函数图象及应用的规律总结

函数图象及应用的规律总结
函数图象及应用的规律总结

函数图象及应用的规律总结

①平移变换:Ⅰ、水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到;1)y =f (x )h

左移→y =f (x +h);2)y =f (x )

h

右移→y =f (x -h);Ⅱ、竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴

方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到;1)y =f (x ) h

上移→y =f (x )+h ;2)y =f (x )

h

下移→y =f (x )-h 。

②对称变换:Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得

到;y =f (x ) 轴

y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到;y =f (x ) 轴

x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到;y =f (x ) 原点

→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数

()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。y =f (x ) x

y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的

图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到;y =f (x ) a

x =→直线y =f (2a -x )。 ③翻折变换:Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到;

Ⅱ、函数(|y f x =的图像可以将函数

()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到

④伸缩变换:Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到;y =f (x )a

y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐

标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的1

a

倍得到。f (x )y =f (x )a

x ?→y =f (ax

)

四种应用:①知式选图;②知图选式;③知图选图;④综合运用 ①知式选图

1.函数y =x +cos x 的大致图象是( )

2.函数y =2log 2

x

的图象大致是( )

3. 函数2sin 2

x

y x =

-的图象大致是( )

4.已知函数:①y =3x

;②y =ln x ;③y =x -1

;④y =x 1

2.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是 (

)

A .②①③④

B .②③①④

C .④①③②

D .④③①②

5.函数y =1-1

x -1

的图象是 (

)

6.函数|1||

|ln --=x e y x 的图象大致是( )

7.函数y =lncos x (-2

π<x <)2π

的图象是( )

8.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(

,)22

ππ

内的图象是( )

A

B

C

D

9.若指数函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)图象上的任意一点P (x 0,y 0)处的导数都大于零,则函数y =xa x

|x |

的图象的大致形状是( )

10.在同一坐标系中画出函数y =log a x ,y =a x ,y =x +a 的图象,可能正确的是( )

11.设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( )左下图

12.设a <b ,函数y =(x -a )2(x -b )的图象可能是( )如右上图

13.设函数()f x (x ∈R )满足()()f x f x -=,(2)()f x f x +=,则函数()y f x =的图像是 ( )

14.若()f x 是R 上的奇函数,且当0x >时,1

()()12

x f x =+,则()f x 的反函数的图象大致

是( )

②知图选式

15.图中的图象所表示的函数的解析式为( )

A.|1|2

3-=

x y (0≤x ≤2) B.|1|23

23--=x y (0≤x ≤2)

C. |1|2

3

--=x y (0≤x ≤2) D.|1|1--=x y (0≤x ≤2)

16. 在同一平面直角坐标系中,函数()y f x =和()y g x =的图像关于直线y x =对称.现将y=g(x)图像沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个档位,所得的图像是由两条线段组成的折线(如图2所示),则函数()f x 的表达式为( )

A.22,10()2,022x x f x x x +-≤≤??=?+<≤??B.22,10

()2,022x x f x x x --≤≤??

=?-<≤??

C.22,12()1,242x x f x x x -≤≤??=?+<≤?? D.26,12()3,242

x x f x x x -≤≤??

=?-<≤??

17.函数b

x a

x f -=)(的图象如图,其中a 、b 为

常数,则下列结论正确的是( ) A .0,1<>b a B .0,1>>b a C .0,10><

D .0,10<<

18.函数()()m

n

f x ax x =1-

g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则m ,n 的值可能是( )

A .1,1m n ==

B . 1,2m n ==

C .2,1m n ==

D .3,1m n == ③知图选图

19.若函数f (x )=log a (x +b )的大致图象如图所示,其中a ,b (a >0且a ≠1)为常数,则函数g (x )=a x +b 的大致图象是(

)

20.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如图所示,则y =f (x )的图象最有可能的是( )

21.点P 是球O 的直径AB 上的动点,P A =x ,过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ,则y =f (x )的大致图象是( )

22.函数y =f (x )与函数y =g (x )的图象如图,则函数y =f (x )·g (x )的图象可能是( )

④综合运用

23.函数f (x )与g (x )的定义域为[m ,n ],它们的图象如图所示,则不等式f (x )g (x )<0的解集是________. 24.方程x 1

2

=(1

2

)x 的实根个数是________.

25.已知函数f (x )=?

???

?

8x -8,x ≤1,0,x >1,g (x )=log 2x ,则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为

( ) A .4 B .3 C .2 D .1

26.已知函数f (x )=???

lg x ,x ≥

32

lg (3-x ),x <3

2

,若方程f (x )=k 无实数根,则实数k 的取值范围是

( ) A .(-∞,0)

B .(-∞,1)

C .(-∞,lg 32)

D .(lg 3

2

,+∞)

27.函数y =|2x -1|在区间(k -1,k +1)内不单调,则k 的取值范围是( ) A .(-1,+∞)

B .(-∞,1)

C .(-1,1)

D .(0,2)

28.函数()23x

f x x =+的零点所在的一个区间是( ) A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2

29.已知函数f (x )=?

???

?

2-

x -1(x ≤0)f (x -1)(x >0),若方程f (x )=x +a 有且只有两个不相等的实数根,则实

数a 的取值范围为( )

A .(-∞,0]

B .[0,1)

C .(-∞,1)

D .[0,+∞) 30.使log 2(-x )

31.若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点,求a 的取值范围.

32.已知关于x 的方程a (14)x -(1

2)x +2=0在区间[-1,0]上有实数根,则实数a 的取值范围是

( ) A .[0,1

8

]

B .[-1,0)∪(0,18]

C .[-1,1

8

]

D .[-1,0]

33.若曲线|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是________.

34.已知函数f (x )=a -x x -a -1的反函数f -

1(x )的图象的对称中心是(-1,32),则函数h (x )=log a (x 2

-2x )的单调递增区间是( )

A .(1,+∞)

B .(-∞,1)

C .(-∞,0)

D .(2,+∞)

35.设函数y =f (x )存在反函数y =f -

1(x ),且函数y =x -f (x )的图象过点(1,2),则函数y =f -

1(x )

-x 的图象一定过点__________.

