u r ;列式解得结果22 25.（2015北京文）设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ?=r r r r ”是“//a b r r ”的（ A ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 26.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ， ()D 2,1A =u u u r ，则D C A ?A =u u u r u u u r （ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 27.（2015年安徽文）ABC ?是边长为2的等边三角形，已知向量b a ρρ、满足a AB ρ2=→，b a AC ρρ+=→2，则下列结论中正确的是 ①④⑤ 。（写出所有正确结论得序号） ①a ρ为单位向量；②b ρ为单位向量；③b a ρρ⊥；④→BC b //ρ；⑤→⊥+BC b a )4(ρρ。 28.（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【简解】如图建系: 由题意AD=1，ο60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,2 12(-x B ， 13(2,)22AC x =+u u u r ,13(,)22BE x =-u u u r 由题意 .1AD BE =u u u r u u u r 得：14 3)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为2 1。 29．（2012福建文）已知向量)2,1(-=→ x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ D ） A ．2 1-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 30．（2012陕西文）设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（ C ）

高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)

高考文科数学：平面向量

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量一、选择题 1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（） A ．3 455?? ??? ，- B ．4355?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355??- ??? ， 2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（） A B C ．D ． 3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量 ()()()()1,1,2,2,,= m n m n m n λλλ =+=++⊥-若则（） A ．4- B ．3- C ．-2 D ．-1 4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ．____ （） A 1- B C 1 D 2 5 ．（2013年高考广东卷（文））设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+ a b c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+ a b c ; ③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+ a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+ a b c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（） A ． B C ． D ．0 7 ．（2013年高考福建卷（文））在四边形 ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为（） A ．5 B ．52 C ．5 D ．10

高考文科数学双向细目表

模块知识点考查内容了解理解集合的含义、元素与集合的属于关系√列举法、描述法√包含于相等的含义√识别给定集合子集√全集于空集√并集于交集的含义与运算√补集的含义与运算√韦恩图表达集合的关系与运算√简单函数定义域和值域，了解映射√图像法、列表法、解析法表示函数√分段函数√函数单调性、最值及几何意义√函数奇偶性√函数图像研究函数性质指数函数模型背景√有理、实数指数幂、幂的运算指数函数概念、单调性√指数函数图像√对数的概念与运算√换底公式、自然对数、常用对数√对数函数的概念、单调性√对数函数的图像指数函数与对数函数互为反函数√幂函数的概念√幂函数的图像√二次函数、零点与方程的根√一元二次方程根的存在性及跟的个数√集合图像，用二分法求近似解指、对、幂函数的增长特征√函数模型的应用√柱、锥、台的结构特征√三视图√斜二测画法和直观图√平行、中心投影√三视图和直观图√球、柱、锥、台的表面积和体积公式√线面的位置关系定义√线面平行的判定 √面面平行的判定 √线面垂直的判定 √面面垂直的判定 √线面平行的性质 √面面平行的性质 √线面垂直的性质 √面面垂直的性质 √ 用已获结论证明空间几何体中的位置关系点、线、面位置关系集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算函数指数函数对数函数知识要求集合函数概念与基本初等函数1 立体几何初步幂函数函数与方程函数模型及应用空间几何体

结合图形，确定直线位置关系的几何要素√直线倾斜角和斜率的概念√过两点的直线斜率计算公式√判定直线平行或垂直√点斜式、两点式、一般式√斜截式与一次函数的关系√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式√ 点到直线的距离公式两条平行线间的距离公式√圆的几何要素，标准方程和一般方程判断直线与圆的位置关系应用直线与圆的方程√代数方法处理几何问题的思想√空间直角坐标表示点的位置√空间两点间的距离公式√算法的含义与思想√顺序、条件分支、循环逻辑结构√基本算法语句输入、输出、赋值、条件、循环语句√简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√样本频率分布表、频率分布直方图、折线图√茎叶图√标准差的意义和作用√平均数和标准差√用样本估计总体的思想√会画散点图，认识变量间的相关关系√最小二乘法，线性回归方程√频率和概率的意义√互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型及其计算公式√随机事件所含的基本事件数及发生的概率√随机数的意义，运用模拟方法估计概率√几何概型的意义√任意角的概念√弧度制的概念、弧度与角度的互化√正弦、余弦、正切的定义√单位圆的三角函数线√诱导公式√三角函数的图像√ 三角函数的周期性√ 正余弦函数的单调性、最值、对称中心 √正切函数性质 √同角三角函数的基本关系式 √正弦型函数的参数对图像变化的影响√向量的实际背景√ 平面向量的概念√ 向量的实际背景用样本估计总体变量的相关性事件与概率几何概型任意角的概念、弧度制三角函数直线与方程圆的方程空间直角坐标系算法的含义、程序框图随机抽样统计基本初等函数2平面解析几何初步算法初步

