高斯消元法(完整)
高斯消元法解线性方程组
在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢如果有解，解是否唯一若解不唯一，解的结构如何呢这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组
设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m
1111221121122222
1122+++=+++=+++=??????? （）
其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1,
b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m =
0时，即
a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n
m m mn n 111122121122221122000
+++=+++=+++=??????? （）
称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（）中的x 1, x 2, …, x n 后，（）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（）的一个解。显然由x 1=0,
x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（）的一个
解，称之为齐次线性方程组（）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。）
非齐次线性方程组（）的矩阵表示形式为：
AX = B
其中
A = ??
??
????????mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211，X = ????????????n x x x 21，B = ?????
?
??????n b b b 21
称A 为方程组（）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵
][B A =?????
???????m mn
m m n n b b b a a a a a a
a a a
2121
22221
11211
称为方程组（）的增广矩阵。
齐次线性方程组（）的矩阵表示形式为：AX = O
二、高斯消元法
（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢我们先看一个定理。）
定理 若用初等行变换将增广矩阵][B A 化为][D C ，则AX = B 与CX = D
是同解方程组。
证 由定理可知，存在初等矩阵P 1, P 2, …, P k ，使 P k …P 2P 1()A B = ()C D 记P k …P 2P 1 = P ，则P 可逆，即P -1存在。 设X 1为方程组A X = B 的解，即
A X 1 =
B 在上式两边左乘P ，得 P A X 1 = PB
即
C X 1=
D 说明X 1也是方程组C X = D 的解。反之，设X 2为方程组C X = D 的解，即 C X 2= D 在上式两边左乘P -1，得 P -1C X 2= P -1D 即 A X 2 = B 说明X 2也是方程组AX = B 的解。 因此，方程组A X = B 与C X = D 的解相同，即它们是同解方程组。（证毕）
(由定理可知，求方程组（）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵][B A 化简。又有第二章定理可知，通过初等行变换可以将][B A 化成阶梯形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组（）的一般方法：)
用初等行变换将方程组（）的增广矩阵][B A 化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（）的解。这种方法被称为高斯消元法，
（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。）
例1 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x x x x x 12341234
12341234215320342221
+--=-+--=-++=-++-=??????? （）
解 先写出增广矩阵][B A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即
][B A =?????
????
???--------11122241130235111211
②①③①④①+-+-+?→???()()
132
?????
?
??????---------13340577401114011211
③②
④②++-?→???()1?
????
?
???
???--------22200
666001114011
2
11④③+?→???()1
3?
?
???
???????-----00000666001114011211
上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为
x x x x x x x x x 1234234342141666+--=---=+=???
?
? 将最后一个方程乘1
6
，再将x 4项移至等号的右端，得
x x 341=-+
将其代入第二个方程，解得
212=x
再将x x 23,代入第一个方程组，解得
2141+-=x x
因此，方程组（）的解为
???
??+-==+-=1
212143
241x x x x x （）
其中x 4可以任意取值。
由于未知量x 4的取值是任意实数，故方程组（）的解有无穷多个。由此可知，表示式（）表示了方程组（）的所有解。表示式（）中等号右端的未知量x 4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（）称为方程组（）的一般解，当表示式（）中的未知量x 4取定一个值（如x 4=1），得到方程组（）的一个
解（如x 112=-，x 21
2=，x 30=，x 41=），称之为方程组（）的特解。
注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将x 3取作自由未知量。 如果将表示式（）中的自由未知量x 4取一任意常数k ，即令x 4= k ，那么方程
组（）的一般解为
??????
?=+-==+-=k
x k x x k x 432
112121 ，其中k 为任意常数。 用矩阵形式表示为
?????????
???+-+-=????????????k k k x x x x 121214321=?
?????
??????+????????????--0121211101k （） 其中k 为任意常数。称表示式（）为方程组（）的全部解。
（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，
?
?
???
???????-----00000
666001114011211③①③②③
1
6
2
++?→
???
?
???
???????00000
111002004011011 ②①②1
4
1+-?→??
?()
?????
???????0000011100210010211001 上述矩阵对应的方程组为
???
??=+==+1
212143
241x x x x x 将此方程组中含x 4的项移到等号的右端，就得到原方程组（）的一般解，
???
??+-==+-=1
2
12
143
241x x x x x （）
其中x 4可以任意取值。
例2 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x 123123
123123234235743992588
+-=+-=+-=+-=???????
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。即
[]B A =?????????
???----8852
99347532
4321→?
?????
??????------0210735011104321 →?????????
???-------110022001110
43
2
1→?
?????
??????---0000110011104321 →?????????
???0000
11002010
7021→?
?????
??????0000110020103001 一般解为
x x x 123
3
21===???
??
例3 解线性方程组 x x x x x x x x x 1231231231242253
++=-+-=+-=???
?
?
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。即
[]B A =??????????---315224211111→??
??
?
?????--133033301111
→??
??