36.函数y =(a -2)x 2+2(a -2)x -4的值恒小于0,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,2) B .(-∞,-2) C .(-2,2] D .(-2,2)

37.若关于x 的方程2ax 2-x -1=0在区间(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(-1,1) C .(1,+∞) D .(-∞,-1)

38.设f (x )=|2-x 2|,若0<a <b ,且f (a )=f (b ),则ab 的取值范围是________.

39.定义在R 上的函数f (x )的图象关于点(-34,0)对称,对任意的实数x 都有f (x )=-f (x +3

2),

且f (-1)=1,f (0)=-2,则f (1)+f (2)+…+f (2011)的值为( ) A .-2 B .-1 C .0 D .1

40.已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ,且当[]1,1-∈x 时,2

)(x x f =,

则)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 41.已知10<

|x a

a x =的实根个数为( )

A .2

B .3

C .4

D .2或3或4

42.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图,求b 的范围。

43.设函数3

()31()f x ax x x R =-+∈,若对于任意的[

1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立,则实数a 的值为

44.设a ∈R ,函数2

33)(x ax x f -=.(1)若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值;(2)若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈,,,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围. 解:

函数图象及应用:

①平移变换:Ⅰ、水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到;1)y =f (x )h

左移→y =f (x +h);2)y =f (x )

h

右移→y =f (x -h);Ⅱ、竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴

方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到;1)y =f (x ) h

上移→y =f (x )+h ;2)y =f (x )

h

下移→y =f (x )-h 。

②对称变换:Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得

到;y =f (x ) 轴

y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到;y =f (x ) 轴

x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到;y =f (x ) 原点

→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数

()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。y =f (x ) x

y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的

图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到;y =f (x ) a

x =→直线y =f (2a -x )。 ③翻折变换:Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到;

Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数

()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到

④伸缩变换:Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到;y =f (x )a

y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐

标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的1

a

倍得到。f (x )y =f (x )a

x ?→y =f (

ax )

四种应用:①知式选图;②知图选式;③知图选图;④综合运用 ①知式选图

1.函数y =x +cos x 的大致图象是( B )

2.函数y =2log 2

x

的图象大致是( C )

3. 函数2sin 2

x

y x =

-的图象大致是( C )

4.已知函数:①y =3x

;②y =ln x ;③y =x -1

;④y =x 1

2.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是 ( D )

A .②①③④

B .②③①④

C .④①③②

D .④③①②

5.函数y =1-1

x -1

的图象是 ( B )

6.函数|1||

|ln --=x e y x 的图象大致是( )

7.函数y =lncos x (-2

π<x <)2π

的图象是( )

8.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(

,

)2

2

ππ

内的图象是( )

9.若指数函数f (x )=a x

(a >0,a ≠1)图象上的任意一点P (x 0,y 0)处的导数都大于零,则函数y =xa x

|x |

的图象的大致形状是( C

)

10.在同一坐标系中画出函数y =log a x ,y =a x ,y =x +a 的图象,可能正确的是( D

)

11.设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( D )左下图

12.设a <b ,函数y =(x -a )2(x -b )的图象可能是( C )如右上图

解析:当x >b 时,y >0,当x <b 时,y ≤0.

13.设函数()f x (x ∈R )满足()()f x f x -=,(2)()f x f x +=,则函数()y f x =的图像是 ( B )

A

B

C

D

-

14.若()f x 是R 上的奇函数,且当0x >时,1

()()12

x f x =+,则()f x 的反函数的图象大致

是( A )

②知图选式

15.图中的图象所表示的函数的解析式为( )

A.|1|2

3-=

x y (0≤x ≤2) B.|1|23

23--=x y (0≤x ≤2)

C. |1|2

3

--=x y (0≤x ≤2) D.|1|1--=x y (0≤x ≤2)

16. 在同一平面直角坐标系中,函数()y f x =和()y g x =的图像关于直线y x =对称.现将y=g(x)图像沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个档位,所得的图像是由两条线段组成的折线(如图2所示),则函数()f x 的表达式为( )

A.22,10()2,022x x f x x x +-≤≤??=?+<≤?? B.22,10

()2,022x x f x x x --≤≤??

=?-<≤??

C.22,12()1,242x x f x x x -≤≤??=?+<≤?? D.26,12()3,242

x x f x x x -≤≤??

=?-<≤??

17.函数b

x a

x f -=)(的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列

结论正确的是( ) A .0,1<>b a B .0,1>>b a C .0,10><

D .0,10<<

18.函数()()m

n

f x ax x =1-

g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则m ,n 的值可能是( B )

A .1,1m n ==

B . 1,2m n ==

C . 2,1m n ==

D . 3,1m n == ③知图选图

19.若函数f (x )=log a (x +b )的大致图象如图

所示,其中a ,b (a >0且a ≠1)

20.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如图所示,则y =f (x )的图象最有可能的是( C )

21.点P 是球O 的直径AB 上的动点,P A =x ,过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ,则y =f (x )的大致图象是( A )

22.函数y =f (x )与函数y =g (x )的图象如图,则函数y =f (x )·g (x )的图象可能是( A )

④综合运用

23.函数f (x )与g (x )的定义域为[m ,n ],它们的图象如图所示,则不等式f (x )g (x )<0的解集是________. [m ,a )∪(a ,b )∪(c ,d )

解析:f (x )·g (x )<0,等价于????? f (x )>0,g (x )<0或?????

f (x )<0,

g (x )>0.

24.方程x 12

=(1

2

)x 的实根个数是________.1

解析:设f (x )=x 12

,g (x )=(1

2

)x ,其图象如右,

25.已知函数f (x )=?

????

