上海市行知中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题

上海市行知中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知点 A ( 2, 3) ， B (0, 5) ，且AD = DB ,则点 D 的坐标是_____；

2．将参数方程12cos 2sin x y θ

θ=+??=?

（θ 为参数）化为普通方程，所得方程是_____；

3．已知圆锥的母线与底面所成角为 45°，则圆锥的侧面积与底面积的比值为_____；

4．以双曲线22

145

x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．

5．的平面截球所得的圆的面积为 π ，该截面圆周上有两点 A .B ，且| AB |= 2 ，则 A .B 两点的球面距离为_____；

6．已知正四棱锥的底面积为 4cm 2，体积为 4cm 3，设它侧面上的斜高与底面所成角大小为θ ，则 sin θ的值是_____；

7．已知 2 + ai ，b + i （其中 a , b ∈ R ）是实系数一元二次方程 x 2+ px + q = 0 的两个根，则

a bi

p qi

++的值为_____; 8．圆柱的轴截面是边长为 5cm 的正方形 ABCD ，一只蚂蚁沿着圆柱的侧面从点 A 爬到点 C ，爬过的最短路程长度是_____cm ；

9．已知ABC ?的面积为1，在ABC ?所在的平面内有两点P ,Q ，满足

0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则四边形BCPQ 的面积为____________.

10．如图， △ABC 中， ∠ACB = 90? , ∠ABC = 30? , BC 圆（圆心 O 在边 BC 上，半圆与 AC ，AB 分别相切于点 C ，M ，与 BC 交于点 N ），将其绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体体积为________；

11．对 n ∈ N ，设抛物线 y 2= 2(2n + 1) x ，过 P ( 2n , 0) 任作直线 l 与抛物线交与 A n ，

B n 两点，则数列·2(1)n n OA OB n ????+??

的前 n 项和为_____；

12．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为

2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值

为__________

二、单选题

13．已知直线 a . b 都在平面α 外，以下假命题的是（） A ．a ∥b ， b ∥α ，则 a ∥α B ．a ⊥b ， b ⊥α ，则 a ∥α C ．a ∥α ， b ∥α ，则 a ∥b

D ．a ⊥α ， b ⊥α ，则 a ∥b

14．在△ABC ，有命题①若AB ? AC > 0 ,则△ABC 为锐角三角形；②AB + BC + CA = 0 ；③ ( AB + AC ) ? ( AB - AC ) = 0 ,则△ABC 为等腰三角形；④AB - AC =

BC ，以上命题正确的是（）

A ．①②

B ．①④

C ．②③

D ．②③④

15．如图，在正三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AB = 1 ，若二面角 C - AB - C 1 的大小为 60°，则点 C 到平面 ABC 1 的距离为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

16．正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为 a ，平面 ABCD 上一动点 M 到直线 AD 的距离与到直线C 1D 1 的距离相等，则点 M 的轨迹为（） A ．直线 B ．椭圆

C ．抛物线

D ．双曲线

三、解答题

17．如图已知四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 P A 的长为 8，且垂

直于底面，点M . N 分别是DC .AB 的中点．

求：（1）异面直线PM 与CN 所成角的正切值；

（2）四棱锥P -ABCD 的表面积.

18．已知复数z =a +bi ，其中a .b 为实数，i 为虚数单位，z为z 的共轭复数，且存

?3ai成立.

在非零实数t ，使z=2+4i

（1）求2a +b 的值；

（2）若| z - 2 |≤ 5，求实数a 的取值范围.

19．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2m2的正四棱锥形有盖容器（如下图）．设容器高为h m,盖子边长为a m,

（1）求a关于h的解析式；

（2）设容器的容积为V m3,则当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（求解本题时，不计容器厚度）.

20．如图，在正三棱柱ABC -A1 B1C1 中，AB = 3 ，AA1 = 4 ，M 为AA1 的中点，

P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC1 到M ，设这条最短路线与CC1 的交点为N ．求：

（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（2） PC 和 NC 的长；

（3）平面 NMP 和平面 ABC 所成锐二面角大小的正切值.

21．给定椭圆 C : 22

221x y a b

+=(0)a b >>

圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F , 0) ，其短轴上的一个端点到 F 1 的

（1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程；

（2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦 MN 的的长；

（3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l 1、l 2，使得 l 1、l 2与椭圆 C 都只有一个公共点，判断l 1、l 2的位置关系，并说明理由.