??????--2000333011
11
阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：0002123x x x ++=-，由
该方程可知，无论x 1，x 2，x 3取何值，都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。
三、线性方程组的解的判定
前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（）是否有解，关键在于增广矩阵[A B ]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。
定理 线性方程组（）有解的充分必要是 r A ()=r A B ()。
证 设系数矩阵A 的秩为r ，即r A ()= r 。利用初等行变换将增广矩阵[A B ]化成阶梯阵：
故AX = B 与CX = D 是同解方程组，因此
AX = B 有解?d r +1= 0 ?r C D ()=r C ()= r 即r A B ()=r A ()= r 。 （证毕）
推论1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()= n 。
推论2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r A ()＝r A B () 例4 判别下列方程组是否有解若有解，是有唯一解还是有无穷多解 (1) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236324+-=---+=-+=-++=??????? (2) x x x x x x x x x x x x 123123 123123231127236325+-=---+=-+=-++=??????? (3) x x x x x x x x x x x x 123123 12312323117236325 +-=---+=-+=-++=??????? 解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即 [A B ]=????????? ???------42136132711111321→ ????? ? ??????-------2977028770421011321 →???? ? ???? ???------10000700421011321 因为 r A B ()= 4，r A ()=3，两者不等，所以方程组无解。 (2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即 [A B ]=????? ???? ???------52136132721111321 → … →? ? ??? ???????----0000 0000411011321 因为 r A B ()=r A ()=2 [A B ]=? ???????? ???------52136132711111321 →… →? ? ??? ???????-----00000700421011321 因为 r A B ()=r A ()= 3 = n ，所以方程组有唯一解。 例5 判别下列齐次方程组是否有非零解 （机动） x x x x x x x x x x x x x x x x 12341234 1234123437802544037230412160 +--=+++=----=+--=?? ????? 解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即 A =? ???????? ???--------161241327344528731→? ????? ??????-------851 02723202018108731 →????????? ???---1213001313002018108731→? ??? ?? ??????----100 01313002018108731 因为 r A ()= 4 = n ，所以齐次方程组只有零解。 向量组的相关性 在实际问题有许多研究的对象要用n 元有序数组来表示。如总结某五年计划各年某产品产量的数据资料，某工程一年12个月份的用料情况等，就分别要用到 5元和12元有序数组。 一、n 维向量的定义 定义 把有顺序的n 个数n a a a ,,,21 称为一个n 维向量，记作 ????? ???????=n a a a 21α 其中),,2,1(1n i a =称为n 维向量α的第i 个分量。 例如，矩阵 A =?? ?? ? ?????--735244313121中每一列都可以看作三维向量： ??????????211，??????????532，??????????--341，???? ? ?????743 称为矩阵A 的列向量。A 中的每一行都可以看作四维向量： []3121，[]4431-，[]7352- 称为矩阵A 的行向量。 规定：n 维向量相等、相加、数乘与列矩阵对应相等。 二、n 维向量组的线性相关性 如果把方程组 ??? ??=-+=-+=++7 35244332321 321321x x x x x x x x x （） 用向量相等、向量运算关系来表示： ??????????2111x +??????????5322x +??????????--3413x =?? ?? ? ?????743 那么方程组求解问题就变成了求一组使上式列向量存在某种的数321,,x x x 了。下面 给出向量之间这种关系的定义。 定义 对于向量α, m ααα,,,21 ，如果有一组数m k k k ,,,21 ，使得 α=m m k k k ααα+++ 2211 则称α是m ααα,,,21 的线性组合，或称α由m ααα,,,21 线性表出，且称这组数 m k k k ,,,21 为组合系数。 例1 二维向量组??? ???=011e ，??????=102e ，称为二维单位向量组。任意一个二维向 量??? ???=21a a α都可以由21,e e 线性表出： 2211e a e a +=α。 例2 向量?? ? ???-11不是向量??????-02和??????01的线性组合，因为对于任意一组数21,k k ， ??????-021k +??????012k =????? ?+-0221k k ??????≠01 例 3 向量组m ααα,,,21 中的任一向量)1(m i i ≤≤α都能由这个向量组线性表出： i α=m i i i ααααα00100111+++++++- 如果用列向量分别把方程组（）的系数矩阵第j 列和常数列表示为 ??????????=2111α，??????????=5322α，??????????--=3413α，???? ??????=743β 那么方程组（）可以用向量形式表示为 βααα=++332211x x x 若方程组（）有解)3,2,1(==i k x i i ，则有 βααα=++332211k k k 即向量β可以由向量组321,,ααα线性表出。反之，若存在数321,,k k k 使得上式成立， 则)3,2,1(==i k x i i 就是方程组（）的一组解。 命题 1 向量β可以由向量组m ααα,,,21 线性表出的充分必要条件是：以 m ααα,,,21 为系数列向量，以β为常数列向量的线性方程组有解，并且此线性方程组的一组解就是线性组合的一组系数。 例4 设 ??????????-=2111α，??????????--=3212α，??????????-=6323α，???? ??????-=132β 判断向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，若能够，写出它的一种表达式。 