8x -8,x ≤1,

0,x >1,g (x )=log 2x ,则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为

( C ) A .4 B .3 C .2

D .1

26.已知函数f (x )=???

lg x ,x ≥3

2

lg (3-x ),x <3

2

,若方程f (x )=k 无实数根,则实数k 的取值范围是

( C ) A .(-∞,0)

B .(-∞,1)

C .(-∞,lg 32)

D .(lg 3

2

,+∞)

27.函数y =|2x -1|在区间(k -1,k +1)内不单调,则k 的取值范围是( C ) A .(-1,+∞)

B .(-∞,1)

C .(-1,1)

D .(0,2)

28.函数()23x

f x x =+的零点所在的一个区间是( B ) A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2

29.已知函数f (x )=?

????

2-

x

-1(x ≤0)

f (x -1)(x >0),若方程f (x )=x +a 有且只有两个不相等的实数根,则实

数a 的取值范围为( C )

A .(-∞,0]

B .[0,1)

C .(-∞,1)

D .[0,+∞)

解析:当x >0时,因为f (x )=f (x -1),所以当x >0时,f (x )是以1为周期的函数,又当0

x -1=2·(12)x -1.方程f (x )=x +a 的根的个数可看成是

两个函数y =f (x )与y =x +a 的图象的交点个数,画出函数的图象,如图,由图象可知,实数a 的取值范围是(-∞,1).

30.使log 2(-x )

解析:作出函数y =log 2(-x )及y =x +1的图象,其中y =log 2(-x )与y =log 2x 的图象关于y 轴对称,观察图象知(如图所示),-1

x ∈(-1,0).也可把原不等式化为?

????

-x >0,

-x <2x +1后作图. 31.若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点,求a 的取值范围. 综上可知,0

.

32.已知关于x 的方程a (14)x -(1

2)x +2=0在区间[-1,0]上有实数根,则实数a 的取值范围是

( D ) A .[0,1

8

]

B .[-1,0)∪(0,18]

C .[-1,1

8

]

D .[-1,0]

解析:依题意得a =-2·22x +2x ,令t =2x ,则当x ∈[-1,0]时,t ∈[1

2,1],

a =-2t 2+t =-2(t -14)2+1

8

∈[-1,0].

33.若曲线|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是

________.[-1,1]

解析:分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.

曲线|y |=2x +1与直线y =b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 应满足的条件是b ∈[-1,1].

34.已知函数f (x )=a -x x -a -1的反函数f -

1(x )的图象的对称中心是(-1,32),则函数h (x )=log a (x 2

-2x )的单调递增区间是( C )

A .(1,+∞)

B .(-∞,1)

C .(-∞,0)

D .(2,+∞)

35.设函数y =f (x )存在反函数y =f -

1(x ),且函数y =x -f (x )的图象过点(1,2),则函数y =f -

1(x )

-x 的图象一定过点__________.(-1,2)

解析:由题意得1-f (1)=2,即f (1)=-1,因此有f -

1(-1)=1,f -

1(-1)-(-1)=1-(-1)

=2,即函数y =f -

1(x )-x 的图象一定过点(-1,2).

36.函数y =(a -2)x 2+2(a -2)x -4的值恒小于0,则a 的取值范围是( C ) A .(-∞,2) B .(-∞,-2) C .(-2,2] D .(-2,2)

37.若关于x 的方程2ax 2-x -1=0在区间(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是( C ) A .(0,1) B .(-1,1) C .(1,+∞) D .(-∞,-1)

38.设f (x )=|2-x 2|,若0<a <b ,且f (a )=f (b ),则ab 的取值范围是________.(0,2) 解析:由f (x )=|2-x 2

|,0<a <b 且f (a )=f (b )可知,a 2

+b 2

=4.∴0<ab <a 2+b 2

2

=2.

39.定义在R 上的函数f (x )的图象关于点(-34,0)对称,对任意的实数x 都有f (x )=-f (x +3

2),

且f (-1)=1,f (0)=-2,则f (1)+f (2)+…+f (2011)的值为( D ) A .-2 B .-1 C .0 D .1

解析:f (x )的图象关于(-34,0)对称,得f (x )+f (-32-x )=0,又f (x )=-f (x +3

2

),

于是f (x )是偶函数,且f (x )=f (x +3)故f (x )是以T =3的周期函数,f (-1)=f (2)=f (1)=1.f (3)=f (0)=2 ∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2011)=f (1)+670·[f (1)+f (2)+f (3)]=f (1)=1.

40.已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ,且当[]1,1-∈x 时,2

)(x x f =,

则)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为( C )

A .2

B .3

C .4

D .5 41.已知10<

|x a

a x =的实根个数为( D )

A .2

B .3

C .4

D .2或3或4 42.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图,求b 的范围。 解法一:观察f (x )的图象,可知函数f (x )的图象过原点,即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1,0),∴f (x )=a +b +c ① 又有f (-1)<0,即-a +b -c <0 ② ①+②得b <0,故b 的范围是(-∞,0)

解法二:如图f (0)=0有三根0,1,2,∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x -1)(x -2)=ax 3-3ax 2+2ax , ∴b =-3a ,∵当x >2时,f (x )>0,从而有a >0,∴b <0。

43.设函数3

()31()f x ax x x R =-+∈,若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立,则实数a 的值为 【答案】4

【解】本小题考查函数单调性的综合运用.若x =0,则不论a 取何值,()f x ≥0显然成立;

当x >0 即[]1,1x ∈-时,()3

31f x ax x =-+≥0可化为,2331a x x

- 设()2331g x x x =-,则()()'

4312x g x x -=, 所以()g x 在区间10,2?? ???

上单调递增,在区

间1,12??????上单调递减,因此()max 142g x g ??

== ???