参考答案1．(1, 4)

【分析】

由题意明确点D的位置，根据中点坐标公式得到结果. 【详解】

∵AD=DB，

∴D为线段AB的中点，

∴点D 的坐标是(1, 4)，

故答案为：()

1,4

【点睛】

本题考查中点坐标公式的向量形式，属于基础题. 2．(x - 1)2+y2= 4

【分析】

根据平方关系式消去参数可得．

【详解】

由

12cos

2sin

可得：

12cos

2sin

，

利用平方关系可得：(x - 1)2+y2= 4

故答案为：(x - 1)2+y2= 4

【点睛】

本题考查了参数方程化成普通方程，考查同角基本关系式，属基础题．

【分析】

由圆锥的母线与底面所成角为45°，可知圆锥底面半径与母线长的关系，从而得到结果. 【详解】

设圆锥的底面半径为r，母线长为，

∵圆锥的母线与底面所成角为45°，

∴2r

=，

圆锥的侧面积为：22r r ππ=

，底面积为：2r π

，

【点睛】

本题考查圆锥的侧面积以及直线与平面所成角的应用，考查空间想象能力以及计算能力．

4．22195

x y +=

【分析】

本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程．【详解】

由双曲线的相关性质可知，双曲线2

145

x y C 的焦点为(3,0)，顶点为(20)，

所以椭圆的顶点为(3,0)，焦点为(20)，

因为2

，所以椭圆的方程为22

195

x y +

=，故答案为22

195

x y +=．

【点睛】

本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键． 5．

π 【分析】

径，结合| AB |= 2 ，明确球半径的夹角，从而得到结果. 【详解】

截面圆的面积为π，所以小圆的半径为1，

，所以球的半径为r ==2，

∵| AB |= 2 ， ∴3

AOB π

∠=

，

∴A .B 两点的球面距离为223

π?=

，故答案为：23

π 【点睛】

本题考查两点间的球面距离，考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是基础题．

6【分析】

设E 为CD 中点，由正棱锥性质，斜高PE ⊥CD ，，OE ⊥CD ，∠PEO 为斜高与底面所成角，∠PEO ＝θ．在直角三角形POE 中求出即可．【详解】

解：如图，底面面积为4cm 2，底面边长CD ＝2，．体积为4cm 3，高PO ＝3，

E 为CD 中点，由正棱锥性质，斜高PE ⊥CD ，OE ⊥CD ，∠PEO 为斜高与底面所成角，∠PEO ＝θ．

在直角三角形POE 中，sin θ

PO PE =

==．

【点睛】

本题考查线面角的计算，要将空间角转化成平面角来解决．考查空间想象，转化、计算能力．

7．

14341

- 【解析】【分析】

由实系数一元二次方程的根与系数关系列式求解a ，b ，p ，q 的值，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】

∵2+ai ，b +i （其中a ，b ∈R ）是实系数一元二次方程x 2+px +q ＝0的两个根，

∴()()22ai b i p ai b i q +++=-??++=?

，

即()()()()2122b a i p b a ab i q ?+++=-??-++=??

，

∴10

20a ab +=??

+=?

，

解得a ＝﹣1，b ＝2， ∴p ＝﹣4，q ＝5， ∴

()()12451214345162541

i i a bi i i

p qi i -+--+-+-===+-++．故答案为

14341

- 【点睛】

本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了复数代数形式的乘除运算，是中档题．

8 【分析】

把圆柱沿着一条母线剪开后展开，然后利用直角三角形中的勾股定理求解从A 到C 的最短距离．【详解】解：如图，

∵圆柱的轴截面是边长为5cm 的正方形，展开后为矩形ABA ′B ′， BC 为圆柱底面圆的周长的一半，等于

，AB ＝5，

∴圆柱侧面上从A 到C =

故答案为2

．

【点睛】

本题考查了旋转体中的最短距离问题，关键在于对旋转体的正确展开，是基础题． 9．

【分析】

根据0,PA PC QA QB QC BC +=++=可判断出,P Q 的位置并作出图形，然后根据三角形的面积公式1

sin 2

S bc A =可求解出APQ

S ，即可求解出四边形BCPQ 的面积.

【详解】

因为0PA PC +=，所以P 是线段AC 的中点，又因为QA QB QC

BC ++=，所以QA QB QC BQ QC ++=+，所以2QA BQ =，

所以Q 是AB 上靠近B 的一个三等分点，作出图示如下图：

因为121111sin sin 232323

APQ

AB AC A AB AC A ??=???=???= ???，所以12

133

BCPQ S =-=四边形. 故答案为：23

. 【点睛】

本题考查根据向量的线性运算求图形面积，难度一般.对于线段AB ，若存在点P 满足：

()*AP PB N λλ=∈，则P 是AB 的一个()1λ+等分点.

10【分析】

△ABC 中解直角三角形可得AC ＝1，AB ＝2AC ＝2．连结OM ，可得OM ⊥AB ，利用OB ＝2OM

结合题意算出半圆的半径为r 等于3

，再利用圆锥的体积公式和球的体积公式加以计算，即可得到所求旋转体的体积．【详解】

解：连结OM ，则OM ⊥AB

∵∠ABC ＝30°，BC = ∴AC ＝BC tan30°＝1，AB ＝2AC ＝2 设OM ＝r ，则OB ＝2r

∵OB =

r ，∴2r =r ，解之得r =

因此所得旋转体的体积为

V ＝V 圆锥﹣V 球13=π×AC 2×BC 34133r ππ-=?12

43π?=??