解 设βααα=++332211x x x ，由此可得 ??? ??-=+-=-+-=+-1 6323322 2321 321321x x x x x x x x x 因为 ][B A =??????????-----163233212211→?? ?? ??????----5210511022 11 →??????????-010*********→???? ??????0100 50107001 方程组的解为 0,5,7321===x x x 。 所以 321057αααβ ++=。 定义 对于向量组m ααα,,,21 ，若存在m 个不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得 02211=+++m m k k k ααα （） 则称向量组m ααα,,,21 线性相关；否则称向量组m ααα,,,21 线性无关。 例5 式证单位向量组 ? ? ??? ???????=00011e ，????????????=00102e ，????????????=01003e ，????????????=10004e 是线性无关的。 证 设 044332211=+++e k e k e k e k 。即 ????????????00011k +????????????00102k +????????????01003k +????????????10004k =????? ? ??????0000 由上式得唯一解0,0,0,04321====k k k k 。所以，4321,,,e e e e 线性无关。 可以证明，n 维单位向量组n e e e ,,,21 是线性无关的。 n 维单位向量组 ? ? ??? ???????=0011 e ，????????????=0102 e ，… ，???? ????????=100 n e 如果把定义中的（）式看作以m ααα,,,21 为系数列向量，以m k k k ,,,21 为未知量的齐次线性方程组，那么 定理 对于向量组m ααα,,,21 ，若齐次线性方程组 02211=+++m m e k e k e k （） 有非零解，则向量组m ααα,,,21 线性相关；若齐次线性方程组（）只有零解，则向量组m ααα,,,21 线性无关。 定理 关于向量组m ααα,,,21 ，设矩阵 []m A ααα,,,21 = 若m A r =)(，则向量组m ααα,,,21 线性无关；若m A r <)(，则向量组m ααα,,,21 线性相关。 推论 任意n +1个n 维向量一定线性相关。 例6 判断下列向量组的相关性： (1) []'-=2111α，[]'=1202α，[]'=1113α； (2) []'-=21011α，[]'---=42112α，[]'-=105323α； (3) []'=2311α，[]'-=1212α，[]'-=4563α，[]'-=6784α。 解 (1) 因为 A =?? ?? ? ?????-112121101→???? ??????-110220101→????? ?????-200220101 m A r ==3)(，所以向量组321,,ααα线性无关。 (2) 因为 B = ????????? ???-----1042521310211→????????????----620310310211→???? ? ? ??????--000000310211 m B r <=2)(，所以向量组321,,ααα线性相关。 (3) 由推论知道，四个三维向量一定是线性相关的。 上面介绍了利用定理来判断向量组的相关性，下面再介绍一个揭示同组向量之间具有某种相关性的特点。 定理 向量组m ααα,,,21 ，)2(≥m 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。 （证明请参阅教材） 推论 向量组m ααα,,,21 ，)2(≥m 线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。 例7 试证：若向量组的一个部分向量组线性相关，则整个向量组也线性相关。 证 不妨设向量组m ααα,,,21 中的部分向量组s ααα,,,21 )(m s <线性相关，则存在不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得 02211=+++s s k k k ααα 从而有 00012211=+++++++m s s s k k k ααααα 其中0,,0,,,,21 s k k k 不全为零，所以向量组m ααα,,,21 线性相关。 可以证明：若一个向量组线性无关，它的任意一个部分向量组也线性无关 例8 设向量组m ααα,,,21 线性无关，而向量组m ααα,,,21 ，β线性相关，证明β一定可以由m ααα,,,21 线性表出。 证 因为向量组m ααα,,,21 ，β线性相关，即存在不全为零的数m k k k ,,,21 和k ，使得 02211=++++βαααk k k k m m 若0=k ，则上式为 02211=+++m m k k k ααα ，且m k k k ,,,21 不全为零，得 m ααα,,,21 线性相关，与条件矛盾。因此0≠k ，且 m m k k k k k k αααβ---- = 2211 即β可以由m ααα,,,21 线性表出。 三、向量组的秩 （下面简单地介绍向量组的秩的概念及计算方法，首先向量组的极大无关组的定义） 定义 若向量组S 中的部分向量组0S 满足： (1) 0S 线性无关； (2) S 中的每一个向量都是0S 中向量的线性组合，则称部分向量组0S 为向量组S 的极大无关组。 可以证明：对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量个数都相同。因此向量组的秩定义如下： 定义 对于向量组S ，其极大无关组所含向量个数称为向量组S 的秩。 利用定义求向量组的秩是比较困难的。但是，我们可以利用矩阵与列向量组之间的关系，把求向量组的秩的问题转化为求矩阵的秩序。这是因为 定理 矩阵A 的秩=矩阵A 列向量组的秩=矩阵A 行向量组的秩。 例9 设向量组 ????????????-=00211α，????????????--=11112α，????????????-=11103α，????? ???????-=12414α 求向量组的秩及其一个极大无关组。 解 作矩阵A =[]4321αααα，用初等行变换求A 的秩，即 A = ????????????-----1110211041121011????????????--→3000 211021101011 ? ? ??? ? ? ?????--→0000 300021101011 所以),,(4,321ααααr =3，且421,,ααα为其中的一个 极大无关组。 线性方程组解的结构 前两讲介绍了方程组的有关概念，方程组的解的几种情况及判定，向量组的相关性。这一讲主要介绍方程组解的结构。 一、齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组的矩阵形式为：AX = O a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=??????? （） 解的情况可以归纳为： 1．齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是r A ()= n 。 2．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是r A () 3．当r A ()= r 齐次线性方程组AX = O 解的性质： 性质1 若1X 和2X 为齐次线性方程组AX = O 的解，则1X +2X 亦为AX = O 的解。 