,从而a ≥4; 当x <0 即[)1,0-时,()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x

-,()()'

4

312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增,因此()()ma 14n g x g =-=,从而a ≤4,综上a =4

44.设a ∈R ,函数2

33)(x ax x f -=.(1)若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值;(2)若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈,,,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围. 解:(1)2

()363(2)f x ax x x ax '=-=-.因为2x =是函数()y f x =的极值点,所以

(2)0f '=,即6(22)0a -=,因此1a =.经验证,当1a =时,2x =是函数()y f x =的

极值点.(2)由题设,3

2

2

2

()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+.当()g x 在区间[02],上的最大值为(0)g 时,(0)(2)g g ≥,即02024a -≥.故得6

5

a ≤. 反之,当65a ≤

时,对任意[02]x ∈,,26()(3)3(2)5

g x x x x x +-+≤ 23(210)5x x x =+-3(25)(2)5

x

x x =+-0≤, 而(0)0g =,故()g x 在区间[02],上的最大值为(0)g .综上,a 的取值范围为65?

?-∞ ??

?

,.

6.5一次函数图象的应用(第二课时)教学设计

第六章一次函数 5.一次函数图象的应用(二) 成都七中陈中华 一、学生起点分析 在前几节课,学生已经分别学习了一次函数,一次函数的图象,一次函数图象的特征,并且了解到一次函数的应用十分广泛.在此基础上,通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用. 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成.第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题,本节课为第2课时,主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题.和前一课时一样,教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题,关注数形结合思想的揭示,关注形象思维能力的发展,同时,这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础. 三、教学目标分析 1.教学目标 ●知识与技能目标: 1.进一步训练学生的识图能力,能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题; ●过程与方法目标: 1.在函数图象信息获取过程中,进一步培养学生的数形结合意识,发展形象思维; 2.在解决实际问题过程中,进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识.●情感与态度目标: 在现实问题的解决中,使学生初步认识数学与人类生活的密切联系,从而培养学生学习数学的兴趣. 2.教学重点 一次函数图象的应用 3.教学难点 从函数图象中正确读取信息 四、教法学法 1.教学方法:“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2.课前准备: 教具:教材,课件,电脑 学具:教材,练习本,铅笔,直尺

五、教学过程: 本节课设计了五个环节:第一环节:情境引入;第二环节:问题解决;第三环节:反馈练习;第四环节:课时小结;第五环节:作业布置. 第一环节:情境引入 内容:一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价 售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有 的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列 问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中 的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 意图:通过与上一课时相似的问题,回顾旧知,导入新知学习。 效果:由于问题与上一课时问题相近,学生很快明确并解决了问题。 第二环节:问题解决 内容1:例1 小聪和小慧去某风景区游览,约好在“飞瀑”见面,上午 7:00小聪乘电动汽车从“古刹”出发,沿景区公路去“飞 瀑”,车速为36km/h,小慧也于上午7:00从“塔林”出发, 骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”,车速为26km/h. (1)当小聪追上小慧时,他们是否已经过了“草甸”? (2)当小聪到达“飞瀑”时,小慧离“飞瀑”还有多少km? 分析:当小聪追上小慧时,说明他们两个人的什么量是相同 的?是否已经过了“草甸”该用什么量来表示?你会选择用哪 种方式来解决?图象法?还是解析法? 解:设经过t时,小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2, 由题意得:S1=36t, S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上,观察图象,得 ⑴两条直线S1=36t, S2=26t+10的交点坐标为(1,36)这说明当小聪追上小慧时,S1=S2=36 km,即离“古刹”36km,已超过35km,也就是说,他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时,即S1=45km,此时S2=42.5km. 所以小慧离“飞瀑”还有45-42.5=2.5(km) 思考:用解析法如何求得这两个问题的结果?小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么(小聪的解析式为S1=36t,小慧的解析式为S2=26t+10)? 意图:培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识.通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题.在此过程中渗透数形结合的思想方法,发展学生的数学应用能力. 说明:在这个环节的学习过程中,如果学生入手感到困难,可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步?⑵在两个人到达之前所用时间是否相同?所行驶的路程是否

函数的图象变换(习题)

函数的图象变换(习题) 1.函数y=-2x2的图象是由函数y=-2x2+4x+6的图象经过怎样的变换得到的? () A.向左平移1个单位长度,向上平移8个单位长度 B.向右平移1个单位长度,向上平移8个单位长度 C.向左平移1个单位长度,向下平移8个单位长度 D.向右平移1个单位长度,向下平移8个单位长度 4.若函数(1) x y a b =-+(a>0,且a≠1)的图象在第一、三、四象限,则必有()

A .0<a <1,b >0 B .0<a <1,b <0 C .a >1,b <0 D .a >1,b > 5. 若函数()y f x =与()y f x =的图象相同,则()f x 可能是( ) A .1y x -= B .2x y = C .2log y x = D .21y x =- 6. 当0<a <1时,函数()log ()a f x x =-与()1g x ax =-的图象的交点在( ) A . 第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 7. 在同一平面直角坐标系内,函数1()3x f x -=与1()3x g x +=的图象关于( ) A .y 轴对称 B .x 轴对称 C .原点对称 D .直线x =1对称

f (x -1)的函数 f (-x )的函数 |f (x )|的函数 f (|x |)的函数 A B C D 10. 将()y f x =的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =ln x 关于y 轴对称, 则()y f x =的解析式为( ) A .()ln(1)f x x =+ B .()ln(1)f x x =- C .()ln(1)f x x =-+ D .()ln(1)f x x =-- 11. 若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线x =-2对称,则a ,b 的值分 别为( ) A .15,8 B .8,15 C .3,4 D .-3,-4 12. 已知函数()y f x =的图象关于直线x =1对称,且在[1)+∞,上单调递减, (0)0f =,则(1)0f x +>的解集为( ) A . (1)+∞, B .(1)(1)-∞-+∞,, C .(1)-∞-, D .(11)-, 13. 已知函数() y f x =的图象与ln y x =的图象关于x 轴对称,则 (2)f =_____________.

