高中数学必修三讲义 模块综合试卷

模块综合试卷

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.要完成下列两项调查：

①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次为()

A.①简单随机抽样；②系统抽样

B.①分层抽样；②简单随机抽样

C.①系统抽样；②分层抽样

D.①②都用分层抽样

考点抽样方法的综合应用

题点三种抽样方法的辨析

答案 B

解析①中总体由差异明显的几部分构成，宜采用分层抽样；②中总体中的个数较少，样本容量较小，宜采用简单随机抽样.

2.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是()

A.3个都是篮球

B.至少有1个是排球

C.3个都是排球

D.至少有1个是篮球

考点必然事件

题点必然事件的判断

答案 D

解析从6个篮球、2个排球中任选3个球，A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D.

3.把“二进制”数101 101(2)化为“八进制”数是()

A.40(8)

B.45(8)

C.50(8)

D.55(8)

考点k进位制化十进制

题点其它进制之间的互化

答案 D

解析∵101 101(2)＝1×25＋0＋1×23＋1×22＋0＋1×20＝45(10).再利用“除8取余法”可得：

45(10)＝55(8). 故选D.

4.方程x 2＋x ＋n ＝0，n ∈(0,1)有实数根的概率为( ) A.12 B.1

3 C.14

D.34

考点 几何概型的综合应用 题点 几何概型与方程的综合应用 答案 C

解析 方程x 2＋x ＋n ＝0有实数根，则Δ＝1－4n ≥0，得0＜n ≤14，所以所求概率P ＝14－01－0＝

1

4

. 5.某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是( ) A.50,0.15 B.50,0.75 C.100,0.15 D.100,0.75 考点 频率分布表 题点 求指定组的频率 答案 C

解析 由已知得第二小组的频率是1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，频数为40， 设共有参赛学生x 人，则x ×0.4＝40，∴x ＝100. 成绩优秀的概率为0.15，故选C.

6.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示.若甲运动员得分的中位数为a ，乙运动员得分的众数为b ，则a －b 的值是( )

A.7

B.8

C.9

D.10 考点 中位数

题点 求茎叶图中的中位数 答案 A

解析 ∵甲运动员得分的中位数为a ，∴a ＝19＋17

2

＝18.

∵乙运动员得分的众数为b ，∴b ＝11，∴a －b ＝18－11＝7.故选A.

7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4 考点 程序框图的综合应用 题点 解读程序框图求输入条件 答案 C

解析 若x ≤2，则x 2－1＝3，∴x ＝±2. 若x ＞2，则log 2x ＝3，∴x ＝8.故选C.

8.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是( )

A.12

B.14

C.316

D.16 答案 C

解析 按规则，小青蛙跳动一次，可能的结果共有4种，跳动三次，可能的结果共有16种，而三次跳动后首次跳到5的只有3－1－3－5,3－2－3－5,3－4－3－5,3种可能，所以，它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是316.

9.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( ) A.

65 B.6

5

C. 2

D.2 考点 方差与标准差 题点 求方差 答案 D

解析 ∵样本的平均数为1， 即1

5

×(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a ＝－1. ∴样本方差s 2＝1

5

×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.

10.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为( ) A.14 B.12 C.π

4 D.π 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 C 解析 如图，

动点P 在阴影部分满足|P A |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，

又正方形的面积是S ＝1，则动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为S ′S ＝π

4.

11.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份x

1

2

3

4

用水量y 4.5

4 3 2.5

由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^

＝－0.7x ＋a ^

，则a ^

等于( )

A.10.5

B.5.15

C.5.2

D.5.25 考点 回归直线 题点 求线性回归方程 答案 D

解析 由于回归直线必经过点(x ，y )，而x ＝2.5，y ＝3.5， ∴3.5＝－0.7×2.5＋a ^

，∴a ^

＝5.25.

12.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )

A.110

B.715

C.815

D.1315

考点 概率与统计问题的综合题型 题点 概率与频率分布直方图的综合 答案 C

解析 根据频率分布直方图，可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4.设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，

(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种.故选取的2位工人不

在同一组的概率为8

15.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.如果执行如图所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________.

考点三种结构的综合应用

题点由输入条件求输出结果

答案 4

解析当输入x＝4.5时，由x＝x－1，得x＝3.5，而3.5<1不成立，执行i＝i＋1后i＝2；再执行x＝x－1后x＝2.5，而2.5<1不成立，执行i＝i＋1后i＝3；此时执行x＝x－1后x＝1.5，而1.5<1不成立，执行i＝i＋1后i＝4；继续执行x＝x－1后x＝0.5,0.5<1，因此输出i为4.

14.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：

0001,0002，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________.

考点系统抽样的方法

题点指定区间段中抽取的号码

答案0795

解析根据系统抽样方法的定义，得第40个号码对应15＋39×20＝795，即得第40个号码为0795.

15.如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形(图中的阴影部分)，在

△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为1

3，那么△ABC的面积是________.

考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 6π

解析 由题意可知，阴影部分的扇形面积为一个以2为半径的半圆的面积，所以2π

S △ABC ＝13，所以S △ABC ＝6π.

16.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为________. 考点 概率与统计问题的综合题型 题点 概率与随机抽样的综合 答案

715

解析 总体平均数为1

6(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5，设事件A 表示“样本平均数与总体平均数

之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个.事件A 包含的结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7个. 所以所求的概率为P (A )＝7

15

.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(10分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图.

(1)计算甲班的样本方差；

(2)现从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学

被抽中的概率.

考点 概率与统计问题的综合题型 题点 概率与茎叶图的综合

解 (1)x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182

10

＝170(cm).