证 因为1X 和2X 为方程组AX = O 的两个解，故有 A 1X = O ， A 2X = O A （1X +2X ）= A 1X + A 2X = O 所以，1X +2X 亦为AX = O 的解。 性质2 若1X 为齐次线性方程组AX = O 的解，则k 1X 亦为AX = O 的解，其中k 为任意常数。 证 因为1X 为方程组AX = O 的解，故有 A （k 1X ）= k （A 1X ）= O 所以，k 1X 亦为AX = O 的解。 由性质1，2可知，若1X ，2X ，…，s X 为方程组AX = O 的解，则11X k +22X k +…+s s X k 亦为AX = O 的解，其中s k k k ,,,21 为任意常数。 若1X ，2X ，…，s X 线性无关，且方程组AX = O 的任何一个解X 都可以被1X ， 2X ，…，s X 线性表出，则AX = O 的全部解就是 11X k +22X k +…+s s X k 其中s k k k ,,,21 为任意常数。 定义 齐次线性方程组AX = O 满足下列两个条件的一组解向量，称为AX = O 的基础解系。 (1) 线性无关； (2) 方程组AX = O 的任何一个解都可以用它们线性表出。 （由定义可知）方程组AX = O 的基础解系就是其全部解向量的一个极大无关组。 当r A ()= n 时，方程组AX = O 只有零解，故不存在基础解系；而当r A ()= r ( 4．当r A ()= r n -r 个解向量。若1X ，2X ，…，r n X -为基础解系，则AX = O 的全部解为 11X k +22X k +…+r n r n X k -- （） 其中s k k k ,,,21 为任意常数。 （）式称为AX = O 的通解。 如何求方程组AX = O 的基础解系呢 (1) 把齐次线性方程组的系数写成矩阵A ； (2) 用初等行变换把A 化为阶梯阵； (3) 把阶梯阵中非主元列所对应的变量作为自由未知量 (4) 分别令自由未知量中一个为1其余全部为0的办法，求出n -r 个解向量，这n -r 个解向量构成了基础解系。 例1 设齐次线性方程组 ?????? ?=-+++=+++=-+++=++++0 33450623032305432154325 432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 求其基础解系和通解。 解 先写出系数矩阵A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即 A =????????? ???--13345 623103112311 111 ???→?-+-+)5() 3(①④①②? ? ??? ???? ???--------6221062310622101111 1 ?? ?→?-++)1(②④② ③????? ???????----0000000100622101111 1 再进一步化简，得 ???→?+-+2) 1(③②③①? ???????????---00 000001006201011 011??→ ?-+)1(②②①? ? ??? ???????--00000 001006201051001 由此可知54,x x 为自由未知量。 令14=x ，05=x ，得解向量????? ??? ????????-=010211X ； 令04=x ，15=x ，得解向量????? ?? ?????????-=100652X ； 于是{1X ，2X }为方程组的基础解系。通解为 11X k +22X k 其中21,k k 为任意常数。 二、非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组的矩阵表示形式为：AX = B a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 1111221121122222 1122+++=+++=+++=??????? 非齐次线性方程组AX = B 的解的情况可以归纳为： 1．方程组AX = B 有解的充分必要条件是][B A r =r A ()。 2．若][B A r =r A ()= n 时，方程组AX = B 有唯一解。 3．若][B A r =r A ()= r 未知量。 在非齐次线性方程组AX = B 中，令B = O ，得到相应的齐次方程组AX = O 。 方程组AX = B 与相应的AX = O 之间有密切的关系，满足如下性质： 性质3 若1X 和2X 为非齐次线性方程组AX = B 的解，则1X -2X 必为AX = O 的解。 证 因为1X 和2X 为方程组AX = B 的两个解，故有 A 1X = B ， A 2X = B A （1X -2X ）= A 1X - A 2X = B -B = O 所以，1X -2X 为AX = O 的解。 性质4 若0X 为非齐次线性方程组AX = B 的解，X ~ 为相应的方程组AX = O 的解，则0X +X ~ 必为AX = B 的解。 高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11112211211222221122+++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1, b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即 a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 称为齐次线性方程组。 由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 （利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为： AX = B 其中 A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，X = ????????????n x x x M 21， B = ????? ???????n b b b M 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵 高斯列主元消元法解线性方程组 一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中， A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068) 二、原理及步骤分析 设 n n ij R a A ?∈=][)1(，n n R b b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。若约化主元素 ),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。 如果在消元过程中发现某个约化主元0) (=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。此外，即 使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。 为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为： （1）选主元：在子块的第一列中选择一个元) (k k i k a 使) (max k ik n i k k k i a a k ≤≤= 并将第k 行元与第k i 行元互换。 （2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算 ()()()?? ?? ?????