高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法
一、思想方法
1、三角函数恒等变形的基本策略。
（ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=cos 2θ +sin 2 θ=tanx · cotx=tan45 °等。
（ 2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α =（α + β）－β，β =
－
等。
2 2
（ 3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（ 4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）
。
（ 5）引入协助角。 asin θ +bcos θ = a 2 b 2 sin(θ + )，这里协助角 所在象限由 a 、b 的符号确立，角的值由 tan = b
确立。
a
（ 6）全能代换法。巧用全能公式可将三角函数化成 tan
的有理式。
2
2、证明三角等式的思路和方法。
（ 1）思路：利用三角公式进行假名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（ 2）证明方法：综合法、剖析法、比较法、代换法、相消法、数学概括法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、剖析法，利用函数的单一性，利用正、余弦
函数的有界性，利用单位圆三角函数线及鉴别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（ 1）发现差别：察看角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差别剖析”
。
（ 2）找寻联系：运用有关公式，找出差别之间的内在联系。
（ 3）合理转变：选择适合的公式，促进差别的转变。
二、注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目种类多样，变化仿佛复杂，办理这种问
题，注意以下几个方面：
1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能
低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思想与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
1
(
) ( ) 2
2 ．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
2 2
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
熟习常数“ 1”的各样三角代换：
1 sin2cos2sec2tan2cos sec sin cos0 tan
2 sin等。
246注意全能公式的利害：它可将各三角函数都化为tan的代数式，把三角式转变为代数式．但常常代
2
数运算比较繁。
熟习公式的各样变形及公式的范围，如
sin α= tan α·cos α，1cos2cos2，1cos
tan等。
2sin2
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行起落幂办理，如 1 cos 2 sin2，
2
22
1 sin sin cos，1sin sin cos等．从右到左为升幂，这种变形有益用根式的化
2222
简或通分、约分；从左到右是降幂，有益于加、减运算或积和（差）互化。
3、几个重要的三角变换：
sin αcos α可凑倍角公式；1± cos α可用升次公式；
1± sin α可化为1cos
2
，再用升次公式；
asinb cos a2b2sin（此中 tan b
）这一公式应用宽泛，娴熟掌握。a
4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、 y = tan x、 y = cot x 的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线获得的，所以应娴熟掌握三角函数线并能应用它解决一些
有关问题．
5、三角函数的图像的掌握表此刻：掌握图像的主要特色（极点、零点、中心、对称轴、单一性、渐
近线等）；应该娴熟掌握用“五点法”作图的基来源理以及迅速、正确地作图。
6、三角函数的奇偶性结论：
① 函数＋φ是奇函数k
k Z 。
y = sin (x )
②函数 y = sin (x＋φ)是偶函数k
2
k Z。
③函数 y =cos (x＋φ)是奇函数k
2
k Z。
④函数 y = cos (x＋φ)是偶函数k k Z。
