高三上学期期末考试数学试题(理科)

湖北黄冈中学 高三年级期末考试

数学试题（理科）

一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．函数的一个增区间是

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 2．已知向量，，若与共线，则

等于 （ ）

A ．；

B ．

C ．

D ．

3．已知，且，则 （ ）

A ．

B ．

C ．或

D ．

4．设

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 5．已知，则使得都成立的取值范围是

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．由下列条件解△ABC ，其中有两解的是 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．若向量两两的夹角相等，且满足，则 （

） A ． B ．

C

D

．

8．已知两不共线向量，，则下列说法不正确．．．的是（ ）

A ．

B ．与的夹角等于

sin 2y x =,22ππ??

-

???

?,44ππ??

-

????0,

2π??

????

,02π??

-

????

(2,3)=a (1,2)=-b m n +a b 2-a b n m

2-22

1

-

2

1(3,1),(2,1)AB =-=n 7AC ?=n BC ?=n 2-02-221tan10

,1tan10

a b +=

=-22

2a b a b +<<22

2

a b b a +<<22

2

a b a b +<<22

2

a b b a +<<120a a >>2

(1)1i a x -<(1,2)i =x 1

1(0,)a 1

2(0,)a 2

1(0,

)a 2

2(0,

)a 20,45,80b A C ===30,28,60a c B ===14,16,45a c A ===12,15,120a c A ===,,a b c 1,2,4===a b c =a +b+c 777(cos ,sin )αα=a (cos ,sin )ββ=b ()()+⊥-a b a b a b αβ-

P C

B

A

第14题图

C ．

D ．与在方向上的投影相等

9．已知是定义在上的二次函数，，若的值域是，

则的值域是

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．关于的不等式的解集为

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11

的解集为____________． 12．函数图象的相邻的两个对称中心的距离是__________． 13．等差数列中，，则此数列的前项的和等于___________．

14．如图，半圆的直径，为圆心，为半圆

上不同于的任意一点，若为半径上的动点， 则的最小值是__________．

15．若对任意的，

总成立，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）

已知，且．

（1）若为的三内角，当取得最小值时，求； （2）当时，将函数的图象按

向量平移后得到函数的图象，求出所有满足条件的向量．

2++->a b a b

a b +a b ()g x R 2,1

(),1

x x f x x x ?≥?=?

[),11,-∞-+∞(][),10,-∞-+∞[)0,+∞[)1,+∞x 22cos lg(9)cos lg(9)x x x x +-<+-(3,(22,3)--()(,22)22

ππ

--(-(3,3)-x >11

()sin(

)cos 633

f x x x π

=-+{}n a 351024a a a ++=136AB =O C A B 、

P OC ()PA PB PC +?[]0,1x ∈1kx ≤-k R A B ∈,22

sin 2cos 22cos 22y A B A B =+--+A B C ,,ABC ?y C 2

A B π

+=

22

sin 2cos 22cos 22y A B A B =+-+p 2cos2y A =p

17．（本小题满分12分）

数列的前项和为且．

（1）求数列的通项公式；

（2）等差数列的各项均为正数，其前项和为，，又

成等比数列，求．

18．（本小题满分12分）

（1）设是正实数，求证：；

（2）若，不等式是否仍然成立？如果成立，请给出

证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值．

19．（本小题满分12分）

{}n a n 1,1n S a =*

121()N n n a S n +=+∈{}n a {}n b n n T 315T =112233,,a b a b a b +++n T x 233

(1)(1)(1)8x x x x +++≥R x ∈2

3

3

(1)(1)(1)8x x x x +++≥x

定义的“倒平均数”为

，已知数列项的“倒平均数”为

（1）记，试比较与的大小； （2）是否存在实数，使得当时，恒成立？若存在,求出最大的实数；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．