【点睛】

本题给出特殊图形，求阴影部分旋转所得几何体的体积．着重考查了解直角三角形、圆的切线性质和圆锥、球的体积公式等知识，属于中档题． 11．-n 2- n 【解析】【分析】

设A n （x n 1，y n 1），B （x n 2，y n 2），直线方程为x ＝ty +2n ，代入抛物线方程得y 2﹣2（2n +1）ty ﹣4n （2n +1）＝0，求出n n OA OB ?的表达式，然后利用韦达定理代入得n n OA OB ?=-4n 2﹣4n ，故可得()221n n OA OB n n ?=-+，据此可得数列()21n n OA OB n ?????

??+???

?的前n 项和．

【详解】

解：设直线方程为x ＝ty +2n ，代入抛物线方程得y 2﹣2（2n +1）ty ﹣4n （2n +1）＝0，设A n （x n 1，y n 1），B （x n 2，y n 2），

则()

()2

12121212124n n n n n n n n n n OA OB x x y y t y y nt y y n ?=+=++++，

用韦达定理代入得()()

()2

4211421444n n OA OB n n t n n t n n n ?=-+++++=--，

故

()

221n n

OA OB n n ?=-+，

故数列()21n n OA OB n ?????

+????

的前n 项和为(1)(-2)2n n +?=-n 2- n ，故答案为：-n 2- n ．【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题的知识点，向量与圆锥曲线，数列结合时，一般使用向量的坐标运算与方程的根联系起来，从而转化为根与系数的关系．这是处理向量与圆锥

曲线综合问题的基本思路． 12．221228216πππππ??+?=+ 【解析】

根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ??+?=+．

【考点定位】考查旋转体组合体体积的计算，重点考查空间想象能力，属难题． 13．C 【分析】

根据平行线的性质和线面平行的定义，可得A 项正确；根据线面垂直的性质与线面平行的判定，可得B 项正确；根据平行于同一个平面的两条直线的位置关系，可得C 项不正确；根据线面垂直的性质定理，可得D 项正确．【详解】

解：由于直线a 、b 都在平面α外，

可得若a ∥b 且b ∥α时必定有a ∥α，A 项正确；

根据b ⊥α且b ⊥a ，可得a 与α的位置关系是平行或在平面α内结合题设直线a 在平面α外，可得a ∥α成立，B 项正确；根据平行于同一个平面的两条直线，可能相交或异面可得当a ∥α且b ∥α时，不一定有a ∥b ，故C 项不正确；根据垂直于同一条直线的两条直线平行，

可得当a ⊥α且b ⊥α时，必定有a ∥b ，得D 项正确推断错误的只有C 故选C ．【点睛】

本题给出空间位置关系的几个命题，求其中的真命题．着重考查了空间的平行、垂直位置关系的判定与性质等知识，属于基础题． 14．C 【分析】

根据平面向量的计算法则对命题逐一判断即可．【详解】

解：①若AB AC ?＞0，则∠BAC 是锐角，但此角未必是最大角，A 错误； ②0AB BC CA ++=；根据平面向量的三角形法则判断正确；

③若（AB AC +）（AB AC -）＝0，得到2

0AB AC -=，所以AB ＝AC ，则△ABC 是等腰三角形，正确；

④AB AC BC -=；应该为AB AC CB -=，错误，故选：C ．【点睛】

本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及数量积公式的运用，属于基础题． 15．A 【分析】

过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连接C 1D ，则C 1D ⊥AB ，∠C 1DC ＝60°，且AB ⊥平面C 1DC ，所以平面ABC 1⊥平面C 1DC ，平面ABC 1∩平面C 1DC ＝C 1D ，所以过C 作CE ⊥C 1D ，则CE 为点C 到平面ABC 1的距离．【详解】

解：如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝1．若二面角C ﹣AB ﹣C 1的大小为60°，过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连接C 1D ，则C 1D ⊥AB ，∠C 1DC ＝60°，

CD = 则C 1

D =CC 13

，在△CC 1D 中，过C 作CE ⊥C 1D ，则CE 为点C 到平面ABC 1的距离，

CE 334?

，所以点C 到平面ABC 1的距离为3

．故选：A

【点睛】

本小题主要考查棱柱，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．

16．D

【分析】

过M作MF⊥AD，ME⊥D1C1，连接MD1，平面AC上一动点M到直线AD的距离与到直线

D1C1的距离相等，可得MD1=，即M到D1的距离等于M到直线AD

即可得出结论．

【详解】

解：过M作MF⊥AD，ME⊥D1C1，连接MD1，

∵平面AC上一动点M到直线AD的距离与到直线D1C1的距离相等，

∴MD1=，

∴M到D1的距离等于M到直线AD

∴点M的轨迹为双曲线．

故选：D．

【点睛】

本题考查轨迹问题，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

17．（1（2）144 【解析】【分析】

（1）解法一：连接AM ，∵底面ABCD 是边长为6的正方形，点M 、N 分别是DC 、AB 的中点，可得AN CM =，于是四边形AMCN 是平行四边形，可得CN ∥AM ，因此∠PMA （为锐角）是异面直线PM 与CN 所成角，利用直角三角形的边角关系求出即可；

