初中数学规律探究题的解题方法
Equation Chapter 1 Section 1初中数学规
律探究题的解法指导
令狐采学
广南县篆角乡初级中学郭应龙
新课标中明确要求:用代数式表示数量关系及所反映的规律,发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式,称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜,频繁考查,考生大都感到困难重重,无从下手,导致丢分。解决此类问题的关键是:“细心观察,大胆猜想,精心验证”。笔者认为:只要善于观察,细心研究,知难而进,就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑,收获“柳暗花明又一村”的喜悦。
一、数式规律探究
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分,解决此类问题注意以下三点:
1.一般地,常用字母n表示正整数,从1开始。
2.在数据中,分清奇偶,记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3… 偶数…2n-2,2n,2n+2…
3.熟记常见的规律
① 1、4、9、16......n2②1、3、6、10 (1)
2
n n+
③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=(1)
2
n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)
⑦ 12+22+32….+n2=1
6
n(n+1)(2n+1) ⑧
13+23+33….+n3=1
4
n2(n+1)
数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法,解决此类问题常用的方法有以下两种:
1.观察法
例1.观察下列等式:①1×1
2=1-1
2
②2×2
3
=2-2
3
③3×3
4
=3-3
4
④4×4
5=4-4
5
……猜想第几个等式为(用含n的式子表示)
分析:将等式竖排:
①1×1
2=1-1
2
观察相应位置上变化的数字与序
列号
②2×2
3=2-2
3
的对应关系(注意分清正整数的
奇偶)
③3×3
4=3-3
4
易观察出结果为:
④4×4
5=4-4
5
n×
1
n
n+
=n-
1
n
n+
例2.探索规律:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,
36=729……,那么
32009的个位数字是。
分析:这类问题,主要是通过观察末位数字,找出其循环节共几位,然后用指数除以循环节的位数,结果余
几,就和第几个数的末位数字相同,易得出本题结
果为:3
2.函数法
例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形,再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…,如此继续下去,结果如下表:
则an=(用含n的代数式表示)
分析:对结果数据做求差处理(相邻两数求差,大数减小数)
正三角形个数:4、7、10、13 第一次求差结果相等,用一次函数y=kx+b
第一次求差:3 3 3 代入(1、4)(2、7)解之得:y=3x+1
∴an=3n+1
例4.有一组数:1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律,用你发现的规律确定第8个数为。
分析:对这组数据做求差处理:原数 1 2 5 10 17
26
第一次求差:1 3 5 7 9
第二次求差:2 2 2 2第二次求差结果相等,同二次函数y=ax2+bx+c 代入(1、1)(2、2)(3、5)
解之得y= x2-2x+2=(x-1)2+1 ∴当=8时,y=50
尝试练习:
1.观察下列等式:1×3=12+2×1;2×4=22+2×2;
3×5=32+2×3……请将
你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来:。
2.观察下列各式:2
1×2=2
1
+2;3
2
×3=3
2
+3;4
3
×4=4
3
+4;
5 4×5=5
4
+5……
设n为正整数,用关于n的等式表示这个规律为。
3.
请你将猜想到的规律用含正整数n(n≥1)的代数式表示出来为。
4.已知:2+2
3
=22×2
3
;3+3
8
=32×3
8
;4+4
15
=42×4
15
;
5+5
24=52×5
24
…,若
10+b
a =102×b
a
符合前面式子的规律,则a+b=。
5.已知下列等式:①13=12;②13+23=32;③13+23+33=62;
④13+23+33+43=102…由此规律可推出第n等式:。
6、观察下列算式:,,, 请你在观察规律之后并用你得到的规律填空:
.
1、下面有8个算式,排成4行2列
2+2, 2×2
3+23, 3×2
3
4+34, 4×3
4 5+45, 5×4
5 ……,……
(1)同一行中两个算式的结果怎样?