高中数学双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用,是高考要求范围内的一个重要的基础知识.那么在高三第一轮复习 课中,对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言,我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =(ab ≠0)的图象、性质与应用. 2.1 定理:函数x b ax y +=(ab ≠0)表示的图象是以y=ax 和x=0(y 轴) 的直线为渐近线的双曲线. 首先,我们根据渐近线的意义可以理解:ax 的值与x b 的值比较,当x 很大很大的时候, x b 的值几乎可以忽略不计,起决定作用的是ax 的值;当x 的值很小很小,几乎为0的时候,ax 的值几乎可以忽略不计,起决定作用的是x b 的值.从而,函数x b ax y +=(ab ≠0)表示 的图象是以y=ax 和x=0(y 轴)的直线为渐近线的曲线.另外我们可以发现这个函数是奇 函数,它的图象应该关于原点成中心对称. 由于函数形式比较抽象,系数都是字母,因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的,我们通过一个例题来说明这一结论. 例1.若函数x x y 3 233+= 是双曲线,求实半轴a ,虚半轴b ,半焦距c ,渐近线及其焦点,并验证双曲 线的定义. 分析:画图,曲线如右所示;由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线;由此,两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了,得出顶点为A (3,3),A 1(-3,-3); ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o,则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32).为了验证函数的图象是双曲线,在曲线上任意取一点P (x, x x 3 233+)满足3421=-PF PF 即可;

专题复习--函数图象中的行程问题

专题复习 函数图象中的行程问题 图象信息题是指由图象(表)来获取信息.从而达到解题目的的题型,这类问题来源广泛,形式灵活,突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查.而将普通的行程问题以图像的方式呈现无疑更是中考试题的亮点。解此类题的关键是“识图”和“用图”,一般步骤是: (1)观察图象,获取有效信息;(2)对已获信息进行加工、整理,理清各变量之间的关系; (3)选择适当的数学工具,通过建模解决问题。下面以08、09两年的中考试题为例加以分类剖析。 一.相遇问题 例1.甲、乙两车同时从A 地出发,以各自的速度匀速向B 地行驶.甲车先到达B 地,停留1小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为每小时60千米.下图是两车之间的距离y (千米)与乙车行驶时间x (小时)之间的函数图象. (1)请将图中的( )内填上正确的值,并直接写出甲车从A 到B 的行驶速度; (2)求从甲车返回到与乙车相遇过程中y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围. (3)求出甲车返回时行驶速度及A 、B 两地的距离. 解:(1)( )内填60,甲车从A 到B 的行驶速度:100千米/时 (2)设y kx b =+,把(4,60)、(4.4,0)代入上式得: 604044k b k b =+??=+? . 解得:150 600 k b =-??=? 150660y x ∴=-+ 自变量x 的取值范围是:4≤x ≤4.4 (3)设甲车返回行驶速度为v 千米/时, 有0.4(60)60v ?+=得90(/)v =千米时 A B 、两地的距离是:3100300?=(千米) 评析:细心、耐心的读题、审题是解题的前提。本题中的行程过程分三个阶段,分别对应了三段函数图像,因此理解图像中每一条线段以及每个折点的实际意义成了解题的关键。如:点(3,120)的含义是乙车出发3小时后两车相距120千米,而此时乙车行驶了180km ,甲车行驶了300km 。 从知识点上讲,此题主要考查了二元一次方程组、一次函数、、图像交点等内容,其中第(2)小题便是函数解析式与图像、方程的综合,第(3)小题对思维能力要求较高,关键仍是对图像要有足够的理解,需要学生有相当的读图能力。这三个问题环环相扣,层层推进,区分度较明显,既有利于考查学生思维的逻辑性和灵活性,也有利于考查学生的运算能力。 二.追及问题 例2.2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震.某市接到上级通知,

2015高考数学(理)一轮题组训练:2-7函数的图象及其应用

第7讲 函数的图象及其应用 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、填空题 1.把函数f (x )=(x -2)2+2的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式是________. 解析 把函数f (x )=(x -2)2+2的图象向左平移1个单位长度,得y =[(x +1)-2]2+2=(x -1)2+2,再向上平移1个单位长度,得y =(x -1)2+2+1=(x -1)2+3. 答案 y =(x -1)2+3 2.函数f (x )=x +1 x 的图象的对称中心为________. 解析 f (x )=x +1x =1+1 x ,故f (x )的对称中心为(0,1). 答案 (0,1) 3.已知f (x )=? ???? 13x ,若f (x )的图象关于直线x =1对称的图象对应的函数为g (x ), 则g (x )的表达式为________. 解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ,y ),这一点关于x =1的对称点为(x 0,y 0),则??? x 0=2-x , y 0=y . ∴y =? ???? 132-x =3x -2. 答案 g (x )=3x -2 4.函数y =(x -1)3+1的图象的对称中心是________. 解析 y =x 3的图象的对称中心是(0,0),将y =x 3的图象向上平移1个单位,再向右平移1个单位,即得y =(x -1)3+1的图象,所以对称中心为(1,1). 答案 (1,1)

5. 设奇函数f (x )的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f (x )的图象如图,则不等式f (x )<0的解集是________. 解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称.∴f (x )<0的解集为(-2,0)∪(2,5). 答案 (-2,0)∪(2,5) 6.若函数f (x )在区间[-2,3]上是增函数,则函数f (x +5)的单调递增区间是________. 解析 ∵f (x +5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的. ∴f (x +5)的递增区间就是[-2,3]向左平移5个单位得到的区间[-7,-2] 答案 [-7,-2] 7.若方程|ax |=x +a (a >0)有两个解,则a 的取值范围是________. 解析 画出y =|ax |与y =x +a 的图象,如图.只需a >1. 答案 (1,+∞) 8.(2013·泰州模拟)已知函数f (x )=??? log 2x (x >0),2x (x ≤0),且关于x 的方程f (x )-a =0有 两个实根,则实数a 的范围是________. 解析 当x ≤0时,0<2x ≤1,所以由图象可知要使方程f (x )-a =0有两个实