7、三角函数的单一性
三、典型例题与方法
题型一三角函数的观点及同角关系式
此类题主要观察三角函数引诱公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必需的分类议论以及三角函数值符号的正确选用。
1、三角函数的六边形法例。
2、几个常用关系式：
（ 1），三式知一求二。
2
（2）1sin 1 sin。
2
（ 3）当x0,时，有sin x x tan x 。
2
3、引诱公式（奇变偶不变，符号看象限）。
4、
。
5、熟记关系式sin x cos x cos x； cos x sin x。
44444
【例 1】记cos(80 )k ,那么tan100（）
A 、1k 2
B 、﹣
1k2
C、
k k k k k2
D、﹣
1 1 k 2
解： sin80 o1cos2 80 o1cos2 (80o) 1 k 2,
tan100tan80o sin 80o1k 2.。应选B cos80o k
评注：本小题主要观察引诱公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转变思想的应用。同时娴熟掌握三角函数在各象限的符号。
【例 2】cos300（）
A 、3113
B、 -
C、
D、2222
解： cos300cos 360 60cos601 2
评注：本小题主要观察引诱公式、特别三角函数值等三角函数知识。
练习：
1、 sin585°的值为（）
2
B、233
A 、C、
2D、
222
2、以下关系式中正确的选项是（）
A 、sin110cos100sin168 0B、sin1680sin110cos100
C 、 sin110
sin168 0 cos100 D 、 sin168 0 cos100
sin110
3、若 sin
4 0 ，则 cos
．
, tan
5
1 4、 “
2k (k
Z ) ”是“ cos 2
”的（）
6
2
A 、充足而不用要条件
B 、必需而不充足条件
C 、充足必需条件
D 、既不充足也不用要条件
5、 若 cos
2sin
5, 则 tan
( )
A 、
1
B 、 2
C 、
1 D 、 2
2
2
题型二 化简求值
这种题主要观察三角函数的变换。解此类题应依据考题的特色灵巧地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和引诱公式，进行化简、求值。
【例 3】已知
为第三象限的角，
cos 2
3 2 )
。
,则 tan(
5
4
解：
为第三象限的角
2k
< < 3
2k
2
4k
2 <2 < 4k
3 ( K
Z )
又cos2
3
<0,
sin 2
4
5
,
5
tan 2
sin 2 4
cos2
3
tan
tan2
1 4
1
tan(
2 )
4
3
4
.
4
1 tan tan2
1
7
4 3
评注： 此题主要观察了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵巧运用。是一道综合性较强的题目。
【例 4】已知 tan
2 ，求（ 1）
cos
sin ；（ 2） sin 2 sin .cos2 cos 2
的值。
sin
cos
sin
cos sin 1
1 tan 1 2
cos 3 2 2 ；
解：（ 1）
sin
sin
1 tan
1
2
cos
1
cos
2
2
sin 2
sin cos 2 cos 2 (2) sin sin cos 2 cos
sin 2
cos 2
sin 2
sin
2
2
2 2 4
2
cos 2
cos
sin 2 1
2 1
3
cos
2
评注： 利用齐次式的结构特色（假如不具备，经过结构的方法获得） ，进行弦、切互化，就会使解题过程
简化。
练习：
1、已知tan 2 ，则sin2sin cos2cos 2
4534
A 、B、C、 D 、
3445 2、函数f (x)sin xcos x 最小值是（）
A 、-1
1
C、
1
D 、 1 B 、
2
2
3、“sin 1
”是“ cos2
1
”的（）22
A 、充足而不用要条件
B 、必需而不充足条件
C、充要条件
D、既不充足也不用要条件
题型三函数的图像及其性质
图像变换是三角函数的观察的重要内容，解决此类问题的要点是理解 A 、的意义，特别是的判断，以及伸缩变换对的影响。
【例 5】为了获得函数y sin(2 x) 的图像，只需把函数y sin(2 x) 的图像（）
36
A 、向左平移个长度单位B、向右平移个长度单位
44
C 向左平移个长度单位
D 向右平移
2个长度单位
2
解：y sin(2 x) = sin 2( x) ，
612
y sin(2 x) = sin 2( x) ，
36
将 y sin(2 x) 的图像向右平移个长度单位获得y sin(2 x) 的图像，
643
应选 B.