解法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角；

（2）由P A 垂直于底面，利用线面垂直的性质定理可得P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，即Rt △P AB ≌Rt △PDC ，再利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥PB ；同理CD ⊥PD ，Rt △PBC ≌Rt △P AD ，利用直角三角形的面积计算公式分别计算即可．【详解】

解：（1）解法一：连接AM ，∵底面ABCD 是边长为6的正方形，点M 、N 分别是DC 、AB 的中点， ∴AN CM =，

∴四边形AMCN 是平行四边形， ∴CN ∥AM ，

∴∠PMA （为锐角）是异面直线PM 与CN 所成角．因为P A 垂直于底面，所以P A ⊥AM ，

点M 分别是DC 的中点，DC ＝6，∴AM =

在Rt △P AM 中，P A ＝8，AM =，

∴

tan PMA ∠=

，

即异面直线PM 与CN 所成角的正切值为

．解法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，

可得M （3，6，0），P （0，0，8），N （3，0，0），C （6，6，0），

∴()368PM =-，

，，()360CN =--，，，直线PM 与CN 所成角为θ，向量PM CN 与的夹角为?，

∵109PM CN cos PM CN

φ?=

=，

又cos cos θφ==

，

即异面直线PM 与CN ．（2）因为P A 垂直于底面，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，即Rt △P AB ≌Rt △P AD ，又P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB ．同理CD ⊥PD ，∴Rt △PBC ≌Rt △PDC ，

∵底面四边形ABCD 是边长为6的正方形，所以S 底＝36 又S 侧＝S △P AB +S △P AD +S △PBC +S △PCD 1122486010822PA AB PB BC ????

=??+??=+= ? ?????

． S 表＝108+36＝144

所以四棱锥P ﹣ABCD 的表面积是144．

【点睛】

本题综合考查了利用“平移法”和通过建立空间直角坐标系利用向量的方向向量的夹角求异面直线的夹角、线面垂直的判定与性质、四棱锥的表面积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力． 18．（1）6；（2）[3

5,5] 【解析】【分析】

（1）由题意可得，a ?bi =

2+4i t

?3ati ，所以{a =

t b =3at ?4t

，由此能求出2a +b 的值．

（2）由|z ﹣2|≤5得√(a ?2)2+b 2≤5，由b ＝6﹣2a ，得（a ﹣2）2+（6﹣2a ）2≤25，由此能求出a 的取值范围．【详解】

解：（1）由题意可得，a ?bi =

2+4i t

?3ati ，

所以{a =

t b =3at ?4t

，

由①得，t =2

，

代入②得b =3a ?2

a ?2a ，所以2a +

b ＝6．（2）由|z ﹣2|≤5，得|（a ﹣2）+bi |≤5，即√(a ?2)2+b 2≤5，由（1）得b ＝6﹣2a ，

所以（a ﹣2）2+（6﹣2a ）2≤25，化简得5a 2﹣28a +15≤0，所以a 的取值范围是[3

5，5]．【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 19．（1

）0)a h =>；（2）

11?6h m V V m =当时，有最大值，且的最大值为. 【解析】

试题分析：（1）先用正四棱锥的高h 和底面边长a 把正四棱锥的表面积表示出来，然后化简得结果；（2）由（1）结果列出体积V 关于h 的表达式，先利用重要不等式求1

的最小值，即可得V 得最大值.

试题解析：（1

142,0)2a a a h ∴+??=∴=>.

（2）由（1）知2211···331h V a h h ==+，则2111

3=3()6h h V h h

+=?+≥，当且仅当，

有最小值，即31

6h m V V m =当时，有最大值，且的最大值为. 考点：1、正四棱锥的表面积；2、正四棱锥的体积；3、重要不等式.

20．（1 ；（2） PC = 2 ， NC =45 ；（3）4

【解析】【分析】

（1）由展开图为矩形，用勾股定理求对角线长．

（2）在侧面展开图中三角形MAP 1是直角三角形，可以求出线段AP 的长度，进而可以求出PC 的长度，再由相似比可以求得CN 的长度．

（3）补形，找出两面的交线，在特殊的位置作出线面角，如图2．二面角易求．【详解】

解：（1）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

22497

（2）如图1，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线

图1

设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，在Rt △MAP 1中，由勾股定理得（3+x ）2+22＝29 求得x ＝2

∴PC ＝P 1C ＝2 ∵

112

5PC NC MA P A

== ∴4

NC =

（3）如图2，连接PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH ⊥PP 1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连接CH ，由三垂线定理得，CH ⊥PP 1

图2

∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角）

在Rt △PHC 中，∵11602PCH PCP ∠=∠=?，∴12

PC CH == 在Rt △NCH 中，

4515

NC tan NHC CH ∠===

故平面 NMP 和平面 ABC 所成锐二面角大小的正切值为4

【点睛】

本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

21．（1）椭圆方程：2

213

x y +=；伴随圆方程： x 2+ y 2= 1 ；

（2）

；（3）垂直，（斜率乘积为 -1 ，分斜率存在与否）【分析】

（1）直接由椭圆C

的一个焦点为)