一次函数图象的应用

一次函数图象的应用 一.知识与技能目标: 1.能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题; 2.在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立各种知识的联系。 过程与方法目标: 1.通过对函数图象的观察与分析,培养学生数形结合的意识,发展形象思维; 2.通过具体问题的解决,培养学生的数学应用能力; 3.引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,使学生初步形成多样的学习方式. 情感与态度目标: 1.在具体的案例中,培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等. 教学重点 一次函数图象的应用. 教学难点 正确地根据图象获取信息,并解决现实生活中的有关问题. 教学过程 第一环节复习 .怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问

题,是我们这节课的主要内容.首先,想一想一次函数具有什么性质? 在一次函数y kx b =+中 当0k >时,y 随x 的增大而增大, 当0b >时,直线交y 轴于正半轴,必过一、二、三象限; 当0b <时,直线交y 轴于负半轴,必过一、三、四象限. 当0时,直线交y 轴于正半轴,必过一、二、四象限; 当0b <时,直线交y 轴于负半轴,必过二、三、四象限. 在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线,并且讨论了k 、b 的正负对图象的影响.通过对上节课学习内容的回顾,为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫. 第二环节 自主学习 由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.干旱持续时间t (天)与蓄水量V (万米3)的关系如下图所示,回答下列问题: (1)干旱持续10天后,蓄水量为多 少?连续干旱23天后呢? (2)蓄水量小于400万米3时,将发 生严重干旱警报.干旱多少天后将发出 严重干旱警报? (3)按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将干涸? (根据图象回答问题,有困难的可以互相交流.) 第三环节 反馈练习: 当得知周边地区的 干旱情况 后,育才学校的小明意识到节约用 水的重要性.当天在班上倡议节约

函数图像过定点问题

函数图像过定点得研究 题1: 求证:拋物线y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1(k≠3)过定点,并求出定点得坐标。 归纳: 第一步:对含有变系数得项集中; 第二步:然后将这部分项分解因式,使其成为一个只含系数与常数得因式与一个只含x与常数得因式之积得形式; 第三步:令后一因式等于0,得到一个关于自变量x得方程(这时系数如何变化,都“失效”了); 第四步:解此方程,得到x得值x0(定点得横坐标),将它代入原函数式(也可以就是其变式),即得到一个y 得值y0(定点得纵坐标),于就是,函数图象一定过定点(x0,y0); 第五步:反思回顾,查瞧关键点、易错点,完善解题步骤. 题2: (2001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数,二次函数得图像总过得点就是( ) A、 (1,3) B、(1,0)C、(-1,3)?D、 (—1,0)

巩固练习: 1.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m得图象总就是过定点() A。?(1,3)?B.(1,0)?C. (﹣1,3) D. (﹣1,0) 2.对于关于x得二次函数y=ax2﹣(2a﹣1)x﹣1(a≠0),下列说法正确得有( ) ①无论a取何值,此二次函数图象与x轴必有两个交点;②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间得距离为;③当a〉0时,函数在x〈1时,y随x得增大而减小;④当a〈0时,函数图象截x轴所得得线段长度必大于2. A. 1个B.2个C。3个D。4个 3、(2012?鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3(m≠0)得图象发现,随着m得变化,这个二次函数得图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数得图象总经过两个定点,请您写出这两个定点得坐标:_________。 4。某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2(m≠0)得图象发现,随着m得变化,这个二次函数图象得形状与位置均发生变化,但这个二次函数得图象总经过两个定点。请您写出这两个定点得坐标:_________. 5。(2009?宜宾县一模)二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2,则这个函数得图象一定经过某一个定点,这个定点就是 _________ . 6.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m得图象总就是过定点_________. 7.已知一个二次函数具有性质(1)图象不经过三、四象限;(2)点(2,1)在函数得图象上;(3)当x>0时,函数值y随自变量x得增大而增大。试写出一个满足以上性质得二次函数解析式: _________ 。 8、证明无论m为何值,函数y=mx-(4m—3)图像过定点,求出该定点坐标

函数图像变换及应用

上节课知识检测 一、基本内容 1.利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为: 2、会画基本函数图像(一次(两点想x 取0,,y 取0(或X 取1))、反比例(三点(x 取1/2、1,2)对称轴、对称中心)、二次(对称轴\顶点\开口)、幂(四点x 取0,1/2,1,2对称)、指数(三点x 取-1,0,1)、对数(三点Y-1,0,1)、对勾(两部分相等时X 值点)、三角(x 取五点;对称轴、对称中心)) 3.掌握画图像的基本方法:(1)描点法(2)图像变换法.平移、伸缩、翻折 (3)讨论分段法 (1)平移变换: y =f (x ) ――――――――――→a >0,右移a 个单位a <0,左移|a |个单位 y =f (x -a ); y =f (x ) ―――――――――→b >0,上移b 个单位b <0,下移|b |个单位 y =f (x )+b . (2)伸缩变换: y =f (x ) 1 011 1ωωωω <<>????????→,伸原的倍 ,短原的 长为来缩为来 y =f (ωx ); y =f (x ) ――――――――――――→A >1,伸为原来的A 倍0

二次函数图像问题及答案难题.

二次函数图像性质 1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示,OA =OC , ①abc <0;② 24b ac <;③1-=-b ac ; ④02<+b a ;⑤ a c OB OA -=?; ⑥024< +-c b a 。其中正确的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图,OA=OC ,则( ) (A ) ac+1=b; (B ) ab+1=c; (C )bc+1=a; (D )以上都不是 3,已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示,给出以下结论:① a +b +c <0;② a -b +c <0;③ b +2a <0;④ abc >0 .其中所有正确结论的序号是( ) A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 4.如图是二次函数y =ax 2+bx +c x =-1,给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a -b +c ________________.(填序号) 5.y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如下图所示,abc ,b 2-4ac ,a -b +c ,a +b +c ,2a -b ,9a -4b 的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示,有下列结 论: ①240b ac ->; ②0abc >; ③80a c +>; ④930a b c ++<. 其中,正确结论的个数是 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 7.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于点(-2,0)(x 1,0),且1<x 1<2,与y 轴正半轴的交点在(0,2)下方。下列结论:(1)4a-2b+c=0.(2)a <b <0.(3)2a+c >0.(4)2a-b+1>0.其中正确的序号是 . 第(16)题