评注：此题主要观察三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数 y Asin(x ) 中的
对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的要点。
【例 6】设 >0,函数 y=sin( x+)+2 的图像向右平移4个单位后与原图像重合，则的最小值是（）
A 、解：2
B 、
3
将 y=sin(
33
4C、
3
D 、 3
32
4
x+)+2的图像向右平移单位后为
个
4
3
4
3
y sin[ (x)] 2 sin( x) 2
3333
4
,3k
=2k即
3
0 ，2
又k≥ 1
故3k≥3 ，所以选 C
22
评注：此题观察了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，观察了同学们对三角函数图像知识灵巧掌握的程度。
【例 7】函数f (x)(1 3 tan x) cos x 的最小正周期为（）
A 、2
3
C、D、
B、
2 2
【答案】 A
【分析】由 f ( x)(1 3 tan x)cos x cos x 3 sin x2sin( x) 可得最小正周期为2,
6
【例 8】函数y2cos 2 x sin 2x 的最小值是_____________________。
【答案】 12
【分析】 f ( x) cos 2x sin 2x1 2 sin(2 x)1，所以最小值为： 12
4
【例】若函数 f (x)(1 3 tan x) cos x，0x，则 f ( x) 的最大值为（）
2
A 、1B、2C、31D、32
【答案】 B
【分析】由于 f ( x)(1 3 tan x) cos x = cos x3sin x = 2cos( x)
3
当 x
3
是，函数获得最大值为2。应选 B。
练习：
1、将函数y sin x 的图像向左平移( 0＜ 2) 的单位后，获得函数 y sin( x) 的图像，则等
6于（）
A 、
57
D 、
11
B 、C、
6 666
2、若将函数y tan(x)(0) 的图像向右平移
6个单位长度后，与函数y tan(x) 的图像
46重合，则的最小值为（）
A 、1
B、
111 64
C、 D 、
32
3、将函数y sin 2x 的图像向左平移个单位，再向上平移 1 个单位 ,所得图像的函数分析式是()
4
A 、y cos 2x
B 、y2cos2x C、y 1sin( 2x) D 、y2sin 2 x
4
4、已知函数 f (x)sin( wx)(x R, w0) 的最小正周期为， y f (x) 的图像向左平移| |个单
4
位长度，所得图像对于y 轴对称，则的一个值是（）
A 、
B 、3
C、D、
88
24
5、已知函数 f (x)sin(x)( x R,0) 的最小正周期为，为了获得函数g( x) cos x的图像，
4
只需将 y f (x) 的图像（）
A 、向左平移个单位长度B、向右平移个单位长度
88
C、向左平移个单位长度
D、向右平移个单位长度
44
6、已知a是实数，则函数
f ( x) 1 a sin ax 的图像不行能是 ()
．．．
7、已知函数f ( x) =Acos( x)的图象如下图， f ( )2
），则 f (0) =（
23
2211
A 、B、C、－ D 、
3322
8、函数y Asin( x) （ A, ,为常数，A0,0 ）在
闭区间 [ ,0] 上的图像如下图，则=.
9、已知函数y=sin （x+）（>0, -<）的图像如下图，则=________________
10、已知函数 f ( x) 2sin( x
) 的图像如下图，则 f
7 。
12
11、已知函数 f (x) sin( x )( 0) 的图像如下图，则
＝
12、已知函数 f ( x) 3 sin x cos x(
0) ， y
f ( x) 的图像与直线 y 2
的两个相邻交点
的距离等于
，则 f ( x) 的单一递加区间是（
）
A 、 [ k
,k
5 ], k
Z
5 , k 11
12
B 、 [k
], k Z
12
12
12
C 、 [ k
, k ], k Z D 、 [k ,k
2
], k Z
3
6
6
3
13、假如函数 y 3sin(2 x
) 的图像对于点
4 | 的最小值为（
）
(
,0) 中心对称，那么 |
3
A 、
B 、
C 、
3
D 、
6
4
2
14、已知函数 f ( x)
sin( x
)( x R) ，下边结论错误 的是（ ）
．．
2
A 、函数 f ( x) 的最小正周期为 2
B 、函数 f ( x) 在区间 [0,
] 上是增函数
2
C 、函数 f ( x)
D 、函数 f ( x) 的图像对于直线 x ＝ 0 对称
是奇函数
15、若
x ，则函数 y tan 2x tan 3 x 的最大值为
。
4
2
16、已知函数 f ( x) sin 2x2sin 2 x
（1）求函数f ( x)的最小正周期。
（2）求函数f ( x)的最大值及f (x)取最大值时 x 的会合。
17、已知函数f ( x)1
sin 2x sin cos2 x cos
1
sin(
2
)(0) ，其图像过点 (
6
,
1
)。222
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数 y f (x) 的图像上各点的横坐标缩短到本来的1
，纵坐标不变，获得函数 y g( x) 的图像，2
求函数 g ( x) 在 [0,] 上的最大值和最小值。
4
18、设函数f (x)cos(2 x)sin2 x 。
3
（ 1）求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期。
（ 2）设A, B, C为ABC的三个内角，若cos B 1
, f (
c
)
1
,且 C为锐角 , 求 sin A 。324
19、设函数 f (x)sin(x)2cos2x
1。
468
（ 1）求f (x)的最小正周期。
（）若函数 y g ( x) 与 y f ( x) 的图像对于直线x 1 对称，求当x4]时 y g( x) 的最大值。
2[0,
3
20、设函数f (x)(sin x cos x)22cos 2x(0) 的最小正周期为2。
3
（ 1）求的最小正周期。
（ 2）若函数y g( x) 的图像是由y f ( x) 的图像向右平移个单位长度获得，求y g( x) 的单一增区
2
间。
21、已知函数f x a cos2x 2 3asin x cos x2a b 的定义域为0，，值域为[ －5，1 ]，求常
2
数 a、 b 的值。
22、已知函数 y=13
cos2x+sinx·cosx+1（ x∈R）。22
（ 1）当函数 y 获得最大值时，求自变量x 的会合；
（ 2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈ R)的图像经过如何的平移和伸缩变换获得
题型四三角函数与解三角形