++=-=++=-=++==++n k k i b m b b n k k j i a m a a n k k i a a m k k ik k i k i k kj ik k ij k ij k kk k ik k ik ,,2,1,,2,1,,,2,1) ()()1() ()()1()() ()( （3）回代求解 实验一 列主元消去法 【实验内容】1. 掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2. 并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 【实验方法与步骤】列主元消去法编写程序 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+ ； （4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑ 习题3第一题程序如下 #include 《Gauss列主元消去法》实验报告 实验名称：Gauss列主元消去法程序设计？？？成绩：_________ 专业班级：数学与应用数学1202班？姓名：王晓阳？??学号： 实？验？日？期：？2014?年11月10日 实验报告日期：？2014年？11月10日 一.实验目的 1. 学习Gauss消去法的基本思路和迭代步骤. 2. 学会运用matlab编写高斯消去法和列主元消去法程序，求解线性方程组. 3. 当绝对值较小时，采用高斯列主元消去法? 4. 培养编程与上机调试能力. 二、实验内容 用消去法解线性方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原线性方程组Ax二b 化为与其等价的三角形线性方程组，而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解 1. 求解一般线性方程组的高斯消去法? (1) 消元过程： 设a kk k-0 ,第i个方程减去第k个方程的m ik Tk k倍，("k 1^1, n)，得到 A k1x=b k1. 经过n-1次消元，可把方程组A1^b1化为上三角方程组A n x=b n. ⑵回代过程: 以解如下线性方程组为例测试结果 2. 列主元消去法 由高斯消去法可知，在消元过程中可能出现a kk k =0的情况，这是消去法将无法进行, 即使主元素a kk k-0但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠.这时就需要选取主元素，假定线性方程组的系数矩阵A是菲奇异的. (1)消元过程： 对于k =1,2,川,n -1，进行如下步骤: 1) 按列选主元，记 2) 交换增广阵A的p,k两行的元素 A(k,j)=A(p,j) ( j=k,…,n +1) 3) 交换常数项b的p,k两行的元素。 b(k)=b(p) 4) 计算消元 (2) 回代过程 (3) 以解如下线性方程组为例测试结果 三、实验环境 MATLAB R2014a 四、实验步骤 实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. （1） 123 123 123 0.101 2.304 3.555 1.183 1.347 3.712 4.623 2.137 2.835 1.072 5.643 3.035 x x x x x x x x x ++= ? ? -++= ? ?-++= ? （2） 123 123 123 528 28321 361 x x x x x x x x x ++= ? ? +-= ? ?--= ? MATLAB计算源程序 1. 用高斯消元法解线性方程组b AX=的MATLAB程序 输入的量：系数矩阵A和常系数向量b； 输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n 和有关方程组解X及其解的信息. function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('请注意：因为RA=RB 计算方法实验报告1 【课题名称】 用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程 【目的和意义】 高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。 用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵（上三角矩阵、单位矩阵等），而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =（其中A ∈Rn ×n ）的计算量为：乘除法运算步骤为 32(1)(1)(21)(1)(1)262233n n n n n n n n n n n MD n ----+= +++=+-，加减运算步骤为 (1)(21)(1)(1)(1)(25) 6226n n n n n n n n n n AS -----+= ++= 。相比之下，传统的克莱姆 法则则较为繁琐，如求解20阶线性方程组，克莱姆法则大约要19 510?次乘法，而用高斯消去法只需要3060次乘除法。 在高斯消去法运算的过程中，如果出现abs(A(i,i))等于零或过小的情况，则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠，所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法，从而使计算结果更加精确。 2、列主元三角分解法 高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU ，并求解Ly=b 的过程。回带过程就是求解上三角方程组Ux=y 。所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法 采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度 【计算公式】 1、 列主元高斯消去法 设有线性方程组Ax=b ，其中设A 为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 第1步（k=1）：首先在A 的第一列中选取绝对值最大的元素 1 l a ，作为第一步的主元素: 111211212222112[,]n n n l n nn n a a a a b a a a b a a a b ?????? ?? =?????? ?? ????a b #include "Stdio.h" #include "Conio.h" /*L是矩阵的行减1,从程序上看是最外层循环的次数 N 对应矩阵的行数，M对应矩阵的列数 可以通过改变L、N、M来控制矩的阶数 */ #define L 3 #define N 4 #define M 5 void gauss(double a[N][M],double x[N]) {int i,j,l,n,m,k=0; double temp[N]; /*第一个do-while是将增广矩阵消成上三角形式*/ do{n=0; for(l=k;l 《数值分析》实验报告 一、实验目的与要求 1．掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤； 2．培养编程与上机调试能力。 二、实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 21x?8x?32x?2.137x?3.712x?4.623?1.347x???312312??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312 2．