第四章答案 - 郑州升达经贸管理学院

第四章 中值定理 导数的应用

（A ）

1、ζ=e -1，

2、有两个实根，分别在（1,2）（2,3）内，

3、提示：（1）证明方程f (x )=0有实根，其中f (x )是连续函数，因此可验证f (x )在某个闭区间上满足零点定理的条件；

（2）证明f (x )=0有唯一的实根，可证f (x )在某区间内是单调的. 4、略

5、提示：作一个函数f (x )，使)()(x p x f ='.

1322101

32 )(++++++=n n x n a x a

x a x a x f ，

验证f (x )在[0，1]上满足罗尔定理的条件。 6、提示：令23

()126x x f x x =+++, 因lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，所以

只需证明f (x )在(-∞，+∞ )单调增加，即证f ′ (x )>0.

7、提示：用反证法。若f (x )有两个驻点，与f "(x )≠0矛盾. 8、提示：证明该函数是单调函数.

9、提示：应用中值定理解题是一个难点，首先要注意给出的函数f (x )是否有可导的条件，如果给出的是具体函数，一般是初等函数，在其定义区间内总是连续且可微的。另外，关键是寻求题目中条件与结论之间的衔结点，因此要用推理和演绎相结合，要寻求衔结点，可以用“原函数法”，例如此题，先将等式中的未

知ξ换成x ,求一个函数（辅助函数）F （x ）,使)()

()(x f x f x f '='，通过已知条件，易

得)()(x f ln x F =，再应用拉格朗日中值定理.

10、提示：要证明的等式中有多个ξ出现，且形式与中值定理的基本形式有所差异，可以变形使之成为 0)(cos )(sin )(=+'='ξξξξξf f F . 对于F （x ）而言，正是罗尔定理的结论.因此我们应用所谓“原函数法”，构造辅助函数F （x ），使

xf(x)(x)f x (x)F cos sin +'='

利用()υυυ'+'='

u u u 或者下一章中求原函数的方法可以找到)(sin )(x xf x F =，然

后利用已知条件检查F （x ）是否满足罗尔定理的条件.

11、提示：变形为)0()1()()(f e f f e f e -='+ξξξξ，作辅助函数)()(x f e x F x =，再用拉格朗日中值定理.

12、略

13、提示：变形为

1)

0()1(2)(--='f f f ξξ考虑函数2)(),(x x g x f =，在[0，1]上

用柯西中值定理.

14、提示：将原式化为柯西中值定理的基本形式

221)

()(11)()(ξ

ξξξξ--'=--

f f a b a a f b b f 考虑函数,1

)(,)()(x

x G x x f x f ==在[a ，b ]上用柯西中值定理. 15、提示：证明,)(C x f =C 为常数，如果)(x f 可导，那么首先证明0)(='x f ，

再找一个点x 0，使 0()f x C =.

16、提示：]0,[],0[,1-?x x x 或在>上应用拉格朗日中值定理

1

ln(1)-ln(1),01x x x ξξ

+=+在和之间.

17、提示：令上在],1[,)(x e x f x =应用拉格朗日中值定理.

18、（1）2. （2）3

1-， （3）2e ， （4）6ln 21

，

（5）2

??

?

??b a ， （6）2ln 61，

提示：解法1：直接用罗彼塔法则；

解法2：先用拉格朗日中值定理，考虑函数在,2)(x x f =[sin x ，x ]上

sin 2-22ln2(-sin )x x x x ξ=, (s i n ,),x

x x ξ∈→ 时，0ξ→. 原式=,sin -lim ·2ln sin -·2ln 2lim 30→x 30→x x x x x x x =ξ再用罗彼塔法则计算极限

3

0→sin -lim x x

x x 较为简单.

（7）（1-ln a ）a a , （8）0 ， （9）2

1

， （10）1 提示：t

t x

x x x t x x 2

2

][sin lim )2sin(lim )(cos lim 0

2

2

+

--

→-→-→=-=π

π

ππ

π

再化为∞

∞

型用罗彼塔法则.

（11）e .

（12）－1 ，提示：为简化计算，先变形再用罗彼塔法则，

原式=t

t t x

x x )

1(ln 1lim

)

1(ln 1lim

01

1+-=+-→∞

→

（13）

2

1

， （14）2e -

19、（1）。，x y x 单调增加单调减少),,1()1,(),1,1(+∞?--∞∈-∈ （2）。y ，x y x 单调增加单调减少),,1()0,(),1,0(+∞?-∞∈∈ （3）。y ，x y x 单调增加单调减少),,2(),2,0(+∞∈∈ （4）。y ，x y x 单调增加调减少),1,1(),,1()1,(-∈+∞?--∞∈

（5）.,),3

2,2(),22,32(

Z ∈+∈++∈k y k k ，x y k k x 单增单调减少πππππππ

20、（1）提示：令()1(0)0,2

x

f x f =+=证明当0x >时，()f x 单调增

加即可。

（2）将原不式等式变形：

x x x <

,0(π

∈x 时，sin x x >，证明,2sin πx x >可以考虑函数上在证明]2

0[),(2sin )(ππ，x f x x x f -=的最小值为0)2

()0(==π

f f . 21、略 22、（1）极大值y | x =1=1, 极小值1|1x y =-=- （2）极小值y | x =0=0 ， （3）无极值

（4）极大值y | x =0=4 ， 极小值y | x =-2=3

8

23、当a =2时，f (x )有极大值，3)3(=π

f

24、（1）最大值y | x =4=142 ，最小值y | x =1=7 （2）最大值y | x =3=11 ， 最小值y | x =2=-14

（3）最大值11

|4x y e e ==+，最小值y | x =-2ln = 4

（4）最大值y |

2

52

,2

1==x ，最小值y | x =1= 2 （5）最大值y |e

x 212

1=

=，最小值y |e

x 212

1-

=-

=

25、略 26、,24

a a

27、 15元 28、250（单位）

29、（1）

（2）

（3）

（4）

30、（1）水平渐近线y =0，铅垂渐近线x =1，x =2

（2）斜渐近线221π+=x y ，2－2π

x y =

（3）水平渐近线y = 0，铅垂渐近线x = -1 （4）斜渐近线y = x -1，y = -x +1 31 略

32 （1）│P │＞2 （2）│P │=2 （3）│P │＜2

（B ）

一、选择题

1、D

2、D

3、B

4、C

5、B

6、C

7、C

8、A

9、D 10、D 1、提示：令x e x f x )