(2)算式2005+20042005和2005×2004
2005的结果相等吗? (3)请你试写出算式,试一试,再探索其规律,并用含自然数
n 的代数式表示这一规律。(5分)
2、你能很快算出22005吗?(5分)
为了解决这个问题,我们考察个位上的数为5的正整数的平方,任意一个个位数为5的正整数可写成10n +5(n 为正整数),即求()2105n +的值,试分析1n =,2,3……这些简单情形,从中探索其规律。
⑴通过计算,探索规律:
215225=可写成()10011125??++;
225625=可写成()10022125??++;
2351225=可写成()10033125??++;
2452025=可写成()10044125??++;
………………
2755625=可写成________________________________ 2857225=可写成________________________________ ⑵根据以上规律,试计算2105=
3(5分) 已知32211124=??;33221129234
+==??; (1)猜想填空:
(2)计算①
②23+43+63+983+……+1003 1、观察等式:1+3=4=2 2,1+3+5=9=3 2 ,1+3+5+7=16=4 2 ,1+3+5+7+9=25=5 2 ,……
猜想:(1) 1+3+5+7…+99 =;
(2) 1+3+5+7+…+(2n-1)=
_____________ . (结果用含n 的式子表示,其中n
=1,2,3,……)。
2、观察下面一列数,根据规律写出横线上的数,
-11;21;-31;4
1;;;……;第2003个数是。 二、图形规律探究
由结构类似,多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻,并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题,解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律,再用函数法、观察法解
决问题;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题。
拆图法
例5.如图,由若干火柴棒摆成的正方形,第①图用了4根火柴,第②图用了7根火柴棒,第③图用了10根火柴棒,依次类推,第⑩图用根火柴棒,摆第n个图时,要用根火柴棒。
分析:本例①
(1)(2)(3)
可拆为
即1+3=4(根)第②拆为即
1+3?2=7(根);第③图可拆为即1+3?3=10(根)由此可知,
第⑩图为1+3?10=31(根),第n个图为:(3n+1)根。
例6.按如下规律摆放三角形:则第④堆三角形的个数为;第(n)堆三角形的个数为。
△△△
△△△
△△△△△
△△△△△△
△△△△△△△
①②③
分析:本例中需要进行比较的因素较多,于是把图拆为横向和纵向两部分,就横向而言,把三角形个数抽出来,就是3,5,7…这是奇数从小到大的排列,其表达
式为:2n+1;就纵向而言,发现三角形
个数依次增加一个:第①堆有2个,第
②堆有3个,第③堆有4个,所以第(n)堆的个数就为(n+1)
个。所以第n 堆三角形的总个数为:(n+1)+(2n+1)即(3n+2)个。 尝试练习:
1.如图7-①,图7-②,图7-③,图7-④,,是用围棋棋子
按照某种规律摆成的一行“广”字,按照这种规律,第5个“广”字中的棋子个数是________,第n 个“广”字中的棋子个数是________
2.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规
律,则第5个大三角形中白色三角形有 个 .
3.图(3)是用火柴棍摆成的边长分别是1,2,3
根火柴棍时的正方形.当边长为n 根火柴棍时,
设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ,则s
=. (用n 的代数式表示s )
4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按
下图的方式铺地板,则第(3)个图形中有黑色瓷砖__________块,第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块(用含n 的代数式表示).
5.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边
形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n 个图形需
要黑色棋子的个数是.
通过对此专题的复习和指导,我想你会有所感悟,有所收获,有所进步.别忘记课后注意巩固训练,展示你的能力,体验成功的快乐!
三、课外拓展: 第1个第2个第3个
…n =n =n =(((
1.探索规律:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729……那么32008的个位数字是。
2.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2041……由此可判断7100的个位数字是。
3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95,1612,2521,3632……中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门,按此规律第七个数据是。
4.已知a1=1123??+12=23,a2=1234??+13=38
,a3=1345??+14=415
……按此规律,则a99=。 5.已知112?=1-12,123?=12-13,134?=13-14……,则112?+123?+134?+ …+1
(1)n n +=;用相同思路探究:
113?+135?+157
?…+1(21)(21)n n -+=。 6.如图5,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第3幅图中有5个,则第4幅图中有个,第n 幅图中共有个.
7.如图,由等圆组成的一组图中,第1个图由1个圆组成,第2个图由7个圆组
成,第3个图由19个圆组成,,按照这样
的规律排列下去,则第9个图形由_______个圆组成.
8.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小
… …
第1幅 第2幅 第3幅
第n 幅 图5
圆,第4个图形有24个小圆,……,依次规律,第6个图形有个小圆.
9.用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形,则第n 次所
搭图形的周长是_______________cm (用含n 的代数式表示)。
10.如图10,已知Rt△ABC 中,AC=3,BC= 4,过直角顶点C 作CA1⊥AB ,垂足为A1,再过A1作
A1C1⊥BC,垂足为C1,过C1作C1A2⊥AB,
垂足为A2,再过A2作A2C2⊥BC,垂足为
C2,…,这样一直做下去,得到了一组线段
CA1,A1C1,12C A ,…,则CA1=, 5554
C A A C 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 …
第1次 第2次 第3次 第4
··· 图10