此类题主要观察在三角形中三角函数的利用. 解三角形的要点是在转变与化归的数学思想的指导下，
正确、灵巧地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。
【例 10】在△ ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是
a,b,c ，若 a 2 b 2
3bc ， sin C
2 3 sin B ，则
A= （ ）
A 、 300
B 、 600
C 、 1200
D 、 1500
解： 由正弦定理得
c 2 3b c 2 3b
2R
2R
所以 cosA=
b 2 +
c 2 -a 2
3bc c 2
3bc 2
3bc 3 ，所以 A=30
2bc
2bc
=
2
2bc
评注： 解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
经过适合地使用正弦、余弦定理将有关的边角确立，进而解决问题。
【 例
11 】 在 锐 角 三 角 形 ABC ， A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ，
b
a 6cos C ， 则
a b
tan C tan C
tan A
=________ 。
tan B 解：
b a 6cos C
6ab cosC a 2 b 2
a b
6ab a 2 b 2 c 2
2
22
2
3c 2
2ab a
b ,a
b
2
tan C tan C sin C cos B sin A sin B cos A sin C sin( A B) 1
sin 2 C
tan A tan B
cosC sin Asin B cosC sin Asin B
cosC sin A sin B
=
1 c 2
c 2 4
2
b 2 c
ab
c 2
a
2ab
4
评注： 三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热门，在高考试题中屡次出现。这种题型
难度比较低，预计此后这种题型仍会保存，不会有太大改变 .解决此类问题，要依据已知条件，灵巧运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。
练习：
1、在锐角
ABC 中， BC
1,B 2A,则
AC
的值等于 ， AC 的取值范围为
。
cos A
、在 ABC 中， BC
5, AC 3,sin C 2 sin A 。
2
（Ⅰ）求 AB 的值。（Ⅱ）求 sin( 2A
) 的值。
4
uuur uuur
ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a,b, c ，且知足 cos
A
2 5 3、在
， AB AC 3。
2
5
（I ）求
ABC 的面积； （ II ）若 b c 6 ，求 a 的值．
4、在
ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B
， cos A
4 ,b 3 。
5
（Ⅰ）求 sin C 的值；（Ⅱ）求 ABC 的面积．
3
5、在
ABC 中， A 、 B 为锐角，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，且 sin A
5
,sin B
10
5
10
（I ）求 A B 的值；（ II ）若 a b
2 1，求 a 、b 、 c 的
值。
6
f (x)
2sin x cos
cos xsin
sin x(0
)
在 x
处取最小值。
、设函数
2
2
(1) 求 的值；
(2) 在 ABC
中，
a, b, c 分别是角
A,B,C 的对边 已知 a
1, b
2,
f ( A)
3 ，求角 C 。
,
2
7、设 △ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a,b,c ， cos( A
C ) cos B
3 ， b 2 ac ，求 B 。
2
题型五 三角函数与平面向量
【例 13】平面直角坐标系有点
P(1,cos x), Q(cos x,1), x [
, ] 。
4
4
（ 1）求向量 OP 和 OQ 的夹角
的余弦用 x 表示的函数 f (x) ；
（ 2）求 的最值。
解：（ 1）
OP OQ
OP OQ cos
，
cos x cos x (1 cos 2 x) cos
cos
2 cos x
cos 2 x
1
即
2 cos x (
x)
f (x)
cos 2 x
1 4
4
（ 2）
cos
2
， 又
cos x
1 [2,
3 2
]，
cosx
1
cos x
2
cos x
cos
[
2 2
,1] ，
3
min
0 ，
max
arccos 2 2 。
3
说明： 三角函数与向量之间的联系很密切，解题时要时辰注意。
【例 14】已知向量 m=(sin A,cosA),n= ( 3, 1) ， m · n ＝ 1，且 A 为锐角。
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）求函数 f ( x) cos 2x 4cos Asin x( x R) 的值域。
解：（Ⅰ）由题意得 mgn 3 sin A cos A 1,
2sin( A)1,sin( A
1
).
662
由 A 为锐角得A
66, A
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 cos A 1 ,
2
所以 f ( x)cos2x2sin x12sin 2 x 2sin s2(sin x 1 )2 3 .
22由于 x∈ R，所以sin x1,1，所以，当 sin x1时， f(x)有最大值 3 。
22
当 sin x 1 时， f ( x)有最小值-3,所以所求函数 f ( x) 的值域是
3 3，。2
练习：
r r
r
1、设向量a(4cos ,sin ), b(sin , 4cos ), c (cos , 4sin ) 。
r r r
) 的值；
（ 1）若a与b2c 垂直，求 tan(
r r
（2）求| b c |的最大值；
（ 3）若tan tan
r r
16 ，求证： a ∥ b 。
r
(sin,cos2sin r
2、已知向量a),b (1,2).
r r r r
, 求
（Ⅰ）若 a / /b ，求 tan的值；（Ⅱ）若 | a | | b |,0的值。
ur r
(sin B,sin A) ，3 、已知ABC的角 A 、 B 、 C 所对的边分别是a、 b 、 c，设向量m(a,b) ， n
ur
(b2, a 2)
p。
ur r
（ 1）若 m // n ，求证：ABC 为等腰三角形；
（）若ur ur，边长，角，求的面积。m⊥ p c = 2 C =ABC
2
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高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀
第12讲 三角函数 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ω?=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析
高考中常见的三角函数题型和解题方法数学秘诀
三角函数 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ω?=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 例1．已知2tan = θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 解：（1） 2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=- + =++θθθ θθθ θθθθ； (2) θ +θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ2 2222 2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin
人教版最新高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案及参考答案
——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题 、答案及参考答案 ______年______月______日 ____________________部门
(附参考答案) 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型 1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例 1 若是三角形的最小内角，则函数的最大值是（ ）x sin cos sin cos y x x x x =++ A ． B ． C ． D ．1 -21 22 -+1 22+ 分析：三角形的最小内角是不大于的，而，换元解决．3 π () 2 sin cos 12sin cos x x x x +=+ 解析：由，令而，得． 03x π <≤ sin cos 2sin(), 4 t x x x π =+=+7 44 12x π π π <+ ≤ 12t <≤ 又，得， 2 12sin cos t x x =+21 sin cos 2t x x -=
得，有．选择答案 D ． 2211(1)1 22 t y t t -=+=+-2(2)11 102222y -+<≤+=+ 点评：涉及到与的问题时，通常用换元解决．sin cos x x ±sin cos x x 解法二：，1sin cos sin cos 2sin sin 242y x x x x x x π⎛ ⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 当时，，选D 。 4 x π = max 1 22y =+ 例2．已知函数．，且．2 ()2sin cos 2cos f x a x x b x =+(0)8,()126f f π == （1）求实数，的值；（2）求函数的最大值及取得最大值时的值．a b )(x f x 分析：待定系数求，；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．a b 解析：函数可化为． )(x f ()sin 2cos 2f x a x b x b =++ （1）由，可得，，所以，． (0)8f = ()12 6f π =(0)28f b ==33 ()12 622 f a b π=+= 4b =43a = （2），()43sin 24cos 248sin(2)4 6f x x x x π =++=++ 故当即时，函数取得最大值为． 226 2 x k π π π+ =+ () 6 x k k Z π π=+ ∈()f x 12 点评：结论是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，
高中数学三角函数常见习题类型及解法
高中数学三角函数常见习题类型及解法 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ω?=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 20XX 年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用
三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结
三角函数、解三角形高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型 1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1：（2016年3卷）若tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】2cos 2sin 2αα+=25 64 1tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222 =++=++ααααααα故选A ． 2.三角恒等变换给值求值问题
典例2：（2016年2卷9）若π3 cos 45 α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） （A ） 7 25 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - 【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选D ． 3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左 平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上先递减后递增，D 选项错误，故选D. 4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 π
高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀13
三角函数两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 其他非重点三角函数 csc(a) =a sin 1 sec(a) =a cos 1