甲班的样本方差s 2＝1

10[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋

(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2] ＝57.2.

(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”为事件A .

从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173).所以P (A )＝410＝2

5

.

18.(12分)一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品.现随机抽出两件产品. (1)求恰好有一件次品的概率； (2)求都是正品的概率； (3)求抽到次品的概率. 考点 几类常见的古典概型 题点 与顺序无关的古典概型

解 将6件产品编号，abcd (正品)，ef (次品)，从6件产品中选2件，其包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种.

(1)设恰好有一件次品为事件A ，事件A 包含的基本事件为ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，共有8种， 则P (A )＝8

15

.

(2)设都是正品为事件B ，事件B 包含的基本事件数为6，则P (B )＝615＝2

5

.

(3)设抽到次品为事件C ，事件C 与事件B 是对立事件，则P (C )＝1－P (B )＝1－25＝3

5.

19.(12分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两货轮中有一艘在泊位停靠时，另一艘货轮必须等待的概率. 考点 数形结合思想在求概率中的应用 题点 数形结合思想在几何概型中的应用 解 设甲、乙两货轮到达泊位的时刻分别为x ，y . 则{

0≤x ≤24，0≤y ≤24，|x －y |≤6. 作出如图所示的区域.

正方形的面积S 正＝242. 阴影部分的面积S 阴＝242－182. ∴P ＝S 正S 阴

＝242－182242＝716.

即两货轮中有一艘在泊位停靠时，另一货轮必须等待的概率为7

16.

20.(12分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率. 考点 古典概型与几何概型 题点 古典概型和几何概型的综合

解 (1)a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，总的基本事件(a ，b )共有36个. 设事件A 表示“方程有两正根”，则

{ Δ≥0，

a －2>0，

16－b 2>0，即{

(a －2)2＋b 2≥16，

a >2，－4<

b <4，则事件A 包

含的基本事件有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个， 故方程有两正根的概率为P (A )＝436＝1

9

.

(2)试验的全部结果构成的区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S Ω＝4×4＝16.

设事件B

表示“方程无实根”，则事件B 的对应区域为{

2≤a ≤6，0≤b ≤4，Δ<0，即

{

2≤a ≤6，

0≤b ≤4，

(a －2)2＋b 2<16，如图所示，

其面积S B ＝1

4

×π×42＝4π，

故方程没有实根的概率为P (B )＝4π16＝π

4

.

21.(12分)雾霾天气是一种大气污染状态，PM2.5被认为是造成雾霾天气 “元凶”，PM2.5日均值越小，空气质量越好.国家环境标准设定的PM2.5日均值(微克/立方米)与空气质量等级对应关系如表：

PM2.5日 均值(微克 /立方米) 0～35

35～75

75～115

115～150

150～250

250以上

空气质量等级 1级优

2级良

3级轻度污染

4级中 度污染

5级重 度污染

6级严 重污染

由城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两市市区的PM2.5日均值，用茎叶图表示，如图所示.

(1)试根据统计数据，分别写出两市的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城市市区的空气质量较好；

(2)考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲市某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；

(3)分别从甲、乙两市的统计数据中任取一个，试求这两市空气质量等级相同的概率. 考点 概率与统计问题的综合题型 题点 概率与茎叶图的综合

解 (1)甲市5天数据由小到大排列为59,83,87,95,116，乙市5天数据由小到大排列为66,68,85,88,98，

∴甲市的中位数是87，乙市的中位数是85， ∴乙市的空气质量较好.

(2)根据题中统计数据得，在这5天中甲市空气质量等级为3级轻度污染的频率为3

5，则估计

甲市某一天的空气质量等级为3级轻度污染的概率为3

5

.

(3)设事件A ：分别从甲市和乙市的统计数据中任取一个，这两市的空气质量等级相同. 由题意可知，分别从甲市和乙市的统计数据中任取一个，共有25个结果，分别记为： (59,66)，(59,68)，(59,85)，(59,88)，(59,98)， (83,66)，(83,68)，(83,85)，(83,88)，(83,98)， (87,66)，(87,68)，(87,85)，(87,88)，(87,98)， (95,66)，(95,68)，(95,85)，(95,88)，(95,98)， (116,66)，(116,68)，(116,85)，(116,88)，(116,98). 两市空气质量等级相同的为：

(59,66)，(59,68)，(83,85)，(83,88)，(83,98)，(87,85)，(87,88)，(87,98)，(95,85)，(95,88)，(95,98)，共11个结果.

∴甲、乙两市空气质量等级相同的概率为1125

.

22.(12分)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

x 2345 6

y 2.2 3.8 5.5 6.57.0

(1)画出散点图并判断是否线性相关；

(2)如果线性相关，求线性回归方程；

(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

考点回归直线

题点回归直线的应用

解(1)作散点图如下：

由散点图可知是线性相关的.

(2)列表如下：

i 1234 5

x i2345 6

y i 2.2 3.8 5.5 6.57.0

x i y i 4.411.422.032.542.0

x＝4，y＝5，∑

i＝1

5

x2i＝90，∑

i＝1

5

x i y i＝112.3

计算得：b^＝

∑

i＝1

n

x i y i－n x y

∑

i＝1

n

x2i－n x2

＝

112.3－5×4×5

90－5×42

＝1.23，

所以a^＝y－b^x＝5－1.23×4＝0.08，

即得线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08.

(3)把x ＝10代入线性回归方程y ^

＝1.23x ＋0.08，

得y ＝12.38，因此，估计使用10年维修费用是12.38万元.