编写用列主元高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 2x?8x?3x?212.137?4.6231.347?x?3.712x?x??321321??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312三．MATLAB计算源程序 AX?b MATLAB1. 程序用高斯消元法解线性方程组的b；输入的量：系数矩阵和常系数向量A RA,RB, n方程组中未知量的个数的秩输出的量：系数矩阵和增广矩阵BA.及其解的信息和有关方程组解X gaus(A,b) function [RA,RB,n,X]=B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('RA~=RB.') ，所以此方程组无解请注意：因为return end if RA==RB if RA==n disp('RA=RB=n.') ，所以此方程组有唯一解请注意：因为X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); 列主元高斯消去法求逆矩阵程序代码： #include M[i][j] = M[i][j] - M[t][j]*m; E[i][j] = E[i][j] - E[t][j]*m; } } } void HuiDai(int t) { int i,j; double max; max=M[t][t]; for(i=t;i 数值分析计算实习题 第5章解线性方程组的直接方法 【选题 列主元高斯消去法解线性方程组。 书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组，所以考虑写一个普适的程序来实现。 对于线性方程组Ax二b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。 文件输入格式要求: (1)第一行为一个整数n (2<=n<=100)，表示矩阵阶数。 (2)第2~n+l行为矩阵A各行列的值。 (3)第n+2~n+n+2行为矩阵b各行的值。 屏幕输入：按提示输入各个数据。 输出：A. b、det(A).列主元高斯消去计算过程、解向量X。 【算法说明】 设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 ?12 ?21 [Nb] = 第1步（k=l ）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素?I,作为第一步的主元素: ?|| H0 然后交换（A, b）的第1行与第I行元素，再进行消元计算。 设列主元素消去法已经完成第1步到第k?l步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组 A（k）x=b（k） 4? …4;) …唸) ? 忒 ? ? 輕 ■ [A.b]T[A ⑹,b")] = ??■ 咲■ ■ ■ ■ ■ * *■ 〃伏) ?? - % ■ 第k步计算如下: 对于 k=l, 2, ?…，0-1 （1）按列选主元：即确定t使 （2）如果tHk,则交换［A, b］第t行与第k行元素。（3）消元计算 5 4* J 叫=一鱼(=^ + 1,…,H) % 吗 <-?y + 〃如伽 (fJ = R + l,…/) b- <-勺+加汝仇， (i = /c + l,…,《) 消元乘数mik 满足: n (%-D 内) X1 < ------ -- ---- 9(j = ? 一 1,?一2■…J)tk M 1,(,=斤 +1, ???,?) fet e (4)回代求解 例：用Gauss 列主元消去法、QR 方法求解如下方程组： 12342212141 312.4201123230x x x x ?????? ? ? ?- ? ? ?= ? ? ?-- ? ? ??????? 1. 1）Gauss 列主元法源程序： function x=Gauss(A,b) [m,n]=size(A); if m~=n error('矩阵不是方阵') return end B=[A,b]; n=length(A); for j=1:n-1 q=[zeros(j-1,1);B(j:n,j)]; [c,r]=max(abs(q)); %c 为列主元，r 为所在行 if r~=j temp=B(j,:); %交换两行 B(j,:)=B(r,:); B(r,:)=temp; end for i=j+1:n B(i,:)=B(i,:)-B(j,:)*(B(i,j)/c); end end x(n)=B(n,n+1)/B(n,n); for i=n-1:-1:1 for j=i:n-1 B(i,n+1)=B(i,n+1)-B(i,j+1)*x(j+1); end x(i)=B(i,n+1)/B(i,i); end 2)在命令窗口输入A ，b,得到x 的近似解： >> A=[2,2,1,2;4,1,3,-1;-4,-2,0,1;2,3,2,3]; >> b=[1;2;1;0]; >> x=Gauss(A,b) x = 1.5417 -2.7500 0.0833 1.6667 2. 1）QR方法源程序： function [Q,R,X]=qrfj(A,b) [m,n]=size(A); if m 高斯消元法简介 一，教学目标 知识与技能：了解高斯消元法 过程与方法：直接演示说明，学习做简单练习 情感，态度和价值观：进一步体会解方程组的根本思想消元，通过高斯消元的学习增强学习数学的能力 二，重点与难点：高斯消元法 三，课型：新授课 四，教学过程： 1.在前面的几节课，已经用加减消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程组，其基本的思想就是从已知的方程导出未知数较少的方程组，直到最后得到一个一元一次方程，这种做法可适用于一般的n 元线性方程组（线性方程组），但是由于未知数的增加，我们希望我们的消元是有规律的，以避免混乱，下面介绍高斯消元法 2.例1：解方程组 1234123412341234251027612632517315292763 x x x x x x x x x x x x x x x x ---=?? -++-=?? ---=??--++=-? 解：把第一个方程的2倍，-3倍，5倍分别加到第2，3，4个方程上，可以消去2，3，4个 方程的未知数1x 12342342342342510 522226 2 1 7213 x x x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? +-=??--+=-? 为了使以后少出现分数运算，交换第二，三个方程的位置 12342342342342510 2 1 522226 7213 x x x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? +-=??--+=-? 把第2个方程的-5倍，7倍分别加到第3，4个方程，可以消去第3，4个方程未知数2x 123423434342510 2 1 31221 6126 x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? --=??-=-? 整理一下方程，第3个方程的左右两边乘以13 - ，第4个方程左右两边乘以1 6 123423434342510 2 1 47 21 x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? +=-??