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα 公式六： 2 π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2 π+α）= cosα cos （2 π+α）= -s inα tan （2 π+α）= -cotα sin （2 π-α）= cosα cos （2 π-α）= sinα tan （2 π-α）= cotα sin （2 3π+α）= -cosα cos （2 3π+α）= sinα tan （2 3π+α）= -cotα sin （2 3π-α）= -cosα
高一数学-三角函数常见题型与解法(1)
三角函数的题型和方法 、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=cos 2θ+sin 2θ=tanx · cotx=tan45 °等。 2 2 2 2 2 2 sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x ；配凑角： α=( α+ 3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） 5）引入辅助角。 asin θ +bcos θ = a 2 b 2 sin （ θ+ ），这里辅助角 所在象限由 a 、b 的符号确定， 角的值由 tan = b 确定。 a （ 6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan 的有理式。 2 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦 函数 的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （ 1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” 。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问 题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能 低， 分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 1 （ ） （ ） 2 1 2 ．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 22 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。 2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： β )－ β ， β = 2
高考数学三角函数常考题型及解答方法总结
高考数学三角函数常考题型及解答方法总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答： 25-；5 36 π- ） 4、α与2 α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2 11||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22 cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是0r = >，那么sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α= ≠，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 如（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααco s si n +的值为＿＿。 （答：7 13-）；（2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)23）；
高中数学三角函数习题和答案解析
第一章 三角函数 一、选择题 1．已知 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛3π4－＝( )． A ．－ 433 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝5 1 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin ＞sin ，那么下列命题成立的是( )． A ．若，是第一象限角，则cos ＞cos B ．若，是第二象限角，则tan ＞tan C ．若，是第三象限角，则cos ＞cos D ．若， 是第四象限角，则tan ＞tan 7．已知集合A ＝{|＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{|＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．C ⊆A ⊆B D ．B ⊆C ⊆A 8．已知cos(＋)＝1，sin ＝3 1 ，则sin 的值是( )．
A ．3 1 B ．－3 1 C ． 3 2 2 D ．－ 3 2 2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )． A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛4π5 ，π B ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛π ，4π C ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛4π5 ，4π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )． A ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3π － 2x ，x ∈R B ．y ＝sin ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛6π ＋ 2x ，x ∈R C ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ 3π ＋ 2x ，x ∈R D ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ 32π ＋ 2x ，x ∈R 二、填空题 11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡3π4π ，上的最大值是 ． 12．已知sin ＝ 552，2 π ≤≤π，则tan ＝ ． 13．