高考三角函数题型归纳

高考三角函数题型归纳

知识点梳理

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2、三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，

3、三角函数的诱导公式

sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinα cos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosα

tan （2kπ+α）=tanα tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanα

sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα

cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα

tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα

sin 2(α)+cos 2(α)=1

4、两角和差公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α)

cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 5、半角公式：

2cos 12

sin

αα

-±

=； 2

cos 12cos α

α+±=； α

αααααα

sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12

tan

-=+=+-±

=

6、函数B

x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ；其图象的对称轴是直线

)(2

Z k k x ∈+

=+π

πϕω，凡是该图象与直线

B y =的交点都是该图象的对称中心

7、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变

量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0）平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左

(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ω

ϕ|

|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

8、对称轴与对称中心：

sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；

对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

9、求三角函数的单调区间：

一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单

调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 10、求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

11、经常使用的公式 ①升（降）幂公式：

21c o s 2s i n 2αα-=

、 21cos 2cos 2αα+=、 1

sin cos sin 22ααα

=；

②辅助角公式：

sin cos )a b αααϕ+=+（ϕ由,a b 具体的值确定）；

典型例题 一、弦切互化

例．已知2tan =θ，求（1）

θ

θθ

θsin cos sin cos -+；

解：（1）2232

121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+

=

-+θθθ

θθθ

θθθθ； 练习：θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.

解：θ

+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin

3

24122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ

θ+θθ

-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 二、函数的定义域问题

例、求函数1sin 2+=x y 的定义域。

解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①

的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡

+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。

（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a

的函数，则其定义域由

()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义

同时还要使实际问题有意义。 三、函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域

一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 例1、求下列函数的值域

（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2

-+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）

()[].

0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22

22

cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 练习：求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：

设sin cos )[4

π

t x x x =+=+∈，

则原函数可化为2213

1()24

y t t t =++=++，

因为[t ∈，

所以当t =

时，max 3y =，当1

2

t =-时，min 34y =，

所以，函数的值域为3

[34

y ∈+，。 （2）函数的最大值与最小值。

求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是： （1）sinx,cosx 的有界性； （2）tanx 的值可取一切实数；

（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。 例2、求下列函数的最大值与最小值

（1）x y sin 2

1

1-= （2）4sin 5cos 22-+=x x y

（3）⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y

分析：（1）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（2）（3）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。 解：(1)

221sin ;261sin 1sin 11sin 10

sin 21

1min max =

==-=∴≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2)

[]2

2

2

592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ⎛

⎫=+-=-+-=--+∈- ⎪⎝

⎭

∴当sin 1x =-，即2(2

x k k Z π

π=-

+∈）时，y 有最小值9-；

当sin 1x =，即2(2

x k k Z π

π=

+∈），y 有最大值1。

2

-

（3）

4

13,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-

=====-=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即

从而ππππ

四、函数的周期性

例1、求下列函数的周期

()x x f 2

c o s )(1= ())6

2s i n (2)(2π

-=x x f 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当

π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而

),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，

函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。

（2）⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(26421

sin 2πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x

)6

2s i n (2)(π

-=∴x x f 的周期是π4。

说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。

一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，

),0,0R x A ∈>≠ω的周期ω

π

2=

T 。

例2、利用图像求函数的周期

右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数周期

解:353

46124

T πππ=-=,T π∴=

例3、下列函数中，图象的一部分如右图所示,求

函数)sin(ϕω+=x A y 的周期.

解:)6

(1241π

π--=T ,π=T

例/4、已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； 解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--

2s i n 22c o s 22s i n (2

)

4

π

x x x =-

=- 所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，

所以，当2242ππx k π-

=+，即38

πx k π=+时，()f x 最大值为； 五、函数的单调性

例1、下列函数，在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡ππ,2上是增函数的是（ ）

x y A sin .= x y B c o s = x y C 2s i n = x y D 2c o s =

分析：判断。在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2

ππππ

≤≤∴≤≤

解：

sin y x =与cos y x =在2ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤， 22

,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。 例2、已知函数2

3

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)的递增区间. 解：（Ⅰ）2

3

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f

)3

sin 2cos 3cos 2(sin 52cos 352sin 25

23522cos 1352sin 25π

π

x x x x x x -=-=++-=

)3

2sin(5π

-

=x

∴最小正周期T=

ππ

=2

2 （Ⅱ）由题意，解不等式ππ

π

ππ

k x k 22

3

222

+≤

-

≤+-

得 )(12

512

Z k k x k ∈+≤

≤+-

ππ

ππ

)(x f ∴的递增区间是)](12

5,

12[Z k k k ∈++-

ππ

ππ

小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ωϕωϕωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=

<>>+ωϕω 练习 1. 函数x

y sin 1

=

的定义域为（ ） {}

[)(]

{}0.

1,00,1.

,.

.

≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R

A π

2. 函数)6cos(π

+

=x y ，⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈2,0πx 的值域是( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-⎥⎦

⎤ ⎝⎛-

1,211,2323,2121,23.D

C

B

A 3. 函数)0)(4

sin(>+

=ωπ

ωx y 的周期为

3

2π

，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ）

1sin sin sin 2sin .+==-==x y D

x

y C x y B x y A

5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）

（1）x x y sin 2=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =

432.1.

D C B A

6. 在区间⎪⎭⎫

⎝⎛2,0π上，下列函数为增函数的是（ ）

x y D

x

y C

x

y B

x

y A cos sin cos 1sin 1.

-=-=-

==

7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（ ）

[]

()

Z k k k D k k C

k k B k k A ∈⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡

+-++⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ

8. 如果4

π

≤

x ，则函数x x y sin cos 2+=的最小值是——————

9. 函数)2

434

(

tan π

ππ

≠≤=x x

x y 且的值域为（ ） []

(][)

(]

[)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1D

C

B

A

10、求函数)6

cos(

sin sin 2x x x y -+=π

的周期和单调增区间．

解 )s i n 6

s i n c o s 6(c o s s i n s i n

2

x x x x y ππ++= x x x cos sin 23sin 232+=x x 2sin 4

3)2cos 1(43+-= )2cos 4

3

2sin 43(43x x -+=)32sin(2343π++

=x ． ∴ 函数的周期 ππ

==2

2T ． 当 22ππ-k ≤3

2π

+x ≤22ππ+k ，即 125ππ-k ≤x ≤12ππ+k (k ∈Z ) 时函数

单调增加，即函数的增区间是 [125ππ-k ，12π

π+k ] (k ∈Z )．

答案：B B 3 C C D B

2

2

1- B

三角函数综合题大题

1．已知函数2

1()cos sin cos 2222

x x x f x =--.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;

(Ⅱ)

若()f α=

求sin 2α的值. [解析](1)由已知,f(x)=2

1

2x cos 2x sin 2x cos 2--

2

1sinx 21cosx 121--+=）（ ）

（4

x cos 22π

+=

所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，

）（10

234cos 22=+πα 所以cos(5

3

4

=

+

π

α). 所以）（）（

4

2cos 22

cos 2sin π

ααπ

α+

-=+-=

25

7

251814cos 212

=-

=+

-=）（π

α,

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.

2．已知函数()sin()(,0,02

f x A x x R π

ωϕωω=+∈><<的部分图像如图

5所示.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

(Ⅱ)求函数()()()1212

g x f x f x ππ

=--+的单调递增区间.

【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(

),21212T T

πππ

πω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππ

ϕϕ⨯

+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6

π

ϕ.

又点0,1（）在函数图像上,所以sin 1,26

A A π

==,故函数f(x)的解析式为

()2sin(2).6

f x x π

=+

(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦

2sin 22sin(2)3

x x π

=-+

12sin 22(sin 22)2x x x =-

sin 2x x =

2sin(2),3

x π

=- 由222,2

3

2

k x k π

π

π

ππ-

≤-

≤+

得5,.12

12

k x k k z π

π

ππ-

≤≤+

∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡

⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期

1152(),1212T πππ=-=从而求得22T

πω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ,

从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及

sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.

3．设函数

22()sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对

称,其中,ωλ为常数,且1

(,1)2

ω∈

(1) 求函数()f x 的最小正周期;

(2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4

π,求函数()f x 的值域.

【解析】(1)因为

22()sin cos cos cos 222sin(2)6

f x x x x x x x π

ωωωωλωωλωλ

=-++=-++=-+ 由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16

x π

ω-=±

所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1

()23k k Z ω=+∈

又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56

ω=,故()f x 的最小正周期是65π

.

(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04

f π

=

即52sin()2sin 6264πππ

λ=-⨯-=-=即λ=

故5()2sin()36

f x x π

=-函数()f x 的值域为[2.

【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周

期,一般运用公式2T πω

=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的

范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查. 4．已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x

f x x

-=

.

(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.

【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练

习得较多,考生应该觉得非常容易入手.

解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故

()f x 的定义域为

{|,x R x k k Z

π

∈≠∈. 因

为

(

s ()sin x x

x f x x

-=

=2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --)14

x π

--, 所以()f x 的最小正周期22

T π

π=

=. (2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()2

2

k k k Z π

π

ππ+

+

∈. 由

3222,()242

k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得

37,()88

k x k k Z ππππ+≤≤+∈

所以()f x 的单调递减区间为37[],()88

k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 5．已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 13

3

f x x x x ππ

--,x R ∈.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,

]44

ππ

-

上的最大值和最小值.

【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的

最小周期,单调性等知识.

()=sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333

f x x x x x x ππππ

++-+

sin 2cos 2)4x x x π

=+=+

所以,()f x 的最小正周期22T π

π==. (2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84

ππ

上是减函数,又

()14

f π

-=-

,()()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-

上的最大值为

最小值为1-.

【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.

6．(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)

设()4cos()sin cos(2)6

f x x x x π

ωωωπ=--+,其中.0>ω

(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域

(Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上为增函数,求 ω的最大值.

【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的

一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合

条件可列32424π

πωππω

⎧-≥-⎪⎪

⎨⎪≤⎪⎩,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值.