F ，其短轴上的一个端点到F 1

出，即可求椭圆C 的方程及其“伴随圆”方程；

（2）先把直线方程与椭圆方程联立，利用对应的判别式为0求出，进而求出直线方程以及圆心到直线的距离；即可求弦MN 的长；

（3）先对直线l 1，l 2的斜率是否存在分两种情况讨论，然后对每一种情况中的直线l 1，l 2

与

椭圆C 都只有一个公共点进行求解即可证：l 1⊥l 2．（在斜率存在时，是先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论）．【详解】解：（1

）因为c a =

=b ＝1

所以椭圆的方程为2213

x y +=，

伴随圆的方程为x 2+y 2＝4．

（2）设直线l 的方程y ＝x +b ，由22

y x b x y =+??

?+=??得4x 2+6bx +3b 2﹣3＝0 由△＝（6b ）2﹣16（3b 2﹣3）＝0得b 2＝4 圆心到直线l

的距离为d =

所以MN ==（3）①当l 1，l 2中有一条无斜率时，不妨设l 1无斜率，因为l 1

与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =

x = 当l 1

方程为x =l 1

与伴随圆交于点

))

1-，

此时经过点

)

1)-且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1（或y ＝﹣1）

，即l 2为y ＝1（或y ＝﹣1），显然直线l 1，l 2垂直；同理可证l 1

方程为x =l 1，l 2垂直．

②当l 1，l 2都有斜率时，设点P （x 0，y 0），其中x 02+y 02＝4，

设经过点P （x 0，y 0），与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝k （x ﹣x 0）+y 0，

由()

0022

y kx y kx x y ?=+-??+=??，消去y 得到x 2+3（kx +（y 0﹣kx 0））2﹣3＝0，即（1+3k 2）x 2+6k （y 0﹣kx 0）x +3（y 0﹣kx 0）2﹣3＝0， △＝[6k （y 0﹣kx 0）]2﹣4?（1+3k 2）[3（y 0﹣kx 0）2﹣3]＝0，经过化简得到：（3﹣x 02）k 2+2x 0y 0k +1﹣y 02＝0，

2015年上海市高考数学试卷文科(高考真题)

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为． 2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=． 4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=． 5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=． 6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为． 10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是． 14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．

2021-2022年高二数学3月入学考试试题文

2021-2022年高二数学3月入学考试试题文本试卷分试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共48分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若, 则直线的斜率为 A. B. C. D. 2. 某单位有840名职工，现采取系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…， 840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间 A.11 B.12 C.13 D.14 3. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2 下列两个事件是互斥但不对立的事件是

A.至少有一个白球，都是白球 B.至少有一个白球，至少有一个红球 C.至少有一个白球，都是红球 D.恰有一个白球，都是白球 4. 读右边的程序，若输入，则输出 A. B. C. D. 5. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由) )()()(()(2 2 d b c a d c b a bc ad n K ++++-=算得，观测值 8.750 605060)20203040(1102≈????-??=k . 附表：参照附表，得到的正确结论是 A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

上海市上海中学2020-2021学年上学期高二期末数学试卷【含答案】

上海中学高二期末数学试卷 2021.01 一. 填空题 1. 若复数 3i 12i a ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=?（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为 3. 已知方程22 3212x y λλ +=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是 4. 已知双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p = 6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθ θθ=-??=+? （θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是 7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是 8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为 9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=?，则12||||PF PF ?= 11. 已知双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近线方程为 12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ，则22||||MP MQ +的最小值为二. 选择题 1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22 221x y a b -=有相同的焦点，则椭圆的离心率为（） A. B. 1 2 C. D.

2019年上海高考数学(文科)试卷

2019年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算： 31i i -=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{} 210A x x =->，{} 1B x x =<，则A B ?＝ 3、函数sin 2()1 cos x f x x = -的最小正周期是 4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示） 5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 6、方程1 42 30x x +--=的解是 7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、1 2 为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞ +++= 8、在6 1x x ? ?- ?? ?的二项式展开式中，常数项等于 9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示） 12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足 BM CN BC CD = ，则AM AN ?的取值范围是 13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1 (,1)2 B 、(1,0) C ，函数 ()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 14、已知1 ()1f x x = +，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是

上海市行知中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题

上海市行知中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．若复数z 满足2136z i -=+（i 为虚数单位），则z =____________. 2．函数()()1,1x f x a b a b =+><-不经过第_________象限. 3．已知“x k >”是“ 3 1x <”的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是_________. 4．在报名的2名男教师和4名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）. 5．设函数()()cos 06f x x πωω?? =- > ?? ? ，若()4f x f π?? ≤ ??? 对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 6．如果已知极限1lim sin 1n n n →∞??= ???，那么极限21 5sin lim 21 n n n n →∞--=________. 7．已知P 为曲线sin cos 12sin 2x y θθθ=+??=-? （θ是参数，02θπ≤<）上一点，则点P 到点 ()0,1Q 距离的最小值是_______. 8．已知函数()()2 11f x ax b x b =+++-，若对任意的b R ∈，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________. 9．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为__________. 10．若实数x 、y 满足约束条件4y x x y y k ≤?? +≤??≥? ，且2z x y =+的最小值是9-，则实数k = ______. 11．在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，?1），P 是曲线上一个动