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，则sin ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛α － 2π＝ ． 14．若将函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ 4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝ tan ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ 6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ． 15．已知函数f (x )＝ 21(sin x ＋cos x )－2 1|sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ 3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题： ①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ 6π － 2x ； ②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－ 6 π ，0)对称； ④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6 π 对称． 其中正确的是______________．
高中数学三角函数专项(含答案)
高中数学三角函数专项(含答案) 一、填空题 1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛ ⎫=⋅+- ⎪⎝ ⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的最小值是________． 2．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ 上所有零点之和为___________. 3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,4 ACB AB π ∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________. 4．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE = +，1 ()2 CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________ 5．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________. 6．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为 (,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值 ,,r r x x y y 分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot 14 π =； ②sin csc 1αα⋅=； ③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+； ⑤2cot 1 cot22cot ααα -=. 7．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则 tan θ________． 8．已知函数()2sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 (1）常值代换：特别是用“1”的代换，如１＝cos 2θ+sin 2θ＝ta ｎｘ·cotx=t ａn ４５°等。 （2)项的分拆与角的配凑。如分拆项：si ｎ2x+2c ｏｓ2x=(ｓｉn 2x+c ｏｓ２ x)+cos 2x=1+c ｏs 2ｘ;配凑角：α=(α+β）－β,β= 2 β α+－ 2 β α-等。 (3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4)化弦(切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。ａsin θ+bco ｓθ=2 2 b a +si ｎ（θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、ｂ的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ= a b 确定。 (6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成ta ｎ2 θ 的有理式。 ２、证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名，化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 （2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 ４、解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （３)合理转化：选择恰当的公式,促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形,是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面: 1、三角函数式化简的目标:项数尽可能少，三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能低,分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 2 2)()(⨯= ⨯ =+-=-+=.也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角,如切割化弦,互余互化，常数代换等。
高中数学三角函数与解三角形题型总结最新最全版含答案