（1）若，，试解释它们的实际意义； （2）设，，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？

21．（本小题满分14分）

n x x x ,,,21 )(*21N ∈++n x x x n

n

n

a n 前}{.4

21

+n )(1

*N ∈+=

n n a c n

n n c 1n c +λx λ≤*

201

4)(N ∈≤+-

+-=n n a x x x f n

对任意λ(),()f x g x x ()f x x ()g x (0)10f =(0)20g =()104

x

f x =

+()20g x =

已知定义在的函数同时满足以下三条：①对任意的，总有

；②

；③当时，总有

成立．

（1）函数在区间上是否同时适合①②③？并说明理由；

（2）假设存在，使得且，求证：．

[]0,1()f x []0,1x ∈()0f x ≥(1)1f =12120,0,1x x x x ≥≥+≤1212()()()f x x f x f x +≥+()21x

g x =-[]0,1[]0,1a ∈[]()0,1f a ∈[]()f f a a =()f a a =

参考答案

1—5 BCDAB 6—10 CDBCB 11． 12． 13．13 14． 15． 16．（1） 由题，或，或， 又， 故或

． （2）当时，，

按向量平移后得到函数的图象，故．

17．（1）当时，，即有

又，

是公比为3的等比数列，且，故．

（2）由（1），，又， 依题成等比数列，有， 解得或，因的各项均为正数，

，故．

18．（1）证明：是正数，由重要不等式知，

故（当时等号成立）． （2）若，不等式仍然成立．

(,0)-∞3π9

2

-

?-∞ ?

?221

(sin 2(cos 2)12

y A B =+-

+sin 22,1

cos22

A B ?=???

?=??6A π=3π6B π=56πA B π+<2

C π

=

23

π

2

A B π

+=

22,cos2cos2A B B A π+==

-cos2232cos(2)33

y A A A π

∴=+=++p 2cos2y A =(

,3)()6

Z k k π

π=+-∈p 2n ≥11(21)(21)n n n n a a S S +--=+-+13n n a a +=21121213a S a =+=+={}n a ∴11a =13n n a -=1231,3,9a a a ===312313215,210T b b b b b b =++=∴+==112233,,a b a b a b +++131164(1)(9)(1)(19)b b b b =++=+-13b =15{}n b 13,2b d ∴==23(1)2n T n n n n n =+-=+

x 2312,1x x x x +≥+≥+

≥233

(1)(1)(1)28x x x x x +++≥?=1x =R x ∈2

3

3

(1)(1)(1)8x x x x +++≥

证明：由（1）知，当时，不等式成立；当时，，

而

此时不等式仍然成立．

19．（1）记数列的前项和为，则依题有

，故 故数列的通项为．故，易知，． （2）假设存在实数，使得当时，

对任意恒成立， 则都成立， 20．（1）表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风

险，至少要投入10万元宣传费；

表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，

至少要投入20万元宣传费.

（2）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，若双方均无失败的风险，

依题意，当且仅当成立．

故，则，

故

即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传

费，乙公司应投入16万元的宣传费用．

21．（1）显然，在[0，1]满足①；满足②；

对于③，若，

0x >0x ≤3

80x ≤2322222213(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()024

x x x x x x x x x x ??+++=++-+=++-+≥???

?

{}n a n n S 1

24

n n S n =

+2

(24)24n S n n n n ∴=+=+116

(1)42(2)

n n n S n a S S n n -==?=?

-=+≥?42n

a n =+422

411

n n c n n +=

=-++1n n c c +<λx λ≤2()401

n a f x x x n =-+-

≤+N n *

∈*2

1

4N ∈+≤

+-n n a x x n

对任意.

1.31,034,

31

1)1(

421min 2符合题意故存在最大的实数或有得=≥≤≥+-=+=+≤+-λx x x x a

n a x x n (0)10f =(0)20g =1()104()20y f x x x g y ?

≥=+?

??≥=?

1

20)104

y ≥

+4600,15)0y ≥∴≥4≥16,2024y x ≥≥≥()21x

g x =-()0g x ≥(1)1g =12120,0,1x x x x ≥≥+≤

则 ．故适合①②③．

（2）由③知，任给时，当时，

由于，所以 若，则 前后矛盾 若，则 前后矛盾 故得证．

[]1

2

121212

1212()()()2121212221x x x x x x x x g x x g x g x ++??+-+=----+=--+??

21(21)(21)0x x =--≥()g x []0,1m n ∈、m n >()()()f m f n f m n -=-(]01,0,1n m m n ≤<≤∴-∈()()()0f m f n f m n -=-≥()()f m f n ≥()a f a <()[()]f a f f a a ≤=()a f a >()[()]f a f f a a ≥=()a f a =