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa；数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa；＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

2014高考真题+模拟新题文科数学分类汇编：F单元平面向量纯word版解析可编辑

数学 F 单元平面向量 F1 平面向量的概念及其线性运算 10．[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 10．D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →. 在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →，所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D. 12．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13 .若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________． 12．3 [解析] 因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13 ＋4×1＝9，所以|a |＝3. 5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q ) D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时， a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题． 6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则 EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12 AD → C.12 BC → D.BC → 6．A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12 AB ＝AD .

届高三文科数学平面向量专题复习

2014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B ）第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记 1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量. （2）向量的模：有向线段的长度，a r . （3）单位向量：长度为1 的向量 .（4）零向量0r ，00=r ，方向任意. （5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。（7）向量的加减法 ①共起点的向量的加法：平行四边形法则 ②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点. 如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量 ④化减为加：AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e u r ，2e u u r 是平面内两个不共线的向量，a r 为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,λλ，使得 1122a e e λλ=+u r u u r r ，12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2. 平面向量的坐标运算?? ①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±r r ； ()()1111,,a x y x y λλλλ==r ， ②(),B A B A AB x x y y =--u u u r ，AB = u u u r ③(),a x y =r ，则a =r 3. 平面向量的数量积 ①向量a r 与b r 的数量积：cos a b a b θ?=r r r r （θ为向量a r 与b r 的夹角，[]0,θπ∈）； ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ?=+r r ； ③22a a a a =?=r r r r ；④a r 在b r 方向上的投影：cos a θr （θ为向量a r 与b r 的夹角）； ⑤θ为锐角?0a b ?r r f ，且a r 与b r 不同向；θ为钝角?0a b ?r r p ，且a r 与b r 不反向； θ为直角?0a b ?=r r （θ为向量a r 与b r 的夹角）. 4.向量的平行： ① a r ∥b r a b λ?=r r （0b ≠r r ，λ唯一确定）； ②a r ∥b r 1221x y x y ?= 5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r 第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.

高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)()

向量 1. 向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ） . (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜ . (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?? ?==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量 . 2.. 向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则向量的减法三角形法则 AB BA =-,AB OA OB =- 数乘向量 1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=.

向量的数量积 a b ?是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ?=. 2. 00||||cos(,) a b a b a b a b ≠≠=且时， 3.向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 4.向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B= --． 5.向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 6.向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 7.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且

高三数学平面向量知识点与题型总结(文科)

知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连” ． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ?=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ，则02121=?+?y y x x

文科数学-平面向量专题复习

平面向量复习试题（必修4）一、填空题 1．若有以下命题： ① 两个相等向量的模相等； ② 若和都是单位向量，则=； ③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ //，b c //，则c a //； ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是。 2. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。 3. 任给两个向量和，则下列式子恒成立的有________________。 ① ||||||+≥+ ② ||||||-≥- ③||||||b a b a +≤- ④ ||||||b a b a -≤- 4. 若3=，5-=且||||=，则四边形ABCD 的形状为________。 5．梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D 且DC AB //，CD AB 2=，则点C 的坐标为___________。 6. ABC ?的三个顶点坐标分别为),(11y x A ，)(22y x B ，)(33y x C ，若G 是ABC ?的重心，则G 点的坐标为__________，=++__________________。 7. 若向量)1,1(=，)1,1(-=，)2,1(-=，则=c ___________(用a 和b 表示)。 8. 与向量)4,3(=平行的单位向量的坐标为 ________________。 9. 在ABC ?中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则=?BC AB ________________。 10.设)3,(x =，)1,2(-=，若与的夹角为钝角，则x 的取值范围是 __ ____。 11. 直线l 平行于向量)3,2(-=，则直线l 的斜率为____________。 12. 已知)4,3(-=，)sin ,(cos θθ=)(R ∈θ，则|2|-的取值范围是 _________。 13.已知向量a 、b 不共线，且||||=，则b a +与b a -的夹角为 __________。 14.在ABC ?中c AB =，a BC = ，b CA =，则下列推导正确的是__ _ 。 ① 若0