高二上学期数学开学考试试卷

高二上学期数学开学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题（每题5分，共60分） (共12题；共24分) 1. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（） A . B . C . D . 2. （2分）(2018·肇庆模拟) 双曲线的焦点坐标为（） A . B . C . D . 3. （2分）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

4. （2分） (2017高二下·遵义期末) 椭圆2x2+y2=6的焦点坐标是（） A . （± ，0） B . （0，± ） C . （±3，0） D . （0，±3） 5. （2分）已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（） A . B . C . D . 6. （2分）已知椭圆双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） A . x＝± B . y＝± C . x＝± D . y＝± 7. （2分）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（） A .

B . C . D . 8. （2分）下列命题中，真命题是（） A . ?x0∈R，≤0 B . ?x∈R，＞ C . a+b=0的充要条件是=﹣1 D . a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 9. （2分）命题“若a＞b，则ac2＞bc2（a，b∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（） A . 4 B . 3 C . 2 D . 0 10. （2分）已知双曲线3x2-y2=9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（） A . B . C . 2 D . 4

2017-2018学年上海市七宝中学高二下学期数学期末考试试卷(含答案)

七宝中学高二期末数学试卷 2018.06 一. 填空题 1. 将三封录取通知书投入四个邮箱共有种不同的投递方式 2. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为 3. 已知空间向量(21,3,0)a x x =+r ，(1,,3)b y y =-r (,)x y ∈R ，如果存在实数λ，使得 a b λ=r r 成立，则x y += 4. 在6(2x +展开式中，常数项为（用数字作答） 5. 从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量如下（单位：克）：125、124、121、123、127，则该样本标准差s = 克 6. 在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6 门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有种 7. 若在1 ()n x x -展开式中，若奇数项的系数之和为32，则含4x 的系数是 8. 已知实数x 、y 满足不等式组340210380x y x y x y -+≥??+-≥??+-≤? ，若目标函数z x ay =+恰好仅在点(2,2)处取得最大值，则实数a 的取值范围为 9. 在9()a b c ++的展开式中，含432a b c 项的系数为（用数字作答） 10. 已知实数x 、y 满足组合数方程21717x y C C =，则xy 的最大值为 11. 设集合{1,2,3,4,5}I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有种 12. 如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，若2BC =，2AD c =，AB BD += 2AC CD a +=，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 体积的最大值是二. 选择题 13. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

上海高考文科数学试题及参考答案

2０14年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题(文科)及参考答案满分150分;考试时间１20分钟. 一、填空题（本大题共有1４题，满分５6分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数2 12cos (2)y x =-的最小正周期是 . 2．若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ?? + ?= ??? ． 3．设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-.若(2)1f =，则(1)f = . 4．若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 195 x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 . ５.某校高一、高二、高三分别有学生16０0名、1200名、80０名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为． 6．若实数,x y 满足1xy =，则2 2 2x y +的最小值为 . ７．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）． 8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 . ９．设,0, ()1 ,0.x a x f x x x x -+≤?? =?+>?? 若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 . 1０.设无穷等比数列 {} n a 的公比为q ,若)(43 1lim n n a a a a +++= ∞ → ，则 q = ．１１.若213 2 ()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是． 12.方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于．

2019-2020学年上海市行知中学高一上英语10月月考英语试卷

上海市行知中学2019学年第一学期高一年级第一次月考英语试卷 I. Grammar and Vocabulary Section A Directions: After reading the passage below, fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank. Mistakes that work The best way to learn something is to make mistakes first. Thomas Edison, (1) __________ invented the light bulb, told his colleagues: “Of the 200 light bulbs that didn’t work, every failure told me something was able to incorporate (融入) into the next attempt.” Benjamin Franklin, the US statesman and scientist once said: “I haven’t failed. I have had 10,000 ideas that didn’t work.” (2) __________ of these people understood that failures and false starts are the condition of success. In fact, (3) __________ surprising number of everyday objects had their beginnings in a mistake or a misunderstanding. Post-it notes, packets of crisps and even bread are all unexpected inventions. In 2600 BC, a tired Egyptian slave invented (4) __________ is now called bread when the dough (面团) rose during his sleep. And crisps were first cooked by a cook in the USA when a customer suggested his fried potatoes be (5) __________ (thin) than they were. In 1968 Spencer Silver was trying to develop a strong glue when he accidentally invented a very weak glue instead. His colleague, Art Fry decided to use it six years later, in1974, to have his bookmarks (6) __________ (hold) in his books and the post-it note was invented. Successful businesspeople have often made big, expensive mistakes in their past. When an employee of IBM made a mistake that cost the company $600,000, Thomas Watson, the chairman, (7) __________ (ask) if he would fire the man. “No,” he replied. “I have just spent $600,000 (8) __________ (train) him. I won’t let another company (9) __________ (benefit) from the experience. The important thing to remember is that you need to learn from your mistakes. (10) __________ you don’t, then there is no point making them. 1 / 11