高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材

含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法(该函数图形形状似“V ”,故称V 型图)。 步骤是:①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ,; ②在顶点两侧各找出一点; ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线,就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 (1)1|12|--=x y ;(2)|12|1+-=x y 。 解:(1)顶点?? ? ??-12 1 ,,两点(0,0) ,(1,0)。其图象如图1所示。 图1 (2)顶点?? ? ?? - 121 ,,两点(-1,0) ,(0,0)。其图象如图2所示。 图2 注:当k>0时图象开口向上,当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是:①先作出)(x f y =的图象;②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方,则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象; ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的,则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方,就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 (1)|1|||-=x y ;(2)|32|2 --=x x y ;(3)|)3lg(|+=x y 。 解:(1)先作出1||-=x y 的图象,如图3,把图3中x 轴下方的图象翻上去,得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4

(新)高中数学复习专题一---函数图象问题

专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法,尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式,形象的显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1.函数图象作图方法 (1)描点法:列表、描点(注意关键点:如图象与x 、y 轴的交点,端点,极值点等))、连线(注 意关键线:如;对称轴,渐近线等) (2)利用基本函数图象变换。 2.图象变换(由一个图象得到另一个图象):平移变换、对称变换和伸缩变换等。 (1)平移变换 ① 水平平移:函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到; ② 竖直平移:函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到. (2)对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到; ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到; ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到; (3)翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到. (4)伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到; ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到. 3.函数图象的对称性:对于函数)(x f y =,若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-(或))2()(x a f x f -=,则)(x f 的图象关于直线a x =对称; ②b x a f x a f 2)()(=++-(或)2)2()(b x a f x f =-+,,则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数(如正、反比例函数,一次、二次函数,指数、对数函数,幂函数,三角函数)的图象 5、作函数图象的一般步骤: (1)求出函数的定义域;(2)化简函数式;(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性)以及图像上的特殊点、线(如极值点、渐近线、对称轴等);(4)利用基本函数的图像(5)利

专题九函数图象及其综合应用

专题九 函数图象及综合应用 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻。 知识网络: 一、新课引入 在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象?描点法作图。 描点法作图的步骤有哪些? 描点法作图的基本步骤是:列表、描点、连线。 基本函数的图象要熟记:一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、幂函数。 二、新课讲解 1、函数图象的基本作法有两种: ① 描点法②图象变换法 2、画函数图象时有时也可利用函数的性质如单调性、奇偶性、对称性、周期性等,以及图象上的特殊点、线(如对称轴、渐近线等)。 3、图象的变换是指一个函数的图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图 象。 . 在高考中要求学生掌握的三种变换是:平移变换、对称变换、伸缩变换、翻折变换。 4、常用函数图象变换的规律。 (1)平移变换 ①水平平移:y =f(x±a)(a>0)的图象,可由y =f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a 个单位而得到。 ②竖直平移:y =f(x)±b(b>0)的图象,可由y =f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b 个单位而得到。 (2)对称变换 ①y =f(-x)与y =f(x)的图象关于y 轴对称。 ②y =-f(x)与y =f(x)的图象关于x 轴对称。 ③y =-f(-x)与y =f(x)的图象关于原点对称。 (3)伸缩变换 ①y =af(x)(a >0)的图象,可将y =f(x)图象上每点的纵坐标伸(a >1时)或缩(a <1时)到原来的a 倍,横坐标不变。 ②y =f(ax)(a >0)的图象,可将y =f(x)的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >1时)到原来的1a 倍,纵坐标不变。 (4)翻折变换 ①作为y =f(x)的图象,将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y =|f(x)|的图象。

三角函数图象及应用

函数y =A sin(ωx +φ)的图象及应用 1.y =A sin(ωx +φ)的有关概念 y =A sin(ωx + φ)(A >0,ω>0),x ∈ [0,+∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T = 2πω f =1 T =ω 2π ωx +φ φ 2.如下表所示. x 0-φ ω π2 -φω π-φ ω 3π2 -φω 2π-φ ω ωx +φ 0 π2 π 3π2 2π y =A sin(ωx +φ) 0 A -A 3.函数y x y A x 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)作函数y =sin(x -π6)在一个周期的图象时,确定的五点是(0,0),(π 2,1),(π,0),(3π2,- 1),(2π,0)这五个点.( × ) (2)将函数y =3sin 2x 的图象左移π 4个单位长度后所得图象的解析式是y =3sin(2x + π 4 ).( × ) (3)函数y =sin(x -π4)的图象是由y =sin(x +π4)的图象向右移π 2 个单位长度得到的.( √ )

(4)函数y =sin(-2x )的递减区间是(-3π4-k π,-π 4-k π),k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )=sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π,0.( √ ) (6)函数y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为T ,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2 .( √ ) 1.(2014·)为了得到函数y =sin(2x +1)的图象,只需把函数y =sin 2x 的图象上所有的点( ) A .向左平行移动1 2个单位长度 B .向右平行移动1 2个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度 答案 A 解析 y =sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y =sin 2(x +1 2)的图象,即函数y = sin(2x +1)的图象. 2.(2013·)函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π 2)的部分图象如图所 示,则ω,φ的值分别是( ) A .2,-π 3 B .2,-π 6 C .4,-π 6 D .4,π 3 答案 A 解析 ∵34T =5π12-????-π 3,∴T =π,∴ω=2, ∴2×5π12+φ=2k π+π2,k ∈Z ,∴φ=2k π-π 3,k ∈Z , 又φ∈??? ?-π2,π2,∴φ=-π 3,故选A.