-=-? 贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告 课程名称： 数值分析 班级： 数本（一）班 实验日期： 年 月 日 学 号： 090704020098（81） 姓名： 吴胜 指导教师： 杨一都 实验成绩： 一、实验名称 实验五:线性方程组的数值解法 二、实验目的及要求 1. 让学生掌握用列主元gauss 消去法、超松弛迭代法求解线性方程组. 2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境 每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容 1. 编制逐次超松弛迭代(SOR 迭代)函数(子程序),并用于求解方程组 ????? ??=-++=+-+=++-=+++-1 4141 4144321 432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 取初始向量T x )1,1,1,1()0(=,迭代控制条件为 5 )1()(10 2 1||||--?≤ -k k x x 请绘制出迭代次数与松弛因子关系的函数曲线,给出最佳松弛因子.SOR 迭代 的收敛速度是否一定比Gauss-Seidel 迭代快? 2. 编制列主元 Gauss 消去法函数(子程序),并用于解 ??? ??=++-=-+-=+-6 15318153312321 321321x x x x x x x x x 要求输出方程组的解和消元后的增广矩阵. 注：题2必须写实验报告 五、算法描述及实验步骤 Gauss 消去法： 功能 解方程组b Ax = . 输入 n ,n n ij a A ?=)(,T n b b b b ),,,(21 =. 输出 方程组的解T n x x x x ),,,(21 =或失败信息. 3线性代数方程组数值解法 39.（上机题）列主元高斯消去法 对于某电路的分析，归结为求线性方程组RI=V ，其中 ???????? ????? ???????????????????????????????????=292000900022700500000041300000000304770000 0507573000090003079100000000103190000011093513000100001331R ()15,27,23,0,20,12,7,7,10T T V =????（1）编制解n 阶线性方程组Ax b =的列主元高斯消去法的通用程序； （2）用所编程序解线性方程组RI V =，并打印出解向量，保留5位有效数； （3）本题编程中，你提高了那些编程能力？ 本程序用matlab 编写 (1)通用程序如下 function [x,det,flag ]=Gauss(A,b) % A 为方程组的系数矩阵% b 为方程组的右端项% x 为方程组的解% det 为系数矩阵A 的行列式的值%flag 为指标向量，flag=‘failure ’表示失败，flag=‘OK ’表示成功 [n,m]=size(A);nb=length(b); if n~=m error('A 不是方阵') return; end if m~=nb error('b 的长度不等于A 的阶数') return; end flag='OK';det=1;x=zeros(n,1); for k=1:n-1 max1=0; for i=k:n if abs(A(i,k))>max1 max1=abs(A(i,k));r=i; end end if max1<1e-10 flag='failure';return; end if r>k for j=k:n z=A(k,j);A(k,j)=A(r,j);A(r,j)=z; end z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det; end for i=k+1:n m=A(i,k)/A(k,k); for j=k+1:n A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*A(k,k); end det=det*A(n,n) if abs(A(n,n))<1e-10 flag='failure';return; end for k=n:-1:1 for j=k+1:n b(k)=b(k)-A(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/A(k,k); end x(k)=b(k)/A(k,k); end vpa(x) digits(5) (2)在命令栏输入矩阵，并执行guass命令如下>>A=[31-13000-10000 -1335-90-110000 0-931-1000000 00-1079-30000-9 000-3057-70-50 0000-747-3000 00000-304100 求解线性方程组的直接解法 5.1 Gauss 消去法 ① 三角方程组 先举一个简单的例子来说明消去法的基本思想. 例1. 用消去法解方程组 ??? ??=+-=-=++(3) .122(2) ,54(1) ,6321 32321x x x x x x x x 解 第一步.将方程(1)乘上-2加到方程(3)上去,消去(3)中的未知数1x ,得到 (4) .11432-=--x x 第二步.将方程(2)加到方程(4)上去,消去方程(4)中的未知数2x ,得到与原方程组等 价的三角形方程组 (5) .62 ,54 ,6332321?? ? ??-=-=-=++x x x x x x 显然,方程组(5)是容易求解的,解为.)3,2,1(T x =* 上述过程相当于 332331 (-2) 6-56 20014011111-56 140140111156 122140111)|(r r r r r r b A →+→+??? ? ?? ??--→????? ??---→????? ??--= 其中用i r 表示矩阵的第i 行. 下面我们讨论求解一般线性方程组的高斯消去法. 一般地 ???????==++=+++n n nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a 2 222211212111 当a 11a 22…a nn ≠0时,可解出 x n =b n /a nn for k=n-1:1 x k =(b 1- a k,k+1x k +1-…- a kn x n )/ a kk end 注: k k b x ,可用同一组单元.并可解出一个未知数即代入其它方程消去该未知数 Gauss 消元法的流程图为: 流程图中，,(,1,2,...,)ij i a b i j n 分别为线性方程组的系数矩阵和常数向量； k 是循环次数。 ② 顺序消去法 一般地,k =1对n 阶方程组消去第k 个元(a kk ≠0): ．Gauss 列主元消去法求解线性方程组 12346 212425027,2085113270x x x x -?????? ? ? ?- ? ? ?= ? ? ?-- ? ? ???? ??? 迭代法计算停止的条件为：6)()1(3 110max -+≤≤<-k j k j j x x ． 