高考文科数学常考题型训练平面向量

常考题型大通关：第14题平面向量 1、已知向量(,1),(4,2)a x b ==-r r ,若//a b r r ,则a b +=r r _________. 2、设向量(),,11,2()a m b ==r r ，且222a b a b +=+，则m =___________________________ 3、已知非零向量,a b r r 满足1,1a b +-r r ,且4a b -=r r ,则a b +=r r _________. 4、若向量,a b r r 满足8,12a b ==r r ,则a b +r r 的最小值是_________;当非零向量,a b r r (,a b r r 不共线) 满足__________时,能使a b +r r 平分,a b r r 的夹角(AOB ∠是向量,OA OB u u u r u u u r 的夹角,0180AOB ?≤∠≤?). 5、在菱形ABCD 中,60DAB ∠=?,2AB =u u u r ,则BC DC +=u u u r u u u r __________. 6、已知向量()1,2a =-r ，b r ，a b -r r |a b +=r r ____________． 7、已知向量,a b r r 满足1,1a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°，则2a b +=r r __________． 8、已知平面向量,a b 满足2,4,2a b a b ==+=则a 与b 的夹角为_______. 9、已知平面向量(1)a b =-=-r r ,则a r 与b r 的夹角为__________ 10、已知向量(2,3)a =-r ,(3,)b m =r ,且a b ⊥r r ,则m =__________. 11、已知()()1,21,2,2a m b m =-=--r r ,若向量//a b r r ,则实数m 的值为__________. 12、向量()()1,1,1,0a b =-=r r ,若()()2a b a b λ-⊥+r r r r ,则λ=__________. 13、若2sin15a =?r ,4cos15,b =?r a r 与b r 的夹角为?30,则a b ?r r 的值_______________ 14、设()5,2a -r ＝，()6,2b r ＝，则212|a|a b 2 -?r r r ＝______________. 15、在等腰直角三角形ABC 上(包括边界)有一点P ，2AB AC ==，1PA PB ?=u u r u u r ，则PC uu u r 的取值范围是。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编8：平面向量

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编8：平面向量一、选择题 1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点 ()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（） A ．3455?? ??? ，- B ．4355?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355??- ??? ，【答案】A 2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（） A B C ．D ．【答案】A 3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量 ()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（） A ．4- B ．3- C ．-2 D ．-1 【答案】B 4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c| 的最大值为（） A 1 B C 1+ D 2+ 【答案】C 5 ．（2013年高考广东卷（文））设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+ a b c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+ a b c ; ③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+ a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+ a b c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）

2019年高考文科数学平面向量-分类汇编(文)

2019年高考文科数学平面向量-分类汇编（文） 1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 【答案】B 【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-?=?-a b b a b b =0，所以2?=a b b ，所以cos θ=22||12||2 ?==?a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3 ，故选B ． 2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A B ．2 C ． D ．50 【答案】A 【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ，故选A. 3．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8 【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ?=-?+==，，a b . 4．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________. 【答案】10 - 【解析】 2826cos ,||||10?-+??===-?a b a b a b ． 5．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，, 5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ?=_____________．

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同) ,(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A a b b b a A A B C C ) 2() 3( 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。

②向量减法：同一个图中画出a b a b r r r r 、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a 。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a ； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //； (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律例2 化简)()(BD AC CD AB = 练习1.下列命题中正确的是 A ．OA O B AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u r C ．00AB r u u u r r D ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r 2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r 得 A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则