三角函数 1、三角函数对称性。 （1）涉及奇偶性的初相:对称中心可以是正弦、余弦函数的函数值为0，对称轴可以使正弦、余 弦的函数值得到最大最小值。)(x f =）（ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于直线x=t 对称⇔)(t f =±A ；)(x f =） （ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于点（t ，0）对称⇔)(t f =0； 1.【2012全国1，文3】若函数()sin 3 x f x ϕ +=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( C ) A ． π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π3 2、已知()sin()cos()f x x x ϕϕ=-+-为奇函数，则ϕ的一个取值为（D ） A ．0 B ．π C ． 2 π D ． 4 π 3、（2017盐城三模） 若 ())cos()() 2 2f x x x π π θθθ=+-+- ≤≤ 是定义在R 上的偶函数，则θ= ▲ . 3π - 2.用代数符号的对称轴与对称中心的判定,注意周期性与对称性的联系 ①若()y f x =图像有相邻两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为 2||T a b =-；（简单记为“相邻两轴距离，半个周期”） ②若()y f x =图像有相邻两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为 2||T a b =-； （简单记为“相邻两心距离，半个周期”） ③如果函数()y f x =的图像有相邻一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-； （简单记为“相邻轴心距离，四分之一个周期”） 1.（2018·东城区期末·2）函数3sin(2)4 y x π =+ 图像的两条相邻对称轴之间的距离是C A.2π B. π C. 2π D.4 π 2．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()2 2 2cos sin 2f x x x =-+，则（B ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 3（2018全国新课标Ⅱ文）若在是减函数，则的最大值是（C ） A ． B ． C ． D ． ϕ()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π 4 π
高考必考三角函数题型及解题方法
三角函数三角函数的图像和性质： 函数sin y x =cos y x =tan y x =图 象 定义域R R |, 2 x x k k Z π π ⎧⎫ ≠+∈ ⎨⎬ ⎩⎭ 值域[1,1] -[1,1] -R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 有界性 sin1 x≤cos1 x≤无界函数 最小正 周期2π2ππ 2,2 22 () 3 2,2 22 () k k k Z k k k Z ππ ππ ππ ππ ⎡⎤ -+ ⎢⎥ ⎣⎦ ∈ ⎡⎤ ++ ⎢⎥ ⎣⎦ ∈ 增区间 减区间 [] [] 2,2 () 2,2 () k k k Z k k k Z πππ πππ - ∈ + ∈ 增区间 减区间,22 () k k k Z ππ ππ ⎛⎫ -+ ⎪ ⎝⎭ ∈ 增区间 对称轴 () 2 x k k Z π π =+∈ () x k k Z π =∈无对称轴 对称 中心 ()() ,0 k k Z π∈ () ,0 2 k k Z π π ⎛⎫ +∈ ⎪ ⎝⎭ () ,0 2 k k Z π ⎛⎫ ∈ ⎪ ⎝⎭ () () max min 2 2 1; 2 2 1 x k k Z y x k k Z y π π π π =+∈ = =-∈ =- 时， 时， () ()() max min 2 1; 21 1 x k k Z y x k k Z y π π =∈ = =+∈ =- 时， 时， 三个三角函数值在每个象限的符号： sinα cosα tanα· 特殊角的三角函数值： 30°45°60°0°90°180°270°15°75° sinα 2 1 2 2 2 3 0 1 0 －1 62 4 -62 4 + o π 3 2 π 2π y o o2 ππ3 2 π y x 2 π 2 πx π 3 2 π x y 2π 无最值最值 单 调 区 间
三角函数题型及解法
高中数学常见三角函数题型及解法 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换与特殊技巧得考查,而重点转移对三角函数得图象与性质得考查,对基础知识与基本技能得考查上来、在考查三角公式进行恒等变形得同时,也直接考查了三角函数得性质及图象得变换,降低了对三角函数恒等变形得要求,加强了对三角函数性质与图象得考查力度、三角函数得命题趋于稳定,会保持原有得考试风格,尽管命题得背景上有所变化,但仍属基础题、中档题、常规题、实施新课标后,新一轮基础教育得改革增添了与现代生活与科学技术发展相适应得许多全新得内容,它们会吸引命题者关注得目光、三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。 １、三角函数得概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数得符号规律、解此类题注意必要得分类讨论以及三角函数值符号得正确选取、 例1（10全Ｉ卷理2)记,那么 A、B、- C、D、- 解:, 。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式,并突出了弦切互化这一转化思想得应用、同时熟练掌握三角函数在各象限得符号、 例２(10全1卷文１)（A) (Ｂ)- （C） (D) 解： 评注:本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数得化简求值 这类题主要考查三角函数得变换、解此类题应根据考题得特点灵活地正用、逆用,变形运用与、差、倍角公式与诱导公式,进行化简、求值、 例3(10重文数１５）如题(15)图,图中得实线就就是由三段圆弧连接而成得一条封闭曲线,各段弧所在得圆经过同一点(点不在上)且半径相等、设第段弧所对得圆心角为,则_____＿__＿__＿ 解: 又, 评注:本题以过同一点得三段圆弧为背景,考查了三角恒等变形中公式逆用得基本技巧,将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目得、 例4（1０全1理数14）已知为第三象限得角,，则、 解：为第三象限得角＜< ＜２<（) 又＜0, , 、 评注:本题主要考查了同角三角函数得关系与二倍角公式得灵活运用。就就是一道综合性较强得题目。 ３、得图象与性质 图像变换就就是三角函数得考察得重要内容，、解决此类问题得关键就就是理解得意义,特别就就是得判定,以及伸缩变换对得影响。 例５(10全2理数7)为了得到函数得图像,只需把函数得图像 (A）向左平移个长度单位 (Ｂ)向右平移个长度单位 (Ｃ)向左平移个长度单位 (D)向右平移个长度单位 解:=, =, 将得图像向右平移个长度单位得到得图像,故选Ｂ、 评注：本题主要考查三角函数得图象变换中得平移变换、伸缩变换,特别就就是函数中得对函数图象变化得影响