采用用用Gauss 列主元消去法时，Matlab 计算程序为： clear clc A=[2 2 1 2;4 1 3 -1;-4 -2 0 1;2 3 2 3]; B=[1;2;1;0]; n=length(B); X=zeros(n,1); c=zeros(1,n); d1=0; for i=1:n-1 max=abs(A(i,i)); m=i; for j=i+1:n if max end end if(m~=i) for k=i:n c(k)=A(i,k); A(i,k)=A(m,k); A(m,k)=c(k); end d1=B(i); B(i)=B(m); B(m)=d1; end for k=i+1:n for j=i+1:n A(k,j)=A(k,j)-A(i,j)*A(k,i)/A(i,i); end B(k)=B(k)-B(i)*A(k,i)/A(i,i); A(k,i)=0; end end X(n)=B(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1 sum=0; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*X(j); end X(i)=(B(i)-sum)/A(i,i); end X 计算结果为：X =（1.5417；-2.7500；0.0833；1.6667） 这里向你推荐一下克鲁特算法（其实就是对高斯列主元消元法进行优化，使之更适合于计算机编程），首先将矩阵A进行LU分解（将系数矩阵分解成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵），分解的过程中用到了隐式的主元寻找法，同时利用克鲁特算法可以将两个n*n矩阵压缩到一个n*n矩阵中，大大节省了存储空间提高了计算速度。 方程可化为L*U*x=B，令U*x=y --->L*y=B 然后利用回代先求y，再利用y求x 因为该方法在求解过程中不涉及增广矩阵所以矩阵B几乎不参与什么运算，所以它的计算速度应该能够达到高斯列主元消元法的三倍，但原理与其基本一致。 而且我在程序中使用了动态数组方便你今后进行扩展。 以下程序按照《矩阵论第二版》和《C语言数值计算法方法大全》编写，LU分解部分程序主要参考了《C语言数值计算法方法大全》第二章的程序 如果你需要详细的理论讲解我可以将这两本书和源程序发给你.，我的邮箱 hu_hu605@https://www.360docs.net/doc/a02081334.html, 计算结果： A矩阵: 2 2 5 3 4 7 1 3 3 B矩阵: 5 6 5 解矩阵: x 1=-7 x 2=0.333333 x 3=3.66667 Press any key to continue #include 实验一 列主元消去法 【实验内容】 1．掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2．并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 3、从课后题中选一题进行验证，得出正确结果，交回实验报告与计算结果。 【实验方法与步骤】 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+； （4） 消元，对,,i k n =，计算/,ik ik kk l a a =对1, ,1j k n =++，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =-，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑ [实验程序] #include 用高斯消元法和列主元消去法求解线性代数方程组 （X*是方程组的精确解） 1 高斯消去法 1.1 基本思想及计算过程 高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。 为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。 ??? ??=++II =++I =++III) (323034)(5 253)(6 432321 321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（2 3 - ）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（2 4- ）后加到方程（III ）上 去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组 ?? ? ??=+-II -=-I =++III) (20 223)(445.0)(6 4323232321x x x x x x x 将方程（II ）乘（ 5 .03 ）后加于方程（III ），得同解方程组： ?? ? ??-=-II -=-I =++III) (42)(445.0)(6432332321x x x x x x 由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。 下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。 ??? ?? ??=++++=++++=+++++++1,3322111 ,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a （1-1） 如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得 ) 1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x 其中)0(11 ) 0()1(1a a a ij j = ， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =) 0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n + 1） 从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式 ?? ? ????=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2) 1(1 ,2)1(22)1(22) 1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x （1-2） 其中n i a m a a ij i ij ij ,,2)1(1) 1( =?-=，1,,3,211 )1(1 1+== n j a a m i i 由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。 如果（1-2）中0) 1(22≠a ，则以) 1(22a 为主元素，又可以把方程组（1-2）化为： ?? ? ??????=++=++=+++=+++++++)2(1 ,)2(3)2(3) 3(1,3)2(33)2(33) 2(1 ,2)2(23)2(232) 1(1,1)1(12)1(121 n n n nn n n n n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x （1-3） 针对（1-3） 继续消元，重复同样的手段，第k 步所要加工的方程组是： ?? ?? ?? ?? ? ????=++=++=+++=+++=++++-+---+---+-----++) 1(1,)1()1() 1(1,)1()1() 1(1,1)1()1(11) 2(1 ,2)2(23)2(232) 1(1,1)1(13)1(132)1(121 k n n n k nn k k nk k n k n k nn k k kk k n k n k kn k k k k n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x高斯消元法(完整)
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列主元消去法
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高斯消元法
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作业一 高斯消元法和列主元消元法