对数函数的图象变换及在实际中的应用苏教版

对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式, 形象显示了函数的性质。为研究它的数量关 系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一. 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 (一) 图象的平移变换 y log 2(x 2)的图象 主:图象的平移变换: 1.水平平移:函数y f (x b) , (a 0)的图像,可由y f (x)的 2.竖直平移:函数y f (x) b , (b 0)的图像,可由y f (x)的图像向上(+)或向下 平移b 个单位而得到. (二) 图像的对称变换 例2.画出函数y log 2 x 2的图像,并根据图像指出它的单调区间 ? 解:当 x 0 时,函数 y log 2 x 2 满足 f ( x) log 2( x)2 log 2 x 2 f (x),所以 2 2 y log 2 x 是偶函数,它的图象关于 y 轴对称。当x 0时,y log 2 x 2 log 2 x 。因 此先画出y 2 log 2 x ,( x 0)的图象为s ,再作出&关于 y 轴对称C 2, c i 与C 2构成函数y 由图象可以知道函数 y log 2 x 2 调增区间是(0,) 例1. 画出 函数 y log 2 (x 2) 与 y log 2(x 2)的图像,并指出两个图像 之间的关系? 解:函数y log 2 x 的图象如果向右平移 到y Iog 2(x 2)的图像;如果向左平移 /pl y i. J - ■- .— w ■■ *-------- 1 ------ ~ / - 1 ] ''5 / 3 = / ' 到y log 2(x 2)的图像,所以把y log 2(x 2) 图像向左(+)或向右 平移a 个单位而得到 2个单位就得 2个单位就得 的图象向右平移4个单位得到

函数图像的四种变换形式

函数图像的四种变换 1.平移变换 左加右减,上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位; ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位; a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位; a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心,则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心,则求交点。 (1)对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 (2)中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点(a,b)对称。 3伸缩变换 (1)) (x af y=的图像,可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长(a>1)或缩短(a<1)到原来的a倍,横坐标不变。 (2)) (ax f y=(a>0)的图像,可以将) (x f y=的横坐标伸长(01)到原来的1/a倍,纵坐标不变。

4.翻折变换 (1)形如)(x f y =,将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方,去掉原来x 轴下方的部分,保留原来在x 轴上方的部分。 (2)形如)(y x f =,将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分,并保留)(x f y 轴左边部分,为)(y x f =的图像。 习题:①做出32y 2++=)(x 的图像 ②做出3+=x y 的图像

(完整版)高中数学中的函数图象变换及练习题

高中数学中的函数图象变换及练习题 ①平移变换: Ⅰ、水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到; 1)y =f (x )h 左移→y =f (x +h);2)y =f (x ) h 右移→y =f (x -h); Ⅱ、竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到; 1)y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ;2)y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换: Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到; y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到; y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到; y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换: Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换: Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到;y =f (x )a y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐 标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的1 a 倍得到。f (x )y =f (x )a x ?→y =f (ax ) 1.画出下列函数的图像 (1))(log 2 1x y -= (2)x y )2 1(-= (3)x y 2log = (4)12-=x y (5)要得到)3lg(x y -=的图像,只需作x y lg =关于_____轴对称的图像,再向____平移 3个单位而得到。 (6)当1>a 时,在同一坐标系中函数x a y -=与x y a log =的图像( )

(完整版)一次函数图像问题附答案

一次函数图像问题附答案 一、基本识图问题 1.(2007?常州)如图,图像(折线OEFPMN)描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系,下列说法中错误的是() A、第3分时汽车的速度是40千米/时 B、第12分时汽车的速度是0千米/时 C、从第3分到第6分,汽车行驶了120千米 D、从第9分到第12分,汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 二、行程问题 1.(2009?滨州)小明外出散步,从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭,看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家.则下列图像能表示小明离家距离与时间关系的是() A、B、 C、D、 2.(2007?鄂尔多斯)如图,一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1?A2?A3?A4?A5爬行,那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图像大致是()

A 、 B 、 C 、 D 、 三、行走路线问题 1. 图1是韩老师早晨出门散步时,离家的距离(y )与时间(x )之间的函数图像。若用黑 点表示韩老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是( ) 四、速度问题 1.如图4所示的函数图像反映的过程是:小明从家去书店,又去学校取封信后马上回家,其 中x 表示时间,y 表示小明离他家的距离,则小明从学校回家的平均速度为 千米/小时。 2. 图中由线段OA 、AB 组成的折线表示的是小明步行所走的路程和时间之间的关系,其中x 轴表示步行的时间,y 轴表示步行的路程.他在6分至 8分这一时间段步行的速度是( ) A 、120米/分 B 、108米/分 C 、90米/分 D 、88米/分 五、图像变化快慢问题 图1 图4

二次函数图像性质及应用

.. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3,下列判断正确的是() A.开口方向向上,y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是(﹣1,﹣2) D.当x<1 时,y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=(x-2)2+k,则b、k 的值分别为() A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是() A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是() A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正数的有() A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是() A.a>0,△>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△>0 D.a<0,△<0 8.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是() A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2

函数图像问题综合

一、指数函数图像应用 练习一 1.函数f(x)=a x-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.00 D.00,且a≠1,若函数y=|a x-2|与y=3a的图象有两个交点,则实数a的取值范围是________. 3.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( ) 4、若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,求k的取值范围.

练习二 1.函数y =a x -a (a >0,且a ≠1)的图象可能是( ) 2.函数y =2x 与y =2-x 的图象关系是( ) A .关于x 轴对称 B .关于y 轴对称 C .关于原点对称 D .关于直线y =x 对称 3.已知函数y =kx +a 的图象如图所示,则函数y =a x +k 的图象可能是( ) 4.(2016·唐山二模)当x ∈[1,2]时,函数y =1 2x 2与y =a x (a >0)的图象有交点, 则a 的取值范围是( ) A.??????12,2 B.??????12,2 C.??????14,2 D.???? ??14,2

二、对数函数图像应用 1.函数f(x)=ln|x-1|的图象大致是( ) 2、(2017·成都一诊)设f(x)=|ln(x+1)|,已知f(a)=f(b)(a0 B.a+b>1 C.2a+b>0 D.2a+b>1 3已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( ) A.00,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=log |x|的图象大致是( ) a

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