()(=?，先证)(x ?恒等于一个常数.

2、提示：令)()

()(x g x f x F =，验证F (x )在[a,b ]满足罗尔定理的条件.

3、提示：从结论的形式，显然应令)()(x f x x G n =，再对)(x G 在[0，a ]上应用罗尔定理.

4、提示：（1）用反证法，若存在一点c ∈(a ，b )，使g (c )=0，则g (x )在(a ，b )内有两个零点分别在(a ，c )，(c ，b )内，所以g ″(x )至少有一个零点与已知g ″(x )≠0相矛盾.

（2）令F (x )=f (x )g ′(x )-f ′(x )g (x )在[a ,b ]上用罗尔定理. 5、提示：把等式改写成

ξξ2)

()()(2

2f a

b a f b f '=-- 符合柯西中值的基本形式 6、提示：由拉格朗日中值公式可知),(∈),-(1

ln －ln ln

b a a b a b a b ξξ

== 7、提示：由零点定理易知f (x )在(1,1

e

)内有零点，再证f (x )是单调函数.

8、本题型和上一题型均为讨论方程根的存在性，它并未要求出具体的解，正是中值定理的主要题型之一，这时用零点定理或罗尔定理都可以考虑，关键是验证条件是否成立。

提示1、令F (x )=4ax 2+3bx 2+2c x － (a+b+c )，在[0,1]上用零点定理. 提示2、令x c b a cx bx ax x )()(234++-++=?，在[0,1]上用罗尔定理. 9、提示：令f (x ) = (1+x ) ln (x +1)－x ln x ，f (1)=2ln2>0再证f (x )在x >1时单调增加.

10、提示：（1）先求f (x )在(0,1)内的驻点，得1

1

+=

n x 是唯一的驻点，又f (0) = f (1)=0，0)1

(1)11(

>++=+n

n n n n n f ，故最大值1)1()M(++=n n n n . （2）11

)1

(

lim -+∞→=+e n n n n 11、因为 )0()

0()(lim )(lim

)(lim 000f x

f x f x x f x

g x x x '=-==→→→ 所以g (x )在x = 0处连续，则g (x )在(∞+∞-，)内连续，

0)0(2

12)0()(lim )0()(lim )

0()

(lim )0(0200＞f x f x f x f x x f x f x x f g x x x ''='-'='-='-='→→→ 当x ≠0时

2()()()1()(0)1()(())[()()]f x xf x f x f x f g x f x f x f x x x x x ξ'

'--??''''===-=-????

， ξ在0,x 之间。由于f ″ (x )>0，所以f ′ (x )>0单调增加，可推之g ′ (x )>0，故g ′ (x )>0， x ∈(∞+∞-，)，g (x )是单调参加的.

注意：(1)在计算(0)g '时用到罗彼塔法则，在求()g x '（x ≠0）时用到拉格朗日中值公式.

(2)证明g (x )在x =0处连续是不可缺的，而在x = 0处一点是否可导，结论均成立，因此可以不计算g ′ (0).

12、（1）1 （2）a e 231-- （提示：令1,,0t x t x

=→∞→；1,sin t e t t t - ） （3）!

1n （4）21

（5） 2

（6）21 （7）e 2

（8）2π-e （9）e 2 （10）()exp{

}()

f a f a ' 13、最大值322

)21(=f ，最小值f (0)=－1.

14、 )21,0()21,(?--∞∈x ，f (x )单调减少，) ∞

2

1

()0,21(∈+?-，x ，f (x )单调增加.

15、略.

16、提示：设d 为点(0, b )到抛物线上的点（x, y ）的距离，求d 2的最小值。当b ≤2时，最短距离d=b ，当b >2时，最短距离12-=b d .

17、当a = 4，b =1，年产量为4百吨时，平均单位成本最低.

18、当x =3（百台）时，总利润最大，最大利润25

)3(=L (万元).

19、全年分20批进货，可使总费用最小，此时每次进货批量为400个. 20、当P=101（元）时，取得最大利润16708（元）.

21、)4(25t x -=为利润最大时的销售量，此时22

5

10t t T -=，t =2（万元）时，

税收总额T 最大.

22、（1）当)(0bc a c b

P -<

<时，有R ′ >0，所以随单价P 的增加，相应的销售额也增加。当)(bc a c

b

P ->时，0R '<，所以随着单价P 的增加，相

应的销售额将减少.

（2）由（1）知，p 时，销售额取得最大值为2）bc a -（. 23、1-=b ab P ，01c

Q b

=-.

24、提示：用两点间弹性的概念，若该商品的售价从P 1降到P 2时，对应的日销售量应满足关系

10031001

2

11

12?-?=?-P P P Q Q Q

即 )1(31

2

112P P -Q Q Q += 再一次降价到63（元/件）出售余货，商家可获得最大利润.

25、50105

4002---+=Q Q Q Q L 最大利润755==Q L .