高二下学期入学考试数学试题

高二下学期月考数学考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟。 2．请将各题答案填写在答题卡上， 3．本试卷主要考试内容：人教A 版2－2（不考第二章）、2－3．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足2 1z i i =+，则z =（） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2．已知()tan 1f x x =+，()f x '为()f x 的导数，则π3f ?? '= ??? （） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．复数()5 2412z i i i = ++-在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．若180,4X B ?? ?? ?，则DX =（） A ．20 B ．40 C ．15 D ．30 5．已知随机变量ξ服从正态分布() 24,N σ．若()20.3P ξ<=，则()26P ξ<<=（） A ．0.4 B ．0.6 C ．0.3 D ．0.5 6．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()f x '的部分图象如图所示，则（） A ．()f x 在()3,+∞上单调递增 B ．()f x 的最大值为()1f

C ．()f x 的一个极大值为()1f - D ．()f x 的一个减区间为()1,3 7．若()3o f x '=，则()() 000 3lim x f x x f x x ?→+?-=?（） A ．3 B ．9 C ．19 D ．6 8．三个男生和五个女生站成一排照相，要求男生不能相邻，且男生甲不站最左端，则不同站法的种数为（） A ．12000 B ．15000 C ．18000 D ．21000 9 ．二项式n 的展开式中第13项是常数项，则n =（） A ．18 B ．21 C ．20 D ．30 10．设点P 是曲线()()2 1ln f x x x =+-上的任意一点，则点P 到直线340x y --=的距离的最小值为（） A B C D 11．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（） A ．36种 B ．48种 C ．68种 D ．84种 12．已知对任意实数x 都有()()3e x f x f x '=+，()01f =-，若不等式()()2f x a x <-（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（） A ．41,3e 2?? ?? ?? B ．4,13e ?? ?? ?? C ．271,4e 2?? ?? ? ? D ．2 74,4e 3e ?? ?? ?? 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．若复数 ()312a ai i --∈R 是纯虚数，则2a i +=__________． 14．由一组观测数据()()()1122,,,, ,,n n x y x y x y 得回归直线方程为3y x a =+，若 1.5x =，2y =，则a =__________． 15．已知函数()2ln 1e x f x x += +-，则()f x 的最大值为__________．

上海市南模中学2019-2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷

2019学年第一学期南模中学高二年级期末考试数学学科一、填空题（本大题共有12题，1~6题，每题4分，7~12题，每题5分，满分54分） 1．以原点为顶点，x 轴为对称轴，并且经过()2,4P --的抛物线的标准方程为______________． 2已知复数z 满足2 (2)1i z -?=，则z 的虚部为____________________． 3．已知向(2,1)a =，10a b ?=，||52a b +=，则b =____________________． 4双曲线2 2 1x ky +=的一条渐近线的斜率是2，则k =__________________． 5．设向量(1,2)a =，(2,3)b =，若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=___________________． 6．直线过点()2,3-，且在两条坐标轴上的截距互为相反数；则此直线的方程是_________________ 7．已知O 是坐标原点，点()1,1A -若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥?? ≤??≤? 内的一个动点，则OA OM ?的取值范围为________________． 8已知动圆过定点()4,0A -，且与圆2 2 8840x y x +--=相切，则动圆的圆心P 的轨迹方程是_________． 9．若直线23x t y t =+???=??，（t 为参数）与双曲线221x y -=相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_____________． 10．过抛物线2 2x py =(0)p >的焦点F 作倾斜角为30?的直线，与抛物线交于A ，B 两点（A 点在y 轴左侧则 FA FB =___________________． 11．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x ，y y 分别为点O 到两个顶点的向量；若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为_________________． 12．已知直角坐标平面上任意两点()11,P x y 、()22,Q x y ，定义212121 212121 ,(,),x x x x y y d P Q y y x x y y ?--≥-?=? --<-??为

2019-2020学年上海市行知中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市行知中学高一下学期期末数学试题一、单选题 1．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A ． 3 π B ． 6 π C ．3 π- D ．6 π- 【答案】A 【解析】将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是 3 π. 本题选择A 选项. 2．关于函数()(0)a f x x a x =- >，有下列四个命题，其中正确的是（） A ．()f x 的值域是(,0)(0,)-∞+∞ B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上单调递增 D ．方程|()f x a =∣ 总有两个不同的解【答案】B 【解析】A 中通过令()0f x =可求得x 的值，可知值域包括0，可判断A ； B 中根据奇函数的定义可判断B ； C 中通过反例可确定()f x 在()(),00,-∞?+∞上不满足单调递增的定义，可判断C ； D 中将方程变为a x a x - =±，通过验证两个一元二次方程各有两个不等实根，并且0x =不是其中任何一个的根，即可确定方程共有四个不同解，可判断D. 【详解】对于A 选项：令0a x x - =，解得：x =()f x 值域含有元素0，则A 错误；对于B 选项：由解析式可知()f x 定义域为{} 0x x ≠，又 ()()a a f x x x f x x x -=-- =-+=-- ()f x ∴是奇函数，则B 正确；对于C 选项：当()x ∈时，()0f x >；当(x ∈时，()0f x <，可知()f x 在()(),00,-∞?+∞上不满足单调递增的定义，则C 错误； ④由()f x a =得： ()f x a =±，即a x a x - =±，整理可得：20x ax a ±-= 240a a ∴?=+>，20x ax a ∴+-=与20x ax a --=各有两个不等实根，

