2013高考数学一轮复习充分条件与必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

【复习指导】

复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．

基础梳理

1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．

一个区别

否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命

题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．

两条规律

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

(2)互为逆否命题的两个命题同真假．

三种方法

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．

(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．

解析①由2＞－3?/ 22＞(－3)2知，该命题为假；

②a2＞b2?|a|2＞|b|2?|a|＞|b|，该命题为真；

③a＞b?a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c?a＞b；

∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．

答案②③

2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )．

\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b

解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．

答案 D

3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )．

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，

∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而

它不是奇函数，故选B.

答案 B

4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )．

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.

答案 D

5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为 .

答案若a≤b，则有2a≤2b－1

考向一命题正误的判断

【例1】?(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：

①A B?对任意x∈A都有x?B；

②A B?A∩B＝?；

③A B?B A；

④A B?存在x∈A，使得x?B.

其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．

[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．

解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A B但2∈A且2∈B.

②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A B而A∩B＝{2}．

③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A B但B?A.

④正确．

答案④

正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．

【训练1】给出如下三个命题：

①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；

②设a，b∈R，且ab≠0，若a

b

＜1，则

b

a

＞1；

③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是( )．

A ．①②③

B ．①②

C ．②③

D ．①③

解析 对于①，可举反例：如a ，b ，c ，d 依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a 、b 异号，虽然a

b ＜1，但b a

＜0，故②错；对于③，y ＝f (|x |)＝log 2|x |，显然为偶函数，故选B. 答案 B

考向二 四种命题的真假判断

【例2】?已知命题“若函数f (x )＝e x

－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )．

A ．否命题是“若函数f (x )＝e x

－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题 B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x

－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x

－mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x

－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．

解析 f ′(x )＝e x －m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m ≤e x

在(0，＋∞)上恒成立，故m ≤1，这说明原命题正确，反之若m ≤1，则f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D

判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真

假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．

【训练2】 已知命题“函数f (x )、g (x )定义在R 上，h (x )＝f (x )·g (x )，如果f (x )、g (x )均为奇函数，则h (x )为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析 由f (x )、g (x )均为奇函数，可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2

是偶函数，但函数f (x )＝x 2

e x ，g (x )＝e x

都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不

正确，即只有原命题和逆否命题正确． 答案 C

考向三 充要条件的判断

【例3】?指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；

(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；

(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，

q：(x－1)(y－2)＝0.

[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．

解(1)在△ABC中，∠A＝∠B?sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．

(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q?綈p，但綈p?/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．

(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，

所以p?q但q?/ p，故p是q的充分不必要条件．

判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

【训练3】 (2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的( )．

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．

答案：C