解:(1)(

)1

4sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭

222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-

21x ω=+

因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =

的值域为1⎡⎣

(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡

⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦上为增函数,故

(

)21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤

-+∈⎢⎥⎣⎦

上为增函数.

依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤

-+⎢⎥⎣⎦

对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是

32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 7．

函数2

()6cos cos 3(0)2

x

f x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A

为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.

(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;

(Ⅱ)

若0()5

f x =

,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.

[解析](Ⅰ)由已知可得

:2

()6cos 3(0)2x

f x x ωωω=+-> =3cos ωx+)3

sin(32sin 3π

ωω+=x x

又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数4

82824)(π

ωω

π

=

==⨯=，得，即

的周期T x f

所以,函数]32,32[)(-的值域为x f (Ⅱ)因为，由53

8)(0=

x f (Ⅰ)有 ，5

3

8)3

4

(

sin 32)(0

0=

+

=π

πx x f 54)34(sin 0=+ππx 即

由x 0)2

,2()34x (323100π

πππ-∈+-

∈），得，（ 所以,5

3

)54(1)34(

cos 20

=-=+ππx 即

故=+)1(0x f =+

+

)3

4

4

(

sin 320

π

π

πx ]4

)3

4

(

sin[320

π

π

π+

+

x

)

2

2532254(324

sin

)3

4

cos(

4cos

)34(

[sin 320

⨯+⨯=+

++

=π

π

ππ

π

πx x

5

6

7=

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.

8．已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3

A

m x n A x x A ==>,函数()f x m n =⋅的最大

值为6. (Ⅰ)求A ;

(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12

π

个单位,再将所得图象上各点的横

坐标缩短为原来的1

2

倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在

5[0,]24

π

上的值域. 解析:(Ⅰ)⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 2

2sin 2

32cos 2

sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f ,

则6=A ;

(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6

)12(2sin[6ππ++=x y 的图象,

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍,纵坐标不变,得到函数)3

4sin(6)(π

+

=x x g .

当]245,

0[π∈x 时,]1,2

1

[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24

π

上的值域为]6,3[-.

另解:由)3

4sin(6)(π

+=x x g 可得)3

4cos(24)(π+='x x g ,令0)(='x g ,

则)(2

3

4Z k k x ∈+

=+

π

ππ

,而]24

5,

0[π

∈x ,则24π=x ,

于是36

7sin 6)245(

,62

sin

6)24

(

,333

sin

6)0(-======πππ

π

π

g g g , 故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,

]24

π

上的值域为]6,3[-. 9．已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,

(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数

()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且

1(,1)2

ω∈.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;

(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4

,求函数()f x 在区间3π

[0,

]5

上的取值范围. 考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.

解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+

cos22x x ωωλ=-+π

2sin(2)6

x ωλ=-+.

由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16

ω-=±, 所以ππ2ππ()6

2k k ω-=+

∈Z ,即1

()23

k k ω=+∈Z . 又1(,1)2

ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故5

6

ω=. 所以()f x 的最小正周期是

6π

5. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4

,得π()04

f =,

即5πππ2sin()2sin 6264

λ=-⨯-=-=即λ=故5π

()2sin()3

6

f x x =-由3π05x ≤≤

,有π5π5π

6366

x -≤-≤,

所以15

πsin()12

36x -≤-≤,得5π12sin()236x --

故函数()f x 在3π

[0,]5

上的取值范围为[12-.

10．已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π. (Ⅰ)求ω的值;

(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

,

56535f απ⎛

⎫+=- ⎪⎝

⎭,

5165617f βπ⎛

⎫-= ⎪⎝

⎭,求()cos αβ+的值.

解析:(Ⅰ)210T π

πω

=

=,所以1

5ω=.

(Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625

f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛

⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭

⎝

⎭

⎝

⎭

⎣⎦

,所以

3s i n 5α=

.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛

⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝

⎭⎣⎦,所以8co s 17β=.

因为α、0,2πβ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

,所以4cos 5α=,15sin 17β==,

所以()4831513

cos cos cos sin sin 51751785

αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 11．已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x

f x x

-=

.

(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.

【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应

该觉得非常容易入手.

解:(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin x x x x

x

-=2(sin cos )cos x x x

-=sin 21cos 2x x --

)14

x π

--,{|,}x x k k Z π≠∈

(1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π; (2)原函数的单调递增区间为[,)8

k k k Z π

ππ-+∈,3(,

]8

k k k Z π

ππ+∈.

12．设函数2())sin 24

f x x x π

=

++ (I)求函数()f x 的最小正周期;

(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2

x π

∈时,

1

()()2

g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.

【解析】

2111

()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222

f x x x x x x π=

++=-+-

11

sin 222

x =

- (I)函数()f x 的最小正周期22

T π

π=

= (2)当[0,]2x π∈时,11

()()sin 222

g x f x x =-=

当[,0]2x π

∈-

时,()[0,]22x ππ+∈ 11

()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11

()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=

得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1

sin 2(0)22

()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