高二数学下学期入学考试试题

新津中学高2015级高二（下）入学考试（数学）一、选择题（每题5分，共60分） 1.下列命题中是假命题的是（） A.若a b ?=0（a 0≠，0b ≠），则a b ⊥ B.若|a |=|b |，a b = C.若ac 2 >bc 2 ，则a>b D.5>3 2.将十进制数93化为二进制数为（） A.1110101（2） B.1010101（2） C.1111001（2） D.1011101（2） 3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（） A. 3 4 B. 56 C. 16 D. 13 4.经过椭圆2 212 x y +=的一个焦点作倾斜角为45。的直线l 交椭圆于A 、B 两点两点，设O 为坐标原点，则OA OB ?=（） A.-3 B.- 13 C.-1 3 或-3 D. 1 3 ± 5.直线x+(a 2 +1)y+1=0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是（） A.[0，4π ] B.[ 34 π ，π） C.[0，4π]?（2 π ，π） D.[ 4π，2π）?[34 π，π） 6.在直平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （a 为常数）所表示的平面区域的面积为2，则a 的值为（） A.-5 B.1 C.2 D.3 7. 有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（） A ． 101 B ．103 C ．21 D ．10 7 8.已知点A （1，1）和直线l ：x+y-2=0，那么到定点A 的距离和到定直线l 距离相等的点的轨迹为（） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 9.已知圆C ：(x-1)2 +(y-2)2 =25及直线l ：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m ∈R)，则直线l 过的定点及直线与

2015年全国高考文科数学试题及答案-上海卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学试题一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为___________. 2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U I ___________. 3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z ___________. 4.设)(1x f -为1 2)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f ___________. 5.若线性方程组的增广矩阵为 ??0213????21c c 解为? ??==53y x ，则=-21c c ___________. 6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________. 7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p ___________. 8.方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为___________. 9.若y x ,满足?? ???≥≤+≥-022y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为___________. 10.在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为___________.（结果用数值表示） 11.在62 )12(x x +的二项式中，常数项等于___________（结果用数值表示）. 12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为14 22 =-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________. 13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 ___________.

2019-2020年高二下学期开学考试数学试题含答案

2019-2020年高二下学期开学考试数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（） A.事件B与C互斥 B.事件A与C互斥 C.任何两个均不互斥 D.任何两个均互斥 2.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（） A. B. C. D. 3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为（）元. A.45 B.46 C. D. 4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（） A.7 B.8 C.9 D.10 5.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选三人作代表，这五人入选的机会均等，则甲或乙被选中的概率是（） A. B. C. D. 6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（） A.5 B.7 C.4 D.3 7.已知实数满足，那么的最小值为（） A. B. C. D. 8.F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是（） A. B. C. D. 9.已知命题，使；命题，都有.给出下列结论： ①命题“”是真命题； ②命题“”是真命题； ③命题“”是假命题； ④命题“”是假命题. 其中错误的是（） A.②③ B.②④ C.③④ D.①③ 10.已知，在上，在上，且，点是内的动点，射线交线段于点，则的概率为（） A. B. C. D. 11.已知双曲线，是左焦点，是坐标原点，若双曲线左支上存在点，使，则此双曲线的离心率的取值范围是（） A. B. C. D.

上海高中高考数学知识点总结(大全)

上海高中高考数学知识点总结（大全）一、集合与常用逻辑 1．集合概念元素：互异性、无序性 2．集合运算全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或补集：}{A x U x x A C U ?∈=且 3．集合关系空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈? ∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ?则q ? 逆否命题：若q ?则p ? 原命题?逆否命题否命题?逆命题 5．充分必要条件 p 是q 的充分条件：q P ? p 是q 的必要条件：q P ? p 是q 的充要条件：p ?q 6．复合命题的真值 ①q 真（假）?“q ?”假（真） ②p 、q 同真?“p ∧q ”真 ③p 、q 都假?“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ?∈M, p(x ）否定为: ?∈M, )(X p ? ?∈M, p(x ）否定为: ?∈M, )(X p ? 二、不等式

1．一元二次不等式解法若0>a ，02 =++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则 02<++c bx ax 解集),(βα 02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα 注：若0a 情况 2．其它不等式解法—转化 a x a a x <<-?a x a x >或a x - 0) () (>x g x f ?0)()(>x g x f ?>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1） ?>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()() >